Matemática
Resolução dos Exercícios – F2 ⏐ 2os anos ⏐ Fábio Lopes ⏐ ago/09
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1) A sequência de números inteiros que possui o algarismo das unidades igual a 1 é (51, 61, 71,..., 341).
Disso, tiramos que:
a1 = 51
a 2 = 61
r = 10
Da expressão do termo geral da P.A., temos:
a n = a1 + (n-1). r
341 = 51 + (n-1). 10
341 – 51 = 10n + 10
300 = 10n → n = 30.
A sequência possui 30 termos e a soma deles é dada por:
S
30
=
( 51 + 341 ) 30
→
2
S
30
= 5880.
2) A sequência de números inteiros naturais impares de 3 algarismos é (101, 103, 105,..., 999).
a1 = 101
a n = 999
Para efetuarmos a soma dos termos dessa sequência, precisamos descobrir qual termo equivale o
numero 999.
a n = a1 + (n-1). r
999 = 101 + (n-1). 2
999 = 99 + 2n
900 = 2n → n=450.
A soma dos 450 termos dessa sequência é dada por:
S
450
=
( 101 + 999 ) 450
→
2
S
450
= 247.500.
3) Do enunciado, temos:
T
1
=1
T
2
=
T
1
+2
T
3
=
T
2
+3
T
100
=
T
99
+ 100
Resolvendo o sistema, chegamos em:
T
100
= 1 + 2 + 3 +... + 100, o que equivale à soma de 1 a 100.
T
100
=
( 1 + 100 ) 100
→
2
4) Preço do Original:
Preço da Cópia:
f
2
f
T
1
100
( x) =
( x) =
= 5050.
1
x
10
1
x
20
Utilizando os valores da alternativa na expressão do “preço da cópia”, vemos que a única que fornece o
193
resultado correto é a alternativa “b”, pois
= 9,65.
20
5) Primeiro passo é encontrar a declividade da reta:
a=
30 − (−10)
→ a = 8 → y = 8x + b
5−0
em que b é o corte no eixo “y” e nesse caso vale -10. Então a equação fica da forma:
y = 8x – 10
Para saber o instante em que a barra atingiu a temperatura de 0°C, basta fazer y = 0. Isso se justifica pelo
fato de que quando a reta cruza o eixo x, sua coordenada em y vale 0.
Então, 8x-10 = 0 → 8x = 10 → x = 1min25s.
6) Podemos fazer a correspondência de temperaturas entre as duas escalas, conforme foi feito no
enunciado do exercício. Dessa forma, chamemos de x a temperatura equivalente a 100°C na escala
Patota.
100 − 20
x − 40
→ x – 40 = 16 → x = 56° P.
=
60 − 20
48 − 40
7) O primeiro passo é construir a equação (y = ax + b) para a absorção de potássio no ambiente claro e
no escuro:
Claro: y = 4x → m = 4.
Escuro: y = 2x →
m
Dessa forma, m = 2
=2
1
m.
1
8) No triângulo ABC, temos:
BC² + AC² = AB² → BC² = 400 – 144 → BC = 16.
Os triângulos ABC e EBD são semelhantes. Então vale a relação:
ED BD
=
AC BC
→
ED 10
=
12 16
→ ED =
15
2
A área do quadrilátero é a área do triangulo ABC menos a área do triangulo BDE.
S=
BC . AC BD.ED
→ S = 58,5 cm².
−
2
2
9) Para determinar a função horária, precisamos encontrar o valor da inclinação da reta, cujo significado
físico é a velocidade do móvel.
v=
0 − 15
→ S=
3−0
S
0
+ v.t → S = 15 – 5t
10) Podemos fazer a correspondência entre a temperatura e a altura da coluna de mercúrio, conforme foi
exemplificado no enunciado do exercício. Dessa forma, chamemos de x a temperatura em °C
equivalente a 112,5 mm na coluna de mercúrio.
270 − 20
100 − 0
→ x = 37° C.
=
112,5 − 20
x−0
11) A partir do gráfico do móvel B conseguimos encontrar a posição de encontro.
V
B
S=
270 − 0
→
3−0
=
S
0
V
B
= 90 km/h.
+ v.t → S = -90t + 270.
O instante de encontro é t = 2 h, então basta substituir t = 2 na expressão acima:
S = -90. (2) + 270 → S = 90 km.
Tendo a posição de encontro, é possível determinar a velocidade do móvel A.
V
A
=
90 − 0
→
2−0
V
A
= 45 km/h.
12)A velocidade média é dada pela expressão:
v=
d
t
→
72 − 50
22(km)
→
→ v = 88 km/h.
1 ( h)
15(min)
4
13) Para determinar o instante de encontro, basta igualar as duas expressões:
S
A
=
S
B
→ -30 + 10t = -10 -10t → 20t = 20 → t = 1s.
Para determinar a posição de encontro, basta voltar em qualquer uma das duas expressões e substituir
t = 1s.
S
A
= -30 + 10t → -30 + 10. (1) →
S
A
=
S
B
= - 20m.
14) Equação do corpo Y:
S
Y
= 100t
S
x
= 80t + 160.
Obs.: O fator 160 equivale a quanto o móvel X andou enquanto o móvel Y permaneceu parado. Como o
móvel X partiu 2 horas antes de Y e manteve uma velocidade média de 80 km/h, ele percorreu a
distância de 160 km. Ou seja, quando Y partiu, X estava 160 km a frente dele.
Novamente, para descobrir o instante em que ocorreu o cruzamento, basta igualar as duas expressões.
S
Y
=
S
x
→ 80t + 160 = 100t → 20 t = 160 → t = 8h.
Tomamos o móvel y como referência para os cálculos, mas lembrando que o móvel X partiu 2 horas
antes de Y, devemos somar 2 horas ao resultado obtido. Portanto, eles encontrar-se-ão às 10 horas da
manhã.
15) Expressão para o móvel A:
S
A
= 20t.
De acordo com a figura, A percorre 50 m com a velocidade de 20 m/s, ou seja, ele demora 2,5 s para
percorrer essa distância.
Sabendo que B colide com A no ponto C, B tem então 2,5 s para percorrer a distância de 30 m. Então,
V
B
=
30
→
2,5
V
B
= 12 m/s.
16) A situação pode ser projetada para um triângulo retângulo, cuja hipotenusa vale 36 m (comprimento
da rampa), o ângulo com a horizontal vale 30° e o que se pede é a altura que a pessoa elevou-se em
relação ao chão, ou seja, o cateto oposto ao ângulo de 30°.
sen 30° =
1 h
h
→ =
→ h = 18m.
36
2 36
17) Lei dos Senos:
6
8
4 2
→ 6 sen B = 8 sen30° → sen B = = .
=
sen30° senB
6 3
18) Pela relação Fundamental da Trigonometria,
sen² x + cos²x = 1 → cos²x = 1 -
16
25
→ cos²x =
9
3
→ cos x = .
25
5
Mas, como tg < 0, o cosseno é negativo. Portanto, cos x = -
3
.
5
19) Novamente, pela relação Fundamental da Trigonometria,
sen² x + cos²x = 1 → sen²x = 1 -
5
senx
3
= −2
tg x =
cos x
3
4
9
→ tg x = −
→ sen²x =
5
5
→ sen x =
.
9
3
5
.
2
20) Sendo O a origem (0,0). No triângulo COB, temos:
CO² + OB² = CB² → ( 3)² + 1² = CB² → CB² = 4 → CB = 2.
No triângulo COA,
CO² + OA² = CA² → ( 3)² + 2² = CA² → CA² = 7 → CA =
7.
Lei dos Cossenos no triângulo CBA:
CA² = CB² + AB² - 2CB.AB.cosB
7 = 4 + 1 – 2.2.1.cos B
cos B =
−1
→ B = 120°.
2
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