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Qual deve ser o papel do professor no decorrer da aula de Matemática
quando utiliza a estratégia de Resolução de Problemas?
Elenice Vaz1
[email protected]
Magna Natalia Marin Pires2
[email protected]
RESUMO
Esse trabalho faz parte das atividades do Programa de Desenvolvimento
Educacional do Estado do Paraná. Relata o desenvolvimento de uma das atividades
que compõe o Caderno Pedagógico construído na primeira etapa da participação no
programa. A atividade que foi desenvolvida em uma turma 1ª série do Ensino Médio,
utiliza-se da estratégia de Resolução de Problemas, e aborda diversos conteúdos e
conceitos, dentre eles: cálculo de área, funções, números irracionais e condição de
existência dos triângulos. O encaminhamento da aula, aqui descrito, exemplifica as
etapas de resolução de um problema indicadas por Polya e valoriza o erro como
caminho construtivo do processo de aprendizagem. Abordamos neste artigo as
atitudes que o professor deve ter ao trabalhar com esta estratégia de ensino, além
de sugerir procedimentos para a realização de tarefas em grupo.
Palavras Chaves: Resolução de Problemas. erro em matemática. Educação
Matemática. capacitação de professor.
ABSTRACT
This work is part of the activities of the Educational Development Program of the
Paraná State. It tells the development of one of the activities that is included in the
Pedagogical Notebook that was built in the first stage of the participation in this
program composes. The activity, that was developed in a group of High School 1st,
uses the resolution problems strategy, and approaches several contents and
concepts, witch includes: calculation of area, functions, irrational numbers and
condition of triangles existences. The guiding of the lesson, described here, gives
examples about the stages of problem resolutions indicated by Polya and values the
mistake as constructive way of learning process. We approach in this article the
behavior that teacher must have when working with this education stratregy, beyond
suggesting procedures for the accomplishment of tasks in group.
Key words: problems
empowerment.
resolution;
math
mistakes;
math
learning;
O Programa de Desenvolvimento Educacional do Governo do Paraná
1
2
Professora da Rede Pública Estadual – Paraná.
Professora do Depto de Matemática da UEL – Universidade Estadual de Londrina
teacher
2
O Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE consiste numa política
de formação continuada oferecida aos professores da rede pública de ensino do
Estado do Paraná, feita a partir de uma parceria com instituições de Ensino Superior
deste Estado.
Tal política tem como objetivos, de acordo com Paraná (2008), o
reconhecimento dos professores como elaboradores de saberes sobre o processo
de ensino aprendizagem e a criação de espaços para discussões e reflexões sobre
teoria e prática, a fim de oportunizar condições, no interior da escola, para o debate
e para a construção coletiva do saber.
Esse programa proporciona aos professores, por meio do retorno às
atividades discentes nas universidades, a oportunidade de aprofundar seus estudos
de formação inicial, assim como a atualização sobre novas estratégias de ensino e o
uso das tecnologias, visando melhorar a qualidade do ensino oferecida aos
estudantes.
Sob a supervisão de Professores orientadores das Instituições de Ensino
Superior, a partir da definição do objeto de estudo, o Professor PDE tem a função de
elaborar um plano de trabalho e material didático, visando a intervenção pedagógica
na escola. Além disso, no final do programa, é necessário produzir um artigo
científico, o qual consiste na etapa conclusiva da atividade de aprofundamento
teórico-prático. Portanto, este trabalho, tem como objetivo, por meio do relato das
atividades previamente preparadas, a vinculação entre a teoria estudada e a prática
aplicada e vivenciada.
Estudos realizados durante o Programa
No decorrer desse programa, tive a oportunidade de fazer o estudo da
estratégia de Resolução de Problemas, com valorização dos erros como caminho
para a aprendizagem de estudantes nas séries finais do Ensino Fundamental e do
Ensino Médio.
Ao longo desses estudos, pretendeu-se encontrar uma estratégia de ensino
que proporcionasse aos estudantes oportunidades de interpretar, comunicar idéias,
conjeturar, raciocinar, discutir aplicações e solucionar problemas, pois o que se
percebe freqüentemente é que muitos estudantes não gostam da disciplina de
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Matemática e não sabem correlacioná-la com sua vida. É comum encontrarmos
estudantes que, nas tarefas de resolução de problemas, não têm o hábito de
construir estratégias, testá-las e recomeçar, se necessário, na primeira falha se
negam a corrigir seus erros, desanimam e desistem de prosseguir. Na sala de aula
não existe a prática de questionamentos, o que se percebe é o desinteresse, e, em
conseqüência, a indisciplina. A escola nem sempre proporciona ambiente
questionador, necessário para a resolução de problemas e discussão dos erros
cometidos por estudantes.
Diante desse fato, percebe-se a necessidade de uma mudança de postura
por parte do professor. É necessário fugir dos padrões tradicionais de ensino,
segundo Pinto (2000), a postura na qual o erro é visto como uma incapacidade do
estudante deve ser substituída por uma postura construtiva, que dá mais importância
aos procedimentos do que aos resultados no decorrer da resolução de um problema.
Percebe-se também a necessidade de uma mudança de ação, do contrário
os estudantes continuarão apenas a memorizar, decorar e repetir.
Como tentativa para solucionar os problemas citados, nos apresenta como
um caminho a estratégia de Resolução de Problemas, a qual permite que o
professor desafie e resgate o prazer da descoberta além de facilitar a prática
pedagógica, pois possibilidade uma participação mais efetiva dos alunos e
proporciona a contextualização e a interdisciplinaridade.
O presente artigo tem como objetivo, por meio de uma prática vivenciada e
relatada, mostrar qual deve ser o papel do professor ao utilizar-se da estratégia de
Resolução de Problemas, em que se valorize não apenas o fim, mas principalmente
os procedimentos que levaram a solução de um problema. Procura mostra como é
importante o professor proporcionar aos alunos momentos em que os mesmos
encontrem o seu próprio caminho para resolver um problema, que eles conduzam
suas experiências, formulem e testem conjeturas, com o compromisso de comunicar
suas conclusões.
Solucionando um problema
A atividade relatada a seguir foi aplicada em uma turma de 1ª série do
Ensino Médio. Inicialmente, seus principais objetivos eram reconhecer a Matemática
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como ferramenta de trabalho para a resolução de problemas do dia a dia e introduzir
o conceito de função quadrática, porém, num exemplo claro do quanto à estratégia
de Resolução de Problemas pode enriquecer as aulas, no decorrer de sua
aplicação, diversos outros conceitos foram explorados, conseguindo contemplar
outros objetivos como calcular área de diversas figuras planas, utilizar o teorema de
Pitágoras e a fórmula de Herão, reconhecer o número π e calcular o comprimento
de uma circunferência, compreender a condição de existência do triângulo, calcular
a área máxima de um retângulo em função do seu perímetro, escrever e interpretar
a lei de formação de uma função, construir gráficos e localizar e calcular o vértice de
uma parábola.
Desenvolvimento da Atividade
PROBLEMA: Uma escola ganhou como doação, uma tela de 60m de
comprimento. A direção resolveu, então, cercar um terreno que tivesse a maior
área possível, para fazer experiências com plantas. Como pode ser esse
terreno? Quais são as dimensões?
Após proporcionar um tempo para que os estudantes, em grupos,
pensassem sobre a situação, os alunos apresentaram diversas formas possíveis. A
seguir, são mostradas algumas das formas sugeridas:
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Como entre as diversas formas encontradas, a que foi mais utilizada foi o
retângulo, foi proposta a seguinte tarefa:
Dentre os retângulos, qual possui maior área?
Após os diversos cálculos efetuados, os alunos concluíram que o retângulo
que possui a maior área é aquele cujos lados são iguais, ou seja, o quadrado. Nesse
momento, foi necessário rever alguns conceitos relacionados com quadriláteros,
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visto que para muitos, quadrado e retângulo eram figuras distintas, não percebendo
que o primeiro pode ser um caso particular do segundo.
Área do quadrado
A = l2
A = 15 2
A = 225m 2
Em seguida os estudantes foram analisar os triângulos, e dentre as soluções
apresentadas, apareceu uma que provocou questionamentos, pois logo se percebeu
que não poderia existir um triângulo com aquelas medidas. Eis a representação feita
por um dos alunos:
Nesse momento, foi apresentada a seguinte tarefa:
Utilizando régua e compasso, construa triângulos com 6cm de
perímetro:
Com medidas menores, o objetivo dessa atividade era que os estudantes
percebessem que, diferente dos retângulos, não é possível formar triângulos com
quaisquer medidas, que existem condições que devem ser respeitadas para a
existência dos mesmos.
Após a construção de diversos triângulos, foi necessária a revisão de alguns
conceitos de desenho geométrico, foi feita a seguinte pergunta:
Será que com 60 m eu posso formar triângulos com quaisquer
medidas? Existe alguma condição de existência para o triângulo?
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Após pesquisas realizadas no computador e em livros colocados à
disposição dos estudantes, foi feita a formalização, de acordo com Dolce (1985, p.
48), da condição de existência do triângulo da seguinte forma:
•
Em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois.
•
Em todo triângulo cada lado é maior que a diferença dos outros dois.
A partir daí, foi indicado que os estudantes retornassem à questão anterior, e
verificassem quais triângulos são possíveis de existir:
Exemplos:
18 < 22 + 20
20 < 22 + 18
22 < 20 + 18
e
18 > 22 – 20
20 > 22 – 18
22 > 20 – 18
Logo, esse triângulo existe.
5 < 35 + 20
20 < 35 + 5
35 < 20 + 5 (F)
e
5 > 35 – 20 (F)
20 > 35 – 5 (F)
35 > 20 – 5
Logo, esse triângulo não existe!
Após essa formalização, um estudante fez uma pergunta que eu não sabia a
resposta, visto que, em nenhum momento, no decorrer de minha formação
acadêmica e em meus anos de professora, eu havia pensado a respeito dessa
questão:
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EM UM TRIÂNGULO COM PERÍMETRO 60M, QUAL A MEDIDA MÁXIMA
QUE UM DOS LADOS PODE TER, PARA QUE ESSE TRIÂNGULO EXISTA?
Nesse momento, por ser final de aula, pedi aos estudantes que pensassem
sobre a situação, elogiei a pergunta, relatei o quanto fiquei satisfeita com a
participação do estudante, a fim de me fazer pensar sobre algo que eu nunca havia
refletido.
Nesse dia, eu, além de minhas tarefas de planejamento de aulas, tive uma
tarefa extra, pensar e pesquisar sobre a pergunta feita pelo estudante.
Na aula seguinte, retomamos o conteúdo e após discussões feitas com
todos os estudantes, concluímos que o lado de um triângulo, não tem apenas uma
medida máxima como também uma medida mínima, ou seja, apresenta um intervalo.
Sendo a, b e c os lados do triângulo, as medidas de a podem ser definida no
seguinte intervalo:
b–c<a<b+c
Ou seja, o valor da medida a é um número que está entre a diferença dos
outros dois lados e a soma desses mesmos dois lados.
Foi proposto, então, o seguinte problema:
(OBMEP, 2008) Quais os triângulos cujas medidas dos lados são
números inteiros e com perímetro 15 cm?
Por meio de tentativas, e utilizando as condições de existência dos
triângulos, grande parte dos estudantes concluiu que são sete os possíveis
triângulos, sendo que os mesmos podem possuir as seguintes medias dos lados:
(1,7,7)
(2,6,7)
(3,5,7)
(3,6,6)
(4,5,6)
(5,5,5)
(4,4,7)
Após constatarem que não é possível construir um triângulo com qualquer
medida, e que é necessário fazer a análise por meio das condições de existência,
cada grupo apresentou uma solução para o problema anteriormente proposto, ou
seja, um triângulo com perímetro 60m.
A seguir, perguntei a eles como é que calculamos a área do triângulo.
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A resposta foi:
b×h
. Desse modo perguntei-lhes, qual a altura dos
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triângulos dados a seguir:
No primeiro, a altura, facilmente foi identificada como 15m, e, apenas
substituindo os valores na fórmula, registrada anteriormente, temos o valor da área
do triângulo:
A=
20 × 15
2
A = 150m 2
Já no segundo caso, apesar das tentativas de alguns alunos, não é possível
fazer esse mesmo cálculo, pois não temos o valor da altura, mas é possível utilizar a
Fórmula de Herão, a qual foi apresentada para os estudantes, visto que os mesmos
não tinham conhecimento prévio desta relação.
Pela Fórmula de Herão, temos: A =
p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c) , em que p=
semi-perímetro do triângulo e a,b e c os lados desse triângulo
A = 30 ⋅ (30 − 18) ⋅ (30 − 22) ⋅ (30 − 20)
A = 30 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ 10
A = 28800
A = 169,7 m 2
Como curiosidade, um dos estudantes trouxe a seguinte pesquisa:
O matemático Herão de Alexandria viveu no início da Era Cristã. Herão
sempre se interessou por aplicações e métodos práticos da Matemática. Em sua
principal obra de geometria, “A Métrica”, ele apresenta a demonstração da famosa
fórmula do cálculo da área de um triângulo a partir da medida dos seus lados,
conhecida hoje em dia como fórmula de Herão. (MELLO, 2008).
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Em um dos grupos foi sugerido como solução para o problema um trapézio,
e, com o objetivo de revisar o cálculo de área desse polígono, foi pedido aos
estudantes que representassem, por meio de um desenho, possíveis trapézios para
solucionar o problema.
Um dos trapézios apresentados apresentava as seguintes dimensões:
Quando os estudantes fizeram o cálculo da área desse trapézio, perceberam
que ele não existe com essas medidas:
Inicialmente, foram juntados os dois triângulos verdes, com o objetivo de
calcular, a partir da área, a altura do mesmo:
A=
p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )
A = 20 ⋅ (20 − 10) ⋅ (20 − 10) ⋅ (20 − 20)
A = 20 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 0
A = 0 , logo, percebeu-se que não existe triângulo com essas medidas, e,
em conseqüência, também não existe trapézio com essas medidas. Portanto, foi
constatado que, assim como os triângulos, os trapézios também possuem condições
de existência.
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Após tentativas, foi analisado o seguinte trapézio, ao qual, pode-se fazer o
cálculo de sua área:
Unindo-se os triângulos verdes, obtemos o seguinte triângulo:
Calculando-se, pela Fórmula de Herão, obtém-se a seguinte área:
A=
p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )
A = 20 ⋅ (20 − 15) ⋅ (20 − 15) ⋅ (20 − 10)
A = 20 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 10
A = 5000
A ≅ 70m 2
Ao substituir na fórmula da área do triângulo, obtemos a altura do triângulo,
que é a mesma altura do trapézio:
A=
b×h
2
70 =
10 × h
2
10h = 140
h = 14m
A partir daí, ficou fácil, calcular a área do trapézio:
A=
( B + b) ⋅ h
2
A=
(20 + 10) ⋅ 14
2
12
A = 210m 2
Voltando as possibilidades apresentadas pelos alunos e como uma delas foi
o hexágono, na aula seguinte, foi pedido aos estudantes que fizessem um desenho
do mesmo, utilizando-se de régua e compasso, com o objetivo de fazê-los perceber
que o hexágono é formado por 6 triângulos eqüiláteros.
A partir desse desenho, os estudantes analisaram cada um dos triângulos
formados:
A maioria optou por calcular a área desse triângulo utilizando-se da fórmula
de Herão, e apenas alguns, fizeram pelo cálculo da altura, utilizando-se para
encontrá-la, do teorema de Pitágoras.
Com a fórmula de Herão, os cálculos ficaram assim definidos:
Atriângulo = 15 ⋅ (15 − 10) ⋅ (15 − 10) ⋅ (15 − 10)
Atriângulo ≅ 43,3m 2
Ahexágono = 6 ⋅ Atriângulo
Ahexágono = 6 ⋅ 43,3
Ahexágono = 259,8 m 2
E, com a utilização da altura do triângulo, encontrou-se:
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h 2 = (10) 2 − (5) 2
h 2 = 75
h = 75
h ≅ 8,66
Logo:
Atriângulo =
10 × 8,66
2
Atriângulo = 43,3m 2
Ahexágono = 6 ⋅ Atriângulo
Ahexágono = 6 ⋅ 43,3
Ahexágono = 259,8 m 2
Na seqüência, ao analisar a circunferência, os alunos apresentaram dúvidas
relacionadas com comprimento da circunferência, fórmula da área e do número π .
Aproveitamos a oportunidade para explorar com eles os conceitos mencionados.
Após os esclarecimentos foram feitos os seguintes cálculos:
Cálculo do raio: C = 2 ⋅ π ⋅ r
60 = 2 × 3,14 × r
r=
60
6,28
r ≅ 9,55 m
Área da circunferência: A = π ⋅ r 2
A = 3,14 ⋅ (9,55) 2
A = 286,37 m 2
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Diante desses cálculos, foi questionado com os estudantes que outras
soluções poderiam ser apresentadas, como heptágonos, octógonos, eneágonos e
decágonos, a fim de fazê-los compreender que, quanto maior o número de lados,
maior a área dessa figura, até chegarmos à circunferência, que é a figura com
perímetro 60m e com a maior área possível.
Foi apresentado, então, um novo problema:
PROBLEMA: Em reunião realizada na escola, os professores de Ciências e Biologia
alegaram que, devido ao tipo de canteiros que eles queriam construir, o cercado
deveria ser na forma de um retângulo. Portanto, quais as medidas do retângulo com
perímetro 60m que possui a maior área?
Quando essa atividade foi apresentada, alguns dos estudantes, já deram
como resposta um quadrado com 15m de lado, visto que essa discussão já havia
sido feita anteriormente. Foi proposto, para que os estudantes, em grupo,
organizassem, numa tabela, outros 4 valores para o comprimento, com o cálculo de
suas respectivas áreas. Uma das tabelas ficou assim representada:
Comprimento largura Perímetro
Área
18
12
60 m
216 m2
20
10
60 m
200 m2
15
15
60 m
225 m2
14
16
60 m
224 m2
24
6
60 m
144 m2
A partir da tabela, foi indicada a construção do gráfico, o qual foi feito pelos
estudantes, tanto no caderno, com utilização de régua e papel quadriculado, como
no aplicativo Excel, onde x representa o comprimento e y a área do retângulo:
15
Área
Área do Retângulo
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
30
comprimento
Voltando ao problema inicialmente apresentado, foi perguntado aos
estudantes, se era possível solucionar essa situação utilizando-se de conceitos
relacionados com funções. Um dos estudantes respondeu que sim, visto que havia
uma variação, ou seja, a área estava em função do comprimento, e que a mesma
poderia ser representada por meio de um gráfico, assim como a função afim,
estudada nas aulas anteriores.
Por meio de perguntas, e tendo um dos estudantes como o relator no quadro
de giz, algumas perguntas foram feitas, dentre elas:
Como não sabemos a medida da largura, como podemos chamá-la?
Como chamamos a largura de x, como poderíamos chamar o
comprimento?
Como esse retângulo pode ser representado?
Qual a área desse retângulo em função da medida x?
Nesse momento, foi necessário rever alguns conceitos algébricos, como a
multiplicação de monômio por polinômio, os quais foram facilmente realizados pela
maioria dos estudantes.
A figura ficou assim representada:
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E os cálculos:
f ( x) = (30 − x ) ⋅ x
f ( x) = 30 x − x 2
f ( x) = − x 2 + 30 x
lei de formação
A fórmula substitui com vantagens a tabela anterior, e pode ser chamada de
lei de formação dessa relação, a qual consiste em uma tradução matemática por
meio da qual é possível associar as duas grandezas variáveis (área e medida do
lado), para quaisquer valores desejados.
Portanto, a área máxima procurada é o valor máximo da função
f ( x) = 30 x − x 2 , e, a área assume seu valor máximo no vértice da parábola.
O gráfico a seguir, foi construído pelos estudantes, com a utilização do
GeoGebra, que é um software livre de matemática que reúne geometria, álgebra e
cálculo.
xV = −
b
2a
17
x=
− 30
= 15 (largura)
−2
Observamos que a área máxima a ser cercada é uma região quadrada cujo
lado mede 15m.
Aos grupos, foram apresentados alguns outros problemas como:
Um quadrado, também pode ser chamado de retângulo?
E se já tivéssemos um muro e quiséssemos fazer um cercado
encostado nesse muro, ou seja, economizando um dos lados do retângulo. Qual
seria a nova área?
(OBMEP, 2006) Se os dois lados de uma triângulo medem 5cm e 7cm,
então o terceiro lado não pode medir:
a) 11 cm
b) 10 cm
c) 6 cm
d) 3 cm
e) 1 cm
(OBMEP, 2006) Em um restaurante, qual família come mais pizza:
aquela que pede uma grande de 43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas
médias de 30 cm de diâmetro?
Qual a soma dos dois lados de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é
(DANTE, 2004) Tenho material suficiente para erguer 20m de cerca.
24 cm?
Com ele pretendo fazer um cercado retangular de 26 m2 de área. Caso isso seja
possível, quanto devem medir os lados desse retângulo?
A partir daí, sempre por meio de perguntas, outros conceitos foram
introduzidos, como o gráfico da função quadrática, o cálculo e a representação das
raízes ou zero da função, o domínio e a imagem e o estudo de seu sinal.
Avaliação
18
A avaliação foi feita de maneira contínua, a todo o momento: presença,
participação nas atividades desenvolvidas no decorrer da aula, interesse e
desempenho, tanto nos momentos em atividades em grupo, como nas situações em
que as tarefas foram feitas individualmente.
Como trabalho final, foi pedido aos estudantes que fizessem um portfolio, em
que foi avaliado a relevância das atividades incluídas, a qualidade das justificações e
comentário escritos, bem como a estrutura, criatividade e apresentação.
Algumas considerações
No decorrer da utilização da estratégia de Resolução de Problemas,
percebe-se que o estudante aprende quando aquilo que ele está fazendo passa a ter
algum significado para ele, que os conhecimentos não são “transmitidos” e sim
“construídos”. A função do professor, portanto, é justamente essa, levar seus alunos
à busca, à descoberta, e para isso, é preciso dar-lhes oportunidade para questionar,
conjeturar, errar, refletir, enfim, pensar matematicamente. Isso não é educação
apenas para a escola, é educação para a vida, na qual, a Matemática pode
contribuir tornando o estudante um indivíduo autônomo e comunicativo.
Desenvolver a habilidade para resolver problemas é necessário em todos os
níveis de ensino e para isso não existe uma receita pronta. Cada professor,
conhecendo seus alunos e, de acordo com suas experiências, constrói a sua prática.
Como apoio, pode-se utilizar as etapas sugeridas por Polya, as quais incluem a
compreensão do problema, a elaboração de um plano, a execução desse plano
e a retrospectiva ou verificação. A seguir, com o exemplo da atividade anterior,
são ilustrados os procedimentos e questionamentos referentes às etapas propostas
por Polya.
Compreendendo o problema:
Foram feitas por meio de perguntas, dentre elas:
•
Quais as possíveis formas para esse terreno?
•
Quais as suas possíveis dimensões?
•
Como deve ser esse terreno?
•
O que significa ter a maior área possível?
19
•
O que se pede no problema? É possível fazer uma figura?
Inicialmente o professor pode propor estes questionamentos para que o
estudante adquira o hábito de, ao resolver problemas, ele próprio faça perguntas a
respeito da situação.
Elaborando um plano:
• Você já solucionou problemas utilizando área? – Perguntas como essas
levam o estudante a pensar em situações pelas quais ele já tenha passado.
• Em grupos, é possível que cada um proponha possíveis soluções, como
retângulos, quadrados, triângulos, círculos, hexágonos, etc.
• Qual seu plano para resolver o problema?
• Quais estratégias você tentará?
• Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver
este?
• Tente resolver o problema por partes.
Executando o plano:
Após a elaboração do plano, é preciso efetuar os cálculos, completar as
tabelas, fazer os desenhos e conjeturar respostas. É nesse momento que muitos
estudantes percebem que o problema tem mais de uma solução.
No problema sugerido, cada grupo pode propor uma ou mais solução para o
problema, entre elas, triângulos, retângulos, círculos, hexágonos e trapézios, entre
outros. Nesse momento, o grupo faz o cálculo da área da sua figura.
Em algumas situações, se faz necessária a intervenção do professor, que,
por meio de dicas ou perguntas, relembra conceitos anteriores e apresenta outros,
além de, em determinadas circunstâncias, propor a pesquisa de novos conceitos. No
problema em questão, por meio de perguntas, relembra a área de retângulos,
círculos e triângulos e apresenta a área de triângulos em função dos lados por meio
da fórmula de Herão.
No decorrer do trabalho, é necessário, por meio de perguntas instigantes,
“provocar” o estudante o tempo todo, para que ele possa pensar por si próprio e não
simplesmente repetir aquilo que o professor lhe ofereceu, sem reflexões.
20
É indicado o trabalho em pequenos grupos, visto que dessa forma, os
estudantes têm a oportunidade, conforme afirma Ponte (1997, p.98), de “expor suas
idéias, ouvir os seus colegas, colocar questões, discutir estratégias, argumentar e
criticar
outros
argumentos”.
Deve-se
privilegiar,
durante
as
aulas,
a
comunicação, ou seja, a socialização das idéias desenvolvidas no decorrer da
resolução do problema, e, como muitos alunos têm dificuldade em comunicarse perante a sala toda, o trabalho em grupo serve como um treino para
situações futuras, para que ele consiga expor suas idéias e conjecturas para
um público maior.
Fazendo a retrospectiva ou verificação:
Essa etapa é fundamental, é o momento dos estudantes mostrarem as
estratégias utilizadas e defenderem suas idéias.
É necessário junto com a turma, fazer o questionamento diante de cada
estratégia apresentada, e, diante do erro, ao invés de dizer que está errado, o
professor pode fazer perguntas que conduzam os alunos a perceberem o erro, por
eles próprios. Ou então, pedir para que o estudante demonstre a solução errada.
Valorizá-la e propor a etapa da verificação. É nesse momento que, muitas vezes, o
próprio estudante percebe o seu erro e, ele próprio ou os outros colegas de classe
fazem outras contribuições para chegar à solução correta. No decorrer da
retrospectiva, o erro pode ser elemento importante para a solução do problema.
Existe a necessidade de mudar a concepção do erro como fracasso e
transformá-lo em sinônimo de conhecimento temporário para a organização de
novos conceitos matemáticos, é importante que o estudante perceba-o como parte
inerente na resolução de seus problemas, encarando-o, não como uma derrota, mas
como uma chance para o professor ajudá-lo a se apropriar de novos conceitos, ou
simplesmente levá-lo a perceber porque errou. Por meio da valorização do erro na
resolução de problemas, é possível ver a Matemática de forma mais atraente,
fazendo com que o estudante sinta que a disciplina é algo inerente à sua história,
que os erros, sejam na Matemática, sejam na vida, fazem parte do processo, e são,
quase sempre, o caminho para a aprendizagem efetiva.
O erro, de acordo com Perego (2005, p.19) não deve ser “valorizado em
detrimento do acerto, mas como uma etapa a ser vencida pelos estudantes” sendo
21
necessário, no decorrer do processo de ensino e aprendizagem, que ele seja
observável tanto pelo professor como pelo estudante, de acordo com Pinto (2000, p.
50), “não no sentido de derrota, mas como elemento constitutivo da gênese de todo
conhecimento”. Nesse sentido, Buriasco afirma que
é, pois, tarefa do professor fazer com que o erro, aos poucos se torne
observável pelo aluno para que este tome consciência daquele. Essa é uma
das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de diminuir
o fracasso escolar. (apud PEREGO, 2005, p. 18).
Após chegar à solução, é possível propor outros problemas com situações
semelhantes para se chegar à generalização, a qual é adaptada de acordo com o
nível dos estudantes, podendo ser uma regra verbal ou uma expressão variável.
Essas etapas não seguem necessariamente essa ordem rigorosa. Se algo
não der certo, é importante investigá-las uma a uma, e, com o auxílio do professor,
que se fará por meio de perguntas e não com respostas prontas, visto que este,
como defende Pinto (2000, p. 61), “não deve ocupar o lugar do estudante,
antecipando respostas” e sim, analisar os procedimentos adotados, dando liberdade
para que os estudantes construam seus conhecimentos.
É importante destacar não só a resposta correta, mas o aparecimento de
diversas soluções, comparações, verbalizações, discussões e justificações do
raciocínio.
Nesse tipo de trabalho, é necessário instigar o estudante no sentido dele
pensar e não simplesmente repetir. Como no exemplo do problema anterior,
diversos conceitos podem ser explorados, de acordo com o grau de interesse e do
nível da turma. Além dos conteúdos já citados, como cálculo de área, fórmula de
Herão, pode-se explorar funções, valor máximo e valor mínimo, teorema de
Pitágoras, construção de gráficos, números irracionais, entre outros.
Trabalho em grupos
A seguir, sugere-se como pode ser encaminhado o trabalho em grupo no
decorrer da resolução de problemas:
Procedimentos do professor:
22
•
Formar pequenos grupos de 2 ou 3 integrantes.
•
Entregar problemas para cada grupo, podendo haver grupos diferentes
com problemas iguais.
•
Disponibilizar de um tempo para o pequeno grupo pensar sobre a
situação.
•
Juntar os grupos que possuem o mesmo problema.
•
Permitir que o grupo tenha oportunidade de pensar melhor sobre a
situação.
Procedimentos dos estudantes:
No decorrer da atividade, é preciso criar oportunidades para que haja:
•
A possibilidade do entrosamento entre os colegas.
•
Troca de idéias, com discussões enriquecedoras, visto que os
argumentos de cada um podem ser considerados, com intenção de se chegar a uma
melhor generalização.
•
Confiança nos integrantes do grupo no decorrer do trabalho.
A junção dos grupos pode ser vista como reforços importantes para a
solução do problema.
Dicas para o professor:
•
Antes das apresentações, proporcionar mais algum tempo para que o
grupo possa fazer a socialização das idéias, por meio de argumentações, refutações
e possíveis soluções.
•
Passar pelos grupos para verificar como estão sendo feitos os
trabalhos e para poder definir o momento das apresentações, visto que é necessário
ponderar sobre o momento, considerando que pouco tempo pode não ser suficiente
para a discussão antes da apresentação e muito, pode causar desinteresse da
turma.
•
No decorrer das apresentações, nem sempre dar respostas para as
dúvidas e inquietações apresentadas, propor para que o grupo ou que toda a sala
busque novos conhecimentos para tentar solucionar a situação em questão.
•
Por meio de perguntas, propor questões que levam a construção de
conceitos relacionados com outros conteúdos.
23
•
Fazer-se presente como questionador e incentivador, ao proporcionar
situações para o estudante conjeturar e, em conseqüência, adquirir novos
conhecimentos.
Conclusões
Ao aplicar essas atividades, pude verificar o quanto a estratégia de
Resolução de Problemas pode enriquecer o trabalho em sala de aula. Quando a
situação solucionada passa a ter sentido para os estudantes eles se comprometem
muito mais, participam ativamente das questões surgidas durante a aula,
apresentam contribuições, além de adquirirem o hábito de defender suas opiniões.
Considero como maior ponto positivo, o interesse e o comprometimento
demonstrado pela grande maioria dos estudantes no decorrer da aplicação dessa
atividade.
Inicialmente, preocupei-me com o tempo necessário para a execução dessa
atividade, visto que foram necessárias várias aulas para as discussões entre os
grupos, as apresentações e sistematizações dos conteúdos. Mas, no decorrer do
trabalho, pude perceber o quanto foi produtivo. A partir de alguns problemas, foi
possível fazer uma revisão de inúmeros conteúdos, aos quais, sem a utilização
dessa estratégia de ensino, levaria um número muito maior de aulas. Após
despreocupar-me com o número de aulas utilizadas, pude analisar melhor o
procedimento de meus alunos, e, em diversas situações, percebi o quanto eles
ficaram satisfeitos quando puderam sugerir respostas para a solução de um
problema, ou quando foram capazes de defender suas idéias.
Os
trabalhos
em
grupo
tiveram
excelentes
resultados,
mas,
as
apresentações não foram totalmente satisfatórias, talvez porque os alunos ainda não
tenham o hábito de fazer esse tipo de trabalho. Percebi que quando as discussões
eram apenas no grupo, eles argumentavam mais, expunham suas opiniões com
maior facilidade. Portanto, é necessário propiciar outros momentos como esse para
que eles adquiram o hábito de defender suas idéias perante todos os alunos da sala.
Desenvolver a habilidade para resolver problemas, é uma “meta a longo
prazo”, desse modo, não há de se esperar que o estudante, já nos primeiros
trabalhos, seja capaz de argumentar nas diversas situações. Mas, com o passar do
tempo, na medida em que o professor lhe permitir levantar hipóteses e dar
24
sugestões, e ele compreender o modo de trabalho, aí sim a sala de aula se tornará
mais prazerosa e ele vai participar ativamente na resolução das situações
problemas. Portanto, é recomendável que o uso dessa estratégia de trabalho seja
constante e não, esporadicamente.
O professor deve mostrar que a Matemática não é algo estático, que essa
ciência tem uma história, procurando fazer o seu trabalho com resolução de
problemas de forma instigante, partindo de situações tanto do cotidiano como outras
científicas, tendo consciência de que, como aponta Schoenfeld
dificilmente vamos nos defrontar com uma situação no dia a dia em
que temos que resolver um problema de teoremas ou funções
quadráticas, mas o que os estudantes podem e deveriam ter, como
conseqüência de sua educação, é a habilidade para raciocinar
cuidadosamente e eficientemente os recursos à sua disposição
quando defrontados com problemas em suas próprias vidas (KRULIK
e REYS, 2005, p. 22)
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2004.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática
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MELLO, José Luiz Pastore. Matemática: Raiz Quadrada nos Tempos de Cristo.
Disponível em: <http://amp746.wordpress.com/2008/03/02/matematica-raizquadrada-nos-tempos-de-cristo/>. Acesso em: 04 ago. 2008.
OBMEP. Banco de Questões: 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas. 2006.
OBMEP. Banco de Questões: 4ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas. 2008.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação.
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais. Coordenação Estadual do PDE.
Programa de Desenvolvimento Educacional. Curitiba: SEED, 2008
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PEREGO, Sibele C. Questões abertas de Matemática: Um estudo de registros
escritos. Dissertação (mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) –
Universidade Estadual de Londrina, 2005.
PINTO, Neuza Bertoni. O erro como estratégia didática: estudo dos erros no
ensino da Matemática elementar. Campinas, SP: Papirus, 2000.
PONTE, J. P., BOAVIDA, A., GRAÇA, M., & ABRANTES, P. Didáctica da
Matemática. Lisboa: DES do ME, 1997.
SCHOENFELD, A. H. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, Stephen; REYS,
Robert E. (org.), A resolução de problemas na Matemática escolar. Tradução de
Hygino H. Domingues e Olga Corbo. São Paulo: Saraiva, 2005, p. 13-31.