INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – ICET
Campinas – Limeira – Jundiaí
Módulo VIII - Tópicos de Informática
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1 – Função Polinomial
Ricardo F. Arantes
[email protected]
Unip 2006 - Teoria VIII
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1- FUNÇÃO POLINOMIAL
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Função Polinomial
Raízes de Polinômios
Pesquisa de Raízes
Exemplo
Ricardo F. Arantes
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1.1- Função Polinomial
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Dados os números reais (coeficientes) an, an-1,... , a2, a1, a0 (n
Função Polinomial à função:
ε
N) denominamos
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ...+a 2 x2 + a1 x1 + a0 definida para todo x Real.
Exemplos de Funções Polinomiais:
•
•
•
•
P(x) = a0
P(x) = a1 x1 + a0 (com a1
P(x) = a2 x2 + a1 x1 + a0
Função Constante [grau zero= gr(0) ]
0)
Função 1o.Grau
[grau 1= gr(1) ]
Função 2o.Grau
[grau 2 = gr(2) ]
Grau de um Polinômio: é dado pelo maior grau n de xn existente entre seus termos.
Simbolizamos o grau de um Polinômio como gr(P).
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1.2- Raízes de Polinômios
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Denominamos raíz de um polinômio ao número que uma vez substituído no
polinômio anula o mesmo, ou seja, satisfaz a equação abaixo:
P(raiz) = 0
Graficamente, essas raízes indicam os pontos aonde a curva do gráfico do
Polinômio cruza o eixo x:
P(x)
x1
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x2
x3
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x
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1.3- Pesquisa de Raízes: gr(2)
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Relações de Girard (entre coeficientes e raízes de polinômios):
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GRAU 2:
Sejam as equações
ax2+bx+c=0 (com a
0) cujas raízes são x1 e x2
Sabemos que a equação acima pode ser escrita na forma:
l
ax2+bx+c = a.(x - x1).(x - x2)
resolvendo a equação acima, encontramos as relações de Girard:
soma:
produto:
x1 + x2 = - b/a
x1 . x2 = c/a
NOTA: outra forma já conhecida é através da fórmula de báscara, que será
lembrada em exercícios.
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1.3.1- Pesquisa de Raízes: gr(3)
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Relações de Girard (entre coeficientes e raízes de polinômios):
l
GRAU 3:
Sejam as equações
ax3+bx2+cx+d=0 (com a
0) cujas raízes são x1 e x2 e x3
Sabemos que a equação acima pode ser escrita na forma:
l
ax3+bx2+cx+d= a.(x - x1).(x - x2).(x - x3)
resolvendo a equação acima, encontramos as relações de Girard:
soma:
produto misto:
produto:
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c/a
x1 . x2 x3 = -d/a
Entretanto, nem sempre conseguiremos resolver as equações acima, para grau 3,
sem que seja dada mais alguma informação sobre as raízes. Por exemplo: se as
raízes formam uma Progressão Geométrica tal que x22=x1.x3
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1.3.2- Pesquisa de Raízes: gr()>3
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GRAU MAIOR QUE 3:
Para polinômios de grau maior que 3 há métodos mais eficazes de se encontrar as
raízes que o método de Girard. Entretanto, não cabe em nossa disciplina
desenvolver estes métodos neste momento, ficando essa tarefa para outras
disciplinas mais adiante.
Porém, podemos pelo menos determinar o número de raízes reais de um polinômio!
Uma técnica é a Regra de Sinais de Descartes para polinômios com coeficientes reais:
“ Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos (p),
desse polinômio não excede o número de variações (v) de sinal dos coeficientes.
Sendo então válida a expressão :
v− p≥0
Ricardo F. Arantes
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ou seja
v≥ p
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1.4- Exemplo
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Exemplo: Determinar o número de raízes reais do polinômio
P5(x)= 2x5 - 3x4 - 4x3+x +1
Sinais: +
-
-
+
1
+
Obs: A regra de Descartes vale
para polinômios com grau n
maior ou igual à 1. ( n ≥ 1 )
As raízes são reais ou
complexas sendo também
positivas ou negativas.
1
Há casos de raízes múltiplas
(repetidas) que não
discutiremos aqui.
Número de variações de sinais: V= 2
Logo, se :
v− p≥0
2− p ≥ 0
Há 02 raízes Reais positivas ou
nenhuma raíz Real positiva!
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V-p= 0 então p=2
V-p= 2 então p=0
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1.4.1- Exemplo
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Exemplo: Determinar o número de raízes reais do polinômio
P5(-x)= -2x5 - 3x4 + 4x3-x +1
Sinais:
-
-
+
1
1
+
1
Obs: para pesquisar raízes
negativas, usamos –x no
polinômio e estudamos o
sinal. Expoentes ímpares
irão trocar o sinal do termo,
(permanecendo o mesmo
sinal para expoentes pares)
Número de variações de sinais: V= 3
Logo, se :
v − neg ≥ 0
3 − neg ≥ 0
V-neg=0 então neg =3
Há 03 raízes Reais negativas ou
uma raíz Real negativa!
V-neg=2 então neg=1
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1.4.2- Exemplo
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Assim, no nosso exemplo
P5(x)= 2x5 - 3x4 - 4x3+x +1
gr(5)
há 05 raízes
poderá ter (sem se falar em raízes múltiplas):
REAIS
Positivas
RAÍZES
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0
0
2
2
COMPLEXAS
Total
4
2
2
0
5
5
5
5
Negativas
1
3
1
3
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1.5- Considerações Finais
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Em nossa tarefa estudaremos mais as raízes de um polinômio
de grau 2.
Este foi nosso último módulo!
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Desejamos a todos um Bom Estudo!
Prof. Ricardo F. Arantes
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