Somas de Riemann e Integração Numérica
Cálculo 2– Prof. Aline Paliga
Introdução
Problemas de tangente
e de velocidade
Problemas de área e distância
Integral Definida
Derivada
1.1
1.2
Áreas e distâncias
Integral Definida
1.1 Áreas e distâncias
O PROBLEMA DA ÁREA
Achar a área de uma região S que está sob a curva y=f(x) de a até
b. Isto significa que S está limitada pelo gráfico de uma função
contínua f (onde f ( x)  0 ), as retas verticais x=a e x=b e o eixo x.
S
 x, y  a  x  b,0  y  f  x 
Qual o significado da palavra área?
No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com
lados curvos.
Uma ideia similar à que usamos para definir uma tangente,
aproximando a inclinação da reta tangente por inclinações de retas
secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Aqui
aproximaremos a região S por retângulos e então tomamos o limite
das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número
de retângulos.
EXEMPLO 1
Use retângulos para estimar a área sob a
parábola abaixo:
Suponha que S seja dividida em quatro
faixas S1 , S2 , S3 e S4 .
Podemos aproximar cada faixa por um
retângulo de base igual à largura da faixa
e altura igual ao lado direito da faixa.
Alturas são valores da função nas extremidades direitas dos
subintervalos:
Subintervalo
Altura
 1  1 
 0, 4    4 
2
1 1  1 
 4 , 2    2 
2
1 3  3 
 2 , 4    4 
2
3 
,1

1


 4 
2
2
2
2
1 1 1 1 1 3 1
15
2
R4  .    .    .    . 1 
 0, 46875
4 4 4 2 4 4 4
32
A  0, 46878
2
2
2
1
1 1 1 1 1 3
7
2
L4  .  0   .    .    .   
 0, 21875
4
4  4  4  2  4  4  32
0, 21875  A  0, 46878
L8  0, 2734375
R8  0,3984375
0, 2734375  A  0,3984375
A  0,3333335
Dos valores da tabela parece que Rn aproxima-se de
medida que aumentamos n. Vamos confirmar isso:
1/ 3
à
EXEMPLO 2:
Para a região S do Exemplo 1 , mostre que a soma das áreas dos
retângulos aproximantes superiores tende a 1/ 3 , isto é:
lim Rn 
n 
1
3
RESOLUÇÃO:
2
2
2
11 12 13
1n
Rn           ...   
nn nn nn
nn
2
1 1
 . 2 12  22  32  ...  n2 
n n

1 2
2
2
2
1

2

3

...

n


n3
Utilizamos aqui a fórmula para a soma dos quadrados dos n
primeiros números inteiros positivos (demonstrada no Apêndice E
do Stewart):
12  22  32  ...  n2 
Rn 
1 n  n  1 2n  1  n  1 2n  1

n3
6
6n 2
lim Rn  lim
n 
n  n  1 2n  1
6
n 
 n  1 2n  1  lim 1  n  1  2n  1 
6n 2
n 


6  n 
1  1 
1 1
1
 lim 1   2    .1.2 
n  6
n 6
3
 n 
n


1
A  lim Rn  lim Ln 
n 
n 
3
Vamos usar regiões S mais gerais que a do Exemplo 1 e 2.
Começamos por subdividir S em n faixas como na figura abaixo:
A largura do intervalo [a,b] é b-a; assim, a largura de cada uma das
faixas é: x  b  a
n
Essas faixas dividem o intervalo [a,b] em n subintervalos:
 x0 , x1  ,  x1, x2  ,  x2 , x3  ,...,  xn1, xn 
Onde x0  a e xn  b. As extremidades direitas dos subintervalos são:
x1  a  x
x2  a  2x
x3  a  3x
...
Rn  f  x1  x  f  x2  x  ...  f  xn  x
DEFINIÇÃO:
A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f
é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:
A  lim Rn  lim  f  x1  x  f  x2  x  ...  f  xn  x 
n 
n 
A  lim Ln  lim  f  x0  x  f  x1  x  ...  f  xn1  x 
n 
n 
Podemos tomar a altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer
*
número xi no i-ésimo subintervalo [ xi 1 , xi ].
Pontos amostrais
A  lim  f  x1*  x  f  x2*  x  ...  f  xn*  x 
n 
Usando a notação de somatória (sigma):
 f  x  x  f  x  x  f  x  x  ...  f  x  x
n
i 1
i
1
A  lim  f  xi  x
n
n 
i 1
A  lim  f  xi 1  x
n
n 
i 1
A  lim  f  xi*  x
n
n 
i 1
2
n
O PROBLEMA DA DISTÂNCIA
Estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo
de tempo de 30 segundos.
Distância = velocidade x tempo
(7,5  5)  (9, 4  5)  (10,6  5)  (12,8  5)  (14, 2  5)  (13,9  5)  342m
(9, 4  5)  (10,6  5)  (12,8  5)  (14, 2  5)  (12,5  5)  367m
n
n
d  lim  f (ti 1 )t  lim  f (ti )t
n 
i 1
n 
i 1
1.2 A integral definida
A  lim  f  xi*  x  lim  f  x1*  x  f  x2*  x  ...  f  xn*  x 
n
n 
n 
i 1
DEFINIÇÃO:
Se f é uma função contínua definida em a≤x≤b, dividimos o intervalo
[a,b] em n subintervalos de comprimentos iguais x  (b  a) / n .
Sejam x0 ( a), x1 , x2 ,...xn ( b) as extremidades desses
*
*
*
subintervalos, escolhemos os pontos amostrais x1 , x2 ,...xn nesses
*
subintervalos, de forma que xi esteja no i-ésimo subintervalo [ xi 1 , xi ].
Então a integral definida de f de a a b é

b
a
f ( x)dx  lim  f  xi*  x
n
n 
i 1
desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável
em [a,b]

Sinal de integral introduzido por Leibniz
f ( x)
Integrando
 f  x  x
n
i 1
*
i
a, b
Soma de Riemann
Limites de integração, inferior e superior 1826  1866

b
a
b
b
a
a
f ( x)dx   f (t )dt   f (r )dr
“Uma mente criativa,
ativa e
verdadeiramente
matemática, e de uma
originalidade
gloriosamente fértil”
Gauss
Se f(x)≥0
A soma de Riemann é a soma de
áreas de retângulos
 f  x  x
n
i 1
*
i
A integral é a área sob a curva y=f(x)
de a até b

b
a
f ( x)dx
Se f(x)assumir valores positivos e negativos:
A soma de Riemann é a
soma das áreas dos
retângulos rosas menos
os azuis

b
a
f ( x)dx  A1  A2
CÁLCULO DE INTEGRAIS
Para trabalhar com somas precisamos de três fórmulas para as somas de
potências de inteiros positivos:
n
n(n  1)
i


2
i 1
n
 i2 
i 1
n(n  1)  2n  1
6
 n(n  1) 
i 

 2 
i 1
n
2
3
n
 c  nc
n
n
n
 ( a  b )  a   b
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
 cai c ai
i
i
i 1
n
i
i 1
n
i
n
 ( a  b )  a   b
i 1
i
i
i 1
i
i 1
i
EXEMPLO 3:
A. Calcule a soma de Riemann para f ( x)  x  6 x tomando como
pontos amostrais as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6
3
B. Calcule 0 ( x3  6 x)dx
RESOLUÇÃO:
3
A. Com n=6, o comprimento de intervalo é
x 
b  a 30 1


n
6
2
As extremidades direitas são:
x1  0,5, x2  1, x3  1,5, x4  2, x5  2,5 e x6  3.
Logo a soma de Riemann é:
6
R6   f  xi  x
i 1
R6  f  0,5 x  f 1,0  x  f 1,5 x  f  2,0  x  f  2,5 x  f 3,0  x
1
  2,875  5  5, 625  4  0, 625  9 
2
 3,9375
B. Com n subintervalos, temos:
x 
ba 3

n
n
Assim, x0  0, x1  3/ n, x2  6 / n, x3  9 / n e em geral xi  3i / n .
Utilizando as extremidades direitas, podemos usar a equação:
 x
3
0
 3i  3
 6 x  dx  lim  f  xi  x  lim  f  
n 
n 
 n n
i 1
i 1
n
3
3
3 n  3i 
 3i  
 lim     6   
n  n
 n  
i 1 
 n 
3 n  27 3 18 
 lim   3 i  i 
n  n
n 
i 1  n
n
3 n  27 3 18 
 lim   3 i  i 
n  n
n 
i 1  n
 81 n 3 54 n 
 lim  4  i  2  i 
n  n
n i 1 
 i 1
 81  n  n  1  2 54 n  n  1 
 lim  4 

  2
n  n
2
n
2




 81  1 2
 1 
 lim  1    27 1   
n  4
 n  
  n 
81
27
  27    6,75
4
4
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA:
Se b<a:

a
b
f (x)dx   f (x)dx
b
a
Se a=b:

b
a
f (x)dx  0
1.
2.
3.
b
 cdx  c(b  a)
  f ( x)  g ( x)dx  
a
b
b
a
a

b


b
a
4.
5.
a
c
a
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a
b
cf ( x)dx  c  f ( x)dx
a
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b
b
a
a
b
b
c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
PROPRIEDADE 1:

b
b
 f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a
cdx  c(b  a)
PROPRIEDADE 2:

a
b
b
a
a
PROPRIEDADE 5:

c
a
b
b
c
a
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
PROPRIEDADES COMPARATIVAS DA INTEGRAL:
6.
7.
8.
Se f(x)≥0 para a≤x≤b, então

b
a
f ( x)dx  0
Se f(x)≥g(x) para a≤x≤b, então

b
a
Se m≤f(x)≤M para a≤x≤b, então
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
PROPRIEDADE 8:
b
f ( x)dx   g ( x)dx
a