Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Lista - Distribuições Amostrais - 2013.2
Disciplina: Cálculo da Probabilidades e Estatística I
1. Seja X uma variável aproximadamente N (9, 4). Verifique o que é mais provável ocorrer: um valor individual da variável acima de 10 ou uma média amostral acima de 10 em uma amostra aleatória de
tamanho 25.
2. Sabe-se que uma peça utilizada em uma máquina de um processo produtivo tem tempo de vida médio
igual a 180 dias com desvio padrão de 40 dias. O fabricante afirma que o tempo de vida médio de uma
amostra de tamanho 16 não se distanciará do tempo de vida médio populacional em mais do que 12
dias. Supondo que o tempo de vida é uma variável aleatória aproximadamente normal, pede-se:
(a) Qual a probabilidade do fabricante estar errado?
(b) Considere um estoque de 36 peças. Em quantas peças deve se esperar um tempo médio maior que
175 dias?
(c) No geral sabe-se que para esse tipo de peça 20% são consideradas defeituosas. Sabendo-se que a
probabilidade da proporção de peças defeituosas em certa amostra seja no máximo 10% é de 0,05,
calcule a probabilidade de que a proporção de peças defeituosas para essa mesma amostra seja
superior a 25%.
3. A capacidade máxima de um avião particular 500 kg. A distribuição X dos pesos dos tripulantes é aproximadamente normal com média 70 e variância 100. Qual a probabilidade de 7 pessoas ultrapassarem
este limite?
4. Um distribuidor de sementes determina através de testes, que 5% das sementes não germinam. Ele
vende pacotes de 200 sementes com garantia de que 90% germinarão. Qual a probabilidade de um
pacote não satisfazer a garantia?
5. As alturas dos estudantes da turma de Métodos Estatísticos tem distribuição N (172, 49). Uma amostra
aleatória de 36 estudantes é coletada.
(a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acima de 171 cm?
(b) Se forem obtidas 100 amostras de 36 estudantes cada, em quantas amostras se espera que a média
se encontre entre 169 e 174 cm?
6. Em uma empresa com 2500 funcionários o salário médio é de R$ 550,00 com desvio padrão de R$ 125,00
.
(a) Para amostras de 22 funcionários, qual a média e o desvio padrão da distribuição amostral das
médias?
(b) Se 130 amostras de 42 funcionários forem selecionadas dessa empresa, espera-se quantas apresentarem um salário médio entre R$ 510,00 e R$ 575,00?
7. Um processo de fabricação produz 12% dos artigos fora das especificações exigidas. Extraída uma
amostra de 125 artigos:
(a) Determine a média e o desvio padrão da proporção amostral de artigos fora das especificações;
(b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de artigos fora das especificações esteja entre
10% e 13%?
8. Logo após a eleição em que um certo candidato recebeu 47% dos votos foi colhida uma amostra aleatória de 500 eleitores. Qual a probabilidade de que a maioria de votos seja a favor desse candidato?
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Disciplina: Cálculo da Probabilidades e Estatística I
Gabarito
1a questão
Temos que X ∼ N (9, 4), logo
!
10 − 9
10 − 9
= 0, 00621
PX (X > 10) = PZ Z >
= 0, 30854 e PX (X > 10) = PZ Z > 2
2
5
Portanto é mais provável ocorrer um valor individual da variável X acima de 10 do que da média da variável
X.
2a questão
2
(a) Seja X o tempo de
vida de uma peça e X ∼ N (180, 40 ) logo para uma amostra de 16 elementos tem-se
2
, portanto:
que X ∼ N 180, 40
16
P(X < 168, X > 192) = 1 − P(168 ≤ X ≤ 192) = 1 − PZ (−1, 2 ≤ Z ≤ 1, 2) = 0, 2301;
(b) 36 × PZ (Z > −0, 125) ≈ 20;
(c) Do problema tem-se que p = 0, 2 e Ppb (pb ≤ 0, 1) = 0, 05 isto implica que,
0, 1 − 0, 2
= −1, 64 logo
Æ
Ç
0,2×0,8
n
0, 2 × 0, 8
1
=
n
16, 4
Deste modo, segue que
Ppb (pb > 0, 25) = PZ (Z > 0, 82) = 0, 2061.
3a questão
€
Š
, portanto
Temos que X ∼ N (70, 100) logo X ∼ N 70, 100
7
PX
500
X>
7
= PZ (Z > 0, 38) = 0, 3520
4a questão
€
Š
Seja X a variável aleatória que conta o número de sementes que germinam, então p = 0, 95 e pb ∼ N 0, 95; 0,95×0,05
200
portanto,
Ppb (pb < 0, 9) = PZ (Z < −3, 33) = 0, 00043
5a questão
(a) PX (X > 171) = PZ (Z > −0, 86) = 0, 8051
(b) PX (169 ≤ X ≤ 174) = PZ (−2, 57 ≤ Z ≤ 1, 71) = 0, 9513 logo espera-se que em aproximadamente 95 amostras as alturas médias fiquem entre 169cm e 174cm.
6a questão
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Disciplina: Cálculo da Probabilidades e Estatística I
(a) E (X ) = 550 e V a r (X ) = 26, 65
(b)PX (510 ≤ X ≤ 575) = PZ (−2, 07 ≤ Z ≤ 1, 30) = 0, 8840 logo espera-se que em aproximadamente 115 amostras os salários médios fiquem entre R$ 510 e R$ 575.
7a questão
(a) E (pb) = 0, 12 e V a r (X ) = 0, 029
(b) P(0, 1 ≤ pb ≤ 0, 13) = PZ (−0, 69 ≤ Z ≤ 0, 34) = 0, 388
8a questão
Tem-se que Ppb (pb > 0, 5) = 0, 09
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