atemática
E SUAS TE
ECNOLOGIAS
Ficha de Estudo
33
Tema
Analisando e tratando as informações
Tópico de estudo
Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum
Entendendo a competência
Competência 1 – (Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais).
Refere-se à capacidade de entender a importância dos números como forma de linguagem e como representação da
realidade. Saber o que motivou a criação dos números, suas utilidades nos processos sociais e a evolução de suas
representações constituem o primeiro passo no caminho de uma aprendizagem prazerosa da Matemática.
Desvendando a habilidade
Habilidade 3 – (Resolver problema envolvendo conhecimentos numéricos).
Significa saber utilizar as operações numéricas na solução de problemas do cotidiano. Várias situações em nosso dia
a dia podem ser solucionadas com um pouco de conhecimento da Teoria dos Números, como cálculo de m.m.c. e
m.d.c., operações com frações e porcentagem, critérios de divisibilidade, dentre outros tópicos.
Situações-problema e conceitos básicos
© BIRF
A Conta da Solidariedade
Curso Pré-ENEM
Matemática
A Sintonia dos Sinais de Trânsito
Em uma avenida, dois sinais de trânsito, separados por uma quadra, abrem juntos
em um determinado momento. Um deles permanece 40 segundos aberto e 20 segundos fechado, enquanto o outro permanece 35 segundos aberto e 15 segundos fechado.
Depois de quanto tempo estes dois sinais voltarão a abrir no mesmo instante?
Estas duas situações-problema apresentadas podem ser resolvidas usando os conceitos de MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM e MÁXIMO DIVISOR COMUM entre dois números naturais, que resumimos a seguir.
© BIRF
Uma ONG arrecadou, em uma campanha de doação de roupas, 1.260 camisas, 1.680 calças, 2.100 casacos e
2.520 pares de meia. A organização decidiu separar estas peças em kits, todos com a mesma composição (cada
tipo de peça é distribuído igualmente por todos os kits). Qual a quantidade máxima de kits que esta ONG pode
montar para a campanha?
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.): É o menor múltiplo comum positivo entre dois
números.
EXEMPLO: Calcular o m.m.c. entre 12 e 18.
Múltiplos de 12 5 {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, ...}
Múltiplos de 18 5 {0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 ...}
Múltiplos comuns entre 12 e 18 5 {0, 36, 72, 108, ...}
m.m.c. (12, 18) 5 36
No caso de números maiores, fazer a enumeração dos múltiplos para a determinação do m.m.c. pode não ser tarefa fácil. Mostramos a seguir alguns métodos para
determinar o mínimo múltiplo comum entre dois números.
MÉTODO
DA
FATORAÇÃO SIMULTÂNEA:
EXEMPLO: Determinar o m.m.c. entre 30 e 54.
30 , 54
15 , 27
5,9
5,3
5,1
1,1
2
3
3!
3
5
m.m.c.(30, 54) 5 2 3 33 3 5 5 270
MÉTODO DA FATORAÇÃO ISOLADA: Após fatorar cada um dos números, o mínimo múltiplo comum entre eles será
composto pelos fatores primos comuns e não comuns elevados aos maiores expoentes.
EXEMPLO: Determinar o m.m.c. entre 120 e 252.
120 5 23 3 31 3 51 ; 252 5 22 3 32 3 71
m.m.c.(120, 252) 5 23 3 32 3 51 3 71 5 2520
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.): É o maior divisor comum positivo entre dois números.
EXEMPLO: Calcular o m.d.c. entre 12 e 18.
Divisores de 12 5 {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Divisores de 18 5 {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores comuns entre 12 e 18 5 {1, 2, 3, 6}
m.d.c.(12, 18) 5 6
No caso de números maiores, fazer a enumeração dos divisores para a determinação do m.d.c. pode não ser
tarefa fácil. Mostramos a seguir alguns métodos para determinar o máximo divisor comum entre dois números.
MÉTODO
comum.
DA
Curso Pré-ENEM
FATORAÇÃO SIMULTÂNEA: Fatora-se simultaneamente os números até que não exista mais fator primo
Matemática
EXEMPLO: Determinar o m.d.c. entre 120 e 168.
120 , 168
60 , 84
30 , 42
15 , 21
5,7
2
2
!
2
3
m.d.c.(120, 168) 5 23 3 3 5 24
MÉTODO DA FATORAÇÃO ISOLADA: Após fatorar cada um dos números, o máximo divisor comum entre eles será
composto pelos fatores primos comuns elevados aos menores expoentes.
EXEMPLO: Determinar o m.d.c. entre 120 e 252.
120 5 23 3 31 3 51 ; 252 5 22 3 32 3 71
m.d.c.(120, 252) 5 22 3 31 5 12
MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS: Divide-se o maior dos números pelo menor e, a partir daí, divide-se, sucessivamente, o divisor pelo resto até encontrarmos resto zero. O último divisor será o m.d.c. procurado.
EXEMPLO: Determinar o m.d.c. entre 84 e 490.
490 84
84
70
70
14
70
14
1
0
5
5
m.d.c.(490, 84) 5 14
Vamos resolver os problemas propostos no início desta aula. No caso da campanha de roupas, se as 1.260 camisas serão divididas igualmente entre os kits, a quantidade de kits deverá ser um divisor natural de 1.260. Analogamente, esta mesma quantidade deverá ser divisor natural de 1.680, 2.100 e 2.520. O maior número possível de
kits será, então, o máximo divisor comum entre 1.260, 1.680, 2.100 e 2.520:
1.260 5 22 3 32 3 51 3 71 ; 1.680 5 24 3 31 3 51 3 71 ; 2.100 5 22 3 31 3 52 3 71 ; 2.520 5 23 3 32 3 51 3 71
m.d.c.(1.260, 1.680, 2.100, 2.520) 5 22 3 31 3 51 3 71 5 420
Concluímos, então, que a quantidade máxima de kits que esta ONG pode montar para a campanha é
igual a 420.
Quanto aos sinais de trânsito, temos que um deles abre de 40 1 20 5 60 em 60 s, enquanto o outro abre de
35 1 15 5 50 em 50 s. Dessa forma, o primeiro abre nos instantes que são múltiplos de 60 s, enquanto o outro abre
nos instantes que são múltiplos de 50 s. Eles abrirão juntos pela primeira vez no instante equivalente ao menor
múltiplo comum entre 60 e 50:
60 5 22 3 3 3 5 ; 50 5 21 3 52
m.m.c.(60, 50) 5 22 3 3 3 52 5 300
Concluímos, então, que os dois sinais voltarão a abrir no mesmo instante pela primeira vez após
300 s 5 5 min.
Curso Pré-ENEM
Matemática