O SOFTWARE GEOGEBRA E A ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES
EL SOFTWARE GEOGEBRA Y EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DE EUCLIDES
Prof. Dr. José Carlos Pinto Leivas
[email protected]
Mini-Curso
Medio, Terciario y Educación de Adultos
Tema: 4. Uso de tecnologías
Palavras-chave: unidades figurais elementares; álgebra geométrica; Geogebra.
Resumo:
Em “Os Elementos” Euclides preocupou-se em obter e comparar áreas de regiões
poligonais. Para tal, utilizou-se da decomposição de polígonos em figuras com áreas
equivalentes, a saber, em triângulos e efetuou a chamada álgebra geométrica. Obteve, por
meio de operações com régua e compasso, um paralelogramo, um retângulo e um
quadrado, todos de mesma área. Para reunir dois quadrados de áreas distintas num
terceiro quadrado, cuja área corresponda à soma das áreas dos respectivos, utilizou o
Teorema de Pitágoras. O Mini-Curso ilustra o caminho realizado por Euclides, à luz das
unidades figurais de um objeto geométrico da teoria de Duval e a correspondente
reconfiguração, particularmente ilustrando o emprego da média geométrica em seu
aspecto geométrico. Como metodologia de trabalho utilizaremos o software Geogebra nas
construções em um ambiente computacional em que os participantes deverão atuar
efetivamente.
Resumen:
Euclides trato de obtener y comparar áreas de regiones poligonales y ha utilizado la
descomposición de polígonos en regiones triangulares con áreas equivalentes y realizó el
álgebra geométrica. Obtuvo, con regla y compás, paralelogramo, rectángulo y cuadrado,
todos con la misma área. Para el montaje de dos plazas de diferentes áreas en el tercer
cuadrado, cuya área corresponde a la suma de sus áreas, se utiliza del Teorema de
Pitágoras. El Mini-Curso ilustra la forma realizada por Euclides, a la luz de las unidades
figurales elementales de una figura geométrica de un objeto de la teoría de Duval y la
reconfiguración correspondiente, en particular, ilustra el uso de la media geométrica en su
aspecto geométrico. La metodología a utilizar es en un entorno informático con el software
Geogebra en el que los participantes trabajarán con eficacia en las construcciones.
Palabras-clave: unidades figurales elementales; álgebra geométrica; Geogebra.
Desenvolvimento:
Encontramos no livro I de Euclides as definições 13 e 14: E fronteira é aquilo que é
extremidade de alguma coisa; Figura é o que é contido por alguma ou algumas fronteiras.
(Euclides, 2009, p. 97). A linguagem e os termos utilizados à época têm se modernizado?
Esta é uma pergunta que frequentemente me faço e também a repito aos meus alunos. Não
seria este um bom motivo para a falta de interesse dos alunos, nos diversos níveis de ensino,
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pela aprendizagem de Geometria, especialmente em tempos de modernização e,
especialmente, pelo uso das tecnologias?
Se as mudanças tecnológicas influenciaram e influenciam as sociais, então porque não
pensar de que formas elas poderiam influenciar no ensino de Matemática e, particularmente,
no ensino de Geometria de modo a melhor a aprendizagem desta área do conhecimento.
Schaff (apud Borba e Villarreal, 2006, p. 9) previu que a perda de empregos provocada
pela introdução de computadores em diversos setores da atividade social também pode
trazer mudanças no setor educacional. Suas previsões quanto a um crescente papel para a
educação são verdadeiras, pois a própria tecnologia abriu possibilidades e necessidade de
educação ao longo da vida. Assim, olhar para a Geometria sob um enfoque computacional é
importante, especialmente na formação do professor de Matemática.
Aspectos visuais oferecidos pelos softwares de Geometria Dinâmica têm sido, em nossa
opinião, um aliado imprescindível do professor na busca do crescimento e de um
desenvolvimento de raciocínio e pensamento geométrico nos estudantes nos diversos níveis
de ensino. O tema visualização tem sido estudado por muitos autores, sendo um tema de
pesquisa atual e relevante, inclusive merecendo atenção especial em trabalhos junto ao
Grupo de Psicologia da Educação Matemática – PME. Leivas (2009, p. 22) define
visualização como um processo de formar imagens mentais, com a finalidade de construir e
comunicar determinado conceito matemático, com vistas a auxiliar na resolução de
problemas analíticos ou geométricos. Entendemos que visualizar vai muito além de “ver
com os olhos” e, desta forma, fazer uso de um software para desenvolver o cálculo de áreas
de regiões poligonais não regulares torna-se acessível, dinâmico e prazeiroso para
estudantes e professores.
Leivas (2007) utiliza régua e compasso para obter o cálculo de áreas de regiões poligonais
utilizando o princípio das representações semióticas de Duval. Para tal faz uma passagem
de registros de representação de média geométrica entre dois números reais positivos p e q,
ou seja, a raiz quadrada do produto destes dois números e relações trigonométricas no
triângulo retângulo. Por exemplo, a altura relativa à hipotenusa é igual à raiz quadrada do
produto das duas projeções dos catetos sobre ela ( média geométrica entre p e q).
A forma ali construída permite uma forma de visualização obtida por meio do lápis e papel
e não é a única uma vez que nos propomos, neste minicurso, utilizar os recursos
tecnológicos da ferramenta computacional Geogebra para percorrer um caminho similar ao
descrito po Euclides em sua álgebra geométrica (livro I, proposições 42, 47 e livro II,
proposição 14, por exemplo).
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O Geogebra é um software livre e pode ser baixado diretamente no computador do usuário
pelo endereço www.geogebra.at e proporciona uma excelente interface na conexão de
problemas a serem resolvidos algébrica e geometricamente. Na medida em que se realizam
atividades geométricas na tela do computador, uma janela mostra ao usuário os registros
algébricos que são realizados. A figura 1, a seguir, ilustra a interface em que na parte
superior são mostradas as janelas e as ferramentas disponíveis, podendo, entretanto, serem
criadas novas ferramentas, principalmente, as macro construções.
Na janela geométrica é visualizado um triângulo ABC e a região plana limitada pelo
mesmo. Esta é a primeira construção a ser feita no minicurso, a qual será base para
construção de nossa álgebra geométrica.
Figura 1. A interface do Geogebra com a janela algébrica à esquerda.
No que segue, por meio da reta r passando pelos pontos médios de dois lados do triângulo,
o transformaremos em um paralelogramo de mesma área do triângulo, como mostrado nas
figuras 2, a seguir.
Figura 2. Rotação do triângulo DEB em torno do ponto E.
Observamos que a reta r, ao seccionar os lados AB e BC do triângulo, determina o
segmento de reta DE denominado de mediana de Euler, o qual tem por medida a metade da
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medida do lado AC. O triângulo DEB fazendo uma rotação em torno do ponto E é levado
ao triângulo D´E´B´, de mesma área.
O software permite elaborar uma tabela com o cálculo de áreas das figuras e, assim obtémse uma comparação entre as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo ADD’C, devendose concluir que são iguais, mostrando, assim a existência de um paralelogramo com a
mesma área do triângulo inicial (figura 3)
Figura 3. Comparação entre as áreas do triângulo ABC e do paralelogramo ADD´C.
No que segue, devemos transformar o paralelogramo ADD’C num retângulo FED1´F´ de
mesma área e para tal faremos uso da ferramenta translação disponível na barra de
ferramentas do Geogebra. Devemos, pois, transladar o triângulo AFD segundo um vetor
⎯⎯
→
AC conveniente, como mostrado na figura 4. Dessa forma, obtemos a transformação
do paralelogramo ADD’C num retângulo FDD’F’ de mesma área e que, por conseqüência,
com a mesma área do triângulo ABC.
Figura 4. Transformação do paralelogramo num retângulo de mesma área.
Seguindo nossa álgebra geométrica com o uso do software Geogebra iremos transformar o
retângulo em um quadrado de mesma área e, para tal, utilizaremos o conceito de média
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geométrica. Iremos propor a construção do segmento FH cujo comprimento é igual à soma
dos comprimentos dos dois lados do retângulo, como na figura 5 da esquerda. Para isto,
solicitaremos obter o ponto médio C do segmento FH, I, que é centro de uma
semicircunferência de raio FC, na qual se inscreve um triângulo retângulo FLH como
indicado na segunda figura.
Figura 5. Triângulo retângulo inscrito em uma semicircunferência.
A altura do triângulo relativa à hipotenusa, LF´, é igual à média geométrica entre as
projeções dos catetos sobre a hipotenusa, que são as duas dimensões do retângulo e
corresponde ao lado do quadrado de mesma área do retângulo, como mostra a figura 6.
Figura 6. Quadrado de mesma área do triângulo.
A sequência de figuras acima ilustra uma possibilidade de transformar um triângulo em um
quadrado de mesma área, ou seja, estamos obtendo uma equivalência de áreas com o uso do
software Geogebra. A partir disto ilustraremos como é possível obter a área de uma região
poligonal pela decomposição desta região em triângulos e, seguindo a álgebra geométrica
ilustrada anteriormente, transformar cada um destes triângulos em um quadrado de mesma
área.
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A fim de reunir as áreas de dois triângulos ou equivalentemente de dois quadrados
empregaremos o teorema de Pitágoras. Assim, dados dois triângulos T1 e T2, os
transformamos geometricamente em dois quadrados Q1 e Q2 de mesma área. Digamos que o
quadrado Q1 tem lado medindo l1 e Q2 tem lado medindo l2. Construímos um triângulo
retângulo cujos catetos são l1 e l2. Portanto, a hipotenusa corresponde ao lado de um terceiro
quadrado cuja área corresponde à de um quadrado Q3 e, assim, a área de Q3 é igual à soma
das áreas de Q1 e Q2. Portanto, Q3 corresponde à área da região definida pelos triângulos T1
e T2. (figura 7)
Figura 7. Soma de áreas de dois quadrados usando Pitágoras.
Concluindo:
Não é raro alunos questionarem seus professores a respeito de razões pelas quais é
necessário que aprendam determinados conteúdos ou técnicas de ensino e, muitas vezes,
desejam saber em que ou onde utilizarão o que está sendo ensinado. Davis e Hersh (1995, p.
89) questionam: Que aplicações de matemática são de utilidade comum? Respondem: A
resposta a esta questão tem, obviamente, implicações profundas para a educação, para a
preparação de textos e para a investigação. Contudo, a resposta está rodeada de mito,
ignorância, desinformação e confusão entre desejos e realidade.
Acreditamos que a oficina poderá dar algumas respostas sobre o porquê de utilizar certos
conceitos matemáticos que os alunos têm, muitas vezes, dificuldades de compreender em
Geometria pela forma dedutiva como ela é apresentada. Ao discutirmos os principais
axiomas de Hilbert à luz dos recursos disponibilizados pelo Geogebra, entendemos que
estaremos proporcionando ao professor que atua na Escola Básica e também no Ensino
Superior algumas sugestões de como utilizar as tecnologias para inovar e, principalmente,
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motivar os alunos para o estudo dessa área do conhecimento que vem sendo esquecida e,
porque não, em alguns momentos abandonada na escola.
Retomamos aqui o dito por Freudenthal (1973, p. 402) Se hoje há motivos para se
preocupar com o futuro do ensino da Geometria e, mesmo temer que ela possa desaparecer
do currículo, em primeiro lugar os culpados são aqueles que, ativa ou passivamente, têm
resistido em inovar o ensino da Matemática.
Dessa forma, utilizar os recursos oferecidos pelo Geogebra na construção do conhecimento
geométrico por meio de oficina corrobora o que indicou Papert (1994) de que na abordagem
construcionista a forma de pensamento dos alunos é explicitada e o professor, como
orientador do processo, acompanha o desenvolvimento das atividades que o aluno
desenvolve no computador por meio de constantes questionamentos sobre a forma como o
aluno realiza suas tarefas.
Entendo que a visualização, com o sentido dado pelo autor deste trabalho no início do
artigo, encontra guarida nos indicativos fornecidos pelo NCTM (2008) para as medidas por
níveis de escolaridade. O documento indica que os programas de ensino, desde o préescolar ao último ano do Ensino Médio, deverão qualificar os alunos para Usar a
visualização e a modelação geométrica para resolver problemas.
E, para concluir, cremos na contribuição que a oficina possa dar para que o professor,
partindo das atividades exploratórias realizadas, possa ter subsídios para criar e selecionar
outras atividades de acordo com o nível de sua turma e da escola em que está inserido.
Referências:
Bicudo, Irineu (trad.). 2009. Os Elementos/Euclides. São Paulo: Editora da UNESP.
Borba, M.C. and Villarreal, M. (2006). Humans-with-media and the reorganization of
mathematical thinking: information and communication technologies, modeling,
experimentation an visualization. USA: Springer.
Davis, P. e Hersh, R. (1995). A experiência matemática. Lisboa: Gradiva.
Freudenthal, Hans (1973). Mathematics as an educational task. Holland: D. Reidel
Publishing Company.
Leivas, J. C. P. (2007). Euclides e o Cálculo de Áreas de Regiões Poligonais. In: Educação
Matemática em Revista – RS. Ano 8, 2007, n. 8, pp. 17-24.
_______________ (2009). Imaginação, Intuição e Visualização: a riqueza de
possibilidades da abordagem geométrica no currículo de cursos de licenciatura de
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matemática. 2009. Tese (Doutorado em Educação) – Universidade Federal do Paraná.
Curitiba, 2009, 294 p.
NCTM (2008). Princípios e normas para a matemática escolar. Lisboa: APM.
Papert, S. (1994). A Máquina das Crianças. (repensando a escola na era da informática).
Rio Grande do Sul: Artes Médicas.
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