UFPE, 2002, 1 sem. André Toom. ET-323. Processos estocásticos I.
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Prova 2. versão 1
Problema 1. Uma mil de passas de uva foram misturadas com dez kilos de massa.
Apos disto esta mistura foi dividida em cem partes iguais, daqueles paozinhos
foram cozidos. Denotamos X o número de passas num paozinho escolhido ao
acaso.
a) Escrever a formula exata de P (X = n) . (10 pontos).
b) Escrever a aproximação de Poisson desta probabilidade. (10 pontos).
c) O que é o valor de E(X) na formula exata e no aproximação ? (10 pontos).
Problema 2. V.a. X toma só valores inteiros e para cado inteiro n 6= 0
P (X = n) = (1/5)|n| .
a) O que é o valor de P (X = 0) ? (10 pontos).
b) Escrever e simplificar sua função geratriz de momentos ψ(t) = E etX .
(10 pontos).
c) Para qual valores de t esta função geratriz de momentos é definida ?
(10 pontos).
Problema 3. Consideramos a matriz

M =
2/3 1/3
1/3 2/3

.
a) Achar todos seus auto-valores e correspondentes auto-vetores. (10 pontos).
b) Calcular M t · (1, 0) . (10 pontos).
UFPE, 2002, 1 sem. André Toom. ET-323. Processos estocásticos I.
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Prova 2. versão 1
Problema 4. Consideramos a equação
z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
Achar todas raizes complexas desta equação e mostrar elas no plano complexo.
(10 pontos).
Problema 5. Uma particula faz passeio aleatório na reta discreta ZZ em tempo
discreto t = 0, 1, 2, 3, . . . . Quando t = 0 , a particula está no ponto zero. No cado
passo de tempo a particula, qual está no ponto s ∈ ZZ , ou fica no mesmo ponto
com probabilidade 1/2 , ou muda no ponto s − 1 ou s + 1 com probabilidades
1/6 e 1/3 respectivamente independentemente das todas mudancas passadas.
Denotamos Xt a posição desta particula no tempo t .
a) Qual são valores minimal e maximal de Xt e com quais probabilidades Xt
toma estes valores? (10 pontos).
b) O que são valores de E(Xt ) e E(Xt /t) ? (10 pontos).
c) O que são valores de V ar(Xt ) e V ar(Xt /t) ? (10 pontos).
Achar os limites
d) lim P (Xt /t < 0).
t→∞
(10 pontos).
e) lim P (0, 16 < Xt /t < 0, 17).
(10 pontos).
f ) lim P (Xt /t < 1/6).
(10 pontos).
t→∞
t→∞
NB: Todas respostas devem ser provadas.
V.a. significa variável aleatória, ZZ o conjunto dos números inteiros,
P probabilidade, E esperança. eit = cos t + i sen t .
UFPE, 2002, 1 sem. André Toom. ET-323. Processos estocásticos I.
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Prova 2. versão 2
Problema 1. Uma mil de nozes foram misturadas com dez kilos de massa. Apos
disto esta mistura foi dividida em cem partes iguais, daqueles paozinhos foram
cozidos. Denotamos X o número de nozes num paozinho escolhido ao acaso.
a) Escrever a formula exata de P (X = n) . (10 pontos).
b) Escrever a aproximação de Poisson desta probabilidade. (10 pontos).
c) O que é o valor de E(X) na formula exata e no aproximação ? (10 pontos).
Problema 2. V.a. X toma só valores inteiros e para cado inteiro n 6= 0
P (X = n) = (1/7)|n| .
a) O que é o valor de P (X = 0) ? (10 pontos).
b) Escrever e simplificar sua função geratriz de momentos ψ(t) = E etX .
(10 pontos).
c) Para qual valores de t esta função geratriz de momentos é definida ?
(10 pontos).
Problema 3. Consideramos a matriz

M =
3/4 1/4
1/4 3/4

.
a) Achar todos seus auto-valores e correspondentes auto-vetores. (10 pontos).
b) Calcular M t · (1, 0) . (10 pontos).
UFPE, 2002, 1 sem. André Toom. ET-323. Processos estocásticos I.
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Prova 2. versão 2
Problema 4. Consideramos a equação
z 3 − z 2 + z − 1 = 0.
Achar todas raizes complexas desta equação e mostrar elas no plano complexo.
(10 pontos).
Problema 5. Uma particula faz passeio aleatório na reta discreta ZZ em tempo
discreto t = 0, 1, 2, 3, . . . . Quando t = 0 , a particula está no ponto zero. No cado
passo de tempo a particula, qual está no ponto s ∈ ZZ , ou fica no mesmo ponto
com probabilidade 1/2 , ou muda no ponto s − 1 ou s + 1 com probabilidades
1/3 e 1/6 respectivamente independentemente das todas mudancas passadas.
Denotamos Xt a posição desta particula no tempo t .
a) Qual são valores minimal e maximal de Xt e com quais probabilidades Xt
toma estes valores? (10 pontos).
b) O que são valores de E(Xt ) e E(Xt /t) ? (10 pontos).
c) O que são valores de V ar(Xt ) e V ar(Xt /t) ? (10 pontos).
Achar os limites
d) lim P (Xt /t > 0).
t→∞
e) lim P (−0, 17 < Xt /t < −0, 16).
t→∞
f ) lim P (Xt /t > −1/6).
t→∞
(10 pontos).
(10 pontos).
(10 pontos).
NB: Todas respostas devem ser provadas.
V.a. significa variável aleatória, ZZ o conjunto dos números inteiros,
P probabilidade, E esperança. eit = cos t + i sen t .