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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
THIAGO BRANDÃO OLIVEIRA
CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL APLICADO EM ALGUNS
SISTEMAS FÍSICOS
JUSSARA/GO
2010
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Thiago Brandão Oliveira
CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL APLICADO EM ALGUNS
SISTEMAS FÍSICOS
Monografia apresentada para fins de aprovação no Curso
de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual
de Goiás, Unidade Universitária de Jussara, sob orientação
do professor Elber Magalhães Torres.
JUSSARA/GO
2010
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4
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus que nos da direção a que caminho seguir mesmo
quando trilhamos estradas tortuosas e cheias de desafios.
Agradeço a todos meus familiares em especial, minha mãe e meu pai, que mesmo com
a distância me apoiaram e me incentivaram todos esses anos durante a construção de
conhecimentos que resultaram neste trabalho.
Agradeço também ao meu orientador, Professor mestre Elber Magalhães Torres, que
esclareceu duvidas que tive durante a realização deste trabalho e toda minha família e amigos.
A todos, meu muito obrigado!
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RESUMO
A matemática não é apenas uma matéria isolada das outras ciências, sua aplicabilidade
é vista em várias situações que atraem a curiosidade de alunos onde é elaborado modelos
matemáticos que descrevem diversas situações, sendo que analisaremos no contexto físico.
Isso é importante pois oferece para o aluno uma contextualização podendo unir a teoria à
prática. Dessa forma é preciso analisar de forma coerente e mais gratificante entendendo que
esses tipos de modelos podem ser levados para sala de aula. A metodologia usada compreende
na aplicação do calculo diferencial e integral no desenvolvimento de modelos dinâmicos que
descrevem situações físicas, fundamentada em pesquisa bibliográfica. Portanto os objetivos
esperados é compreender a importância do cálculo trazendo sustentação na aplicabilidade dos
modelos a serem descritos.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
8
CAPÍTULO 1 Notas Históricas do cálculo
1.1 Notas Históricas
1.2 A vida de Isaac Newton
1.3 A vida de Gottfried Leibniz
1.4 A conclusão da vida de Newton e Leibniz
10
10
13
15
CAPÍTULO 2 CONCEITOS DE DERIVADA E INTEGRAL
2.1 Derivada
17
2.2 Integral
21
3.1 Lançamento Obliquo de um projétil
26
3.3 Lei do Resfriamento de Newton
30
3.4 Taxa de Variação Instantânea
33
3.5 Plano Inclinado
34
3.6 Crescimento Populacional
36
CONSIDERAÇÕES FINAIS
39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
40
CAPÍTULO 3 APLICAÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
3.2 Forças de retardamento
28
7
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1.1...............................................................................................................................15
Gráfico 2 ...............................................................................................................................17
Gráfico 2.1...............................................................................................................................18
Gráfico 2.2...............................................................................................................................18
Gráfico 2.3...............................................................................................................................19
Gráfico 2.4...............................................................................................................................21
Gráfico 2.5...............................................................................................................................22
Gráfico 2.6...............................................................................................................................25
Gráfico 3.1...............................................................................................................................26
Gráfico 3.2...............................................................................................................................27
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 ....................................................................................................................................19
Figura 2 ....................................................................................................................................21
Figura 2.1 .................................................................................................................................21
Figura 2.2..................................................................................................................................21
Figura 3 ....................................................................................................................................26
Figura 3.1..................................................................................................................................26
Figura 3.2..................................................................................................................................33
Figura 3.3..................................................................................................................................33
Figura 3.4..................................................................................................................................34
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 ....................................................................................................................................20
Tabela 2 ....................................................................................................................................31
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INTRODUÇÃO
Os fundamentos do Cálculo Diferencial e Integral sempre se mostraram um assunto
intrigante e fascinante. Seu estudo atraiu atenção dos maiores matemáticos do mundo e isso
veio à tona durante os últimos três séculos. É uma área da matemática dinâmica, com muitas
questões interessantes em aberto.
No estudo do Cálculo dois conceitos básicos formam a pilastra desse assunto:
Derivada e Integral. A derivada tem origem geométrica; está ligada ao problema de traçar
uma reta tangente a uma curva de uma função. A integral também tem origem geométrica;
está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana delimitada por uma curva.
Os métodos gerais do cálculo só ganharam um formalismo, isto é, passaram por um processo
de sistematização, a partir do século XVII, com o advento da Geometria (Rogério, 2001).
A idéia de integral será discutida mais adiante, voltemos agora, a dar um sentido para
a realização deste trabalho, que traz como tema, Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral a
alguns Sistemas Físicos. O interesse intrínseco por tal assunto é motivado pela abrangência
em outros campos do conhecimento científico que o cálculo proporciona a sua vasta
aplicabilidade é o que faz com que tal estudo valha a pena.
O cálculo diferencial e integral é uma área da matemática cujo suas aplicações podem
ser vista no cotidiano de cada um, ela se incorpora as outras ciências de maneira a dar um
sentido real aos fenômenos presentes em nosso mundo vivencial.
A Física como um campo de aplicação do cálculo, reside no fato que foi essa ciência
(juntamente com a Geometria) que forneceu elementos para a matemática, não só o cálculo,
se tornasse, enfim, uma ciência.
Muitos dos princípios, ou leis, que regem o comportamento do mundo físico são
relações envolvendo taxas de variação, isto é, a variação de uma grandeza depende da
variação de uma outra grandeza. Essas relações são equações contendo derivadas, que na
linguagem matemáticas chamamos de equações diferenciais. Portando para compreender e
investigar problemas como resfriamento ou aquecimento de corpos, lançamento de objetos,
velocidade instantânea, oscilações, desintegração radioativa, entre muitos outros, é necessário
entender um pouco de equações diferenciais. Uma equação diferencial que descreve um
processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo matemático.
Embora o título do nosso trabalho referir-se a palavra cálculo, e pelo fato de estarmos
trabalhando com alguns modelos matemáticos, não vemos nenhum problema de estarmos
sempre usando a frase cálculo diferencial e integral ao invés de equação diferencial, pois, na
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acepção moderna, a teoria das equações diferenciais constitui uma extensão natural do cálculo
diferencial e integral e, portanto a designação utilizada por nós será cálculo.
No capítulo 1, Notas Históricas do Cálculo Diferencial e Integral, relata
reconhecimento da matemática como uma verdadeira construção humana permitindo
compreender a evolução gradativa das idéias e concepções dos grandes matemáticos que
tiveram seus nomes marcados na história do cálculo.
Os grandes pensadores que foram focados neste trabalho foi Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646 - 1716) e Isaac Newton (1642 - 1727), estes dois grandes personagens deram
contribuições significativas no âmbito do que se conhece hoje de Cálculo Diferencial e
Integral (BOYER, 2002).
No segundo capítulo, descreve sem tanta preocupação com o formalismo matemático
que é apresentado nos livros de cálculos, os conceitos de derivada e integral. Um exemplo
sem o formalismo matemático expondo que a idéia de integral está ligada ao problema de
determinar a área de uma figura plana delimitada por uma curva y = f (x ) . Considera-se que
está função esta definida em um intervalo [ a, b ], então a área em questão é delimitada pela
curva f , as laterais x = a e y = b , e pelo eixo dos x (estamos supondo f sempre positiva).
A área é então calculada como soma de uma infinidade de retângulos infinitesimais verticais
de base indicada por dx e altura f (x ) . Dividindo cada vez mais o número de retângulos, a
situação limite, isto é, o número de retângulos tendendo para o infinito, compreende então o
cálculo da área sob a curva de f , definida como
b
A = ∫ f ( x)dx
a
onde o símbolo de
∫
é uma letra "s" que passou ser grafada assim desde o século
XVII . A área de cada retângulo infinitesimal é subentendida por f ( x ) dx , essas áreas estão
sendo integradas na área A, daí o nome de integral que se dá na expressão acima
(ÁVILA,2000).
No capítulo 3, Aplicações do Cálculo Diferencial e Integral a alguns Sistemas Físicos,
os sistemas físicos foram de simples compreensão pois trata de assuntos que envolvem
cálculos simples de fácil percepção de alunos que já tem algum pré conhecimento do assunto.
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CAPÍTULO 1 – NOTAS HISTÓRICAS DO CÁLCULO.
1.1 Notas Históricas
No estudo da matemática que na antiguidade ocorreu de forma irregular, pois as
definições ainda eram muito complexas, e no século XVII iniciou mudanças que foram
consideradas significativas, tanto no tipo de resolução quanto na quantidade de trabalhados
iniciados.
Os estudos filosóficos e matemáticos da época deram mais importância ao contexto
algébrico, como Gregory e Barow, que tentaram organizar as idéias mas não obtiveram muito
sucesso naquele contexto que estavam inseridos, pois o desenvolvimento que mostravam era
avançada demais para o período. Podendo destacar a influência dos gregos que já
determinavam área de circulo e volumes de alguns materiais como cilindro, cone e
esferas.(BARON,1985)
A matemática necessitava de uma estrutura unificada, sendo o simbolismo e o
formalismo muito importante, para o desenvolvimento sólido e duradouro como é o cálculo
diferencial e integral iniciado por Fermat e Descartes, mas eles tiveram dificuldade em
consolidar isso pois a rigidez algébrica de suas demonstrações não ajudaram para que o
cálculo se desenvolvesse.
Foi só então depois de Newton e Leibniz que se conseguiu adotar uma formulação
com notações mais adequadas para que o cálculo se desenvolvesse, com influências de outros
pensadores citados no decorrer do texto.
Não se pode falar simplesmente de Newton e Leibniz, sem ressaltar a importância dos
seus trabalhos no seguimento da matemática, cálculo diferencial e integral, considerando que
foi atribuído a eles o “titulo de inventores” do cálculo diferencial e integral como diz Baron, e
segundo Baron, Newton e Leibniz iniciaram com as notações e formulação mais adequadas
para aquela época como foi dito anteriormente.
1.2 A vida de Isaac Newton.
A vida de Newton ainda hoje é motivo de muitos debates mas vamos fazer referência
apenas no seus estudos deixando dados da sua infância e adolescência de lado e fixando na
sua atividade acadêmica onde ingressou na Universidade Trinity Colege, onde desenvolveu
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seu conhecimento. Apesar de ser conhecido como um grande matemático não era a
matemática que chamava sua atenção e sim a química.
Naquela época não existiam livros dirigido aos alunos de graduação destinados ao
estudo da matemática pois o curso de matemática também não era oferecido no nível de
graduação, era preciso que os mestres auxiliassem no estudo. Quando Newton chegou a
Universidade sua orientação foi atribuída ao professor Barrow em sentido informal já que essa
orientação ainda é um mistério.
Apesar de ter Barow ao seu lado Newton aprendeu a matemática através dos livros
fazendo anotações e se comunicando com outros estudiosos através de correspondências,
sendo então considerado um autodidata, logo depois que se graduou o Trinity Colege em
Cambridge foi fechado pelo receio de uma infecção durante os anos da peste que invadia
Londres, foi quando Newton voltou para sua casa e a partir daí formulou as suas principais
descobertas.
Durante boa parte de 1665-1666, logo depois de Newton ter obtido seu grau
A.B. Trinity College foi fechado por causa da peste, e Newton foi para casa
para viver e pensar. O resultado foi o mais produtivo período de descoberta
matemática jamais referida, pois foi durante esses meses, Newton mais tarde
afirmou, que fez quatro de suas principais descobertas: (1) o teorema
binomial, (2) o cálculo, (3) a lei de gravitação e (4) a natureza das cores.
(Boyer, 2002, pág. 287)
O primeiro, teorema binomial, foi descoberto por volta dos anos 1664 ou 1665 por
Newton, logo depois enviou para o secretário da Royal Society, Henry Oldenburg, onde fez a
publicação e deu todo crédito a Newton. Depois que foi divulgado o teorema binomial de
Newton ficou claro que os outros matemáticos conheciam a sucessão dos coeficientes, pois
com Newton a notação usada foi bem diferente, o que facilitou e pôde se estender para
problemas das séries infinitas.
O problema das séries infinitas se estendeu por um longo período, realizando muitas
tentativas, onde iniciou fazendo tentativas relacionadas à geometria examinado as áreas para
expoentes inteiros.(BOYER,2002)
O cálculo uma das mais importantes descobertas de Newton ocorreu entre os anos de
1665 e 1666, sendo que o primeiro contato com o cálculo de Newton foi no ano de 1687 na
sua obra chamada Philosophiae naturalis principia mathematica, que segundo Baron foi
12
considerado como o livro que divulgou a física e a astronomia numa linguagem geométrica
definindo os limites de uma função não sendo simples expressar as idéias de Newton.
Baron relata também a idéia de expressar as operações newtonianas em termos de
limite, refletindo a idéia que Newton usou para descrever parte da derivada que consiste no
tema muito discutido até hoje o “problema” da reta tangente discutido de forma geométrica se
reduz a inclinação da reta tangente a curva, como Newton no cálculo não estudou apenas
derivada mas também a integral.
A integral ele faz referência a ela ainda na obra Philosophiae naturalis principia
mathematica e no A quadratura de curvas(1693), com notações que onde exemplificam cada
passo explica como chegou a analise nos termos de sua linguagem, sendo considerado esse
evento como seu primeiro pronunciamento, ficando evidente que não foi o primeiro a
diferenciar e integrar mas sua descoberta foi em relação a construção de notações que
consolidam a idéia do Cálculo diferencial e integral.
A lei de gravitação surgiu de uma história curiosa e ainda hoje muito comentada, certo
dia Newton adormeceu embaixo de uma arvore e acordou com uma maça que caiu em sua
cabeça em seguida começou a estudar a trajetória da maça, e fazer relação entre a maça e a lua
se perguntado o porquê da Lua não cair da mesma forma que a maça. A partir dessa relação
ele formulou a lei da gravitação.
A natureza das cores foi estudada por Newton e formulou concepções bem diferentes
dos outros estudiosos da época em relação a luz branca, que todos acreditavam ser uma luz
pura que todas as outras cores eram gerados por meio da luz branca. Newton concluiu, diante
de algumas análises que a luz colorida era pura e não a luz branca, como disse GUILLEN:
Todavia, Newton chegara a uma conclusão completamente diferente ao
observar a imutabilidade da cor da luz colorida quando passava através de
qualquer parte do prisma; a luz vermelha mantinha-se vermelha, a luz azul
mantinha-se azul e assim por diante. Era evidente, concluiu, que a luz
colorida (e não a branca) era pura e imutável. De fato, esta última aparentava
ser composta por todas as outras cores, tal como sugeria o fato de produzir o
arco-íris. (GUILLEN, 2004, p.46)
Depois dessa descoberta Newton fez relatórios que foi muito criticado e não foi aceito
isso afetou a sua permanência com à Real Sociedade pedindo sua demissão, alegando a
distância da sede da instituição. Apesar de todos esses problemas com a publicação da
natureza das cores os outros trabalhos de Newton demoraram a ser publicado atrapalhando o
13
desenvolvimento do cálculo, pois Newton adotou uma notação para seus cálculos que ajudou
a desenvolver o calculo diferencial e integral e também as pesquisas matemáticas(BARON).
O desenvolvimento do cálculo naquela época não ocorreu apenas por Newton mais
teve várias outras contribuições e Leibniz foi um grande pensador que ajudou e contribuiu
bastante sendo algumas vezes comparado com Newton como grande contribuinte do calculo
diferencial e integral.
1.3 Vida de Gottfried Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu na cidade de Leipniz onde começou seus estudos
muito cedo, aos quinze anos estava na Universidade quando estudou várias ciências se
tornando filosofo, cientista, matemático, diplomata e bibliotecário, com 17 anos obteve grau
de bacharel em direito. “Estudou teologia, direito, filosofia e matemática na universidade, e às
vezes é considerado o último sábio a conseguir conhecimento universal.” (Boyer, 2002, pág.
292 e 293)
Logo depois aos vinte anos obteve o grau de doutor na universidade de Altdorf em
Nuremberg, depois de ter sido rejeitado pela universidade de Leipniz por causa da pouca
idade, logo após isso Leibniz seguiu a carreira de diplomacia depois de ter rejeitado a
proposta de ser professor de direito na Universidade de Altdorf, prestando serviços para um
dos estados alemães. “Subsequentemente, ele seguiu a carreira de leis e em política
internacional, atuando como conselheiro de reis e príncipes” ( Howard Anton, 2003, pág. 11).
Na sua viagem a Paris (1972) surgiu o interesse pela matemática, pois a missão
diplomática a qual foi enviado deixou espaçoso tempo para que procurasse outras atividades,
onde conheceu o conselheiro holandês Huygens que serviu de motivação ao estudo da
matemática para Leibniz pois foi o primeiro cientista natural e matemático na época no
continente Europeu.
Em Londres (1973) foi enviado para outra missão diplomática onde conheceu a
Sociedade Real se tornando sócio nos anos seguintes onde teve mais acesso as obras de
grandes matemáticos, sendo sugerido a ele as obras de Pascal e Barow, que serviram para
influenciar seus primeiros conceitos que teve em relação à matemática e ajudando-o nos
estudos posteriores que foram considerados mais significativos para o desenvolvimento da
matemática, criando a máquina de calcular a qual fazia operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão e foi depois disso durante as suas duas visitas a cidade de Londres o
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cálculo tomou forma para Leibniz, com a ajuda das grandes obras que ele estava pesquisando
e também de seus amigos pensadores da época.
O cálculo foi uma das maiores contribuições que Leibniz fez para a matemática, mas
não foi só isso que ele fez, como diz Baron:
Depois da invenção do seu cálculo, Leibniz contribuiu com seu
posterior desenvolvimento através da publicação de muitas técnicas,
tais como: o uso dos coeficientes indeterminados, a determinação dos
contornos, a integração das funções racionais mediante as frações
parciais e a chamada “regra de Leibniz”. Ele também ativo em outros
campos da matemática: projetou construiu uma máquina calculadora
que executava a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão.
(Baron, unidade 3, 1985, pág. 41)
Leibniz não teve a matemática como a única ciência que estudou como já foi dito,
lançando um livro em 1966, Dissertatio de Arte Combinatória, expondo o modelo teórico da
teoria da computação. Era filho de pais protestante que no decorrer de sua vida se converteu
ao catolicismo onde ocupou o cargo de Duque de Hanôver, tentando unificar a religião
católica com a protestante, como diz Baron sobre alguns dos interesses de Leibniz:
Com toda essa diversidade de contribuições no campo
matemático, esse era somente um dos muitos interesses que Leibniz
tinha. Ele muitas vezes tem sido considerado um erudito universal,
pois se interessava por diversos campos de estudo, tais como a
história, a religião, a política, a história natural, a geologia, a física, a
mecânica, a matemática e a tecnologia. ( Baron, unidade 3, 1985, pag.
41 e 42)
Voltando ao cálculo que foi a principal de suas descobertas, as notações e simbolismo
que Leibniz usou facilitou o reconhecimento de alguns processos e operações como a
derivação e a integração, com símbolos para derivadas dx e dy como sendo a diferencial e as
integrais que são: ∫ ( s estilizado de calígrafo) e d (para a soma).
As diferenciais de Leibniz consiste em determinar a diferença infinitamente pequena
entre valores consecutivos de uma variável, ou seja, quando traçada uma curva no plano
cartesiano com eixo (x,y) temos que se a variável for x a distância infinitamente pequena será
dx e se a variável for y a distância infinitamente pequena será dy, sendo que para cada
distância podemos formar um triângulo dx,dy e ds sendo ds o comprimento da distância do
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arco, que é obtido pelo prolongamento de uma reta que um ponto do arco que é a reta
tangente, conforme demonstrado no gráfico 1.1 a seguir:
ds
dy
y dx
Gráfico 1.1
As integrais de Leibniz também tem contexto geométricos olhando no gráfico 1.1 se
somamos a área dos retângulos que temos abaixo da curva chegamos então a área da curva,
essa é a integral de Leibniz.
Suas descobertas foram publicadas após alguns anos pois Leibniz ainda esperava
publicações de alguns pensadores, pois o método que ele trabalhava ainda tinha suscetíveis a
contestações pelo fato de se trabalhar com quantidades infinitamente pequenas o que ocorreu
no periódico cientifico da Alemanha(BARON,1985).
1.4 Conclusão da vida Newton e Leibniz.
As contribuições de Newton e Leibniz, foi o que mais ajudou para que o cálculo se
desenvolvesse sendo Leibniz o primeiro a divulgar suas descobertas e Newton publicou 20
anos depois da publicação de Leibniz por dificuldades que encontrava pra a publicação,
refletindo em disputas para quem teria “descoberto” o cálculo, causando problemas que
prejudicaram as pesquisas.
O conflito foi extremamente infeliz, pois a notação inferior de Newton
estorvou muito o desenvolvimento da Inglaterra e o continente, por sua vez,
perdeu os proveitos de suas descobertas em astronomia e em física por
aproximadamente 50 anos. (Howard Anton, 2003, pág. 10).
Mesmo com esses fatos não diminuem a grandeza da contribuição de Newton e
Leibniz, que ocupam lugar de prestígio na história da matemática em degraus mais altos que
seus predecessores como Pascal, Barrow, entre outros. O fato de compreenderem novas
dotações e símbolos ao cálculo que auxiliaram a sua utilização em novos métodos.
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O desenvolvendo o teorema fundamental do cálculo, que segundo Guidorizzi diz: “Se
b
f for integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], então: ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
” (Guidorizzi,2001, pág. 306), foi dentre esse e outros fatores que Baron relata o titulo de
inventores do cálculo destacando o desenvolvimento coerente de cada parte das suas
descobertas, que segundo Baron baseia em três considerações:
Os vários métodos infinitesimais do predecessores de Newton e Leibniz
eram muitos restritos (eles muitas vezes foram aplicáveis somente para
classes especiais de curvas) e não foram conhecidos como interrelacionados. Leibniz e Newton criaram um sistema coerente de métodos a
fim de resolver problemas de curvas (quadraturas, tangentes, etc.). Seus
métodos não dependeram da natureza especial das curvas tratadas. Portanto
o alcance desses métodos foi mais amplo do que o dos métodos anteriores.
Através de Newton e Leibniz os métodos infinitesimais chegaram a formar
uma teoria coerente e poderosa. Em resumo, foi a obra deles que permitiu
falar em cálculo pela primeira vez.
A coerência dos sistemas de Leibniz e Newton foi atingida devido ao
reconhecimento do teorema fundamental do cálculo: a relação inversa entre
diferenciação e a integração. Através dele reconheceu-se o relacionamento
recíproco entre os problemas de quadraturas e tangentes, que foram
considerados como problemas separados.
Newton e Leibniz inventaram um sistema de notações e de símbolos pelo
qual podiam aplicar analiticamente seus novos métodos, quer dizer, pelo uso
de formulas ao invés de figuras e a sua descrição verbal por argumentos
geométricos. Seus métodos foram explicitados na forma de um algoritmo
claro e simples, um aparato de regras de calculo para fórmulas.
( Baron,
unidade 3, 1985, pag. 69)
Fazendo referências a esses fatos, ou seja, um pouco da história do cálculo
diferencial e integral, pode-se verificar que juntos inventaram uma simbologia própria que
auxilia no desenvolvimento do calculo e auxiliando no aperfeiçoamento do raciocínio lógico.
Desenvolvendo a curiosidade e aumentando a capacidade de pesquisa dos conceitos e como
são usadas e quais suas aplicações seja na área da Matemática, Física, Biologia entre outras
ciências.
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CAPÍTULO 2 – CONCEITOS DE DERIVADA E INTEGRAL
Neste capítulo será descrito sem muita rigidez algébrica a Derivada e a Integral sem
esquecer a origem geométrica dos dois conceitos evidenciando os principio que nortearam
cada problema resultando nos princípios básicos e técnicas de resolução. Possibilitando uma
grande variedade nas aplicações e não esquecendo o objetivo de mostrar os conceitos do
conteúdo que foi mostrado no capitulo 1.
2.1 Derivada
A derivada que teve seu desenvolvimento mais aprimorado a partir do século XVII
motivada pelo problema de traçar uma reta tangente a uma curva de uma função, isto na
origem geométrica, podendo ser usadas em outras situações como nos fenômenos físicos que
é estudado como a taxa de variação.
Já sabendo da origem geométrica e que intuitivamente a direção da curva é indicada
pela tangente que passa por um ponto da curva, determinado pelo coeficiente angular, que vai
ser explicado posteriormente.
Y
N
M
)θ
P
)θ
x
Gráfico 2
Sendo a direção definida pelo coeficiente angular, podemos escrever que o coeficiente
angular é o quociente dos catetos, ou seja,
do gráfico 2 logo o ângulo da tangente
trigonométrica que é formada pela reta com a parte positiva do eixo das abscissas.
Como forma de exemplificar a derivada, vamos considerar uma função = (),
conforme o gráfico 2.1, e tomando um ponto (, ()), a reta que passa pelo ponto intercepta
dois pontos na curva e é chamada de reta secante, conforme dito logo acima.
18
= ()
y
(, ())
)
x
Gráfico 2.1
O ângulo θ, coeficiente angular, é formada pela variação (∆) de e , ou seja,
− ∆
=
− ∆
Conforme o gráfico 2.2, conhecemos apenas um ponto da reta tangente o que não é
suficiente para calcular de forma direta o coeficiente angular. De modo que deveremos
construir outras retas que sejam secantes à curva para construir aproximações da reta
tangente, e que os pontos das retas secantes sejam próximos ao ponto dado inicialmente.
y
= ()
(, ())
x
Gráfico 2.2
Como mostra o gráfico 2.3, pode-se construir retas secantes aproximando da reta
tangente, isto também intuitivamente nos leva a pensar que calculando o coeficiente angular
das retas secantes podemos nos aproximar do coeficiente angular da reta tangente, conforme
aproximações podemos construir o seguinte gráfico traçando uma reta, que a chamaremos de
, para obter o coeficiente angular.
19
= ()
y
+ ∆
( + ∆, ( + ∆))
)
(, ())
+ ∆
x
Gráfico 2.3
Coeficiente angular da reta secante:
∆ ( + ∆) − () ( + ∆) − ()
=
=
+ ∆ − ∆
∆
Temos então que quando ( + ∆) tende a , o coeficiente angular da reta secante se
aproxima do coeficiente angular da reta tangente e quando ∆ se torna infinitamente pequeno,
ou seja, quando ∆ se aproxima de zero se acaba o problema da tangência, essa passagem ao
limite da função no ponto denomina derivação e pode ser escrito da seguinte forma:
∆→
Exemplo:
∆
∆
=
ou ´ ().
O espaço percorrido por um corpo que cai a partir do repouso, de uma altura qualquer
é dado por = 4,9! , onde é medido em metros de cima para baixo a partir da posição
inicial, e ! é medido em segundos. Achar a velocidade após 3 segundos de queda.
Para iniciar a resolução é preciso saber o que está acontecendo no problema, vejamos
por meio da figura 2:
Posição
! = 3" Posição (3 + ∆!)"
Figura 1
∆"
20
Iniciando o problema temos que mostrar a velocidade média do corpo em queda livre
quando ! = 3".
Para ! = 3":
para ! = 3 + ∆!:
= 4,9(3) = 44,1
= 4,9(3 + ∆!) = 44,1 + 29,4∆! + 4,9∆! para saber o espaço percorrido tomemos ∆" = − iniciando em ! = 3"
∆" = 29,4∆! + 4,9∆! com isso temos que a velocidade média corresponde ao intervalo ∆! é:
∆"
= 29,4 + 4,9∆!
∆!
(1)
Neste caso ∆! não pode ser igual a zero, pois não teria sentido já que o lado esquerdo
da expressão (1) ficaria
o que causaria indeterminação o que não teria significado algum
para este tipo de expressão, mas podemos atribuir valores para ∆! cada vez menor para chegar
na velocidade média. Para obter a expressão (1) não foi utilizado nenhum sistema formal para
atribuir esses valores, e podemos verificar que a velocidade média quando ∆! é cada vez
menor conforme tabela 1:
3 + ∆!
0,01
3,01
0,2944
29,44
3,001
0,0294049
29,4049
1,00
4
0,005
3,005
0,0001
3,0001
0,001
∆"
∆"
∆!
∆!
34,3
0,1471
0,00294004
34,3
29,42
29,4004
Tabela 1: resultados obtidos na substituição dos valores na equação
Conforme a tabela pode-se verificar dois tipos de comportamentos quando tomamos
∆! cada vez menor, a primeira e a terceira coluna tem comportamentos parecidos, pois quando
se toma ∆! menor ∆" também se torna cada vez menor. Já a segunda coluna (3 + ∆!) se
aproxima de 3 e na quarta coluna ele se aproxima de 29,4 isso quer dizer que:
∆"
− 29,4 = 4,9∆!
∆!
Aproxima de zero, então podemos dizer que:
21
2.2 Integral
∆"
= 29,4.
∆&→ ∆!
O cálculo Integral está ligado ao problema de calcular áreas em regiões do plano, onde
está presente à muitas aplicações como vai ser visto no capítulo 3 do presente trabalho. O
cálculo da área de regiões como o retângulo, triângulo e paralelogramo, ou seja, regiões cujos
os limites são definidos por linhas retas são também facilmente calculados por outros
conceitos que não necessitam do uso da integral, como mostra as figuras 2, 2.1 e 2.2. Mais
isso fica mais difícil quando os limites são desconhecidos ou são definidos por curvas, a partir
disso a integral é bastante útil.
W
L
A = LW
Figura 2
A1 A 2 A 3
h
b
A=
1
bh
2
A = A1 + A2 + A3
Figura 2.1
Figura 2.2
Para exemplificar suponhamos uma função f ( x ) , contínua e positiva num intervalo, e
que a e b, ( a < b ), sejam dois valores deste intervalo, então a área em questão é delimitada
em cima pela curva f , as laterais pelas retas x = a e x = b , e embaixo, pela porção do eixo
dos x compreendida entre os pontos a e b , conforme gráfico 2.4.
Fab
a
Gráfico 2.4
b
x
22
Onde Fab é definida como a área da função f ( x ) entre os limites a e b , para calcular
essa área temos que dividir o eixo x em n intervalos.
Definição (Soma de Rieman): uma partição P de um intervalo [a, b ] é um conjunto
finito P = {x0 , x1 , x2 ,..., xn } onde a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b uma partição P de [a , b ] em
n intervalos [ xi −1 , xi ] , i = 1, 2, 3, ..., n. A amplitude do intervalo [ xi −1 , xi ] será indicado por
∆xi = xi − xi −1 , assim:
∆x1 = x1 − x2 , ∆x 2 = x 2 − x1 , etc, como mostra o gráfico 2.5.
(Guidorizzi,2001)
y
a = x0 x1
x2
x3
x4
x5
x6
Gráfico 2.5
A área sendo então a soma dos retângulos, será denotada pelo sinal de integral “ ∫ ”,
que foi introduzido por Leibniz no século XVII como foi dito no capítulo anterior, sendo
indicada então pelo símbolo,
b
∫ f ( x)dx,
a
onde dx é a base infinitesimal, a variação do eixo x, a soma desses retângulos é chamada de
Somas de Rieman, que já foi definida anteriormente e pode ser escrito pela equação,
n
∑ f (c ) ∆x
i =1
i
i
= f (c1 ) ∆x1 + f (c 2 ) ∆x 2 + ... + f (c n ) ∆x n .
Conforme a definição de Somas de Rieman de f1 relativa a partição P e aos números
ci . Calculando a área do retângulo “ Ri ” como
f (ci ) ∆xi delimitado pelas retas
x = xi −1 , xi e y = f (ci ) .
A soma desses retângulos, visto geometricamente, forma-se duas figuras sendo a
primeira limitada pelos degraus inferiores, ou seja, abaixo da curva que tem a área no máximo
23
b
igual à área da
∫ f ( x) . A segunda figura é limitada pelos degraus superiores, ou seja, acima
a
b
∫ f ( x) , tendo então a seguinte relação,
da curva que no mínimo tão grande quanto
a
*
( ) ≤ ( ()) ≤ ( )
+
,
( ) ≤ ( ()) ≤ ( )
*
.
(- ) ≤ ( ()) ≤ ( )
,
0
(/ ) ≤ ( ()) ≤ (- )
.
.
.
(1 ) ≤
.
2
( ()) ≤ (1 − )
2 3+
somando essas desigualdades, temos que:
2
( ) + ( ) + (- ) + ⋯ + (1 ) ≤ ( ()) ≤ ( ) + ( ) + ⋯ + (1 − )
+
xn
Sendo então
∫
x0
n
f ( x)dx , que é igual lim ∑ f ( x ) ∆ i x se o limite existir, o cálculo que
∆ →0
i =1
mais se aproxima da área real abaixo da curva, lembrando que quanto mais se constrói
retângulos, tendendo a sua base igual a zero, a soma aproxima a um limite onde o seu valor é
denominado integral definida da função f ( x ) . (Ávila, 2000)
Exemplo:
3
Ache o valor exato da integral definida
∫ x dx .
2
1
resultado.
Interprete geometricamente o
24
Solução
Considerando uma parte regular do intervalo fechado [1,3] em finitos subintervalos.
Temos então a variação da base que é ∆x =
2
, onde n é a quantidade de partições que forem
n
feitas. Se escolhermos uma parte regular ξ i como o extremo direito da cada subintervalo,
teremos;
2
n
2
n
2
n
2
n
2
n
ξ 1 = 1 + , ξ 2 = 1 + 2 , ξ 3 = 1 + 3 , ..., ξ i = 1 + i , ..., ξ n = 1 + n 
como a função f ( x) = x 2 , e substituindo temos;
 2i 
f (ξ i ) = 1 + 
n

2
 n + 2i 
f (ξ i ) = 

 n 
2
Usando a definição de integral definida se o limite existir, aplicando os teoremas de
somatório, nos cálculos de áreas para regiões curvas temos;
1
; + 2 2
( ) = lim 9 :
<
1→8
;
;
-
=>
1
= lim 9 ?
1→8
=>
1
; + 4; + 4 2
@
;
;
= lim 9(; + 4; + 4 )
1→8
=>
1
= lim 9(; + 4; + 4 )
1→8
=>
1
2
;-
2
;-
2
= lim - 9(; + 4; + 4 )
1→8 ;
=>
1
1
1
=>
=>
=>
2
= lim - A; 9 1 + 4; 9 + 4 9 B
1→8 ;
(; + 1)(2; + 1)
2 ;(; + 1)
C; ; + 4;
+ 4;
E
1→8 ;
2
6
= lim
2 2;(2; + 3; + 1)
C;
+
2;
+
2;
+
E
1→8 ;3
= lim
25
4 8; + 12; + 4
= lim C6 + +
E
1→8
;
3;
= lim G6 +
1→8
-
( ) =
4 8 4
4
+ + + H
; 3 ; 3;
26
3
Como x 2 ≥ 0 para todo em [1,3] , a região limitada pela curva y = x 2 pelo eixo x
pelas retas x = 1 e x = 3 ,é.
9
1
1
x
sua área é
3
Gráfico 2.6
26
unidades quadrados, conforme gráfico 2.6.
3
26
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
3.1 Lançamento Oblíquo de um Projétil.
De acordo com os critérios observados por Halliday,1996 vamos supor um canhão
antitanque localizado a certa distância do inimigo lança bombas com um ângulo de inclinação
θ 0 a uma velocidade inicial v0 (ver figura 3 e 3.1). Despreze o efeito de retardamento do ar e
obtenha a função da posição y (t ) para o movimento vertical.
Figura 3
Figura 3.1
Solução: Antes de começar a resolver o problema, vamos primeiro fazer algumas
considerações;
i. a aceleração da gravidade próxima a superfície da terra é aproximadamente
constante, a = − g ,
π
ii. o ângulo de lançamento é θ ∈ (0, ) ,
2
iii. vamos desconsiderar a altura do canhão.
A velocidade inicial de lançamento pode ser decomposta em duas componentes, uma
na horizontal e outra na vertical, como segue,
IJ
y
I
θ
v0 x
Gráfico 3.1
onde
x
27
v 0 x = v 0 cos θ 0
v 0 y = v 0 sen θ 0 .
Como
a
aceleração
da
gravidade
é
supostamente
constante
(movimento
uniformemente variado) para o movimento na vertical, temos,
I − I
= K,
!
ou
I (!) = I + K!,
como a = − g , e v 0 y = v 0 sen θ 0 , assim,
I (!) = I "L; − M!.
O movimento na horizontal é constante com o tempo, somente v y varia com o t . O
gráfico da figura abaixo mostra o comportamento da função v y (t ) . O tempo para o projétil
atingir a altura máxima (! ) é obtido fazendo v y = 0 ⇒ t M =
v0 y sen θ 0
g
.
v y (t )
v 0 y sen θ 0
vy
t
tM
t
Gráfico 3.2
Escolhendo um tempo t qualquer do movimento e utilizando a definição de integral
como cálculo de área, a integral do modelo v y = v 0 y sen θ 0 − gt sob a curva v y (t ) acima é
&
N = (OI "L; − M!P)!,
&+
onde os limites t 0 e t , são respectivamente, o instante inicial do lançamento e um tempo
posterior qualquer. O cálculo de A na integral acima nos fornece a função posição y (t ) do
movimento (Halliday, 1996). Assim,
(!) = + QI "L; R! −
M! ,
2
onde y 0 é a posição vertical ocupada pelo projétil no instante t 0 .
28
Como estamos desconsiderando a altura do canhão e supondo ainda que o projétil seja
lançado no instante zero, portanto a função acima resulta,
M! 2
Como estamos desconsiderando a força de resistência do ar, logo o movimento do
(!) = QI "L; R! −
projétil na direção do eixo x é descrito por,
(!) = + (I ST" )!,
que é a descrição de um movimento uniforme na direção x . Isolando t nesta última e
substituindo em y (t ) acima, temos, depois de um pequeno arranjo, chegamos em,
= (!K; ) − :
M
< .
2(I ST" )
Observe que está ultima equação se assemelha a função quadrática = K + U ,
onde os termos entre parêntese, , I L M são constantes dadas no problema. Esta equação é
chamada de equação da trajetória do projétil, que descreve próximo a superfície terrestre o
movimento parabólico de um projétil. Fato que podemos falar de um “casamento” da física
com a matemática, isto é, fisicamente observamos um movimento curvo de uma parábola
descrita pelo projétil e a matemática nos diz “sim” mostrando através da equação da trajetória.
3.2 Forças de Retardamento.
Muitas questões em física principalmente no tratamento de movimento de objetos ou
queda na atmosfera ou em superfícies planas, as força de resistências como o atrito
aerodinâmico, na maioria dos casos não são consideradas. Isso remete ao fato que em geral a
força de resistência ser uma função complicada de modelar. Mas para certos valores de
velocidade, as forças de retardamento pode ser escrita de forma aproximada, através da
relação
F = − km v n
3.2.1
onde k é uma constante positiva que depende do formato do objeto e do próprio meio onde o
objeto se move, m é a massa do objeto, e o sinal (-) indica que a força é contrária ao
movimento. Verifica-se através da experiência que para objetos relativamente pequenos
movendo-se através da atmosfera com velocidades menores que algo em torno de 24 m / s
que n ≈ 1 . Para velocidades maiores a força de resistência é melhor descrito por n ≈ 2 .
29
Vamos agora resolver um problema prático com base nos conceitos da equação 3.2.1 e
na lei de movimento vetorial de Newton, que diz que a resultante de todas as forças que agem
sobre um corpo é igual à massa desse corpo vezes sua aceleração. Expressando em linguagem
matemática, essa lei é,
9VJ = KJ
Exemplo. Uma lancha movendo-se através de um lago, de repente o motor desliga e a
lancha então passa sofrer uma desaceleração. Obtenha uma função que nos fornece de modo
razoável a velocidade de retardamento ν (t ) e a função posição x(t ) que descreve a lancha
considerando que a força de retardamento do meio é igual )I⁄)! = −WI onde k é uma
constante e m a massa do barco.
Solução. Considerando o movimento ao longo do eixo x , a equação de movimento é
dada por,
− kmv 2 = m
dv
,
dt
onde aplicamos a lei de Newton escrevendo ma = m
3.2.2
dv
, lembrando que o sinal (-) indica que
dt
a força é contrária a velocidade. Da equação 3.2.2 podemos escrever
(
integrando ambos os lados,
)I
= −W ( )!.
I
− v −1 = − kt + C1 .
A constante de integração C1 pode ser obtida a partir do valor da velocidade inicial.
Supondo v(t = 0) = v 0 temos C1 = −1 / v0 , assim,
1 1
=
+ kt ,
v v0
ou
v(t ) =
v0
,
Kt + 1
3.2.3
onde fizemos K = v 0 k . Esta equação 3.2.3 pode ser integrada para obter x como função do
tempo:
v=
v
dx
= 0
dt Kt + 1
30
x = v0 ∫
dt
+ C2 ,
Kt + 1
integrando e determinando o valor de C2 a partir do valor inicial de x . Supondo que
x (t = 0) = 0, temos que C 2 = 0 , e, portanto,
x (t ) =
1
ln( Kt + 1)
K
3.2.4
Podemos explorar um pouco mais a equação 3.2.4 da velocidade em função da posição
da lancha, isto é,
v0
= Kt + 1 ,
v
substituindo em x(t ) , chegamos que,
v( x ) = v 0 e − Kx .
As funções obtidas v(t ) e x(t ) estão em concordância com a situação inicial
considerada, v(0) = v0 e x(0) = 0 . Outro ponto a ser interpretado é a situações limite para o
caso em que t → ∞ , em termos gráficos, v(x ) varia segundo uma hipérbole tendendo
assintoticamente para zero para este caso limite. Enfim a expressão v ( x ) = v 0 e − Kx nos permite
fazer uma avaliação melhor do movimento, para grandes valores de x , a velocidade tende a
zero ( v → 0 ) o que está de acordo com nossa interpretação inicial da velocidade para situação
limite considerado acima. Ainda se considerarmos K ≈ 0 , o que corresponderia desconsiderar
as forças de retardamento causado pela água (o que não é verdade!), teríamos então que no
momento em que o motor da lancha fosse desligado a lancha movimentaria com a velocidade
no qual ela se encontrava, isto é, v0 ; o que está também de acordo com ambas as expressões
de v(x ) em que K ≈ 0 .
3.3 Lei do resfriamento de Newton (Instante da morte)
Conforme conceitos descritos no trabalho de Denise Borges Sias a lei do resfriamento
de Newton ela é baseada no equilíbrio térmico, ou seja, quando um corpo é exposto a uma
temperatura ambiente que seja menor do que a temperatura do corpo ele tende a resfriar até
atingir uma temperatura que seja igual ou aproximada da temperatura do ambiente que está
inserido.
31
Já sabemos que o corpo tende a resfriar e aproximando da temperatura ambiente então
basta saber a taxa que o corpo tende a se resfriar, mas isso depende de alguns fatores que são:
a diferença de temperatura, a superfície que é exposta, o calor específico, as condições do
ambiente e o tempo que o corpo esteve exposto com a temperatura. Todas essas condições são
representadas pela equação diferencial:
onde:
) = −Y( − Z[ ))!
3.3.1,
) → É a variação de temperatura sofrida pelo corpo,
W → É o coeficiente de proporcionalidade que depende do corpo e do ambiente,
→ É a temperatura inicial do corpo,
Z[ → Temperatura do ambiente e
)! → É a variação do tempo.
Podendo também ser escrito da seguinte forma:
\
e
\
&
&
= −Y( − Z)
3.3.2 ,
representa a variação de temperatura em ralação ao tempo. O sinal de negativo quer
dizer que o corpo é mais quente do que o ambiente em que esta inserido, ou seja,
que zero quando ( − Z) for maior que zero.
\
&
é menor
Diante de tudo o que já foi citado sobre a lei de resfriamento de Newton, admitiremos
uma determinada situação para que possamos compreender e analisar fisicamente.
Na cidade de Aripuanã - MT a Polícia Militar recebeu um chamado informando que na
Avenida Dardanelos havia uma mulher caída no chão aparentemente morta. Uma guarnição
da Polícia foi até o local e verificou que a pessoa estava sem vida, a polícia então isolou o
local e colheu alguns dados para determinar que horas a mulher havia falecido, como é
demonstrado na tabela 2 abaixo.
Tempo
0hrs
2hrs
Temperatura
32℃
21℃
Temperatura ambiente: 20℃
Tabela 2: Dados colhidos no local do crime
32
A tabela nos mostra a seguinte condição, que no instante em que foi encontrado o
corpo a temperatura era 32℃ e duas horas após foi feita outra aferição e a temperatura do
corpo era 21℃, sendo que a temperatura ambiente era igual a 20℃.
Agora vamos analisar toda a situação para determinar o instante da morte, supondo
que a temperatura do corpo é igual a . E considerando um instante da morte tem que a
temperatura do corpo é igual convencional igual a ^ = 37℃.
Admitindo a eq.3.3.2 para esta resolução com a condição de (0) = , e sabendo que
o objetivo é conhecer quem é !^ , temos que:
(0) = Z + ( − Z)L 3_`
3.3.3.
O coeficiente de proporcionalidade, Y, não é conhecido e para determinar esse
coeficiente basta conhecer uma segunda medida da temperatura do corpo em determinado
instante ! pensando nisso temos = L ! = ! . Diante disso podemos determinar K pela
equação 3.3.3.
− Z = ( − Z)L 3_`
3.3.4,
aplicando logaritmo nesta função temos,
ln( − Z) = ln ( − Z)3_` 3.3.5
fazendo o uso da quarta propriedade de logaritmo que diz:
log d ^ = log d ,
temos então que:
Y=−
1 − Z
;
! − Z
3.3.6
onde , , Z L ! são conhecidos, para determinar !^ basta fazer ! = !^ L = ^ .
!^ = −
1 ^ − Z
;
Y − Z
3.3.7.
Agora diante da equação 3.3.6 e 3.3.7 temos condições de determinar o instante da
morte, com os dados colhidos no local conforme tabela 2.
Substituindo na eq. 3.3.6, temos:
1 21 − 20
Y = − ;
2 32 − 20
1
Y = − ;0,83
2
e substituindo na eq. 3.3.7:
Y ≅ 1,2424ℎ3
33
!^ 1
37 20
;
1,1513 32 20
!^ 1
;1,416
1,2424
!^ e 0,279f.
conclui-se
se então que o corpo foi
f descoberto aproximadamente 16 minutos depois da morte.
No nosso cotidiano podemos analisar essa lei em situações simples, que fazemos
fa
em
casa e pode-se
se verificar a aplicabilidade em experimentos como se tenta resfriar um liquido
muito quente passando de um recipiente para o outro na figura 3.2 , e também o uso de
serpentinas de pequeno
equeno diâmetro para se resfriar liquido ou gás, como é usado nas geladeiras
como mostra nas figurass 3.2 e 3.3.
Figura 3.2
Figura 3.3
3.4 Taxa de variação instantânea.
instantânea
A taxa de variação instantânea segundo Machado é uma das interpretações que a
derivada nos proporciona,, pois ela nos fornece uma idéia muito próxima da realidade em
determinado instante, juntamente com o problema de determinar uma reta tangente ao ponto a
variação instantânea também motivou a invenção do cálculo.
Quando dizemos no problema da reta tangente lembramos do que já vimos neste
∆
∆
trabalho que é lim∆ ∆
Tg ′ ,, e se utilizando dessa idéia encontraremos a taxa
∆
instantânea dada uma função fazemos com que limite da função tenda a zero para
pa encontrar o
que necessitamos,vamos supor uma situação ideal para que possamos analisar.
34
Vamos agora supor uma situação para que possamos verificar a aplicação em
economia, uma função é proposta para a demanda anual da produção de um modelo de telhas
é dada por:
h ij 0,01j − 2,4j + 144,
onde o preço h está em reais e o numero j em centenas de milhares de telhas. Determine a
taxa instantânea de variação de h em relação a j para uma demanda de 2 milhões de telhas.
A taxa de variação instantânea de h em relação a j é,
i′ (j) = 0,02j − 2,4
e para essa situação temos o caso particular que j = 20, a partir disso temos:
i′ (20) = 0,02.20 − 2,4 = −2.
E conclui-se que para uma demanda de 2 milhões de telhas, um aumento de uma
unidade na oferta de telhas corresponde a um aumento na produção de 100.000 telhas que
provoca uma queda no preço de R$ 2,00(dois reais).
3.5 plano inclinado
Podemos ver em várias situações físicas o sistema de plano inclinado como por
exemplo um esquiador que desce sob uma montanha, podemos a partir disso construir um
sistema para que possa descrever o movimento numa equação diferencial observados
conceitos de como Machado constrói o sistema.
Para construir esse sistema temos que analisar quais forças são aplicadas no corpo,
durante o movimento que mostraremos na figura 3.4.
lllJ
n
lllllJ
d&
lllJ
n
Figura 3.4
lJ é a força normal, mlJ é a resistência do ar, lllllJ
Onde k
d& é força de atrito, é a inclinação
do plano e nlJ é o peso do bloco.
35
O plano inclinado tem inclinação , e considerando um sistema de eixo , podemos
observar que o movimento do bloco pode ser feito em duas direções x e y, primeiramente
vamos decompor a força conforme o eixo.
n
n
n
cos =
n
"L; =
n = n"L; n = nST" Agora analisaremos o movimento nas duas direções, vamos primeiro na direção que
pode-se perceber que o bloco não flutua e nem entra no plano, portanto não há movimento na
direção y,ou seja, a força resultante na direção y é igual a zero.
Vqr = 0
9 Vqr = n − k
0 = n − k → k = n → k = nST"
Na direção x, o bloco desce sobre o plano e temos as seguintes forças atuando que é a
resistência do ar (mlJ = −sIJ), o atrito cinético (K! = tu k) onde tu é o coeficiente de atrito
cinético, para demonstrar o movimento na direção x temos que montar a equação diferencial
do somatório das forças na direção x.
llllllJ + mlJ
lllJ + K!
9 lllllJ
Vqv = n
temos nesta equação já definidos n , K!, m L Vqv .
)I
= M"L; − tu k − sI
)!
sendo ela linear e separável temos:
)I
1
= )!
M"L; − tu k − sI )I
1 &
(
= ( )!
wv M"L; − tu k − sI
wv
+
1
!
w
− ln (M"L; − tu k − sI )wvv =
+
s
; C
M"L; − tu k − sI
s!
E=−
M"L; − tu k − sI+
x&
M"L; − tu k − sI
= L3^
M"L; − tu k − sI+
x&
M"L; − tu k − sI = (M"L; − tu k − sI+ )L 3 ^
36
^
Temos que s L são constantes podemos então definir uma constante de tempo
y = , então podemos escrever a equação da seguinte maneira.
x
{
{
I (!) = x (M"L; − tu k) z1 − L 3| } + I+ L 3|
3.5.1
Agora podemos analisar essa equação que nos dá uma aproximação significativamente
próxima do que realmente acontece no sistema por se tratar de uma equação exponencial
podemos supor a seguinte situação quando ! ≫ y, a exponencial tende a zero, L 3∞ = 0,
portanto a função I (!) fica da seguinte forma.
I (! ≫ y) = x (M"L; − tu k)
3.5.2
Podemos chegar a conclusão que depois de algum tempo o bloco passa a se deslocar
em movimento retilíneo uniforme dentro dos limites do plano.
3.6 Crescimento populacional.
Um modelo matemático simples que fornece resultados aproximados, foi proposta por
Thomas Malthus em 1972 em seu trabalho (Sodré,2007) “Na Essay on the Principe of
Population”que foi proposta que, o número de mortes e nascimento é proporcional ao número
de habitantes presente no ambiente.
O modelo matemático que permite chegar a esse fenômeno populacional é:
)k
= Yk
)!
onde )k(taxa de indivíduos), )!(taxa do tempo), k(número de indivíduos) e Y(taxa
constante).
Para apresentar a aplicação do modelo matemático sobre crescimento populacional
vamos considerar N(t) com sendo o numero de indivíduos em instante t e a seguinte condição
inicial, k(0) = k . E por ser uma equação linear tem a seguinte solução:
sendo k a população inicial.
)k
= k L _&
k
3.6.2
Para obter a equação 3.6.2 basta aplicar a condição inicial, e por separação de
variáveis obteremos:
)k
= Y)!
k
onde a condição inicial é substituída neste resultado na integração da equação,
37
(
&
+
&
)k
Y ( )! k! k L _&
k
pela equação 3.6.2 podemos observar que quando Y > 0 a população tende a crescer e
expandir para o infinito e quando Y < 0 a população tende a diminuir chegando assim a sua
extinção após algum tempo.
Exemplo:
Em certa cultura, há inicialmente k bactérias. Uma hora depois, t=1, o número de
-
bactérias passa a ser k . Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias
presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
Solução: Como foi feito anteriormente temos que resolver a equação diferencial, 3.6.1,
-
que está sujeito a k(0) = k , com as condições iniciais do problema proposto k(1) = k
para determinar a taxa constante de proporcionalidade Y.
Sendo a equação separável e linear podemos colocar na seguinte forma:
)k
− Yk = 0,
)!
de acordo com a equação 3.6.2 o fator de integração é L 3_& , multiplicando a equação pelo
fator temos:
integrando a equação,
) 3_&
L k‚ = 0,
)!
L 3_& k = S Tg k(!) = SL _& .
Sabendo que quando ! = 0, k = S; e quando ! = 1 temos:
-
3
3
k = k L _ Tg L _ = ,
2
2
logo, Y = ln z} = 0,4055. Chegamos na seguinte função do crescimento do número de
bactérias,
k(!) = k L ./ƒƒ& .
Agora, podemos determinar o tempo necessário para que o número bactérias seja
triplicado.
3k = k L ,/ƒƒ&
resolvendo a equação temos:
!=
ln 3
≈ 2,71 …T†K".
0,4055
38
Diante dessa situação podemos falar que o crescimento é crescente e com o passar do
tempo a população de bactérias tenderá ao infinito podendo alterar de acordo com as
condições iniciais que altera o valor de Y.
39
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo deste trabalho foi realizar um estudo do desenvolvimento do cálculo
diferencial e integral aplicados em sistemas físicos podendo ser referência de alguns sistemas
formulados posteriormente.
O primeiro passo foi analisar contextos históricos mas sempre fazendo referência ao
desenvolvimento do cálculo diferencial integral e as definições foram expostas no capitulo 2,
nesse caminho chegamos nas aplicações, capítulo 3, com condições de analisar e desenvolver
os sistemas.
Paralelamente, demonstrando a eficiência do cálculo no desenvolvimento tendo
soluções diversas e satisfatórias com resultados aproximados. Depois de analisados todos os
aspectos matemáticos e suas aplicações que estão contidos neste trabalho podemos ver e
construir várias situações físicas que podem ser descritas matematicamente e não somente
nestes dois campos de atuação mais também em ciências como Economia, Química, Biologia,
Psicologia e muitos outros da atividade humana.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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