Estatística II - Administração
Prof. Dr. Marcelo Tavares
Distribuições de amostragem
1
Na
inferência
estatística
vamos
apresentar
os
argumentos
estatísticos para fazer afirmações sobre as características de uma
população, com base em informações dadas por amostras.
Ex:
-Cozinheira
verificando se o prato que ela está preparando tem ou não
a quantidade de sal adequada;
- Um cliente, após experimentar uma uva num supermercado, decide
se vai comprar ou não as uvas.
2
Estatística
Estatística Descritiva X Estatística Inferencial
100
90
80
20
15
70
10
60
5
50
+
+
0
classe 1
S
Classes
10 - 20
20 - 30
30 - 40
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
90 - 100
100 - 110
110 - 120
120 - 130
F.A.
2
4
6
12
10
25
12
19
7
5
3
1
106
F.R.
0,02
0,04
0,06
0,11
0,09
0,24
0,11
0,18
0,07
0,05
0,03
0,01
classe 2
• média
• moda
• mediana
• desvio médio
• desvio padrão
• assimetria
• curtose
• coeficiente de variação
3
1
Estatística
Estatística Descritiva X Estatística Inferencial
intervalos de confiança
testes de hipóteses
0,35
0,30
0,25
f ( x;α , β , λ )
0,20
0 15
0,15
0,10
0,05
0,00
αˆ
βˆ
λˆ
S
4
5
POPULAÇÃO: é o conjunto de todos os elementos ou resultados sob
investigação.
AMOSTRA: é qualquer subconjunto da população (representatividade).
Ex1: Pesquisa para estudar os salários dos 500 funcionários da
Companhia MB. Seleciona-se uma amostra de 36 indivíduos e anota-se
os seus salários.
Va = ?
População = ?
Amostra = ?
6
2
Ex2. Queremos estudar a proporção de indivíduos na cidade A que
são favoráveis a certo projeto governamental. Uma amostra de 200
pessoas é sorteada, e a opinião de cada uma é registrada como sendo
a favor ou contra o projeto.
E 3. O interesse
Ex
i t
é investigar
i
ti
a duração
d
ã de
d vida
id de
d um novo tipo
ti
d
de
lâmpada, pois acreditamos que ela tenha uma duração maior do que
as fabricadas atualmente. 100 lâmpadas do novo tio são deixadas
acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada é
registrada.
7
Para determinar teoricamente o comportamento de algumas medidas
devemos antes responder a 4 perguntas:
a)
Qual a população a ser amostrada?
b)
Como obter os dados (a amostra)?
c)
Que
informações pertinentes
(estatísticas)
serão
retiradas
estatística(s)
quando
da
amostra?
d)
Como
se
comporta(m)
a(s)
o
mesmo
procedimento de escolher a amostra é usado numa população
conhecida?
8
Como Selecionar uma Amostra
9
Levantamentos amostrais
9
Planejamento de Experimentos
9
Levantamentos Observacionais
9
3
„
- Parâmetro: medida utilizada para
característica populacional. Ex: μ, σ
„
- Estimador: é uma variável aleatória que é função dos
dados amostrais. Ex: x = 170 cm é um estimador de μ
„
- Estimativa: é o valor numérico assumido pelo estimador,
quando são substituídos os dados amostrais. Ex:
„
- Inferência estatística: objetivo de inferir propriedades de
um agregado maior (a população) a partir de um conjunto
menor (a amostra).
descrever
uma
10
Distribuições amostrais
População
Amostras
θˆ1
θ
Distribuição
Amostral
θˆ2
θˆ3
...
...
θˆn
11
„
Resumindo o processo:
„
a) População com um parâmetro θ .
„
b) Retira-se k amostras por um processo aleatório
qualquer
„
c) Calcula-se o valor θ$ i para cada amostra (1 = 1, 2, . . . ,
k)
„
d) Com os valores de θ i das k amostras constrói-se a
distribuição amostral de θ.
$
12
4
Amostragem Aleatória Simples
„
Numa urna tem-se 5 tiras de papel,
numeradas 1, 3, 5, 5, 7. Uma tira é sorteada
e recolocada na urna, então, uma segunda
tira é sorteada. Sejam X1 e X2 o primeiro e
o segundo números sorteados.
13
Exemplo das Tiras na Urna
„ Amostra aleatória Simples
Pop{1, 3, 5, 5, 7} n = 2
X2
X1
1
3
5
1
1/25
1/25
2/25
1/25
7
1/5
P(X1=x)
3
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
5
2/25
2/25
4/25
2/25
2/5
7
1/25
1/25
2/25
1/25
1/5
P(X2=x)
1/5
1/5
2/5
1/5
1
14
Distribuição amostral da média
x
P( X = x )
1
2
3
4
5
6
7
Total
1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25
1,00
Distribuição amostral da variância
s
P(S =
2
2
s
0
2
)
2
8
7/25 10/25 6/25
18
Total
2/25
1,00
15
5
1/2
Distribuição
de X
2/5
3/10
1/5
1/10
0
1
3
5
7
3/10
Distribuição
da média de
X
1/5
1/10
0
1
2
3
4
5
6
7
16
Distribuição amostral de
X
População
R$8
R$9
R$10
$
17
μ = 9 salários
σ2 =
2
salário 2
3
P(X=x)
Pop.
0.44
0.33
0.22
0.11
0.00
8
9
10
salários
18
6
Amostragem com reposição
n=2
μ X = 9 salários = μ
1
3
σ X2 = salário 2 =
σ2
n
Médias.
0.44
0.33
0.22
0.11
0.00
8
8.5
9
9.5
10
salários
19
Amostragem com reposição
n=3
μ X = 9 salários = μ
σ X2 =
σ2
2
salário 2 =
9
n
fa
Médias
8
7
6
5
4
3
2
1
0
8.00
8.33
8.67
9.00
9.33
9.67
10.00
Salários
20
A distribuição de X
Variáveis normais
(
)
⎛ σ2⎞
⎟
X ~ N μ , σ 2 → X ~ N ⎜⎜ μ ,
⎟
n
⎝
⎠
21
7
„Variáveis
não normais TCL
Se X é uma variável qualquer com média μ e
variância σ2, :
z=
X −μ
σ
→∞
⎯n⎯
⎯→ N ( 0,1)
n
22
23
Teorema do Limite Central
„
A distribuição das médias amostrais, obtidas de amostras de tamanho n,
selecionadas ao acaso de uma população de tamanho N, com média μ e
variância σ2 será aproximadamente normal com média
σ2
e variância σ =
n
2
x
ou
σ 2x =
σ2 N − n
⋅
n N −1
μx = μ
se a amostragem for realizada com reposição,
se a amostragem for realizada sem reposição em
uma população finita ( n
N > 0,05), independentemente da distribuição
da variável em questão.
24
8
Teorema Central do Limite
Se for tirada varias amostras de tamanho n de uma população com
qualquer tipo de distribuição, com média = μ e desvio padrão = σ
A média das amostras terá uma distribuição amostral aproximadamente
normal
Desvio
padrão:
Média:
x
25
Exemplo
Seja X: N (80, 26). Dessa população retiramos
uma amostra de n=25. Calcular
a) P ( X > 83)
b) P ( X ≤ 82)
26
Exemplo
Seja X: N (100, 85). Retiramos uma amostra de
n=20. Determinar
P (95 < X < 105)
27
9
Distribuição Amostral de t (Student)
2
Sabe-se que x ~ N ⎛⎜ μ ; σ ⎞⎟, e sua distribuição padronizada é
⎝
n ⎠
dada por:
z=
x−μ
σ
n
Em muitas situações não se conhece σ2 ou σ, mas sim sua estimativa s2 ou s
Precisamos substituir σ por seu estimador s
estatística
t tí ti
x−μ ,
t=
s
n
a qual segue uma distribuição t de Student com (n-1) graus de liberdade.
Esta estatística é utilizada quando se tem amostras pequenas (n ≤ 30), pois o
valor de s2 torna-se muito variável, ou seja, flutua muito de amostra para
amostra
Nestas situações a distribuição deixa de ser normal padronizada.
28
Características da distribuição t
a) É simétrica em relação a média (semelhante a
distribuição de z)
b) Tem forma campanular. Valores de t dependem da
flutuação das estatísticas média e desvio padrão amostrais
e z depende somente das mudanças da média das
amostras
c) Quando n tende para infinito, a distribuição t tende para a
distribuição normal. Na prática, a aproximação é
considerada boa quando n >30.
d) Possui n-1 graus de liberdade.
29
Condições para utilizar a distribuição de t de
Student
a) O tamanho da amostra é pequeno
(n ≤ 30)
tg
b) σ é desconhecido
-∞
0
+∞
c) A população tem distribuição essencialmente
normal
30
10
Distribuição t de student
Se
X i ~ N ( μ ,σ 2 )
X ~−? μ
X −μ
Z =σ
n
σ
~ N (0,1)
n
tn −1 ~
X −μ
s
n
31
Tabela 2. Limites unilaterais da di stribuição t de Student ao nível α de probabilid ade.
α
GL
0.250
0.200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
1
2
3
4
1.000
0.816
0.765
0.741
1.376
1.061
0.978
0.941
1.963
1.386
1.250
1.190
3.078
1.886
1.638
1.533
6.314
2.920
2.353
2.132
12.706
4.303
3.182
2.776
31.821
6.965
4.541
3.747
63.656
9.925
5.841
4.604
318.289
22.328
10.214
7.173
5
6
7
0.727
0.718
0.711
0.920
0.906
0.896
1.156
1.134
1.119
1.476
1.440
1.415
2.015
1.943
1.895
2.571
2.447
2.365
3.365
3.143
2.998
4.032
3.707
3.499
5.894
5.208
4.785
8
9
0.706
0.703
0.889
0.883
1.108
1.100
1.397
1.383
1.860
1.833
2.306
2.262
2.896
2.821
3.355
3.250
4.501
4.297
10
11
12
13
0.700
0.697
0.695
0.694
0.879
0.876
0.873
0.870
1.093
1.088
1.083
1.079
1.372
1.363
1.356
1.350
1.812
1.796
1.782
1.771
2.228
2.201
2.179
2.160
2.764
2.718
2.681
2.650
3.169
3.106
3.055
3.012
4.144
4.025
3.930
3.852
14
15
16
17
18
0.692
0.691
0.690
0.689
0.688
0.868
0.866
0.865
0.863
0.862
1.076
1.074
1.071
1.069
1.067
1.345
1.341
1.337
1.333
1.330
1.761
1.753
1.746
1.740
1.734
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.624
2.602
2.583
2.567
2.552
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
3.787
3.733
3.686
3.646
3.610
19
20
21
22
23
0.688
0.687
0.686
0.686
0.685
0.861
0.860
0.859
0.858
0.858
1.066
1.064
1.063
1.061
1.060
1.328
1.325
1.323
1.321
1.319
1.729
1.725
1.721
1.717
1.714
2.093
2.086
2.080
2.074
2.069
2.539
2.528
2.518
2.508
2.500
2.861
2.845
2.831
2.819
2.807
3.579
3.552
3.527
3.505
3.485
24
25
26
27
28
0.685
0.684
0.684
0.684
0.683
0.857
0.856
0.856
0.855
0.855
1.059
1.058
1.058
1.057
1.056
1.318
1.316
1.315
1.314
1.313
1.711
1.708
1.706
1.703
1.701
2.064
2.060
2.056
2.052
2.048
2.492
2.485
2.479
2.473
2.467
2.797
2.787
2.779
2.771
2.763
3.467
3.450
3.435
3.421
3.408
29
30
40
0.683
0.683
0.681
0.854
0.854
0.851
1.055
1.055
1.050
1.311
1.310
1.303
1.699
1.697
1.684
2.045
2.042
2.021
2.462
2.457
2.423
2.756
2.750
2.704
3.396
3.385
3.307
Obter os seguintes valores da distribuição t de
Student:
a) t / P (-t < t < t ) = 0,95 com 10 g.l.
b) t / P (-t < t < t ) = 0,90 com 20 g.l.
c) t / P (t > t ) = 0,05 com 25 g.l.
d) t / P (t < t ) = 0,10 com 10 g.l.
e) P (-1,753 < t < 1,753 ) com 15 g.l.
33
11
Distribuição de s2 - Distribuição de χ2 (Qui - Quadrado)
É uma distribuição amostral de variâncias
Retira-se uma amostra de n elementos de uma população normal com
média μ e variância σ2, teremos a distribuição de uma
n
s2 =
∑ (x
i
− x)
2
, segue uma distribuição de χ2
i =1
n−1
com n-1 graus liberdade , e que:
A variável
χ2 =
tem distribuição
χ2
( n − 1) s 2
σ2
com n-1 graus de liberdade.
34
9
Os valores de χ2 não podem ser negativos
9
Não é simétrica em χ2 = 0
9
quanto maior o tamanho de n, a distribuição tende a
normal.
9
Como a curva não é simétrica, então olha-se na tabela
dois valores de χ2, quando queremos saber se um valor
está entre 2 limites.
35
36
12
Obter os seguintes valores da distribuição de χ2 :
a) χ2 / P (χ2 > χ2 ) = 0,025 com 17 g.l.
b) χ2 / P (χ2 < χ2 ) = 0,025 com 17 g.l.
c) χ12, χ22 / P (χ12 < χ2 < χ22) = 0,90 com 10 g.l.
d) χ12, χ22 / P (χ12 < χ2 < χ22) = 0,95 com 15 g.l.
e) P (10,8508 < χ2 < 31,4104) com 20 g.l.
37
Distribuição F (de Snedecor)
+∞
0
F g1 , g 2
0
+∞
F
38
Distribuição F
( n1 − 1) s12
σ 12
~χ?n −1
2
1
s12 σ 22
=
σ 12 s22
( n 2 − 1) s 22
σ 22
~ χ? n −1
2
2
s12σ 22
~ Fn1 −1,n2 −1
s22σ 12
Quando a área a direita (alfa) é muito grande?
39
13
40
41
Obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor:
a) F / P(F > F ) = 0,10 com v1 = 8 e v2 = 20 g.l.
b) F / P(F < F ) = 0,90 com v1 = 8 e v2 = 20 g.l.
c) F1,F2 / P(F1 < F < F2 ) = 0,95 com v1 = 10 e v2 = 20 g.l.
d) F / P(F < F) = 0,01 com v1 = 10 e v2 = 8 g.l.
42
14