MA141
Prof. Stefano De Leo
GEOMETRIA ANALÍTICA
PRIMEIRO SEM. 2012
[A01]
UNICAMP
O Número
π
Na matemática, é uma proporção numérica originada da relação entre as grandezas do perímetro de
uma circunferência e seu diâmetro. O valor de π pertence aos números irracionais. Para a maioria dos
cálculos simples é comum aproximar π por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas aproxima
π ≈ 3, 1415927 .
Para cálculos mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais.
A primeira tentativa rigorosa de encontrar π deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da antigüidade, Arquimedes (287Ű212 a.C.). Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados
encontrou que π seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre
3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para o cálculo de π.
A busca pelo valor de π chegou até à China, onde Liu Hui (263), um copiador de livros, conseguiu obter
o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu
Ch’ung-chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.
• Método clássico.
Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo
de π, eficiente para polígonos inscritos e circunscritos de qualquer número de lados n,
£
¤
£
¤
o
o
n sin 180 /n < π < n tan 180 /n .
• Monte Carlo.
Outro método interessante para o cálculo de π pode ser realizado através de Monte Carlo utilizando-se
a estatística. Nesse método são sorteados aleatoriamente pontos num quadrado compreendido entre as
coordenadas (0, 0) e (1, 1). Em seguida calcula-se a distância dos pontos sorteados até a origem (0, 0).
O valor de π pode ser aproximado através do número de pontos inscritos na circunferência de raio 1 em
relação ao total de pontos sorteados no quadrado de lado 1,
π/4 ≈ número de pontos inscritos na circunferência / total de pontos sorteados .
Sequência de Fibonacci e Número Áureo
Na matemática, os números de Fibonacci são uma sequência ou sucessão definida como recursiva pela
fórmula:
F (n + 2) = F (n + 1) + F (n) , com n ≥ 1 e F (1) = F (2) = 1 .
Os primeiros números de Fibonacci são:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ...
Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci,
para descrever o crescimento de uma população de coelhos.
¯ → ⊗ → ⊗¯
? 0 → 1 → 10
¯
1 0
⊗
1 1
⊗¯
2 10
⊗¯⊗
3 101
⊗¯⊗⊗¯
5 10110
⊗ ¯ ⊗ ⊗ ¯ ⊗ ¯⊗
8 10110101
⊗¯⊗⊗¯⊗¯⊗⊗¯⊗⊗¯
13 1011010110110
⊗ ¯ ⊗ ⊗ ¯ ⊗ ¯ ⊗ ⊗ ¯ ⊗ ⊗ ¯ ⊗ ¯ ⊗ ⊗ ¯ ⊗ ¯ ⊗ 21 101101011011010110101
..
.
1
• F (n) = √
5
Ã
Ã
√ !n
√ !n
1
1+ 5
1− 5
−√
para n ≥ 1
2
2
5
1
F (n) →= √
| {z }
5
Ã
√ !n
1
1+ 5
= √ φn
2
5
nÀ1
F (n + 1)/F (n) → φ
|
{z
}
nÀ1