INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO
DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)
INTEGRAL DE LINHA E ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL
r
Seja um campo de velocidades v não uniforme em um meio homogêneo de
1
densidade ρ. Suponha que coloquemos no interior deste campo um tubo constituido
5
de trechos retilíneos, de seção reta constante o qual permite a passagem do fluido
2
4
sem o menor atrito. Suponha ainda que as paredes deste tubo são extremamente
porosas de modo que o fluido possa atravessá -las sem que sua velocidade seja
3
alterada significativamente.
Num determinado instante, por um processo que não nos interessa agora, as parede do tubo se fecham
de modo a não permitir a entrada ou a saida de fluido. Assim, durante um certo instante, o fluido que
estava no interior do tubo continua em movimento. A pergunta será: se não há atrito, haverá continuação
do movimento? Em outros termos, haverá ou não circulação do fluido?
Para respondermos a essa questão, devemos lembrar que este é um problema que envolve
r
choques, isto é, a massa de fluido contido no lado 1 e que tem velocidade v 1 se choca com a massa de
fluido do lado 2, e assim por diante. Para se estudar este tipo movimento escolhemos como ferramenta o
momento linear. Assim, se a soma das quantidades de movimento
p = m1 v1 + m2 v2+ m3 v3 cos θ3 - m4 v4 + m5 v5 cos θ5 ≠ 0,
podemos afirmar que haverá circulação. Observe que nos lados 3 e 5 o vetor velocidade não é paralelo ao
respectivo lado, de modo que somente a componente tangencial irá contribuir para a circulação.
Observe ainda que podemos reduzir mais ainda estes cálculos. Sabemos que mj = ρ Vj, onde mj
e Vj são a massa e o volume do lado j. Se A é a seção reta (constante) do tubo e l j é o comprimento do
lado j, então mj = ρ A l j . Definiremos, então a grandeza p/ ρ A como :
[circulação] = Γ = v1 l 1 + v2 l 2 + v3 l 3 cos θ3 - v4 l 4 + v5 l 5 cos θ5
Observe que podemos dispensar o recurso do tubo e trabalharmos apenas com os comprimentos,
isto é ,com as linhas. Vamos generalizar mais ainda nossos cálculos. Suponha que agora o vetor velocidade
forme um certo ângulo com cada lado. Neste caso, apenas a componente tangencial ( isto é, paralela ao
lado) da velocidade irá contribuir para a circulação. Esta componente vale vj cos θj, onde θj é o ângulo
r
formado entre o vetor v j e o vetor comprimento assim definido :
1
v1
l5
θ1
θ5
⎧módulo = compriment o do lado j
l1
r ⎪
⎪
lj = ⎨direção = paralelo ao lado j
v5
l4
θ4
⎪
⎪⎩sen tido = horário ou antihorário (arbitrário)
l2
v4
θ2
l3
θ3
(1)
v2
v3
Na figura acima definimos, arbitráriamente, o sentido horário como sendo positivo. Dessa forma a
circulação poder ser reescrita como
r r r r r r r r r r
Γ = v1 ⋅ l1 + v 2 ⋅ l2 + v 3 ⋅ l3 + v 4 ⋅ l4 + v 5 ⋅ l5
( É importante notar, na figura acima, como são definidos os ângulos θj. Note que θ1, θ2 e θ5 são agudos
r r
e os demais são maiores que 90o. Assim o termo v j ⋅ lj é positivo para os lados 1, 2 e 5 e negativo para os
r r
demais, uma vez que v j ⋅ lj = vj l j cos θj torna-se negativo para 90o< θj < 270o. )
Se tivermos agora uma curva fechada, constituida de N trechos retilíneos, com o campo de
velocidades assumindo um valor constante vj no trecho j, a circulação será definida como :
N
Γ=
∑
r r
v j ⋅ lj
j=1
1. Integral de linha
r
Considere uma curva fechada C dentro de um campo vetorial G . Para definirmos a
circulação seguiremos os seguintes passos :
G
a. Dividimos a curva C em pequenos trechos de comprimento Δ l j de modo que ele
seja aproximadamente retilineo e que o campo nesse trecho seja aproximadamente
C
constante.
r
b. Definimos o vetor Δ lj de acordo com a definição ( 1 ) acima.
N
c. A circulação será aproximadamente Γ ≅
∑
r
r
G j ⋅ Δ lj
j=1
r
d. Para encontrarmos o valor exato da circulação basta fazer o limite Δ lj → 0. Definimos assim a integral de
linha:
Γ=
∫
v r
G. d l = lim
Δl j → 0
N
∑
r
r
G j . Δ lj
j
e. A integral de linha também é definida para curvas abertas. A definição é a mesma, com duas pequenas
r
modificações. A primeira se refere à definição do sentido do vetor d l : neste caso costuma-se definir o
2
sentido positivo ao sentido da trajetória. A segunda modificação se refere à notação. Assim, para uma
trajetória sobre uma curva de extremidades A e B, a integral de linha será:
ΓAB =
∫
r r
G. d l
2. O Rotacional
O nosso problema agora, consiste em encontrar a propriedade da circulação num ponto e nas
r
suas vizinhanças. Seja uma curva C dentro de um campo vetorial G e um ponto P onde desejamos
encontrar a circulação. A primeira idéia que surge é a de fazermos a curva tender a zero e calcular a
circulação. Contudo, neste caso a circulação tenderá a um valor nulo já que ela é, grosso modo, o
campo vezes o comprimento da curva. O caminho correto é dividir a circulação pela área delimitada pela
curva e em seguida fazer o limite. Entretanto, para fazermos uma definição correta, devemos levar em conta
os seguintes aspectos :
• A curva C não necessariamente repousa sobre um
plano
e
assim
é
difícil imaginá-la
"envolvendo" o ponto P. Na realidade, sobre ela se apoiam infinitas superfícies que contém o ponto P.
Sendo assim, qual superfície devemos escolher para efetuar a razão ΔΓj /Δ A j (circulação dividida pela
área) ?
r
• Geralmente caracterizamos a superfície Δ A j por um vetor ΔA j , pois a orientação desta superfície
é bastante relevante. Esta orientação deverá ser levada em conta em nossa definição.
• Corpos em rotação são melhor descritos por vetores (velocidade angular, momento angular, etc.)
Como estamos trabalhando com caso semelhante - o rotacional - devemos encontrar, portanto, um vetor.
Em vista destas considerações, definimos um vetor rotacional:
∫
⎡
r
⎢
rotG = nˆ ⎢ lim
⎢ ΔA j →0
⎣⎢
r r⎤
G.d l l ⎥
⎥
ΔA j ⎥
⎦⎥
(2)
onde n̂ é um vetor unitário perpendicular à superfície Δ A j que torna a razão ΔΓj /Δ A j máxima. O sentido
de n̂ obedece, por definição, a regra da mão direita.
n
Exemplo : Se a curva C repousa sobre um plano, é fácil ver que o vetor n̂ é
perpendicular a este plano, já que a superfície que torna aquela razão máxima
pertence
C
a
este plano (pois é mínima quando
comparada
com
as
infinitas
superfícies que se apoiam sobre C).
3
a. Teorema de Stokes
Se dividirmos a superfície que se apoia sobre C em duas parte, obtemos 2
c2
∫
v r
G. d l , então Γ = Γ1
r
+ Γ2, uma vez que os vetores d l no trecho seccionado são iguais em módulo
c1
C
contornos fechados C1 e C2. Se a circulação em C é Γ =
e direção, mas tem sentidos opostos e se anulam mutuamente.
Se dividirmos a curva C ( ou , em outros termos, a superfície que se apoia sobre C - e isto vale para
qualquer superfície) em N partes, obtemos:
∫
r r
G. d l =
r
⎤
G.dl j ⎥
⎥.ΔA j
ΔA j ⎥
⎦⎥
r r
∑ ∫ G. d l = ∑ ∫
N
N
j
j
j
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
( 3)
Se multiplicarmos a definição de rotacional ( 2 ) escalarmente por n̂ , obtemos:
⎡
r
(rot G ). n̂ = ⎢
⎢
⎣
lim
ΔA j →0
r r
G
∫ .d ll ⎤⎥
ΔA j ⎥
⎦
(4)
Assim, se na expressão (3) fizermos o limite Δ A j → 0 , a expressão entre o parênteses é justamente
r
r
(rot G ). n̂ e a somatória, por definição, torna-se em integral de superfície. Sabendo-se que n̂ dA = dA ,
então:
∫
r r
G. d l =
∫
r r
(rot G).dA
b. O rotacional em coordenadas cartesianas
z
A definição de rotacional foi feita sem fazer menção a qualquer
n
sistema de coordenadas em particular. Veremos agora como
esta grandeza pode ser expressa em termos de coordenadas
cartesianas. Seja então a função vetorial:
r
r
r
v
G (x,y,z) = Gx(x,y,z) i + Gy(x,y,z) j + Gz(x,y,z) k
y
x
Para obtermos o rotacional dessa função, faremos uma
integração através de, por exemplo, um retângulo de lados Δx
e Δy como mostra a fugura ao lado.
Aplicando a regra da mão direita, veremos que o vetor n̂ , neste caso, coincide com o próprio vetor
r
de base k . A integral
∫
r r
G. d l pode ser calculada somando-se as contribuições de todos os lados, isto é:
Γ = Γ1 + Γ2 + Γ3 + Γ4
4
Por outro lado estamos supondo que as dimensões do retângulo sejam tão pequenas de modo que o
campo em cada lado seja aproximadamente constante e igual ao valor calculado em seu centro. Assim
r
r
podemos escrever Γ i = G i ⋅ Δ l i
r
y
Os vetores Δ l i serão escritos como:
3
r
r
r
r
r
r
r
r
Δ l 1 = Δx i Δ l 2 = Δy j Δ l 3 = − Δx i Δ l 4 = − Δy j
r
r
Assim Γ1 = G(1) ⋅ Δ l 1 = G x (1) Δx , onde Gx(1) é o valor da componente
r
x do vetor G no centro do lado (1). Mas
(x,y,z)
4
2
1
x
G x ( x, y, z) − G x ( x, y −
∂G x ∂y
Δy
, z) =
∂y 2
2
Observe que na expressão acima omitimos os termos de ordens superiores, uma vez que no limite
r
de Δ l → 0 eles serão nulos. Assim, usando a notacão Gi (P) = Gi ( x, y, z) , então
∂G x ∂y ⎤
⎡
Γ1 = ⎢G x (P) −
Δx
∂y 2 ⎥⎦
⎣
∂G y Δx ⎤
⎡
Γ2 = G y (2)Δy = ⎢G y (P) +
⎥ Δy
∂x 2 ⎦
⎣
∂G x Δy ⎤
⎡
Γ3 = −G x (3)Δx = − ⎢G x (P) +
Δx
∂y 2 ⎥⎦
⎣
∂G y Δx ⎤
⎡
Γ4 = −G y (4)Δy = − ⎢G y (P) −
⎥ Δx
∂x 2 ⎦
⎣
Somando-se todos os lados, obtemos
r r ⎛ ∂G y ∂G ⎞
x ⎟
G. d l =⎜⎜
−
⎟ Δx ⋅ Δy
∂
x
∂
y
⎝
⎠
r r
G ⋅ d l ⎛ ∂G y ∂G ⎞
x ⎟
então:
= ⎜⎜
−
∂y ⎟⎠
ΔA
⎝ ∂x
∫
. Usando ΔA = Δx ⋅ Δy
∫
r
Para o limite ΔA → 0 , teremos n̂ = k e
r r ⎛ ∂G y ∂G
x
(rotG) ⋅ k = ⎜⎜
−
∂
x
∂
y
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
r
o que nos dá a componente no eixo z do vetor (rotG) . Para
encontrarmos as outras componentes, seguimos o mesmo raciocínio e encontraremos finalmente:
r
∂G y
⎛ ∂G
(rotG) = ⎜⎜ z −
∂z
⎝ ∂y
⎞ v ⎛ ∂G x ∂G z ⎞ r ⎛ ∂G y ∂G x
⎟⎟ i + ⎜
−
−
⎟ j + ⎜⎜
∂x ⎠
∂y
⎝ ∂z
⎠
⎝ ∂x
⎞ r
⎟⎟ k
⎠
5
Podemos reescrever esse vetor através do operador nabla:
r
∂ r ∂ r ∂ r
i+
j+
k
∇=
∂z
∂y
∂x
r
r r
rot G = ∇ X G =
r
i
r
j
r
k
∂
∂x
∂
∂y
⎛ ∂G z ∂G y
∂
= ⎜⎜
−
∂z
∂z
⎝ ∂y
Gx
Gy
Gz
⎞ v ⎛ ∂G x ∂G z ⎞ r ⎛ ∂G y ∂G x
⎟⎟ i + ⎜
−
−
⎟ j + ⎜⎜
∂y
∂x ⎠
⎝ ∂z
⎠
⎝ ∂x
⎞ r
⎟⎟ k
⎠
BIBLIOGRAFIA
1. Purcell E.M., Curso de Física de Berkeley - vol.2, Ed. Edgard Blucher, 1973, São Paulo
2. Feynmam R., Lectures on Physics - vol. 2, Fondo Educativo Interamericano, 1972, Bogota
3. Hsu, H.P., Análise vetorial, Livros Técnicos e Científicos, 1972, Rio de Janeiro.
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