Correcção da Ficha de Trabalho – Conhecer melhor o cubo
1. Em
cada figura
assinala
com lápis
de corH o elemento
do cubo
indicado:
H
H
G
G
G
H
G
D
F
E
F
E
D
C
Um vértice
A
D
C
A
Uma aresta
B
F
E
B
A
F
E
D
C
B
Uma face
A
H
F
E
D
C
B
G
C
A
B
Uma diagonal facial Uma diagonal espacial
2. Preenche os quadros e responde às questões seguintes:
Nºvértices
8
Nºarestas
12
Nºfaces
6
Nºdiagonais faciais
12
Nºdiagonais espaciais
4
Comprimento da aresta
Comprimento da diagonal facial
10
10 2
15
15 2
20
20 2
30
30 2
a
Comprimento da diagonal espacial
10 3
15 3
20 3
30 3
3a
Área de uma face
100
225
400
900
Área da superfície
600
1350
2400
5400
Volume
1000
3375
8000
27000
a2
6a 2
a3
2a
2.1.Investiga o que acontece à área de uma face, quando a aresta duplica, ou triplica, ou....
Área de uma face
Verifica-se que:
Aresta
10
100
Dobro da Aresta
20
400
Triplo da Aresta
30
900
Quádruplo da Aresta
40
1600
…
…
…
20
400
= 2 então o quociente das respectivas áreas é
= 4 = 22
10
100
30
900
Se o quociente das arestas é
= 3 então o quociente das respectivas áreas é
= 9 = 32
10
100
40
1600
Se o quociente das arestas é
= 4 então o quociente das respectivas áreas
= 16 = 42
10
100
Se o quociente das arestas é
De um modo geral:
Se o quociente das arestas é
a2
A
= r então o quociente das respectivas áreas é 2 = r 2
a1
A1
2.2.E o que é que acontece ao volume, quando a aresta duplica, ou triplica, ou....?
Volume
Verifica-se que:
Aresta
10
1000
Dobro da Aresta
20
8000
Triplo da Aresta
30
27000
Quádruplo da Aresta
40
64000
20
= 2 então o quociente dos respectivos volumes é
10
30
Se o quociente das arestas é
= 3 então o quociente dos respectivos volumes é
10
40
Se o quociente das arestas é
= 4 então o quociente dos respectivos volumes é
10
Se o quociente das arestas é
…
…
…
8000
= 8 = 23
1000
27000
= 27 = 33
1000
64000
= 64 = 43
1000
De um modo geral:
Se o quociente das arestas é
Prof. Paula Teixeira
a2
V
= r então o quociente dos respectivos volumes é 2 = r 3
a1
V1
2004/05
3. Em relação ao plano de corte que se obtém na seguinte situação e supondo que a aresta do cubo
mede 10 cm, calcula:
3.1. O valor exacto do perímetro do plano de corte.
A
O plano de corte é um triângulo equilátero cujos lados são as diagonais faciais do
cubo.
Num cubo de aresta 10 cm vimos já que a diagonal facial mede 10 2 cm.
Como o perímetro é a soma de todos os lados P=3x 10 2 = 30 2 cm
C
B
3.2. O valor exacto da área do plano de corte.
Pelo teorema de Pitágoras sabemos que:
(
h2 + 5 2
10 2
) = (10 2 )
2
2
⇔ h 2 = 200 − 150 ⇔ h = 150 ⇔ h = 5 6cm
Como a área do triângulo é igual a base vezes altura sobre dois temos:
h
5 2
A=
10 2 × 5 6 50 12
=
= 25 12 = 50 3cm 2
2
2
3.3. O valor exacto dos volumes dos dois sólidos que resultam deste corte do cubo.
1
Ab h
3
H
G
E
F
a base é um triângulo rectângulo cuja base [EF] e
altura [FG] coincidem com as arestas do cubo e
E
altura da pirâmide [FB] coincide também com a
aresta do cubo.
Substituindo
na
fórmula
temos:
D
C
1
1 10 × 10
500 3
V pir . = Ab h = ×
× 10 =
cm
B
3
3
2
3
A
B
Sólido 2
O sólido 1 não nos é familiar portanto vamos obter o
Sólido 1
seu volume subtraindo o volume da pirâmide ao
500 2500 3
volume do cubo. Vsólido 2=Vcubo-Vpirâmide= 1000 −
=
cm
3
3
G
O sólido 2 é uma pirâmide triangular o V pir . =
3.4. Resolve as três questões anteriores, supondo que a aresta do cubo mede a.
1. O plano de corte é um triângulo equilátero cujos lados são as diagonais faciais do cubo.
Num cubo de aresta a vimos já que a diagonal facial mede
2a .
Como o perímetro é a soma de todos os lados P=3 2 a .
2
2.
 2 
a =
 2 


h2 + 
2a
h
2
2
a
A=
(
2a
)
2
⇔ h 2 = 2a 2 −
2 2
6
6
a ⇔ h2 = a2 ⇔ h =
a
4
4
2
6
a
2 = 12 a 2 = 3 a 2
2
4
2
2a ×
1
Ab h a base é um triângulo rectângulo cuja base
3
[EF] e altura [FG] coincidem com as arestas do cubo e altura da pirâmide [FB] coincide também com
1
1 a ×a
a3
×a =
a aresta do cubo. Substituindo na fórmula temos: V pir . = Ab h = ×
3
3
2
6
3. O sólido 2 é uma pirâmide triangular o V pir . =
O sólido 1 não nos é familiar portanto vamos obter o seu volume subtraindo o volume da pirâmide ao
a3 5 3
= a
volume do cubo. Vsólido 2=Vcubo-Vpirâmide= a 3 −
6
6
Prof. Paula Teixeira
2004/05