Lista 4 - Termodinâmica - F 320 - 2.o sem 2015
Marcus V. S. Bonança
1. Equilı́brio entre dois gases ideais - I. Considere dois gases ideais em contato
através de uma parede adiabática móvel. O sistema formado pelos dois gases está
termicamente isolado e submetido ao vı́nculo de que o volume total é fixo. Admitindo que, inicialmente, os gases têm temperaturas e volumes diferentes, encontre
a condição de equilı́brio final.
2. Equilı́brio entre dois gases ideais - II. Considere dois gases ideais em contato
através de uma parede diatérmica móvel. O sistema formado pelos dois gases está
termicamente isolado e submetido ao vı́nculo de que o volume total é fixo. Admitindo que, inicialmente, os gases têm temperaturas e volumes diferentes, encontre
o estado final de equilı́brio do sistema total em função da energia total U , do volume
total V , do número de mols de cada gás e das respectivas capacidades térmicas.
3. Equilı́brio entre dois gases ideais - III. Considere o sistema isolado do exercı́cio
anterior. Lembrando que a entropia de cada gás pode ser escrita como função da
energia interna U e do volume V conforme a expressão
V
U
+ nR ln
,
S(U, V ) = So + CV ln
Uo
Vo
onde os valores (So , Uo , Vo ) correspondem a um estado de referência, calcule a entropia do sistema total Stotal do exercı́cio anterior admitindo que Stotal = S1 + S2 .
Usando os vı́nculos da energia total fixa e do volume total fixo, expresse Stotal como
função da energia interna U1 e do volume V1 do gás 1. Mostre agora que Stotal (U1 , V1 )
tem apenas um ponto crı́tico e verifique em que condições ele é um máximo. Considerando que os gases são idênticos, compare os valores de U1 e V1 no ponto crı́tico
com os valores de equilı́brio obtidos no exercı́cio anterior.
4. Potencial quı́mico de um gás ideal. É possı́vel obter o potencial quı́mico de
um gás ideal a partir da Eq. (3). Para isso, reescreva a expressão (3) em termos das
seguintes quantidades por mol: cV = CV /n, so = So /n, uo = Uo /n e vo = Vo /n e
calcule µ(U, V, n) a partir de (∂S/∂n)U,V .
5. Usando o potencial quı́mico. Considere a situação de dois gases ideais idênticos,
inicialmente isolados um do outro, cada um em equilı́brio nos estados (po , Vo , no ) e
(po , Vo , 2no ). Esses gases são então colocados em contato por meio de uma parede
diatérmica móvel e permeável ao fluxo de partı́culas e são mantidos termicamente
isolados do meio externo em um recipiente de paredes rı́gidas. (a) A partir do
resultado do exercı́cio anterior, calcule o potencial quı́mico de cada gás no inı́cio do
processo. (b) A corrente de matéria, necessária para estabelecer o equilı́brio, flui
em que direção? (c) Encontre os estados de equilı́brio final dos dois gases, isto é, os
valores de (U1 , V1 , n1 ) e (U2 , V2 , n2 ) que definem o estado de equilı́brio final. Obs.:
essas variáveis serão dadas em função dos dados do problema que são, nesse caso,
po , Vo , no , cV , so , uo e vo .
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6. Estabilidade de um gás de fótons. Verifique a estabilidade intrı́nseca das
equações de estado que utilizamos até agora para um gás de fótons.
7. Estabilidade do sólido a temperatura ambiente. Em aulas passadas, construimos um modelo termodinâmico para um sólido à temperatura ambiente que
consistia nas seguintes equações de estado
βo
1
V
(V − Vo )2
, p= T+
1−
.
U = CV T +
2κo Vo
κo
κo
Vo
onde βo , κo e Vo são constantes positivas. Verifique a estabilidade dessas equações.
8. Expansão livre de um gás de fótons. É possı́vel prever o estado de equilı́brio
de um gás de fótons após uma expansão livre utilizando o princı́pio de entropia
máxima? Justifique.
9. Relações de Maxwell - I. Considere a energia interna U como função das variv́eis
independentes S, V e n. A partir da diferencial de U , deduza as relações de Maxwell
abaixo
∂T
∂p
∂T
∂µ
∂p
∂µ
=−
,
=
,
=−
∂V S,n
∂S V,n
∂n S,V
∂S V,n
∂n S,V
∂V S,n
10. Relações de Maxwell - II. Considere a entropia S como função das variáveis
independentes U , V e n. A partir da diferencial de S, deduza as relações de Maxwell
abaixo
∂ p
∂ µ
1
∂
1
∂
=
=
,
,
∂V T U,n ∂U T V,n
∂n T U,V
∂U T V,n
∂ µ
∂ p
=
∂n T U,V
∂V T U,n
11. Usando as relações de Maxwell. Verifique a terceira das relações de Maxwell
do exercı́cio 9 para um gás ideal. Para isso, utilize o resultado do exercı́cio 4 e
a expressão para S(U, V ) do exercı́cio 3. Isso mostra que a taxa de variação do
potencial quı́mico com o volume ao longo de um processo isentrópico (isto é, S =
const.) pode ser obtida experimentalmente através do conhecimento de (∂p/∂n)S,V .
Lembre que, para mantermos a entropia constante basta realizarmos um processo
adiabático quase-estático.
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