C
iências
ontábeis
ADMINISTRAÇÃO
Caderno de Matemática
Dom Alberto
Prof: Luciana Andréa Zimmer
C122
ZIMMER, Luciana Andrea
Caderno de Matemática Dom Alberto / Luciana Andrea Zimmer.
Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.
–
Inclui bibliografia.
1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis – Teoria 3. Matemática
– Teoria I. ZIMMER, Luciana Andrea II. Faculdade Dom Alberto III.
Coordenação de Administração IV. Coordenação de Ciências Contábeis
V. Título
CDU 658:657(072)
Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso – Bibliotecário CRB10 010/10
Página 2
Apresentação
O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua
trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na
importância de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que,
combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma
formação sólida e relacionada às demandas regionais.
Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao
ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem
como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo
MEC do Curso de Administração em 2008.
Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e
qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados
positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto, que é o produto do
trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores
durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo
atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de
qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.
A todos os professores que com competência fomentaram o
Caderno Dom Alberto, veículo de publicação oficial da produção didáticopedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento
especial.
Lucas Jost
Diretor Geral
Página 3
PREFÁCIO
A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que
interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de
formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à
superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma
formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de
estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais
de cada área de atuação, etc.
Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um
profissional
é
saber
discutir
diversos
temas
aos
quais
se
aplicam
conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla
e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais
conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles
envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte
pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que
supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos
na proposta pedagógica do curso.
Considerando esses pressupostos, a produção desse Caderno Dom
Alberto é parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.
Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca
apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teóricoprática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e
necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.
Ser um canal de divulgação do material didático produzido por
professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação
qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete,
propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o
Caderno Dom Alberto com a mesma satisfação que a Faculdade tem em
elaborar esta coletânea.
Elvis Martins
Diretor Acadêmico de Ensino
Página 4
Sumário
Apresentação
3
Prefácio
4
Plano de Ensino
6
Aula 1
Equações
11
Aula 2
Funções
14
Aula 3
Alguns tipos de função
19
Aula 4
Função linear
24
Aula 5
Restrição orçamentária
26
Aula 6
Exercícios
31
Aula 7
Exercícios
33
Aula 8
Curva de possibilidade de produção
35
Aula 9
Função Contínua
43
Aula 10
Continuação Aula 10
46
Aula 11
Limites
49
Aula 12
Derivada de uma função
51
Página 5
Centro de Ensino Superior Dom Alberto
Plano de Ensino
Curso: Administração/Ciências Contábeis
Carga Horária (horas): 60
Identificação
Disciplina: Matemática
Créditos: 4
Semestre: 1º
Ementa
Funções. Equações de Oferta e Demanda. Ponto de Equilíbrio de Mercado. Funções de Custo, Receita e
Lucro. Juros Simples e Compostos como Funções. Limites e Continuidade. Derivadas. Aplicações de
Derivadas na Economia (Custo, Receita e Lucro). Integrais Indefinidas e Definidas. Aplicações de Integral
na Economia.
Objetivos
Geral: Desenvolver a capacidade de o aluno utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas
aprendizagens e como meio de interpretação da realidade.
Ampliar as capacidades de raciocínio, de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o
espírito crítico e a criatividade.
Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos
aplicados.
Incentivar a realização pessoal, o desenvolvimento de atitudes, de autonomia e cooperação e o sentimento
de segurança em relação às próprias capacidades matemáticas.
Desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática Aplicada, como autonomia, confiança quanto às
capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho.
Específicos: Levar o aluno a: Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e
entre esses temas e outras áreas do currículo, tais como funções, limites, derivadas e integrais.
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do
conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia.
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas,
tecnológicas e na interpretação da ciência.
Inter-relação da Disciplina
Horizontal: Contribuir para o desenvolvimento cognitivo interdisciplinar, promovendo um ensino voltado a
uma formação sólida e ampla, tendo como foco principal as exigências da vida social e profissional.
Vertical: As aplicações da disciplina são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma
situação prática e ajustada à realidade.
Competências Gerais
Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática Aplicada como instrumento de novas aprendizagens e
como meio de interpretação da realidade.
Ampliar as capacidades de raciocínio de resolução de problemas, de comunicação e de rigor, bem como o
espírito crítico e a criatividade.
Utilizar, com confiança, a resolução de problemas para compreender e investigar conceitos matemáticos
aplicados.
Competências Específicas
Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e outras áreas
do currículo tais como funções, limites, derivadas e integrais.
Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras áreas do
conhecimento e do cotidiano, como equações e aplicações de derivadas na economia.
Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades econômicas, financeiras, administrativas,
tecnológicas e na interpretação da ciência.
Habilidades Gerais
Página 6
Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, desenvolver o raciocínio
lógico, crítico e criativo diante dos diferentes contextos organizacionais e sociais.
Habilidades Específicas
Ler, interpretar, reconhecer e resolver problemas sobre funções, limites, derivadas e integrais, visando o
desenvolvimento de atitudes de autonomia.
Conteúdo Programático
PROGRAMA:
1. Funções
1.1. Idéia intuitiva
1.2. Conceito matemático
1.3. Função demanda
1.4. Função oferta
1.5. Função utilidade
1.6. Funções de custo
1.7. Função receita
1.8. Função lucro
1.9. Curva do orçamento
1.10. Curva de possibilidade de produção
1.11. Outros modelos
1.12. Características das funções
2. Limites
2.1. Idéia intuitiva
2.2. Definição
2.3. Limites de polinômios e funções racionais
2.4. Limite no infinito
2.5. Esboço de curvas
2.6. Problemas
3. Derivadas
3.1. Derivada como medida de inclinação
3.2. Derivada como taxa de variação
3.3. Problemas de maximização/minimização
3.4. Regras de derivação
3.5. Aplicações da derivada à economia
4. Noção de integral
4.1. Integral indefinida
4.2. Área e integral definida
4.3. Aplicações aos negócios e à economia
Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula)
O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e
aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de
partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso.
Um planejamento não é um esquema de trabalho rígido, inflexível. Pelo contrário, devem-se levar em conta
as situações inesperadas que vão ocorrendo e adaptar ou modificar o que se havia inicialmente previsto, de
acordo com suas observações de classe e necessidades dos alunos.
Há metas que devem ser estabelecidas e alcançadas, sendo necessário que o professor disponha de um fio
condutor para a ação que vai desenvolver e de uma previsão para os resultados dessa ação.
Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem
A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e
sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à
programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da
metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de
currículos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc.
A forma de avaliação será da seguinte maneira:
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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
1ª Avaliação
–
Peso 8,0 (oito): Prova;
–
Peso 2,0 (dois): Trabalho referente ao conteúdo ministrado até a 1a avaliação.
2ª Avaliação
Peso 8,0 (oito): Prova;
Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas
provas do SPE)
Observação: As provas do SPE deverão ser realizas até o dia 30/09/2010 (1ª prova SPE) e até o dia
30/11/2010 (2ª prova SPE), sendo obrigatória a realização de ao menos uma prova.
Avaliação Somativa
A AFERIÇÃO DO RENDIMENTO ESCOLAR DE CADA DISCIPLINA É FEITA ATRAVÉS DE NOTAS INTEIRAS DE ZERO A DEZ,
PERMITINDO-SE A FRAÇÃO DE 5 DÉCIMOS.
O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele
obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas.
Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no
bimestre.
O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários,
pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma
nota representativa de cada avaliação bimestral.
Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete
(7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados.
Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral,
no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de
substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como
média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).
Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem
Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que
são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.
Recursos Necessários
Humanos
Professor.
Físicos
Laboratórios, visitas técnicas, biblioteca, etc.
Materiais
Recursos Multimídia.
Bibliografia
Básica
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1 v.
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro:
LTC, 1996.
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de: economia, administração, ciências
contábeis. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
LEITHOLD, L.. Matemática aplicada à economia e administração. 2. ed. São Paulo: Harbra, 2001.
VERAS, Lilia L. Matemática aplicada à economia: Síntese da Teoria. São Paulo: Atlas, 1991.
Complementar
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookmann, 2000. 1 v.
AVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. São Paulo: LTC, 2003. 1 v.
BARBANTI, L. Matemática Superior: um primeiro curso de cálculo. São Paulo: Pioneira, 1999.
AYRES JUNIOR, Frank; Elliott Mendelson. Cálculo diferencial e integral 3. ed. São Paulo: Pearson, 1994.
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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
GOLDSTEIN, L.; LAY, D.; SCHENEIDER, D. Matemática aplicada. São Paulo: Bookman, 2003.
Periódicos
Revistas: Você S/A, Exame, Isto é.
Sites para Consulta
http://www.mec.gov.br
http://www.ime.usp.br
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec
http://sites.uol.com.br/vello/aulas.htm
Outras Informações
Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca:
http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por
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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
Cronograma de Atividades
Aula
Consolidação
Avaliação
Conteúdo
Procedimentos
Recursos
AE
QG, DS
AE
QG, DS
Funções (oferta e demanda). Problemas envolvendo funções.
AE
QG, DS
4ª
Funções (custo, utilidade, lucro). Características de funções.
AE
QG, DS
5ª
Construção de tabelas e gráficos de funções. Plotar gráficos
de funções.
AE
QG, DS
6ª
Análise e interpretação de curvas de orçamento e produção.
AE
QG, DS
7ª
Problemas envolvendo outros modelos de funções.
AE
QG, DS
Apresentação aos alunos do plano de ensino da disciplina.
Revisão de conceitos básicos da Matemática.
Idéia intuitiva de função.
Conceito matemático de função.
Atividades Envolvendo Funções matemáticas. Introdução a
Modelos aplicados.
1ª
2ª
3ª
1
Consolidação 1
1
Avaliação 1
8ª
Limites. Idéia intuitiva. Definição.
AE
QG, DS
9ª
Continuidade. Limites de funções. Propriedades algébricas do
limites. Limite no infinito. Problemas envolvendo limites.
Derivadas. Conceitos básicos.
AE
QG, DS
10ª
Regras de derivação. Problemas utilizando as regras.
AE
QG, DS
11ª
Problemas de maximização / minimização. Trabalho aplicado.
AE
QG, DS
12ª
Aplicações de derivadas a economia. Noções de integral.
AE
QG, DS
13ª
Integral definida e indefinida. Aplicações de integrais aos
negócios.
AE
QG, DS
2
Consolidação 2
2
Avaliação 2
3
Avaliação Substitutiva
Legenda
Código
AE
TG
TI
SE
PA
Descrição
Aula expositiva
Trabalho em grupo
Trabalho individual
Seminário
Palestra
Código
QG
RE
VI
DS
FC
Descrição
Quadro verde e giz
Retroprojetor
Videocassete
Data Show
Flipchart
Código
LB
PS
AP
OU
Descrição
Laboratório de informática
Projetor de slides
Apostila
Outros
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Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,
comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.
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Aula 1 – Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
EQUAÇÕES
Uma solução para uma equação em x é um valor de x para a qual a equação é verdadeira.
Resolver uma equação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a equação é
verdadeira. Isto é, encontrar todas as soluções da equação.
Verificação de uma solução:
Prove que x = -2 é uma solução da equação x3 – x + 6 = 0
Equações lineares com uma variável
A equação mais básica na álgebra é uma equação linear.
Uma equação linear em x é aquela que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a e b são
números reais com a ≠ 0.
Resolução de uma equação linear:
a) 2( 2x – 3) + 3(x + 1) = 5x + 2
b) 5y – 2 = 2 + y
8
4
Solução de uma equação por meio de gráficos
O gráfico da equação y = 2x -5 pode ser usado para resolver a equação 2x – 5 = 0
Portanto o par ordenado (5/2, 0) é a solução de y = 2x – 5, pois sugere que o ponto por onde a
reta intercepta o eixo x seja o par ordenado (5/2, 0).
Equações quadráticas
Equações lineares ( ax + b = 0) e equações quadráticas (ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são
números reais e a ≠ 0) são dois membros da família de equações polinomiais.
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Os métodos mais utilizados na resolução de uma equação quadrática são: fatoração e fórmula
de Bhaskara.
_______
Fórmula de Bhaskara: x = -b ± √ b2- 4ac
2a
Exemplos:
Resolva as seguintes equações e represente graficamente:
a) -x2 + 4 = 0
b) x² - 2x – 3 = 0
c) -x2 +2x – 1 = 0
Questão Concurso Polícia Federal
Num determinado estado, quando um veículo é rebocado por estacionar em local proibido, o
motorista paga uma taxa fixa de R$ 76,88 e mais R$ 1,25 por hora de permanência no
estacionamento da polícia. Se o valor pago foi de R$101,88 o total de horas que o veículo ficou
estacionado na polícia corresponde a:
a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
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DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL
Consideraremos que o domínio de uma função f, D ( f ), salvo indicação em contrário, é subconjunto de R,
formado por todos os valores de “x” para os quais as operações indicadas nas expressões são possíveis, resultando um
número real.
Veja alguns casos notáveis:
1º caso: Quando a variável aparece no denominador de uma fração.
Condição: O denominador de uma fração deve ser diferente de zero.
Exemplo: Determinar o domínio da função f(x) = 3 + x .
2x – 5
2º caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par.
Condição: O radicando deve ser um número maior ou igual a zero.
______
Exemplo: Determinar o domínio da f(x) = √ 2x – 6 .
5
3º caso: Quando a variável aparece no radicando de um radical de índice par e esse radical está no
denominador de uma fração.
Condição: Este caso é a reunião dos dois primeiros, logo, o radicando deve ser maior que zero.
Exemplo: Determinar o domínio da função f(x) =
3
.
√x+2
EXERCÍCIO:
a. Determinar o domínio das seguintes funções:
________
a) f(x) = x³ + x
b) f(x) = √ -3x + 15
c) f(x) = 2x – 1
3x + 4
d) f(x) = x² - 3x + 2
e) f(x) =
f) f(x) = x + 3 .
x+2
x+1 .
√ 4x + 4
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Aula 2 – Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
FUNÇÕES
Na análise de fenômenos econômicos, muitas vezes usamos funções matemáticas para
descrevê-los e interpretá-los. Nesse sentido, as funções matemáticas são usadas como
ferramentas que auxiliam na resolução de problemas ligados à administração e Contábeis.
No exemplo a seguir, temos a distribuição dos preços do quilo do contrafilé no decorrer dos
meses do ano de 2003.
1.1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 2003.
Mês (t)
Jan
Fev
Mar
Abril
Maio
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Preço
(p) R$
6,70
6,75
6,80
6,88
6,95
7,01
7,08
7,14
7,20
7,28
7,36
7,45
A cada mês, observamos um preço de carne. Assim, podemos dizer que cada preço, p, está
associado a um mês, t, ou ainda que o preço depende do mês que escolhemos.
Nesse exemplo, se substituirmos cada mês por um número, podemos entender a relação entre
mês e o preço como uma associação entre duas variáveis numéricas; assim temos uma nova
tabela:
1.2 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 2003.
Mês(t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Preço
(p) R$
6,70
6,75
6,80
6,88
6,95
7,01
7,08
7,14
7,20
7,28
7,36
7,45
Vale ressaltar que, a cada valor de variável “mês”, temos um único valor da variável “preço”
associado, o que caracteriza uma função matemática ou mais precisamente:
A cada valor da grandeza t está associado um único valor da grandeza P, caracterizando
P como função de t, o que é indicado por P= f(t).
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Nesse contexto, a variável t é chamada de independente e a variável p é chamada de
dependente; o conjunto dos valores possíveis para a variável
independente é o domínio
da função; a imagem da função é o conjunto dos valores da variável dependente que foram
associados à variável independente.
No exemplo anterior, por meio da tabela, fizemos uma representação numérica da função, que
pode ser representada também por meio de um gráfico:
1.1 Preço médio do quilo do contrafilé em São Paulo no ano de 2003.
As funções também são representadas por fórmulas que relacionam as variáveis. No exemplo
dado existe uma fórmula que relacione de maneira exata as variáveis t e P, mas podemos
aproximar tal relação com a fórmula:
p = 0,0676t + 6,6104
cujo gráfico é representado por uma reta que se aproxima dos pontos já traçados na figura anterior
1.1:
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1.2 Reta que aproxima o preço médio do quilo do contrafilé em
São Paulo no ano de 2003.
Para o traçado da reta no gráfico, o domínio que antes era dado por D(f) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12} foi substituído pelo conjunto dos números reais.
EXEMPLOS:
1. Escreva funções, descrevendo os seguintes fatos:
a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade variável “q” de mercadorias ao preço
unitário de R$ 92,00.
b) Salário mensal y de um operário que ganha R$ 720,00 fixos mais R$ 38,00 por hora extra,
sabendo que o número x de horas extras varia todo mês.
c) Juros (simples) “J” ganhos por um investidor que emprega R$ 42.000,00 à taxa de 6% ao
mês, durante um tempo indeterminado de t meses.
2. Um operário, que ganha salário variável de acordo com as horas extras que trabalha paga
R$ 350,00 de prestação da casa própria, gasta 60% de seu salário em manutenção e poupa
o restante. Determine uma expressão matemática para cada uma das funções Consumo e
Poupança, isto é, expresse seu consumo C e sua popança S em função de sua renda
variável y
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3. Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de R$ 150,00 e vende cada
unidade a R$ 250,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q.
b) Expresse sua receita diária R em função da quantidade vendida q, que se supõe
igual à quantidade comprada.
c) Expresse seu lucro diário em função da quantidade q.
d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (lucro unitário, L u , ou Lucro médio,
L m )?
4. Suponha que o mesmo ambulante do exemplo 3 resolveu agora incluir entre seus gastos o
custo de sua condução diária que é de R$ 14,00.
a) Como ficarão agora as funções Custo, Receita e Lucro do vendedor?
5. Certa máquina foi comprada pelo preço de R$ 95.000,00 (valor nominal) e vendida depois
de dez anos (vida útil) por R$ 27.000,00 (valor residual).
a) Qual foi a sua depreciação total? E qual a depreciação anual?
b) Expresse a depreciação D como função do tempo em anos n.
c) Qual o valor da máquina após um ano? Após dois anos? Após três anos? E após dez
anos?
d) Como seria a expressão que dá o valor V da máquina em função do tempo n?
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6. A receita de uma empresa poderá ser descrita pela função R = -10
quantia gasta em propaganda.
+ 10, onde “x” é a
x+5
a) Calcule a receita quando nada é gasto em propaganda.
b) Calcule a receita respectivamente, quando o gasto em propaganda for 5, 95 e 995 e
faça uma tabela de valores.
c) Faça um gráfico cartesiano utilizando os valores da tabela.
d) O gráfico faz pensar que existe um valor “l” que não será ultrapassado pela função. Qual
é esse valor (limitante superior)?
7. O valor inicial de um carro é R$ 20.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em
R$ 1.250,00.
a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos
passados após a compra.
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?
c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).
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visando ao desenvolvimento Regional”.
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Aula 3 - Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
ALGUNS TIPOS DE FUNÇÃO
Função crescente ou decrescente
Na função do exemplo anterior, percebemos que, à medida que o número t do mês aumenta, o
preço p da carne também aumenta; nesse caso, dizemos que a função é crescente.
Tomando como exemplo a demanda, q, de um produto em função de seu preço, p, relacionados
pela fórmula q = -2p + 10, podemos esboçar o gráfico:
1.3 Demanda de um produto em função de seu preço.
Percebemos que, à medida que o preço p aumenta, a demanda q diminui. Nesse caso, dizemos que a
função é decrescente.
Função Limitada
Vamos analisar a função da venda total, v, de um CD, no decorrer dos meses, t, dada pela seguinte
expressão:
v=
250____
1 + 500.0,5t
1.4 Vendas totais aproximadas de um CD após seu lançamento
t
0
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
v
Página 19
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Podemos representar tais valores em um gráfico:
De acordo com essa função, as vendas nunca ultrapassam 250.000 CDs.
Como notamos, por maior que seja o valor de t, o valor da função jamais ultrapassa 250. Nesse caso,
dizemos que a função é limitada superiormente e que o valor 250 é um limite superior. Podemos dizer que
outros valores, como por exemplo, 251, 260, 300 ou 1.000, também são limites superiores, porém
chamamos o valor 250 de supremo por ele ser o menor dos limitantes superiores.
Agora, analisaremos o custo por unidade, C u , de um eletrodoméstico em função da quantidade, q,
produzida, cuja relação é dada por:
C u = 240 + 50
q
Construa a tabela para os seguintes valores e represente no gráfico:
1.5 Custos unitários para produção de um eletrodoméstico
q (unidades)
10
20
40
60
80
100
150
200
250
300
C u (por unidade em R$)
Podemos representar tais valores no gráfico:
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De acordo com essa função, o custo unitário nunca é menor que 50,00. Na verdade, se calcularmos o
custo por unidade para produzir q= 10.000 unidades, obtemos o custo aproximado de C u = 50,02.
Como notamos, por maior que seja o valor q, o valor da função jamais será inferior a 50. Nesse caso,
dizemos que a função é limitada inferiormente e que o valor 50 é um limitante inferior. Podemos dizer
que outros valores, por exemplo, 49, 40, 30 ou 0, também são limitantes inferiores, porém chamamos o
valor 50 de ínfimo por ele ser o maior dos limitantes inferiores.
Analise agora, a função do valor, v, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos
meses, t, dada pela expressão, e em seguida construa o gráfico:
v = t2 – 6t + 12
t2 – 6t + 10
1.6 Valores aproximados de cada ação na bolsa de valores
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
v
Podemos representar tais valores no gráfico:
Analisando mais atentamente essa função, percebemos que o valor da ação jamais ultrapassa R$ 3,00
e, ao mesmo tempo, nunca é inferior a R$ 1,00. Portanto, temos uma função limitada superiormente e
inferiormente, o que nos leva a chamá-la de função limitada.
EXEMPLOS PRÁTICOS DE FUNÇÕES:
•
Conta de água = valor a ser pago depende do consumo do mês.
•
Conta de telefone = o valor a ser pago, depende dos minutos falados durante o mês.
•
A venda do mês de um estabelecimento depende dos clientes.
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•
A demanda de um certo produto no mercado depende do preço desse produto.
•
A poluição do ar em uma cidade pode depender do número de veículos nas ruas
•
O valor de uma garrafa de vinho pode depender do ano em que o vinho foi fabricado.
Exercícios:
1.O gráfico seguir representa o valor (em R$) de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos
meses.
Considerando t = 1 o mês de janeiro, t = 2 o mês de fevereiro, e assim sucessivamente, determine:
a) O valor da ação nos meses de fevereiro , maio, agosto e novembro.
b) Os meses em que a ação vale R$ 2,00.
c) Os meses em que a ação assumiu o maior e o menor valor. Determine também os valores nesses
meses.
d) A média dos valores das ações.
2. A receita R na venda de q unidades de um produto é dada por R = 2q.
a) Determine a receita quando são vendidas 5, 10, 20 e 40 unidades do produto.
b) Quantas unidades foram vendidas, se a receita foi de R$ 50,00?
c) Esboce o gráfico da receita.
d) A função é crescente ou decrescente? Justifique:
e) A função é limitada superiormente? Justifique:
3. O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado por C = 3q + 60.
a) Determine o custo quando são produzidas 0, 5, 10, 15 e 20 unidades.
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b) Esboce o gráfico da função.
c) Qual o significado do valor encontrado para C quando q = 0?
d) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
e) A função é limitada superiormente? Em caso afirmativo, qual seria o valor para o supremo?
Justifique.
4. As funções seguintes são todas crescentes. Faça tabela e gráfico para cada uma delas a fim de decidir a
forma de crescimento (taxas crescentes, constantes ou decrescentes) de cada uma:
a) y = x , x ≥ 0
b) y = x 2 , x ≥ 0
1
c) y = x 2 , x ≥ 0
q2
, onde q é a quantidade de um insumo, o que acontece com a
5. Dada a função Produção P =
10
produção se a quantidade de insumo for duplicada? Como são então os retornos na produção?
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Matemática Aplicada
Aula 4
Profª Luciana Zimmer
FUNÇÃO LINEAR
Leia atentamente e responda às questões que estão após o caso abaixo. Observe que
todas as informações para respondê-las estão no texto do caso.
“Um lava-jato de automóveis tem como único serviço uma lavagem simples, pela qual
cobra R$ 12,00(PV – Preço de Venda). Cada lavagem gasta em média R$ 3,00 de produtos
de limpeza. As contas de água e luz tem média mensal de R$ 350,00 somadas. A empresa
tem 3 funcionários, recebendo cada um deles R$ 260,00 fixos mais R$ 1,00 por cada carro
lavado. As obrigações sociais ficam em 40%. O prédio da empresa é alugado, pelo qual o
proprietário paga R$ 250,00 por mês. Não há mais custos consideráveis.
• O faturamento bruto, ou receita bruta (R) de uma empresa é a soma total de
suas vendas e recebimentos. Não confunda jamais lucro. Pode-se dizer “a
grosso modo” que a receita bruta é o dinheiro que entra no caixa;
• Obrigações sociais são despesas oriundas dos valores pagos pelos salários
(FGTS, INSS,..), além de férias e 13º salário. Elas incidem também sobre
remunerações variáveis, ou seja, sobre as comissões;
Responda:
a) Qual a receita total do lava-jato se lavar num mês apenas 10 carros?
b) Qual a receita total do lava-jato se lavar 250 carros no mês?
c) Qual a expressão pode representar a receita total para um número qualquer de carros
lavados?
d) Qual o Custo Fixo mensal da empresa?
e) Qual o Custo Variável de um carro lavado?
f)
Qual o Custo Variável da empresa se lavar apenas 10 carros?
g) Qual o Custo Variável da empresa se lavar 250 carros?
h) Qual a expressão pode representar o custo variável para um número qualquer de
carros lavados?
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i)
Qual a expressão pode representar o Custo Total da empresa para um número
qualquer de carros lavados?
j)
Qual o lucro bruto da empresa se lavar 250 carros no mês?
k) Qual o lucro bruto da empresa se lavar 223 carros no mês?
l)
De cada carro lavado, tirando os custos variáveis, quanto sobra? Esta sobra é lucro?
m) Agora tente explicar o resultado da letra “k”?
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Aula 5 – Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
Restrição orçamentária
Supondo que uma empreiteira deseja comprar areia e pedra para fazer um calçamento e
disponha de R$ 1.000. Sabendo que o metro cúbico de areia custa R$ 50,00 e o metro
cúbico
de pedra custa R$ 40,00, podemos obter uma expressão matemática que relacione os
possíveis valores e quantidades de areia e pedra a serem compradas utilizando o orçamento
R$ 1.000,00.
Sendo x a quantidade de areia a ser comprada então, o valor a ser gasto com areia será
50x. De modo análogo, sendo y a quantidade de pedra a ser comprada então, o valor a ser
gasto com pedras será 40y.
A restrição orçamentária para a compra de dois produtos A e B, de acordo com o orçamento
determinado, é dada pela expressão:
“Valor gasto com A” + “Valor gasto com B” = Orçamento
Neste caso a restrição orçamentária para a compra de areia poderá ser dada por:
50x + 40y = 1000
Para essa expressão, dizemos que a dependência entre x e y foi dada de forma implícita.
Podemos explicitar tal dependência isolando x ou y, obtendo então:
X = -0,8y + 20 ou y = -1,25x + 25
Em todas as expressões, a dependência é linear, o que caracteriza a função de 1º grau.
Para a obtenção do gráfico da restrição orçamentária, é interessante determinar os pontos em
que a reta corta o eixo x fazendo y = 0 (em qualquer uma das expressões anteriores)por
exemplo:
50x + 40.0 = 1000
50x = 1000
x = 20
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Obtendo o ponto em que a reta corta o eixo y fazendo x = 0 ( em qualquer uma das
expressões anteriores); por exemplo:
50.0 + 40y = 1000
40y = 1000
y = 25
Esses dois pontos representam opções extremas de compra pois, se y=0, não é comprada
pedra e, portanto, gasta-se todo o orçamento com x = 20m3 de areia; entretanto, se x = 0, não
é comprada areia, gastando-se o orçamento com y = 25 m3 de pedra.
Interpretando o gráfico:
•
Pontos abaixo da reta correspondem a quantidades que, quando compradas,
determinam um custo abaixo do orçamento. O ponto A = (8;7) resulta em um gasto de
R$ 680,00.
•
Para pontos na reta correspondem a quantidades que, quando compradas,
determinam um custo igual ao orçamento. O ponto B = (8; 15) resulta em um gasto
R$ 1.000,00.
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•
Pontos acima da reta correspondem a quantidades que, quando compradas,
determinam um custo acima do orçamento. O ponto C = (8;22) resulta em um gasto
de R$ 1.280,00.
Caracterização geral de uma função de 1º grau
Definição: uma função de 1º grau é dada por y = f(x) = mx + b , com m ≠ 0, onde m é chamado
de coeficiente angular, ou taxa de variação média ou simplesmente taxa de variação da
variável dependente, y, em relação à variável independente, x, e pode ser calculado pela razão
m = variação em y
= ∆y
variação em x
∆x
ou
m = f(x 1 +∆x ) – f(x 1 )
∆x
•
graficamente, m dá a inclinação da reta que representa a função.
•
b é chamado de coeficiente linear e pode ser obtido fazendo x = 0, e é o ponto onde a
reta corta o eixo y.
Graficamente, podemos observar os componentes do coeficiente angular e o coeficiente
linear:
Se m > 0, temos uma taxa de variação positiva, logo a função é crescente e a reta será
inclinada positivamente.
Se m < 0, temos uma taxa de variação negativa, logo a função é decrescente e a reta é
inclinada negativamente.
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Obtenção da função de 1º grau
Exemplo1: Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é
diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em
que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas
20 horas extras, o salário é de R$ 1.000. Obtenha a relação que dá o salário em função das
horas extras.
Exemplo 2: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos (5,3) e (15,10)
Exercícios:
1. Determinar a equação da reta que passa pelos pontos A (-1; -2) e B (5 ; 2).
2. Dada a reta que tem a equação 3x + 4y = 7, determine sua declividade.
3. Determine à equação da reta de coeficiente angular igual a -2 e que intercepta o eixo y no
ponto A (0; -3).
4. Seja y a percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas x anos após
1980. De acordo com dados publicados recentemente, y tem sido uma função linear de x
desde 1980. A percentagem da população mundial que vive em regiões urbanas era de 39,5
em 1980 e 45,2 em 1995.
a) Determine y como função de x .
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b) Determine a percentagem da população mundial que viveu em regiões urbanas no ano
1990.
c) Determine o ano em que 50% da população mundial estará vivendo em regiões
urbanas.
d) Em quanto à percentagem da população mundial que vive em áreas urbanas aumenta a
cada 5 anos?
5. Uma dona de casa deseja comprar legumes e frutas e dispõe de R$24,00. Sabe-se que o
preço médio por quilo de legumes é de R$ 3,00 e por quilo de frutas é de R$ 4,00.
a) Obtenha a expressão da restrição orçamentária.
b) Represente graficamente a expressão obtida no item anterior.
c) Obtenha a expressão que determina a quantidade de frutas em função da quantidade de
legumes comprada.
d) Obtenha a expressão que determina a quantidade de legumes em função da quantidade
de frutas compradas.
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Aula 6 – Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
EXERCÍCIOS
1. Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio) de fabricação de um produto varia
com a quantidade, sendo tanto menor quanto maior era a quantidade fabricada. A função pode
ser expressa na forma
C me = 120 + 20.
q
a) Calcule C me (1), C me (10), C me (20), C me (30), C me (40) e C me (100), faça uma tabela e o
gráfico da função.
b) A função tem limite inferior? Qual?
2. Um comerciante verificou que a demanda de certo produto depende de seu preço, de acordo
com a seguinte tabela:
p
q
4
80
6
70
8
60
10
50
a) Faça o gráfico cartesiano da função Demanda a partir dessa tabela.
b) Determine a expressão matemática da função na forma q = f(p) e depois p = f(q).
3. O valor inicial de um carro é R$ 20.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em
R$ 1.250,00.
a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos
passados após a compra.
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?
c) Esboce o gráfico da função obtida no item (a).
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4. Um comerciante compra objetos ao preço unitário de R$ 4,00, gasta em sua condução diária
R$ 60,00 e vende cada unidade a R$ 7,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. Expresse também
sua receita R em função da quantidade vendida q, que se supões igual a quantidade
comprada. Além disso, expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.
b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções de seu custo diário C e de
sua receita R, determinando e indicando o Break-even point. Qual o significado desse
ponto?
c) Esboce o gráfico da função Lucro L e indique qual(is) quantidade(s) que proporciona(m)
lucro positivo e lucro negativo.
d) Podemos obter as funções Custo Médio, C me e Lucro Médio, L me , dividindo a função do
custo e lucro pela quantidade. Então, obtenha a função C me e L me e esboce seus
respectivos gráficos, indicando se existirem limitantes superior ou inferior.
5. O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00 e
o custo variável por unidade é R$ 6,00.
a) Obtenha a função lucro mensal.
b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo que o imposto de renda é 30% do lucro.
6. Sabendo que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda é R$ 10,00
e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha:
a) A função receita.
b) A função custo total diário.
c) O ponto de nivelamento.
d) A função lucro diário.
e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180,00 por dia.
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Aula 7 – Matemática Aplicada
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EXERCÍCIOS
1. Um produtor verificou que o custo unitário (ou custo médio) de fabricação de um produto varia
com a quantidade, sendo tanto menor quanto maior era a quantidade fabricada. A função pode
ser expressa na forma
C me = 120 + 20.
q
a) Calcule C me (1), C me (10), C me (20), C me (30), C me (40) e C me (100), faça uma tabela e o
gráfico da função.
b) A função tem limite inferior? Qual?
2. Um comerciante verificou que a demanda de certo produto depende de seu preço, de acordo
com a seguinte tabela:
p
q
4
80
6
70
8
60
10
50
a) Faça o gráfico cartesiano da função Demanda a partir dessa tabela.
b) Determine a expressão matemática da função na forma q = f(p) e depois p = f(q).
3. O valor inicial de um carro é R$ 20.000,00, e a cada ano esse valor é depreciado em
R$ 1.250,00.
a) Determine uma expressão que relacione o valor do carro em função do número de anos
passados após a compra.
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?
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4. Um comerciante compra objetos ao preço unitário de R$ 4,00, gasta em sua condução diária
R$ 60,00 e vende cada unidade a R$ 7,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. Expresse também
sua receita R em função da quantidade vendida q, que se supões igual a quantidade
comprada. Além disso, expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.
b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções de seu custo diário C e de
sua receita R, determinando e indicando o Break-even point. Qual o significado desse
ponto?
c) Esboce o gráfico da função Lucro L e indique qual(is) quantidade(s) que proporciona(m)
lucro positivo e lucro negativo.
d) Podemos obter as funções Custo Médio, C me e Lucro Médio, L me , dividindo a função do
custo e lucro pela quantidade. Então, obtenha a função C me e L me e esboce seus
respectivos gráficos, indicando se existirem limitantes superior ou inferior.
5. O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00 e
o custo variável por unidade é R$ 6,00.
a) Obtenha a função lucro mensal.
b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo que o imposto de renda é 30% do lucro.
6. Sabendo que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda é R$ 10,00
e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha:
a) A função receita.
b) A função custo total diário.
c) O ponto de nivelamento.
d) A função lucro diário.
e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180,00 por dia.
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Aula 8 – Matemática Aplicada
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CURVA DE POSSIBILIDADE
TRANSFORMAÇÃO DE PRODUÇÃO
DE
PRODUÇÃO
ou
CURVA
DE
Suponha-se que a prefeitura de certa cidade disponha de determinada verba para
aplicar em construção civil. Poderá pavimentar ruas ou construir casas populares. Se optar por
pavimentação de ruas, terá o suficiente para 150 km. Se optar por casas populares, poderá
construir 300 casas. Poderá ainda escolher outros planos, optando por pavimentar menos do
que 150 km de ruas e construir algumas casas com os recursos que sobrarem. Quanto menos
ruas pavimentar, mais casas poderá construir.
Esta curva é chamada de CURVA DE POSSIBILIDADE DE PRODUÇÃO ou CURVA
DE TRANSFORMAÇÃO DE PRODUÇÃO , ( e é o nome que se dá ao gráfico que representa
as combinações possíveis entre as quantidades “x” e “y” de dois produtos fabricados por uma
firma que usa os mesmos recursos de produção, que são naturalmente limitados. O aumento
na quantidade produzida do primeiro produto acarreta redução da quantidade produzida do
segundo produto ).
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A forma da curva, semelhante a um arco de parábola, suscita uma indagação: existirá
uma função do tipo y = ax² + bx + c que se aproxime dos dados dessa tabela? Se existe, qual
é?
Para responder a essa indagação, é preciso determinar os três valores de a, b e c da
função e para isso escolhem-se três valores da tabela. Por comodidade, pode-se escolher
(0, 300), (150, 0) e mais um, por exemplo, (90, 180), que é o mais central.
Tem-se então o sistema:
a.0² + b.0 +c =300
a.150² +b.150 +c = 0
a.90² + 90.b + c = 180
Cuja solução é: a = -1 , b+ -1 e c = 300
90
3
Então a curva procurada é y =
pavimentadas e y é o número de casas
-x²
90
-
x
3
+ 300, onde x representa km de ruas
construídas.
“Então apenas uma quantidade finita de recursos que são usados na produção de uma
quantidade limitada de produto.”
Exercícios:
1. Duas pessoas A e B investiram em ações de diferentes companhias, que foram
compradas ap preço unitário de R$1,00. As ações adquiridas por A subiram segundo a função
V 1 = 0,1x + 1 e as adquiridas por B caíram nos primeiros meses para depois subirem. Sua
variação de valor pode ser descrita pela função V 2 = 0,1x² - 0,4x + 1, em que x é o tempo em
meses, a partir da data da compra das ações.
a) Determine os valores V 1 e V 2 de cada uma dessas ações, no fim de cada um dos
seis primeiros meses e faça uma tabela.
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b) Trace os gráficos das duas funções no mesmo sistema de eixo.
c) Faça um comentário sobre os dois investimentos, dizendo qual foi a melhor
aplicação.
2. Em uma certa plantação, a produção P, de feijão depende da quantidade, q, de
fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por P = - 3q2 + 90q + 525.
Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizantes em g/m2,
faça um esboço do gráfico, comente os significados dos principais pontos, determine a
quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.
3. O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado
por E = t2 – 8t + 210, onde o consumo E é dado em kwh e ao tempo associa-se t = 0 a janeiro,
t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente:
a) Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 kwh.
b) Qual o consumo mensal médio para o primeiro ano?
c) Com base nos dados obtidos no item anterior, esboce o gráfico.
4. O preço da garrafa de vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde q
representa a quantidade de garrafas comercializadas. Sabendo que a receita R é dada pela
relação R = p x q:
a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos.
b) Qual a quantidade de garrafas a ser comercializada para que a receita seja máxima?
Qual a receita máxima?
c) Para quais quantidades comercializadas a receita é crescente? E decrescente?
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visando ao desenvolvimento Regional”.
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5. Dadas as funções q = 4p – 3 e q = 120
certo produto, faça seus gráficos no
p + 10
- 5, respectivamente oferta e demanda para
mesmo sistema de eixos e determine o
ponto de equilíbrio.
Limites e Continuidades
De modo geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar o comportamento
de uma função f(x) quando “x” se aproxima de um número “c” que pode ou não pertencer ao
domínio de f. Os limites aparecem em um grande número de situações da vida real. O zero
absoluto, por exemplo, a temperatura T na qual toda a agitação molecular cessa, é uma
temperatura da qual podemos nos aproximar mas que jamais conseguimos atingir exatamente. Da
mesma forma, os economistas que falam do lucro em um mercado ideal e os engenheiros que
determinam a eficiência de um novo motor em condições ideais estão na realidade trabalhando
com situações-limite. Para ilustrar o conceito de limite, vamos observar algumas situações. Nelas
veremos que uma seqüência de valores atribuídos a uma variável implica em outra seqüência de
valores numéricos de uma expressão dessa variável.
Idéia Intuitiva de Limite
Exemplo 1: Consideramos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1.
Vamos desenvolver as seguintes etapas:
• Colorir metade dessa figura.
A área colorida é ½
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• Colorir de outra forma metade do que restou em branco.
A área colorida é ½ + ¼ = ¾
• Colorir de outra forma metade do que restou em branco.
A área colorida é ½ + ¼ + ⅛ = ⅞
Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a região colorida vai
preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando de 1, ou seja, vai
tendendo a 1.
½ + ¼ + 7/8 + 15/16 + 31/32 + 63/64,..., 1.
Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1.
Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que
ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.
Exemplo 2: Para ilustrar o conceito de limite, suponha que estejamos interessados em
saber o que acontece à função f(x) = x² + x – 2 quando x se aproxima de 1. Embora f(x) não seja
definida no ponto x = 1, podemos ter uma x – 1
boa idéia da situação calculando f(x) para
valores de x que se aproximem cada vez mais de 1, tanto pela direita como pela esquerda.
X se aproxima de 1 pela esquerda
0,8
X
0,9
0,95
x se aproxima de 1 pela direita
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,05
1,1
f(x)
Os valores da tabela sugerem que f(x) se aproxima do número............ quando x se
aproxima de 1, tanto pela esquerda como pela direita. Para descrever esse tipo de comportamento,
dizemos que o “ limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a ........”, o que é abreviado como:
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 O limite de f(x) quando x tende a 1 pela esquerda é igual a .........., e indicamos por:
 O limite de f(x) quando x tende a 1 pela direita é igual a .........., e indicamos por:
Os limites à esquerda e a direita são chamados de limites laterais.
Em vez das duas indicações anteriores; podemos utilizar a seguinte representação única:
Exemplo 3 : Considere o gráfico da função f: IR IR, definida por:
f(x)=
x, se x ≤ 3
x + 2, se x>3
Observe os limites laterais:
 Quando x se aproxima de 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de3, isto é:
 Quando x se aproxima de 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é:
Como os limites laterais neste caso são diferentes, dizemos que não existe o limite de f(x)
quando x tende a 3.
Para que exista o limite, f(x) deve se aproximar de um mesmo valor quando x se aproxima
de “a” pela esquerda ou pela direita, isto é:
lim f(x) = lim f(x) =
x
a_
x
a+
lim f(x)
x
a
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Exemplos
1) Dada à função f(x) definida por f(x) = x+1 se x >2
x 2+1 se x ≤ 2 e x ≠ -1,
graficamente e verificar no gráfico os limites:
representá-la
a) lim f(x)
x-2
b) lim f(x)
x0
c) lim f(x)
x-1
d) lim f(x)
x2e) lim f(x)
x2+
f) lim f(x)
x2
2) Calcular os limites:
a) lim (x2 - 5x + 4)
x2
b) lim
x3 − x2 + 1
1 + 2x
x1
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c) lim
x4
x −1
x −1
3) Dada a f(x) = 4x – 3, calcule:
a) lim f(x)
x2
b) lim f(x)
x0
c) lim f(x)
x5
d) lim f(x)
x-1
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Aula 9 – Matemática Aplicada
Profª Luciana A. Zimmer
Função Contínua
Consideremos o gráfico das funções f 1 , f 2 e f 3 :
f1
f2
f3
Observe que a cada “x” do domínio de f 1 , associamos um único valor de “y” e também que o
gráfico de f 1 , não é interrompido para x = a, isto é, o gráfico é desenhado de uma só vez.
Observe que o mesmo não acontece para as funções f 2 e f 3 , cujos traçados são interrompidos
para x = a .
A função f 1 é denominada função contínua e as funções f 2 e f 3 são chamadas descontínuas em x
=a.
O ponto “a” é chamado ponto de descontinuidade da função.
Para que uma função f(x) seja contínua em x = a do seu domínio, devem ser satisfeitas as
seguintes condições:
1º) Exista f(a)
2º) Exista lim f(x)
x→a
3º) lim f(x) = f(a)
x→a
Note que para a função f 2 não existe lim f(x) e para f 3 não existe f (a).
x→a
Vejamos alguns exemplos:
1º) Verificar se a função f(x) = x² - 4 é contínua em x = 3
x–2
2º) Verificar se a função f(x) = x + 7 é contínua em x = 1.
X–1
3º) Determinar “m” ∈ R de modo que a função f(x) =
x=4.
x² - 5x + 6 , se x ≠ 4 , seja contínua em
3m ,
se x = 4
Página 43
Exercícios:
1. Dada a função f(x) = 1 – x , diga se f(x) é contínua nos pontos:
x+1
a) x = 0
b) x = -1
c) x = 2
2. Se n ∈ R e seja f : R → R a função definida por f(x) =
f(x) seja contínua em x = 3.
2x – 4, se x ≠3 , calcule “n” para que
2n ,
se x = 3
3. Calcule os limites:
a) lim ( x 3 + 1)
x → −2
b) lim ( x 4 + 5)
x →0
c) lim
x→4
x2 + 6
x2 − 1
d) lim (4 x 3 − x 2 + x − 1)
x →0
e) lim (1 − 4 x 2 )
x →3
4. Determine:
a) lim 7
b) lim 2 3
c) lim (5 x 3 + x)
1 

d) lim  4 x 2 − x 
x → −4
2 

e) lim (3 x 2 + x − 1)
f) lim ( x 4 − x 3 + x 2 + 1)
x→4
x→2
x →3
5. Dada a função f ( x) =
x → −1
x →0
5 x3 − 6 x 2 + 3x
, calcule:
x3 − x 2 + 3x
a) lim f ( x)
d) lim f ( x)
b) lim f ( x)
e) lim f ( x)
x→1
x→1 2
x→ 2
x → −2
Página 44
c) lim f ( x)
x → −1
(3 x 2 − 6 x + 9)
6. Plote f ( x) =
. Determine os valores de x para os quais a função não é definida.
( x 2 + x − 2)
7. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma
se t < 5
 t2 + 7
toxina é dada pela função f (t ) = 
.
− 8t + 72 se t ≥ 5
a) Quanto tempo a colônia leva para se extinguir ?
b) Explique por que a população deve ser de 10.000 em alguma ocasião entre t = 1 e t = 7.
8. Um fabricante é capaz de produzir 5.000 unidades de um produto por dia a um custo fixo de
R$ 1.500,00 por dia e um custo variável de R$ 2,00 por unidade. Expresse o custo C em função do
número de unidades produzidas e desenhe o gráfico da função C (x) . A função C (x) é contínua? Se
não é, em que pontos existem descontinuidades?
Página 45
Aula 10 – Matemática Aplicada
Profª Luciana A. Zimmer
Função Contínua
Consideremos o gráfico das funções f 1 , f 2 e f 3 :
f1
f2
f3
Observe que a cada “x” do domínio de f 1 , associamos um único valor de “y” e também que o
gráfico de f 1 , não é interrompido para x = a, isto é, o gráfico é desenhado de uma só vez.
Observe que o mesmo não acontece para as funções f 2 e f 3 , cujos traçados são interrompidos
para x = a .
A função f 1 é denominada função contínua e as funções f 2 e f 3 são chamadas descontínuas em x
=a.
O ponto “a” é chamado ponto de descontinuidade da função.
Para que uma função f(x) seja contínua em x = a do seu domínio, devem ser satisfeitas as
seguintes condições:
1º) Exista f(a)
2º) Exista lim f(x)
x→a
3º) lim f(x) = f(a)
x→a
Note que para a função f 2 não existe lim f(x) e para f 3 não existe f (a).
x→a
Vejamos alguns exemplos:
1º) Verificar se a função f(x) = x² - 4 é contínua em x = 3
x–2
2º) Verificar se a função f(x) = x + 7 é contínua em x = 1.
X–1
3º) Determinar “m” ∈ R de modo que a função f(x) =
x=4.
x² - 5x + 6 , se x ≠ 4 , seja contínua em
3m ,
se x = 4
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Exercícios:
1. Dada a função f(x) = 1 – x , diga se f(x) é contínua nos pontos:
x+1
a) x = 0
b) x = -1
c) x = 2
2. Se n ∈ R e seja f : R → R a função definida por f(x) =
f(x) seja contínua em x = 3.
2x – 4, se x ≠3 , calcule “n” para que
2n ,
se x = 3
3. Calcule os limites:
a) lim ( x 3 + 1)
x → −2
b) lim ( x 4 + 5)
x →0
c) lim
x→4
x2 + 6
x2 − 1
d) lim (4 x 3 − x 2 + x − 1)
x →0
e) lim (1 − 4 x 2 )
x →3
4. Determine:
a) lim 7
b) lim 2 3
c) lim (5 x 3 + x)
1 

d) lim  4 x 2 − x 
x → −4
2 

e) lim (3 x 2 + x − 1)
f) lim ( x 4 − x 3 + x 2 + 1)
x→4
x→2
x →3
5. Dada a função f ( x) =
x → −1
x →0
5 x3 − 6 x 2 + 3x
, calcule:
x3 − x 2 + 3x
a) lim f ( x)
d) lim f ( x)
b) lim f ( x)
e) lim f ( x)
x→1
x→1 2
x→ 2
x → −2
Página 47
c) lim f ( x)
x → −1
(3 x 2 − 6 x + 9)
6. Plote f ( x) =
. Determine os valores de x para os quais a função não é definida.
( x 2 + x − 2)
7. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma
se t < 5
 t2 + 7
toxina é dada pela função f (t ) = 
.
− 8t + 72 se t ≥ 5
a) Quanto tempo a colônia leva para se extinguir ?
b) Explique por que a população deve ser de 10.000 em alguma ocasião entre t = 1 e t = 7.
8. Um fabricante é capaz de produzir 5.000 unidades de um produto por dia a um custo fixo de
R$ 1.500,00 por dia e um custo variável de R$ 2,00 por unidade. Expresse o custo C em função do
número de unidades produzidas e desenhe o gráfico da função C (x) . A função C (x) é contínua? Se
não é, em que pontos existem descontinuidades?
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Aula 11 – Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
LIMITES
FORMAS INDETERMINADAS
Consideremos a função f(x) = x – 2 e vejamos qual o limite quando x tende a 2; se x tender
a 2 pela esquerda ou pela direita,x² - 4
notamos que o numerador tende a zero, bem
como o denominador. Teríamos então a fração impossível de ser calculada
e que é
0
chamada de FORMA INDETERMINDADA.
0
Todavia observamos que a expressão de f(x) pode ser simplificada ao fatorar o denominador,
ou seja:
x–2
=
1 .
f(x) = x – 2 =
x² - 4
( x – 2).( x + 2)
x+2
Sendo assim, as funções f(x) =
x – 2 e h(x) =
1
tem um comportamento idêntico,
.
x² - 4
x+2
(exceto para x = 2 em que a 1ª não é definida)
Ora, no cálculo do limite de f(x), quando x tende a 2, não interessa o que acontece quando
x = 2 (pois quando x tende a 2 ele é diferente de 2). Assim, no cálculo do limite f(x) e h(x) tem o
mesmo comportamento. Portanto:
x - 2 = lim
lim
1
x→ 2 x² - 4
x→ 2 x + 2
= 1 .
4
Convém lembrarmos alguns casos de fatoração:
(a² - b²) = (a + b).(a – b)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a – b)²
Exemplos:
a) lim
x→5
x² - 10x + 25 = lim ( x – 5)² = lim ( x – 5) = 0
x–5
x→5 x – 5
b) lim x² - 6x + 5 = lim ( x – 1).( x – 5 ) = lim ( x – 5 ) = - 4
x→1
x–1
x→1
x–1
x→1
c) lim x² + 8x = lim x.( x + 8 ) = lim ( x + 8 ) = 8
x→0
x
x→0
x
x→0
Página 49
Exercício:
1. Obtenha os limites:
a) lim x² - 9
x→3 x – 3
e) lim
x→0
x³
2x² - x
b) lim
x→-7
49 – x²
7+x
f) lim x² - 4x + 3
x→1
x–1
c) lim 5 – x
x→5 25 – x²
d) lim
x→0
g) lim x² - 7x + 12
x→4
x–4
x² + x .
x² - 3x
h)
lim
x→1
x–1
x² - 3x + 2
Página 50
.
Aula 12 Matemática Aplicada
Profª Luciana Zimmer
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto ] a, b [ e x 1 um ponto deste intervalo, o limite,
lim ∆y = lim
f ( x 1 + ∆x ) – f( x 1 ) ,
∆x →0 ∆x
∆x →0
∆x
quando existe, isto é, quando é um número real, recebe o nome de derivada da função f no ponto x 1 . Neste caso,
dizemos também que f é derivável no ponto x 1 . A derivada de f no ponto x 1 será indicada por uma das seguintes
notações:
f ‘(x 1 ) , df (x 1 ) , dy (x 1 ) ou ainda por y ‘(x 1 )
dx
dx
Exemplos:
1) Seja y = f(x) = x² e x 1 = 2. A taxa média de variação entre os pontos 2 e 2 + ∆x é:
2. Dada a função f(x) = 3x² + 12, calcular o valor da expressão lim
∆x→0
∆y , sendo x 1 = 5
∆x
Exercícios:
1. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções, nos pontos indicados:
a) y = 2x + 1
x1 = 4
b) y = 1
x
x1 = 4
c) y = 1
x+1
x1 = 5
Página 51
d) y =
x
x+1
e) y = 3x²
x1 = 2
x1 = 2
Função Derivada
Seja f uma função derivável em todo ponto x de um intervalo aberto Ι .
A função que a todo x associa o número f’(x) recebe o nome de função derivada de f em Ι e será indicada por uma
das notações:
df df
,
ou y’
f’,
dx dx
Exemplos:
1) Se f(x) =x2 temos:
f’(x)=2x.
Portanto, f é derivável em todo ponto x ∈ IR com derivada 2x. Assim, a derivada de f é a função f’ tal que
2) Derive f(x) =x3
Portanto f’(x) =3x2, qualquer que seja x ∈ IR.
Página 52
Aula 13 Matemática Aplicada
Prof. Luciana Zimmer
DERIVADAS FUNDAMENTAIS
a) Derivada da função constante
f(x)=c ⇒ f’(x)=0
Ex.: a) f(x)= 5 ⇒ f’(x)= 0
b) Derivada da função potência
f(x)= xn ⇒ f’(x)= n.xn-1
a) f(x)=x2 ⇒ f’(x)= 2.x2-1= 2x
b) f(x)=x ⇒ f’(x)= 1.x1-1=1.xº=1
c) f(x)=x3/4⇒ f’(x)=3/4x3/4-1=3/4.x-1/4
c) Derivada do produto de uma constante por uma função
g(x)=c.f(x) ⇒ g’(x)= c.f’(x)
a) g(x)=5x3 ⇒ g’(x)=5.3.x3-1= 15x2
b) f(x)=2/3x12 ⇒ f’(x)=2/3.12.x12-1=8x11
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
a) Derivada de uma soma de funções
y=u+v ⇒y’=u’+v’
y=u-v ⇒ y’=u’-v’
Ex.: f(x)=4x3-2x2+5x+1 ⇒ f’(x)=4.3.x3-1-2.2.x2-1+5.x1-1+0 ⇒ f’(x)=12x2-4x+5
b) Derivada de um produto de funções
y=u.v ⇒ y’=u’.v+v’.u
Ex: Calcular a derivada (2+5x)(7-3x)
u’=5 e v’=-3
y’= 5.(7-3x)+(-3)(2+5x) ⇒y’=35-15x-6-15x ⇒ y’=-30x+29
c) Derivada de um quociente de funções
y=u/v ⇒ y’= u’.v-v’.u
v2
Página 53
Ex.: Dada a função f(x)= x2+1, calcular f’(x)
x-3
u= x2+1 ⇒ u’=2x
f’= 2x(x-3)-1.(x2+1)
(x-3)2
v= x-3 ⇒ v’=1
f’= x2-6x-1
x2-6x+9
DERIVADA DA POTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO
y=gn ⇒ y’=n.gn-1.g’
Ex.: Dada a função f(x)=(2x+1)4, calcular f’(x)
g(x)= 2x+1
g’(x)= 2
y’= 4.g4-1.g’ ⇒ y’= 4.(2x+1)4-1.2 ⇒ y’= 8.(2x+1)3
Exercícios
1. Calcular a derivada de cada uma das funções seguintes:
a) y = 4 x + 5
b) y =
h) y =
1
x+ 2
2
c) y = −
i) y =
1 2
x + 5x + 7
2
x 7 − 3x 6
9
3 6
x
2
j) y = 2 x 2 + 6 x + 1
d) y = x 3 + x 2
e) y = 5 − x 2 + 4 x 3
f) y =
x4 − x3 + x
5
g) y = 10 − x 2 +
1 6
x + x5
2
2. Derive as funções:
a) C = q 3 + 2q 2 + 4q + 20 (Custo)
b) R = 6q 2 − q 3 (Receita)
c) L = −q 4 + 13q 2 − 36 (Lucro)
l) y =
x
+ 0,5
2
m) y = ( x 2 + 4) 5
n) y = (2 − x) 8
1
d) P = 10x 3 (Produção)
e) U = x x (Utilidade)
Página 54
f) q = − p 2 + 100 (Demanda)
3. Seja y = − x 2 + 8 x − 12
a) Faça o gráfico da função e determine o ponto da curva em que a tangente é paralela ao eixo dos x .
Qual o valor da função nesse ponto?
b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
c) Resolva as inequações y ′ > 0 e y ′ < 0 .
4. Seja a função y = 3 x − x 2
a) Faça seu gráfico.
b) Determine sua derivada.
c) Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação positiva (é crescente), resolvendo a
inequação y ′ > 0 .
d) Determine os valores de x para os quais a curva tem inclinação negativa (é decrescente),
resolvendo a inequação y ′ < 0 .
5. O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por N (t ) = t 2 + 5t + 106 bilhões de dólares,
onde t é o número de anos após 1990.
a) Qual foi à taxa de variação do PIB em 1998?
b) Qual foi à taxa de variação percentual do PIB em 1998?
Página 55