CPV O cursinho que mais aprova na fGV
FGV – economia – 2a Fase – 13/dezembro/2009
02. Observe o padrão indicado na tabela a seguir:
MATEMÁTICA
01. a) Construa o gráfico das funções
f(x) = 2 + sen x e g(x) = 2 + cos 2x para 0 £ x £ 2p.
b) Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das
ações das empresas F e G na bolsa de valores de São
Paulo no intervalo de horas 0 £ x £ 2p (x = 0 indica
12h00, e x = 2p » 6,28 indica, aproximadamente,
18h17). Determine algebricamente (equações e/ou
inequações) o intervalo de horas, com 0 £ x £ 2p,
em que a cotação das ações da empresa F foi maior
ou igual à cotação das ações da empresa G.
Resolução:
a)
g(x)
3
f(x)
2
1
1
p
2
2
3p
4
3p 5
2
6 2p
b) Temos que f(x) = g(x)
\ 2 + sen x = 2 + cos 2x Þ sen x = cos 2x
Þ sen x = 1 – 2 sen2 x Þ 2 sen2 x + sen x – 1 = 0
sen x = −1

\ ou


1
sen x =
2

π
5π
3π
ou x =
ou x =
2
6
6
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
3x
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
…
7x
1
7
49
343
2401
16807
117649
823543
5764801
40353607
…
a) Determine o algarismo da unidade de 32009.
b) Determine o algarismo da unidade de 3423 + 7651 –258.
Resolução:
a) x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3x
= 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2187
38 = 6561
39 = 19683
30
7x
= 1
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
75 = 16807
76 = 117649
77 = 823543
78 = 5764801
79 = 40353607
70
Observando a tabela, vemos que o algarismo da unidade de
3x, x Î N, é uma sequência de período 4, isto é, se repete
a cada 4 termos.
Como 2009 4 ,
1 502
o resto 1 indica que o algarismo da unidade de 32009 é 3.
logo x =
Desta forma, observando os gráficos de f(x) e g(x) no item
anterior, temos que
π
5π
3π
f(x) ³ g(x) para ≤ x ≤
, ou seja,
ou x =
6
6
2
3423 = ...7 ,
Portanto: 3423 + 7651 – 258 = ...6
entre 12h31min e 14h37min ou às 16h43min.
Isto é, o algarismo da unidade é 6.
CPV
fgv092fnoveco
2x
=1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
20
b) Analogamente, dividindo 423 por 4 obtemos o resto 3,
dividindo 651 por 4 obtemos o resto 3 e dividindo 58 por
4 obtemos o resto 2, então
7651 = ...3 e 258 = ...4
1
2
fgv – 13/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
03. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um
plano paralelo à sua base, distante 2m dela. A área total
da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade
da área total da pirâmide original.
a) Calcule a altura da pirâmide original.
b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela
secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide
maior mede 3m.
Resolução:
a) Como o plano de secção é paralelo à base, podemos afirmar
que a pirâmide menor é semelhante à pirâmide original.
Daí, se chamarmos a área total de ST e a área da pirâmide
menor de S', temos:
2
S'
1  h 
= = 
 ⇒ h = (2 2 + 2) m
ST
2  h + 2 
Portanto, a altura da pirâmide menor é h = (2 2 + 2) m
Logo, a altura da pirâmide original é (2 2 + 4)m
2
b) A razão de semelhança entre as bases é k =
04. Sabe-se que a1, a2, a3, …, a2009 representa um arranjo
aleatório dos números 1, 2, 3, … , 2009.
a) Determine se o produto
(a1 – 1).(a2 –2).(a3 –3). … (a2009 – 2009)
é um número par ou ímpar, justificando sua resposta
com argumentos matemáticos.
b) Qual é a probabilidade de que o arranjo
a1, a2, a3, …, a2009 tenha seus 1000 primeiros termos em
progressão aritmética de razão 2? (não há necessidade
de fazer cálculos, apenas deixe seu resultado indicado
com notação fatorial)
Resolução:
a) Inicialmente, note que na série apresentada (1, 2, 3, ..., 2009),
existem exatamente 1004 números pares e exatamente 1005
números ímpares.
1. Para que o produto solicitado seja par, basta que ao
menos um dos fatores (ai – i) seja par.
2. Para que o produto seja ímpar, é necessário que todos
esses fatores (ai – i) sejam ímpares. Assim, as possíveis
combinações necessárias seriam [ai = par e i = ímpar]
ou [ai = ímpar e i = par]. Entretanto, existem 1005
fatores com i = ímpar e somente 1004 possibilidades
de valores pares para ai. Ou seja, é ímpossível parear
esses números de modo que todo fator (ai – i) resulte
ímpar, de modo que haverá ao menos um fator par.
Logo, o produto solicitado sempre será, obrigatoriamente,
PAR.
1
2
9 2
m
2
Assim, a área da base da pirâmide menor mede S'b =
O volume do tronco da pirâmide pode ser calculado pela
diferença entre os volumes das pirâmides.
Daí, o volume pedido será:
9
9 ( 2 2 + 4) 2 ( 2 2 + 2)
VT =
−
3
3
CPV
3
\ VT = (3 2 + 9) m
fgv092fnoveco
b) Existem 11 PAs de razão 2 utilizando 1000 números dentre
1, 2, 3, 4, ... , 2009, a saber:
( 1, 3, 5, ..., 1999)
( 2, 4, 6, ... , 2000)
( 3, 5, 7, ... , 2001)
  

(11, 13, 15, ... , 2009)
A quantidade de vezes que cada PA aparece nos 2009!
arranjos aleatórios dos números 1, 2, 3, ... , 2009 é 1009!,
pois devemos permutar os 1009 últimos números do arranjo.
Assim, a probabilidade pedida é
11 . 1009 !
2009 !