APOSTILA ELABORADA PELO PRO.F. CARLINHOS – PIRÂMIDES PIRÂMIDES
Pirâmide é o poliedro convexo tal que uma face é um polígono convexo e as demais
faces são triângulos que têm um vértice comum. Numa pirâmide devemos destacar os
seguintes elementos:
Nomenclatura
O nome de uma pirâmide, é de acordo com o número de lados do polígono da sua base.
Se for triângulo, chama-se triangular, se for quadrilátero, quadrangular e assim
sucessivamente.
Pirâmide Regular
Para uma pirâmide ser regular, é necessário que ela satisfaça duas condições:
1ª) A base deve ser um polígono regular;
2ª) A projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base coincide com o centro da
base.
Numa pirâmide regular devemos destacar os seguintes elementos:
1
APOSTILA ELABORADA PELO PRO.F. CARLINHOS – PIRÂMIDES Em uma pirâmide regular, as arestas laterais são iguais, logo, as faces laterais são
triângulos isósceles congruentes.
Área total de uma pirâmide (At ) : At = Ab + Al , onde Ab ( área da base ) e Al ( área
lateral ou seja soma das áreas das faces ).
Volume de uma pirâmide ( V ) : V =
1
. Ab . h, onde Ab ( área da base ) e h ( sua
3
altura).
Tetraedro Regular
É a pirâmide que possui quatro faces que são triângulos eqüiláteros.
a 3
6
a 3
apótema do tetraedro ( g ) : g =
2
apótema da base ( m ) : m =
altura de um tetraedro regular ( h ) : h =
a 6
3
área total ( At ) : At = a 2 3
volume ( V ) : V =
a3. 2
12
Exemplos:
1) Calcule a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cuja a aresta da
mede 8 cm e a sua altura 3 cm.
Resolução:
2
APOSTILA ELABORADA PELO PRO.F. CARLINHOS – PIRÂMIDES 2) O volume de uma pirâmide triangular regular é igual a 24 3 cm3 e sua altura igual a
6cm. Calcule a medida da aresta da sua base.
Resolução:
3) A soma de todas as de um tetraedro regular é igual a 36 cm. Calcule a sua área total e
o seu volume.
Resolução:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Dada uma pirâmide quadrangular regular cuja a altura mede 12cm e o apótema da
base mede 9cm. Calcule:
a) O apótema da pirâmide. Resp: 15 cm
b) A aresta da base. Resp: 18 cm
c) A aresta lateral. Resp: 3 34 cm
d) A área lateral. Resp: 540 cm2
e) O volume. Resp: 1296 cm3
2) Dada uma pirâmide triangular regular cuja a aresta lateral mede 15cm e a aresta da
base mede 18cm. Calcule:
a) O apótema da pirâmide. Resp: 12 cm
b) A apótema da base. Resp: 3 3 cm
c) A altura da pirâmide. Resp: 3 13 cm
d) A área lateral. Resp: 324 cm2
e) A área total. Resp: 81( 3 + 4) cm2
3) O perímetro da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 36cm e o apótema da
pirâmide 20cm. Calcule:
a) O apótema da base. Resp: 3 3 cm
b) A altura da pirâmide. Resp: 18 cm
c) A área lateral. Resp: 360 cm2
d) A área total. Resp: 18(3 3 + 20) cm2
3
APOSTILA ELABORADA PELO PRO.F. CARLINHOS – PIRÂMIDES 4) Uma pirâmide regular tem por base um quadrado de 12cm de lado. Ache o volume,
sabendo que a aresta lateral mede 15cm. Resp: 48 153 cm3
5) A base de uma pirâmide regular é um triângulo de lados 8cm, 10cm e 10cm. Ache o
volume, sabendo que a altura da pirâmide mede 27cm. Resp: 72 21 cm
6) A aresta de um tetraedro regular mede
total.
Resp: h = 2 2 cm At = 12 3 cm2
12 cm. Ache a sua altura e sua área
7) A área total de um tetraedro regular é 81 3 cm2. Ache o apótema do
tetraedro.
9 3
Resp:
cm
2
8) Considerando um tetraedro regular, Calcule:
a) Seu volume, sabendo que aresta mede 3 2 cm. Resp: 9cm3
b) Seu volume, sabendo que a área total dele é 24 3 cm2. Resp: 8 3 cm3
c) Sua altura, sabendo que o seu volume é 36 2 cm3. Resp: 4 3 cm
9) (Unicamp 2008) Suponha que um livro de 20 cm de largura esteja aberto conforme a
figura a seguir, sendo DÂC = 120° e DBC = 60°.
a) Calcule a altura AB do livro. Resp: 20 2 cm
2000 6
cm3
3
10) (Unifesp) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um
tetraedro regular. As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme
mostra a figura.
b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D. Resp:
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do
2 3
cubo. Resp:
3
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro. Resp: 3
4
APOSTILA ELABORADA PELO PRO.F. CARLINHOS – PIRÂMIDES 11) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de
base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir
esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes
de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser
comprado é:
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 Resp: a
12) (Uff) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma
pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa pirâmide é um
triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.
A área da base dessa pirâmide, em m2, é:
a) 13.272 b) 26.544 c) 39.816 d) 53.088 e) 79.432
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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