SIMULADO LARANJA · MATEMÁTICA
RESOLUÇÕES COMENTADAS
1.b
0,4 ⋅ 10.000.000 = 4.000.000 de torcedores na região Sudeste.
Seja M o número de torcedores do sexo masculino desse time
na região Sudeste e F o número de torcedores do sexo feminino.
2M
F
2
(I)
= s F =
3
M 3
F + M = 4.000.000 (II)
Substituindo I em II, temos:
2M
+ M = 4.000.000 s
3
s 5M = 12.000.000 s M = 2.400.00
e
F = 1.600.00
2.d
Considere como sendo x o preço do carro sem os descontos.
Assim:
x ⋅ 0,94 ⋅ 0,96 − 1.315,20 = 42.000 s
s 0,9024x = 43.315,2 s x = R$ 48.000,00.
3.c
M = C ⋅ (1 + i)t s M = 1.000 · (1 + 0,02)t s
s M = 1.000 ⋅ (1,02)t
M2 = Média aritmética das horas trabalhadas na semana, com um
feriado.
Como M2 é igual a M1 subtraído de uma hora, temos que M2 = 8
40 45 − 5
M2 = 8 = = 5
5
Logo, o feriado caiu no dia da semana em que se trabalhou cinco
horas, ou seja, na segunda-feira.
8.e
Considere que as peças meçam 180 m, 252 m e 324 m.
MDC(180; 252; 324) = 36.
Cada retalho terá, então, 36 m.
Quantidade de retalhos:
180 252 324 = 5 + 7 + 9 = 21
+ + 36
36
36
9.d
Considere o seguinte triângulo retângulo, após duas horas da saída do veículo do vértice A (O sentido dos carros não é relevante para a questão).
y
4.c
H = humorista; C = cantor.
2 horas e cinquenta minutos = 170 minutos.
I.5H + 4C = 170
d
160 km
120 km
75
II.C =
· (C + H) s C = 3 · (C + H) s
100
4
s 4C = 3C + 3H s C = 3H.
Substituindo II em I, temos:
5H + 4 ⋅ 3H = 170 s 5H + 12H = 170 s 17H = 170 s H = 10
Haverá 10 humoristas se apresentando. Como cada humorista tem
5 minutos para se apresentar, assim, o tempo gasto para assistir a
eles é de 50 minutos.
5.d
Do enunciado temos:
F ⋅ d 2
= G, onde d é a distância em metros procurada e m1 e m2,
m 1 ⋅ m 2
as massas do rapaz e da moça, respectivamente.
G ⋅ m 1 ⋅ m 2
−11
Assim: d2 =
s d 2 = 6,7 ⋅ 10 ⋅ 70 ⋅ 50 s
F
2,345 ⋅ 10 −9 s d ² = 10.000 ⋅ 10–2 s
s d 2 = 104 ⋅ 10–2 s d 2 = 102 s d = 10 metros.
6.d
A função associada a essa situação é dada por:
f(x) = ax + b, onde f(x) é o preço em reais quando são consumidos
x kWh de energia elétrica, a é o preço do kWh e b, a taxa fixa cobrada pela empresa.
I.104 = 115a + b
II.80 = 85a + b
Fazendo I − II, temos:
24 = 30a s a = 0,8 e consequentemente b = R$ 12,00.
x
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
d 2 = 1602 + 1202 s
s d 2 = 25.600 + 14.400 s
s d 2 = 40.000 s
s d = 200 km
Qualidade do sinal: regular.
10.a
d = n ⋅ (n − 3 ) s kn = n ⋅ (n − 3 ) s
2
2
s 2k = n − 3 s
s n = 2k + 3
a) Correta. Observe que, sendo k um número natural não nulo,
2k + 3 é um número ímpar.
b) Incorreta. Ter 35 diagonais não é a única condição para que não
se possa construir polígonos como o descrito. Por exemplo: se
o polígono tivesse 20 diagonais (8 lados), isso também não
seria possível.
c) Incorreta. 45 = 2k + 3 s 2k = 42 s
s k = 21. (É, então, possível.)
d) Incorreta. Para k = 5, n = 13, que é primo.
e) Incorreta. Ver item d.
11.a
A peça retirada tem a seguinte forma:
7.a
M1 = Média aritmética das horas trabalhadas numa semana sem
feriado.
M1 =
5 + 12 + 8 + 12 + 8 45
= 9 horas trabalhadas, em média, por dia.
= 5
5
Observe que, fazendo giros de 90° para a direita ou esquerda, o
desenho não se modifica.
RESOLUÇÕES COMENTADAS · MATEMÁTICA · SIMULADO LARANJA
1
Assim, a peça que se encaixa nas condições do problema é a de
número I.
12.c
Considere a figura:
9,1
B
C
0 < a + b · cos(x) < 20 s
20 − a
a
s − < cos ( x ) < b
b
I.− a = –1 s a = b
b
II.
20 − a
= 1 s 20 − a = b
b
Substituindo I em II:
20 − a = a s 2a = 20 s a = 10
Assim: f(x) = 10 + 10 · cos(x)
x
7
A
D
20
19. b
OC ⋅ AC
r 2 ⋅α
A = Asetor − Atriângulo s A =
−
2
2
cos α =
r
r
OC
s sec α =
s OC =
sec α
OC
r
sen α =
r
r
AC
s AC =
s cossec α =
cossec α
AC
r
E
Os triângulos BCE e EAD são semelhantes.
2
r
r
⋅
=
A = r ⋅α – 1 ⋅
2
2 sec α cossec α
9,1 x + 20 s
= 7
20
s 7x + 140 = 182 s
s 7x = 42 s x = 6 m
2


1
= r ⋅  α − sec α ⋅ cossec α 
2 
13. a
 s − MB
 = 90° + MB
 = 90° − MA
 s
MA
 ) = sen (90° − MA
)s
s sen ( − MB
 ) = cos ( MA
 ) s sen ( MB
 )s
s −sen ( MB
s −(−0,6) = 0,6
2
14. e
2
Q−5
 P + 1
= Q = 5 + 3 ⋅  P + 1 s 
s

 3 
3
 3 
s
P +1
Q−5
sP+1=3⋅
= 3
3
sP=3⋅
Assim:
Q−5
s
3
Q−5
−1
3
15. d
f(t) = 40.960 s 40.960 = 20 ⋅ 2t + 1 s
s 2t + 1 = 211 s t + 1 = 11 s
s t = 10 anos
16. d
π ⋅t 
π ⋅t 
12 = 12 + 3cos 
=0s
s 3cos 
 6 
 6 
π ⋅t 
π ⋅ t
π
s cos 
=
+ kπ, k 3 Ω s
=0s
 6 
6
2
s t = 3 + 6k, k 3 Ω
t = 3 horas; t = 9 horas; t = 15 horas; t = 21 horas
20. d
tg α =
BD
s tg α = 2 s tg α = 1
AB
5
10
tg (2α) =
BD + CD
s 2tg (α ) s
AB
1− tg 2 (α )
2
2 + CD
s 5 s
s
1
10
1−
25
s 2 + CD =
25
4
13
s CD =
– 2 s CD =
24
6
6
25
21. e
Área do tampo da mesa menor =
= π ⋅ 402 = 1600 ⋅ 3,14 = 5.024 cm2
Área do tampo da mesa maior =
= π ⋅ 1202 = 14.400 ⋅ 3,14 = 45.216 cm2
Por uma regra de três, temos:
5.024 cm2
R$ 60,00
45.216 cm2
x
5.024 ⋅ x = 60 ⋅ 45.216 s 5.024 x = 2.712.960 s x = R$ 540,00
22. b
Considere a figura:
4 3
17. a
π ⋅ t

Devemos ter cos 
− π = − 1 s
 2

π ⋅ t
s
− π = π + 2kπ, k 3 Ω s
2
s t = 4 + 4k e 1 < t < 12 s
s t = 8 ou t = 12, ou seja, agosto e dezembro.
18. d
O período da função é 2π.
Assim:
2
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4 3
4 3
Do enunciado, h = 12 3 cm.
( 4 3 ) ⋅ V= 6⋅
2
4
3
⋅ 12 3 s
s V = 6 ⋅ 16 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 2.592 cm³
23.d
I.Volume da caixa d’água em m³:
V = 1,8 ⋅ 1,2 ⋅ 1 = 2,16 m³
II. Depois de quatro horas de vazamento: o volume de água contido na caixa é de:
= 1,8 ⋅ 1,2 ⋅ 0,9 = 1,944 m3
Desperdício em 4 horas:
2,16 − 1,944 = 0,216 m³
Desperdício em 24 horas:
6 ⋅ 0,216 m3 = 1,296 m3 =
= 1.296 dm³ = 1.296 litros
24. d
Pirâmide original:
Aresta da base x e altura h.
VI = 1 ⋅ x ⋅ x ⋅ h
3
Pirâmide da demanda:
h
Aresta da base x e altura .
3
3
h
VII = 1 ⋅ x ⋅ x ⋅
=
3 3 3 3
=
1
1
V
⋅ 1 ⋅x⋅x⋅h=
27 I
27 3
25.e
Dimensões da torre original:
I.Raio da base: 0,8 ⋅ 10 = 8 metros.
II.Altura: 6 ⋅ 10 = 60 metros.
Volume V da torre = πr 2 · h, onde r é o raio da base e h, a altura da torre.
V = π ⋅ 8² ⋅ 60 = 3.840π m3
26. c
As dimensões da caixa de sapatos para adultos é 2a, 2b e 2c e a
área total é de 2 ⋅ (2a ⋅ 2b + 2a ⋅ 2c + 2b ⋅ 2c) =
= 2 ⋅ 4 (ab + ac + bc)
Temos ,então, que 2 ⋅ 4 ⋅ (ab + ac + bc) tem o custo de R$ 6,40.
Então, ab + ac + bc tem o custo de:
6,4
= R$ 0,80
8
Por outro lado, as dimensões da caixa de sapatos infantis têm dimensões a, b e c.
Queremos obter o preço de 2 ⋅ (ab + ac + bc).
De acordo com o que obtivemos anteriormente, temos que:
2 ⋅ (ab + ac + bc) = 2 , 0,8 = R$ 1,60
27. a
Sorvete do tipo A:
raio da base = r e altura = h.
VA = 1 · π · r2 ⋅ h
3
Sorvete do tipo B:
raio da base = 1,1 r e altura = 0,9 h
VB = 1 · π · (1,1 ⋅ r)2 ⋅ 0,9 h s
3
s VB = 1 · π · 1,21 · r 2 ⋅ 0,9 h =
3
= VB = 1,089 ⋅ 1 · π · r 2 s VB = 1,089 VA
3
Em relação ao A, o volume do sorvete B aumenta em 8,9%.
28. a
Fevereiro: 2,03 = 0,7 (gasolina)
2,9
Junho:
2,2
≅ 0,71 (gasolina)
3,1
Outubro:
2,34
≅ 0,69 (etanol)
3,4
29. c
Considere x o número de funcionários dessa loja.
20% ⋅ x +
= 5x x 5x
=
= + 8
5
8
33 x
8 x + 25 x
=
40
40
7x
As pessoas que trabalham à noite representam 1 − 33 x =
.
40
40
7x
= 42 s x = 240 funcionários.
Assim:
40
3 1 ⋅ 240 são mulheres que trabalham de manhã, ou seja, 18 mu⋅
8 5
lheres trabalham no turno da manhã.
Número de mulheres nos três turnos:
3 ⋅ 18 = 54.
30. b
Considere x o peso do prato e y o peso da comida.
O primeiro peso tem y de comida e o segundo, 1200 − y.
Assim:
No primeiro prato: x + y = 960
No segundo prato:
x + 1.200 − y = 480 s
s x − y = − 720
Resolvendo o sistema:
 x + y = 960
s 2x = 240 s x = 120 g

 x − y = −720
31. d
A maior precipitação ocorre na barra mais alta, ou seja, no mês
de outubro.
A menor temperatura ocorre no quadrado mais abaixo, ou seja, no
mês de janeiro.
Os meses são respectivamente: outubro e janeiro.
32. c
O gráfico deve apresentar um crescimento mais íngreme, conforme passa o tempo t.
Isso ocorre no gráfico da alternativa c.
33. d
O que se pode notar pelo enunciado é que segue o padrão:
2n − 1 = 2.047, onde n é a quantidade de discos na torre.
Assim:
2n = 2.048 s 2n = 211 s n = 11 discos
34. a
Neste exercício foi usada a primeira determinação positiva dos
arcos pelo fato de o enunciado ter pedido os primeiros instantes.
πt 
πt 


x = 2cos  π −  s 2cos  π −  =


6
6
3s
3
πt 

s cos  π −  =

2
6
Como t > 0, temos:
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3
A área A do octógono é 8 vezes a área do triângulo AOB.
π
πt
cos  π −  = cos
ou

6
6
A = 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ sen 45° = 8 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 2 = 162 ⋅ 1,41 = 228,42 m2
2
4
πt 

5π
cos  π −  = cos

6
6
π
πt
=
s
I.cos  π − πt  = cos π s π −
6


6
6
6
a b c
= =
2 3 5
s πt = π − π s
6
6
5π
πt
s
=
s t = 5 segundos
6
6
Então:
πt 

II.cos  π −  = cos 5 π s

6
6
5π
πt
s π −
=
s πt = π − 5 π s
6
6
6
6
Devemos ter o volume V igual a 1.920 cm³.
Assim:
s
5a
b = 3a e c =
2
2
5a
15a 3
a ⋅ b ⋅ c = 1.920 s a ⋅ 3a ⋅
= 1.920 s
= 1.920 s
2
4
2
πt π
= s t = 1 segundo
6
6
s a3 = 512 s a = 8 cm e, consequentemente, b = 12 cm e c = 20 cm.
35.e
1
π
⋅ sen(2t) ⋅ sen2  t +  ⋅ cos (π − t) ⋅ tg2 t =

sec t
2
2
= cos t ⋅ 2sen t ⋅ cos t ⋅ cos t ⋅ (− cos t) ⋅ sen t = − 2sen3 t ⋅ cos3 t
2
cos t
2
Então, m = − 2; n = 3 e p = 3.
Assim: m + n + p = −2 + 3 + 3 = 4
36. e
f(0) = 1 e f(1) = 1
C=
9C + 160
5F − 160
s 9C = 5F − 160 s 5F = 9C + 160 s F =
5
9
38. d
ˆ
Considere: m(BÂC) = α e m ABC
=β
Do enunciado temos:
β = 2α e cos β = −
41. e
O volume V da pirâmide é dado por:
1
⋅ 22 ⋅ 4,2 = 5,6 cm3
3
Por uma regra de três, temos:
1 cm3
5g
5,6 cm3
x
Daí: x = 5,6 ⋅ 5 = 28 g
V=
42.d
Como o volume deslocado é igual ao do corpo que foi colocado
na água, V = p · (0,4)² · 0,1 = 0,016p
37. c
(
)
1
. Daí se conclui que β é obtuso e, consequente4
cos β = − 1 s cos (2α) = − 1 s
4
4
s cos² α − sen² α = − 1 s 1 − sen2 α − sen2 α = − 1 s
4
4
s 2sen2 α = 1 + 1 s 2sen2 α = 5 s
4
4
s sen2 α = 5 s sen α =
8
10
4
39. c
A
B
9
45°
43. c
g = 10 cm e α = π
α = 2 πr s r = 5 cm
g
g2 = h2 + r 2 s h2 = 100 − 25 s h2 = 75 s h = 5 3 cm
mente, α é agudo.
9
O
4
40. b
Considere como sendo a, b e c as três dimensões dessa peça.
Do enunciado temos que:
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44. c
Porcentagem de votos brancos ou nulos: 100% − 64% − 24% = 8%.
Sendo x o número de eleitores, temos que:
0,08 ⋅ x = 320 s x = 4.000
Número de mulheres que votaram em A: 0,64 ⋅ 0,6 ⋅ 4000 = 1.536.
Número de mulheres que votaram em B: 0,24 ⋅ 0,45 ⋅ 4.000 = 432.
Número de mulheres que votaram em A ou em B:
1.536 + 432 = 1.968.
Esse é o número mínimo de cartas escritas em papel rosa (caso
nenhuma mulher tenha votado em branco ou anulado seu voto).
Só para constar, o número máximo seria de 1.968 + 320 = 2.288
(caso todos que votaram em branco ou anularam o voto fossem
mulheres).
45. a
Considere um segmento de reta cujas extremidades são a primeira e a sétima praça de pedágio. Os cinco pedágios entre esses extremos vão nos fornecer seis trechos de estrada.
Assim:
487 − 25 = 77
6
Os pedágios estarão nos quilômetros:
25 + 77 = 102
102 + 77 = 179
179 + 77 = 256
256 + 77 = 333
333 + 77 = 410
410 + 77 = 487