Uma Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos
Discretos
Pryscilla dos Santos Ferreira Silva1
Resumo
Ao estudar fenômenos naturais, nem sempre é necessário trabalhar com continuidade.
Podemos lidar com situações cujo interesse consiste em analisar um sistema a cada
hora, a cada mês. A composição de funções, base dos Sistemas Dinâmicos Discretos,
permite a obtenção de modelos que descrevem bem este tipo de sistema. O termo
“Discreto”, retrata com eficiência o que se estuda nesta teoria, já que ela auxilia
bastante na descrição dos fenômenos mencionados anteriormente.
Neste artigo, apresentamos a parte inicial da teoria dos Sistemas Dinâmicos
Discretos, fornecendo a definição de iteração de funções, órbita, dentre outros temas
fundamentais para o estudo da mesma.
Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos Discretos, composição, funções, órbita.
Introdução
O objetivo deste artigo é fornecer algumas técnicas básicas da teoria dos Sistemas
Dinâmicos Discretos em uma dimensão. Para isso, apresentaremos definições com a de
conjunto estáveis e instáveis, pontos fixos e periódicos, bem como exemplos, proposições
e teoremas.
1
Curso de Licenciatura em Matemática. Universidade Estadual de Feira de Santana. E-mail: [email protected]
Trabalho realizado a partir dos estudos desenvolvidos nas disciplinas Orientação à Pesquisa I, II e
Projeto I, II sob orientação dos professores Cristhian Bugs e Fabı́ola Pedreira.
1
1
Sistemas Dinâmicos Discretos
A função f : R → R dada por f (b) = 2b é uma regra que especifica para cada
número b um número duas vezes maior. Este é um modelo matemático simples. Nós
podemos imaginar que b representa a população de bactérias em um laboratório de cultura
e que f (b) representa a população uma hora depois. Então a regra expressa o fato de que
a população dobra a cada hora. Se a cultura tem uma população de 10.000 bactérias,
então depois de uma hora existirão f (10.000) = 20.000 bactérias, depois de duas horas
existirão f (f (10.000)) = 40.000 bactérias, e assim por diante, note que a população de
uma hora depois está diretamente relacionada à população de uma hora antes [1]. Tal
situação se encaixa perfeitamente nas caracterı́sticas de um Sistema Dinâmico Discreto.
Um Sistema Dinâmico Discreto consiste de um conjunto de estados possı́veis,
juntamente com uma regra que determina o estado presente em termos do estado
passado, cujo o estado só muda durante os instantes {t0 , t1 , t2 , ...}, ou seja, o sistema
faz exame do estado atual com a entrada e atualiza a situação produzindo um
estado novo com a saı́da. Da origem do sistema, teremos em vista todas as informações
necessárias assim que a regra for aplicada [10].
Fazendo uma comparação da definição anterior com o exemplo das bactérias,
podemos notar que:
• O objetivo do exemplo é analisar a população de bactérias (um conjunto de estados possı́veis).
• A regra utilizada é determinada pela função f (b) = 2b. Além disso para saber qual
a população após duas horas foi suficiente a composição f (f (10.000)) = 40.000, ou
seja o seu estado atual (40.000) é determinado pelo seu estado inicial (10.000). Logo
2
a regra determina o estado presente em termos do estado passado.
• Note que o estado do sistema só muda para os valores {b0 = 10.000, b1 = 20.000, b2 =
40.000, b3 = 80.000, ...}, em que b0 é a população inicial, b1 é a população após
uma hora, b2 a população após duas horas e assim por diante. Assim entre os bi ,
com i = 0, 1, 2, 3, ... , o sistema permanece constante. Deste modo o sistema faz
exame do estado atual com a entrada e atualiza a situação produzindo
um estado novo com a saı́da.
2
Iteração
Para compreender Sistemas Dinâmicos Discretos é necessário ter em mente o
conceito de iteração. Iterar significa repetir, em Matemática essa “repetição”consiste em
compor uma função com ela mesma várias vezes:
f ◦ ... ◦ f ◦ f . Utilizando o nosso
primeiro exemplo temos que:
• Para a primeira hora teremos uma população b;
• Para uma hora depois teremos o dobro da população, ou seja, f (b) = 2b;
• Para duas horas depois teremos f (f (b)) = f 2 (b) = 2.2b = 22 b = 4b, e assim sucessivamente para n horas depois teremos f n (b) = 2n .b.
Tomando um ponto x0 ∈ R, para facilitar a leitura de uma iteração denotaremos
f (x0 ) = x1 , f (x1 ) = x2 , ..., f (xn−1 ) = xn . Assim (f ◦ ... ◦ f )(x0 ) = xn , de forma que
estaremos aplicando x0 na composição de f com ela mesma n vezes. Do mesmo modo
escrevemos:
f 2 (x) = (f ◦ f )(x),
3
f 3 (x) = (f ◦ f ◦ f )(x) ou
f 3 (x) = (f ◦ f 2 )(x),
generalizando, f n (x) = (f ◦ f n−1 )(x) para n ≥ 1.
Nós também escrevemos f 0 (x) para a identidade f 0 (x) = x.
Afim de esclarecer o que foi dito, observe os exemplos abaixo, considerando que
as funções utilizadas são definidas de R em R .
Exemplo 2.1 Se f (x) = x.(1 − x), então f 2 (x) = (f ◦ f )(x) = f (x.(1 − x)) = x.(1 −
x).[1 − (x.(1 − x))].
Exemplo 2.2 Dada j(x) = x3 , as composições se comportam da seguinte forma:
j 2 (x) = (j ◦ j)(x) = (x3 )3 = x9 ,
j 3 (x) = (j ◦ j ◦ j)(x) = ((x3 )3 )3 = x27 .
Ver mais exemplos.
Robinson (1995), nos leva a perceber que sendo f uma função de caráter razoavelmente simples, já se torna complexo definir sua composta e conseqüentemente sua
derivada, caso exista, em f 2 (x). Para iteradas cada vez maiores será cada vez mais difı́cil,
neste momento a notação anterior é útil, nos permitindo chegar, com o auxı́lio da Regra
Cadeia, a seguinte relação :
(f n )0 (x0 ) = (f )0 (xn−1 ).....(f )0 (x0 ).
Ver demonstração da relação anterior.
4
Exemplo 2.3 Para esclarecer vejamos o que acontece para a função do exemplo 2.1[9]:
Tomando f (x) = x(1 − x) e escolhendo o ponto x0 =
f (x0 ) = f
1
3
=
1
e n = 3, temos
3
1
1 2
1−
= = x1
3
3
9
2
f (x0 ) = f (f (x0 )) = f (x1 ) = f
2
9
=
14
= x2
81
f 0 (x) = 1 − 2x
como (f n )0 (x0 ) = (f )0 (xn−1 ).....(f )0 (x0 ),
segue (f 3 )0 (x0 ) = (f )0 (x2 ).(f )0 (x1 ).(f )0 (x0 )
e então (f 3 )0
14 2 1 53 5 1
= 1 − 2.
. 1 − 2. . 1 − 2.
= . . .
3
81
9
3
81 9 3
1
Observe que a praticidade do método consiste em dispensar (para o cálculo da
derivada no ponto) o uso excessivo da Regra da Cadeia, desde que f seja diferenciável em
{x0 , x1 , ..., xn−1 }.
5
Ver outros exemplos da relação anterior.
Considere X, Y ⊂ R e
f :X →
x
Y
7→ f (x) = y
uma função inversı́vel e derivável em a ∈ X ∩ X 0 (em que X 0 é o conjunto dos pontos de
acumulação de X); f (a) = b com b 6= 0. Então a derivada de (f −1 )0 (f (a)) =
1
f 0 (a)
[7].
Sendo f −1 a inversa de f temos que, f −2 (x) = (f 2 )−1 (x) = (f −1 )2 (x) e f −n (x) =
(f n )−1 (x) = (f −1 )n (x) para −n < 0. Deste modo, de acordo com Robinson (1995),
podemos aplicar o método anterior em compostas de funções inversas , desde que f −1 ,
assim como f, seja diferenciável em {x0 , x1 , ..., xn−1 } 2 .
3
Pontos Periódicos
Afirmamos anteriormente que o conceito de iteração é fundamental para o estudo
da teoria dos Sistemas Dinâmicos Discretos. Nada mais natural que nos ocupemos, a
partir deste momento, em estudar o comportamento dessas iterações. Considere o exemplo
abaixo:
Exemplo 3.1 Considere a função j(x) = x3 , calculemos as iteradas para os pontos:
x 1 = 8 e x2 =
1
2
• Para x1 = 8:
j 0 (8) = 8
j(8) = 512
2
A diferenciabilidade é um fenômeno local, por isso esta observação se faz necessária.
6
j 2 (8) = 134.217.728
j 3 (8) = 2.417.851.639.229.258.349.412.352
...
• Para x2 =
1
2
1
= 0, 5
2
1
j( 21 ) = = 0, 125
8
1 ∼
j 2 ( 21 ) =
= 0, 001953125
512
1
∼
j 3 ( 21 ) =
= 0, 000000007450581
134.217.728
j 0 ( 21 ) =
...
Analisando o exemplo 3.1, podemos perceber que: para x1 = 8 à medida que
ocorrem as iterações os valores aumentam cada vez mais, já para x2 =
1
as iterações
2
parecem se aproximar de zero.
Holmgren (1996), sugere utilizarmos o Registro Fase (Phase Portraits), para analisar o comportamento das iterações de uma função. Um Registro Fase consiste de um
diagrama que possibilita representar a posição inicial de um ponto no sistema e possui
flechas que indicam a variação das posições à medida que ocorre a iteração. O Registro Fase é freqüentemente usado para representar graficamente um sistema dinâmico.
Façamos agora a representação do Registro Fase para j(x) = x3 :
-1 0 1
Figura 3.1: Registro Fase para valores entre 0 e 1.
-1 0 1
Figura 3.2: Registro Fase para valores entre −1 e 1.
7
Podemos verificar intuitivamente que para −1 < x < 1, os valores se aproximam de zero, assim para representar o comportamento destes valores basta colocarmos
duas setas em direção ao zero. Analogamente para x > 1 e x < −1 os valores tendem
para menos e mais infinito respectivamente. Mais adiante provaremos estas afirmações
utilizando alguns recursos da Análise Real. Além disso para 0, 1, −1 colocamos apenas
pontos uma vez que f n (0) = 0, f n (1) = 1, f n (−1) = −1.
Para observar outros valores basta ligarmos o valor a sua imagem através de uma
flecha:
-5,832
-1,8 - 1
0 11,5 2
3,75
8
Figura 3.3: Registro Fase para j(x) = x3 .
Suponha que agora o nosso interesse esteja em verificar o comportamento de
tn (x), com t : R → R uma função, para qualquer x real e para todo n ∈ Z. Qual lim tn ?
n→∞
Que propriedades a seqüência {x, t(x), t2 (x), ..., tn (x), ...} tem?
Desse momento em diante, é inevitável conhecermos as definições de órbita e
pontos periódicos, pois são essenciais na resposta das perguntas anteriores. Para isso,
estamos considerando f : I ⊂ R → R, além de f ser C 1 ou C 2 .
Definição 3.1 Dado um ponto a e uma função f contı́nua, o conjunto de pontos {a, f (a),
f 2 (a), f 3 (a), ...} é denominado a órbita positiva de a e é denotado por ϕ+ (a) = {f k (a); k ≥
0}. Se f é inversı́vel, o conjunto de pontos {a, f −1 (a), f −2 (a), f −3 (a), ...} é denominado
a órbita negativa de a e é denotada por ϕ− (a) = {f k (a); k ≤ 0} [9].
Exemplo 3.2 Seja f (x) = x(1 − x), calculemos a órbita positiva de x = 2:
8
• x=2
• f (2) = 2(1 − 2) = −2
• f 2 (2) = f (f (2)) = −6
• f 3 (2) = f (f (f (2))) = −42
Assim, pela definição anterior teremos que:
ϕ+ (2) = {f k (2); k ≥ 0} = {2, f (2), f 2 (2), f 3 (2), ...} =
= {2, −2, −6, −42, ...}.
Exemplo 3.3 Dada a função j(x) = x3 , a órbita de 8 é o conjunto {8, 512 , 134.217.728, ...}
ou seja {8, j(8), j 2 (8), j 3 (8), ...}. A inversa de j é definida por j −1 (x) =
negativa de 8 é o conjunto {8, 2,
√
3
√
3
x, logo a órbita
2, ...}
Caso queiramos observar o comportamento das iteradas negativas de um ponto
para funções não inversı́veis, Robinson (1995) sugere considerarmos {x−1 , x−2 , ... , x−n },
tal que f (x−n ) = x−n+1 (ou seja um conjunto das imagens inversas de f (x−n ) ).
Exemplo 3.4 Dada a função não inversı́vel, f (x) = x2 − 1 temos
f (x) =
√
2
2⇒x −1=
√
q
√
2⇒x=± 1+ 2
r
q
q
q
√
√
√
2
f (x) = 1 + 2 ⇒ x − 1 = 1 + 2 ⇒ x = ± 1 + 1 + 2
p
√
√
2 ∈ h−1 ( 2) (uma vez que − 1 + 2 também pertence, a escolha
q
p
p
p
√
√
√
de 1 + 2 é apenas por conveniência), assim como 1 + 1 + 2 ∈ f −1 ( 1 + 2).
Logo
p
1+
√
9
Dessa forma, podemos montar uma seqüência com os elementos do domı́nio, a
nossa escolha, usados anteriormente :
x−1 =
√
q
2; x−2 =
1+
√
r
2; x−3 =
q
1+
1+
√
2
h(x−2 ) = x−2+1 = x−1 donde
q
q
√
√
√
√
h( 1 + 2) = ( 1 + 2)2 − 1 = 1 + 2 − 1 = 2
h(x−3 ) = x−3+1 = x−2
r
h( 1 +
q
1+
√
r
2) = ( 1 +
q
1+
√
q
2
2) − 1 = 1 +
1+
√
q
2−1=
1+
√
2.
Ver outros exemplos de órbitas.
Definição 3.2 Dizemos que a é um ponto fixo de uma função f se f (a) = a. Além disso,
o ponto a é um ponto periódico de perı́odo n se f n (a) = a para algum n > 0 e f j (a) 6=
a, para 0 < j < n, com j, n ∈ N (podemos verificar que n é o menor perı́odo, pois
f kn (a) = a ∀ k ≥ 1, com k ∈ N ). Isto é, se a tem perı́odo n, então a é um ponto fixo
para a função f n . Além disso a órbita positiva de a, ϕ+ (a), é chamada órbita periódica
quando a é um ponto periódico de perı́odo n
3
3
.
Esta definição é baseada em Holmgren (1996) e Robinson (1995), entretanto Holmgren faz alguns
comentários sobre pontos periódicos de perı́odo primo o que achamos desnecessário, pois a Definição
3.2 serve para qualquer perı́odo.
10
Exemplo 3.5 Para a função m(x) = x2 − x o conjunto dos pontos fixos de f será dado
por m(x) = x, ou seja,
x2 − x = x ⇒ x2 − 2x = 0 ⇒ x0 = 0 ou x00 = 2
Logo x0 = 0 e x00 = 2 são pontos fixos da função m.
Ver mais exemplos de pontos fixos.
Exemplo 3.6 A função g(x) = x2 − 2x possui pelo menos um ponto periódico. De fato
dada g(x), temos que o ponto
√
1
5
x0 = +
2
2
√
√
1
1
5
5
é tal que (g ◦ g)(x0 ) = g(g( +
)) = g( −
) = x0 .
2
2
2
2
Ver mais exemplos de pontos periódicos.
A notação que usamos para todos os pontos fixos por f n é:
P er(f, n) = {x; f n (x) = x} e
F ix(f ) = P er(f, 1) = {x; f (x) = x}
Finalmente, um ponto a é eventualmente periódico de perı́odo n, se existe um
m > 0 tal que f m+n (a) = f m (a) ou f j+n (a) = f j (a) para j ≥ m e f m (a) é um ponto
periódico, com m, n, e j ∈ N.
Exemplo 3.7 Dada v(x) = x3 − x os pontos fixos que satisfazem a equação x3 − x = x,
são:
√
x3 − 2x = 0 ⇒ x(x2 − 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = ± 2.
11
Além disso, para os pontos x = ±1 temos que
v(1) = 1 − 1 = 0 ⇒ v 2 (1) = v(v(1)) = v(0) = 0
v(−1) = −1 + 1 = 0 ⇒ v 2 (−1) = v(v(−1)) = v(0) = 0.
Fazendo relação com a definição anterior temos,
v(1) = v 1+1 (1) = 0
v(−1) = v 1+1 (−1) = 0
Logo 1 e -1 são eventualmente periódicos de perı́odo um.
Ver outro exemplo de ponto eventualmente periódico.
4
Conjuntos Estáveis e Conjuntos Instáveis
Definição 4.1 Um ponto q é assintoticamente positivo para p se |f j (q) − f j (p)|, com j ∈
Z+ , vai para zero quando j vai para infinito, ou seja quanto maior for o valor de j, f j (q)
aproxima-se de f j (p). Se p é periódico de perı́odo n então q é assintoticamente positivo
para p se |f jn (q) − p| vai para zero quando j vai para infinito. O conjunto estável de p é
definido como:
W s (p) = { q; q é assintoticamente positivo para p }[9]
Exemplo 4.1 Considerando a função definida por j(x) = x3 , os pontos fixos desta função
são 0, 1, -1. Verifiquemos o comportamento da função para x = 0, 5 e x = −0, 8, valores
12
próximos de zero à direita e à esquerda:
j(0, 5) = 0, 125
⇓
j 2 (0, 5) ∼
= 0, 002
⇓
j 3 (0, 5) ∼
= 0, 000000008
j(−0, 8) = −0, 512
⇓
j 2 (−0, 8) ∼
= −0, 134
⇓
j 3 (−0, 8) ∼
= −0, 002
Quanto maior são as iteradas de 0, 5 e −0, 8, maior é a proximidade das imagens
com o zero. Logo é possı́vel que 0,5 e - 0,8 pertençam ao W s (0). Ainda analisando W s (0)
podemos observar que para outros pontos pertencentes ao intervalo (0, 1), j(x) < x o que
nos leva a crer que suas iteradas comportam-se da seguinte forma: x > j(x) > j 2 (x) ... >
j n (x) > 0. Ou seja aproximam - se cada vez mais de zero. Uma análise similar fazemos
para pontos pertencentes ao intervalo (−1, 0), uma vez que neste intervalo x < j(x),
assim suas iteradas agem deste modo: x < j(x) < ... < j n (x) < 0, ou seja, também
13
aproximam-se cada vez mais de zero. O que nos falta agora, é verificar se de fato as
iteradas de todos os valores pertencentes a (−1, 1) convergem para zero.
Com efeito, as iteradas da função j(x) = x3 são : {j(x), j 2 (x), j 3 (x), ..., j n (x), ...}
n
= {x3 , (x3 )3 , ((x3 )3 )3 , ...} = {x3 , x9 , x27 , ..., x3 , ...}. Para −1 < x < 1 temos que
n
lim x3 = 0, logo as iteradas de x; x ∈ (−1, 1) convergem para zero.
n→∞
Analisemos o comportamento das iteradas para x = 1, 2 e x = −1, 5, valores
respectivamente à direita de 1 e à esquerda de -1:
• Para x = 1, 2
j(1, 2) ∼
= 1, 7
j 2 (1, 2) ∼
= 4, 9
• Para x = −1, 5
j(−1, 5) ∼
= −3, 4
j 2 (−1, 5) ∼
= −39, 3
À medida que as iterações para 1, 2 ocorrem, maior é o valor de suas imagens, assim 1, 2 ∈
/ W s (1). De forma análoga conclui-se que −1, 5 ∈
/ W s (−1). Observando W s (1) e W s (−1) podemos notar que para outros pontos pertencentes ao intervalo
(1, +∞), j(x) > x o que nos leva a crer que suas iteradas comportam-se da seguinte
forma: {1 < x < j(x) < j 2 (x) ... < j n (x) ...}, isto é, se distanciam cada vez mais de 1.
Analogamente x ∈ (−∞, −1) ⇒ x > j(x) ⇒ {−1 > x > j(x) > ... > j n (x) ... }, ou seja
os valores se distanciam cada vez mais de -1.
n
De fato para x ∈ (−∞, −1), lim x3 = −∞, analogamente para x ∈ (1, +∞),
n→∞
lim x
n→∞
3n
= +∞.
Logo podemos concluir que :
14
• W s (0) = (−1, 1)
• W s (1) = {1}
• W s (−1) = {−1}
O W s (1) = {1} e W s (−1) = {−1} pois os únicos pontos cujas iteradas tendem
a 1 e a -1 são eles mesmos [4].
Proposição 4.1 Os conjuntos estáveis de pontos periódicos distintos não se intersectam.
Em outras palavras, se p1 e p2 são pontos periódicos e p1 6= p2 então W s (p1 )∩W s (p2 ) = ∅
[4].
Ver demonstração.
Exemplo 4.2 Observando o exemplo 4.1 podemos notar que W s (0) ∩ W s (1) = ∅.
Definição 4.2 Se f é inversı́vel, então um ponto q é dito assintoticamente negativo para
p se |f j (q) − f j (p)| vai para zero quando j vai para menos infinito, caso p seja um ponto
periódico, de perı́odo n, então q será assintoticamente negativo para p se |f jn (q) − p| vai
para zero quando j vai para menos infinito [9]. O conjunto instável de p é definido como:
W u (p) = {q; q é assintoticamente negativo para p }.
Exemplo 4.3 Baseado no exemplo anterior, temos que j −1 (x) =
Analisemos j −1 (x) =
√
3
x, para:
• x = 0, 125
j −1 (0, 125) = 0, 5
j −2 (0, 125) ∼
= 0, 7937
j −3 (0, 125) ∼
= 0, 9259
15
√
3
x é a inversa de j.
• x = −0, 64
j −1 (−0, 064) = −0, 4
j −2 (−0, 064) ∼
= −0, 7368
j −3 (0, 064) ∼
= −0, 9032
• x = 2, 7.
j −1 (2, 7) ∼
= 1, 3925
j −2 (2, 7) ∼
= 1, 1167
j −3 (2, 7) ∼
= 1, 0375
• x = −3, 5
j −1 (−3, 5) ∼
= −1, 5183
j −2 (−3, 5) ∼
= −1, 1493
j −3 (−3, 5) ∼
= −1, 0475
√ √
√
Considerando que { 3 x, 9 x, 27 x, ... ,
√
3
√
3n
x} são as iteradas da função j −1 (x) =
x, os valores acima nos indicam intuitivamente o que pode ser provado através do cálculo
de limites, isto é:
para x ∈ (0, +∞) ⇒ lim
√
3n
n→∞
para x ∈ (−∞, 0) ⇒ lim
n→∞
16
√
3n
x=1
x = −1.
Deste modo:
W u (1) = (0, +∞)
W u (−1) = (−∞, 0)
W u (0) = {0}
W u (0) = {0} porque único ponto cujas iteradas negativas se aproximam de 0 é o
próprio 0 [4].
Ver outro exemplo de Conjunto Estável e de Conjunto Instável.
Definição 4.3 Se f não é inversı́vel, então um ponto q é dito ser assintoticamente negativo para p, se existem seqüências p−j e q−j , de modo que |q−j − p−j | vai para zero quando
j vai para infinito [9].
Observação 4.1 As seqüências p−j e q−j , seguem o raciocı́nio apresentado para iteradas
negativas de funções não inversı́veis, isto é:
p0 = p e q0 = q
f (p−j ) = p−j+1 , f (q−j ) = q−j+1 .
Exemplo 4.4 Usando novamente a função h(x) = x2 − 1. Dados p0 = 1, q0 = −1:
• Para p0 = 1, devemos ter p−1 tal que, h(p−1 ) = p0 = 1 ⇒ p−1 =
• Para p−1 =
√
2 devemos ter p−2 tal que, h(p−2 ) = p−1 =
17
√
√
2;
2 ⇒ p−2 =
p
1+
√
2;
• Para q0 = −1, devemos ter q−1 tal que, h(q−1 ) = q0 = −1 ⇒ q−1 = 0;
• Para q−1 = 0, devemos ter q−2 tal que, h(q−2 ) = q−1 = 0 ⇒ q−2 = 1.
Observemos então alguns valores das duas seqüências:
p0 = 1 p−1 =
√
2 p−2 =
p
1+
√
2
q0 = −1 q−1 = 0 q−2 = 1
Note que:
|q0 − p0 | = | − 1 − 1| = | − 2| = 2
|q−1 − p−1 | = |0 −
√
2| ' | − 1, 4| = 1, 4
q
√
|q−2 − p−2 | = |1 − 1 + 2| ' | − 0, 6| = 0, 6
Quanto maior é o valor de j mais os valores se aproximam.
Ver demonstração de que lim |q−n − p−n | = 0
n→∞
Definição 4.4 Um ponto p é dito Liapunov - estável (L- estável), {∀ > 0, ∃ δ >
0 \ |x − p| < δ ⇒ |f j (x) − f j (p)| < para todo j ≥ 0} . Deste modo podemos concluir
que, quanto mais próximo x estiver de p a órbita positiva de de x estará mais próxima da
órbita positiva de p, ou seja, lim f j (x) = f j (p).
x→p
Afirmação 1 A função real f (x) =
1 1
x
é tal que |f j+1 (x)| ≤ |f j (x)| para x ∈ − , .
2
2 2
De fato, temos que
|f
j+1
1
j (x)| = |f ◦ f (x)| = f (x) ≤ |f j (x)|
2
j
18
Além disso, observe que fixado > 0, ∃ k > 0 tal que
k
< .
2
De fato, basta tomar k < 2.
Exemplo 4.5 Dada a função f (x) =
x
o ponto x0 = 0 é Liapunov Estável.
2
De fato, mostremos que dado > 0, ∃ δ > 0 tal que
|x − p| < δ ⇒ |f j (x) − f j (p)| < Sendo assim, considerando a afirmação anterior, se p=0 então para δ = k tem-se
x k
|x − 0| < δ ⇒ |f (x) − f (0)| = |f (x)| < |f (x)| = < < 2
2
j
j
j
Para funções simples como j(x) = x3 , é possı́vel analisar W s (p) e W u (p) para um
ponto p periódico. No entanto, nem sempre essa análise é tão acessı́vel e para tal podemos
utilizar o gráfico da função. Vejamos como proceder utilizando o gráfico de j(x) = x3 :
1. Trace a função identidade, identifique no gráfico os pontos (1,1), (0,0) e (-1,-1) note
que estes são os pontos fixos de j ;
19
2
x
3
x
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 4.1:
2. Escolha abscissas xi em torno dos pontos fixos encontrados;
2
x
3
x
1.5
1
y
0.5
x4 x2
0
x1 x 3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
3. Trace uma perpendicular ao eixo x, para cada abscissa escolhida partindo da mesma
e indo em direção ao gráfico. Note que ao fazer isso você encontrará o ponto no
20
gráfico cuja a abscissa havia escolhido ;
2
x
3
x
1.5
1
0.5
x4 x2
y
0
x1 x 3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
4. Ao encontrar o ponto, trace uma outra perpendicular paralela ao eixo x que vá do
ponto no gráfico até a identidade;
2
x
3
x
1.5
1
y
0.5
x4 x2
0
x1 x 3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
21
1
1.5
2
5. Do ponto onde esta segunda perpendicular encontrar a identidade, trace uma terceira perpendicular em direção ao eixo das abscissas, este será o valor de f (xi ) =
x0i , com i = {1, 2, 3, 4};
2
x
3
x
1.5
1
0.5
x'4 x4 x2 x'2
y
0
x'1
x 1 x3 x'3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
6. Continuando este processo obtém - se x00i .
2
x
x3
1.5
1
y
0.5
x''4
0
x'4 x4 x2 x'2 x''2
x''1
x'1
x 1 x3 x'3
x''3
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
22
1
1.5
2
Note que geometricamente você estará fazendo a mesma análise algébrica dos
W s (0), W u (0), W s (±1) e W u (±1). Sendo que, para W u (0) e W u (±1) basta fazer o
caminho contrário usando a análise feita para o W s (0) e o W s (±1), como por exemplo,
pelo caminho inverso você sairá de x001 e chegará a x01 , e assim sucessivamente. É bem
verdade que este método só funciona para funções injetoras.
Justificativa do método : Sabemos que todos os pontos da identidade são do tipo
(x, x), logo todo este processo faz com que você encontre a abscissa cujo o valor seja igual
à imagem do ponto anterior.
Observando a figura correspondente a primeira etapa e os pontos que escolhemos
anteriormente, f (x1 ) = y1 , com o método encontramos um valor na abscissa igual a y1
o qual chamamos de x01 logo f (x1 ) = y1 = x01 , f 2 (x1 ) = f (x01 ) = y10 = x001 e assim
sucessivamente.
Caso a função não seja injetora ainda será possı́vel determinar o W u (p), com p
pertencente ao domı́nio da função, utilizando o gráfico da mesma. Observe que a maior
dificuldade de determinar o W u (p) é justamente encontrar as imagens inversas do ponto.
O algoritmo a seguir nos fornece uma maneira de resolver este problema:
1. O esboço abaixo corresponde ao gráfico da função não inversı́vel f (x) = −x + x3 e
o valor x0 = 0, 231;
23
1
3
x -x
x
0.5
y
0
x0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
2. Trace a identidade e em seguida uma perpendicular ao eixo x que vá de x0 até a
identidade;
1
3
x -x
x
0.5
y
0
x0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
3. Trace uma paralela ao eixo x que passe pelo ponto em que a perpendicular interceptou a identidade, note que esta paralela corta o gráfico em três pontos, estes
pontos são as imagens inversas de x0 , basta então que você trace uma perpendicular que vá do ponto do gráfico até o eixo x, como mostra a figura abaixo. Assim
(1)
(2)
f −1 (x0 ) = x−1 , f −1 (x0 ) = x−1 .
24
1
3
x -x
x
0.5
y
x0
0
(1)
x -1
x0
(2)
x -1
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Justificativa do método: Todos os pontos da identidade são do tipo (x, x), assim
com o método adotado anteriormente o que você encontrará é o ponto (x0 , x0 ) e em seguida
com o auxı́lio da paralela ao eixo x, os valores do gráfico cuja a imagem é x0 . Deste modo,
podemos escolher quais das imagens inversas vamos trabalhar e aplicar este método tantas
vezes quantas forem necessárias, para analisar o comportamento de conjuntos instáveis e
estáveis de pontos periódicos utilizando o gráfico da função.
5
Um pouco mais sobre pontos fixos e periódicos
Existem vários temas discutidos na teoria dos Sistemas Dinâmicos Discretos que
podem nos ajudar a verificar as caracterı́sticas de um ponto periódico bem como determinar em qual intervalo do domı́nio de uma função encontramos um ponto fixo.
Teorema 5.1 Considere f : R → R uma função C 1 e p um ponto fixo de f com | f 0 (p) |<
1. Então existe uma vizinhança U de p tal que x ∈ U ⇒ lim f n (x) = p. Entretanto,
n→∞
se | f 0 (p) |> 1, então existe uma vizinhança U de p tal que x ∈ U e x 6= p ⇒ ∃k >
25
0 tal que f k (x) ∈
/ U [3].
Ver demonstração.
Vamos discutir o teorema anterior utilizando o exemplo 4.1:
i
Para a função real j(x) = x3 sabemos que 0 é um ponto fixo. Note que | j 0 (0) |=
0 < 1, logo, de acordo com o teorema anterior, existe uma vizinhança de U de 0 tal
n
que lim j n (x) = 0, o que realmente ocorre pois para x ∈ (−1, 1) lim x3 = 0;
n→∞
ii
n→∞
Já os pontos 1 e − 1 são ambos pontos fixos de j com | j 0 (1) |= 3 > 1 e
| j 0 (−1) |= 3 > 1. Assim, pelo teorema anterior existe uma vizinhança U de 1 tal
que x ∈ U e x 6= p → ∃k > 0 tal que j k (x) ∈
/ U (análogo para -1). Por exemplo a
1 vizinhança de 1,
,3 :
4
1
1
j( ) =
2
8
1
1
j 2( ) =
2
512
j(2) = 8
j 2 (2) = 512
1
e x = 8 estão fora da vizinhança ( , 3). De fato pela análise
4
1
n
n
que fizemos no exemplo 4.1 temos que lim x3 = 0 para < x < 1 e lim x3 =
n→∞
n→∞
4
As iteradas de x =
1
2
+∞ para 1 < x < 3.
Definição 5.1 Seja p um ponto periódico de perı́odo n, dizemos que p é um ponto hiperbólico
de f se | (f n )0 (p) |6= 1. Se |(f n )0 (p)| = 1 dizemos que p é não-hiperbólico ou neutro [3].
26
Definição 5.2 Dizemos que o ponto fixo p tal que | f 0 (p) |< 1, é um ponto fixo atrator
ou poço [3].
Os diagramas dos exemplos abaixo, demonstram comportamentos que normalmente podemos distinguir nestes dois tipos de pontos fixos atratores [3]:
• 0 ≤ f 0 (p) < 1
2
x
x3
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 5.1: f (x) = x3
Como f 0 (0) = 0 temos que zero é um ponto fixo atrator. Neste caso o diagrama se
assemelha a uma escada.
• −1 < f 0 (p) < 0
27
15
y=x
x(n+1)
10
5
3
0
3
r = -x/2 + 9/2
-5
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
x(n)
x 9
Figura 5.2: r(x) = − +
2 2
1
Temos que 3 é um ponto fixo atrator, pois r0 (3) = − . Observe que o diagrama
2
parece com uma teia.
Definição 5.3 Dizemos que o ponto fixo p tal que | f 0 (p) |> 1, é um ponto fixo repulsor
ou fonte [3].
Exemplo 5.1 Considere a função f : [0, +∞) → R, definida por f (x) = x2 , observando o
gráfico abaixo podemos notar que f possui dois pontos fixos: 0 e 1, com 0 ponto fixo atrator
e 1 ponto fixo repulsor. De fato pelo teorema 5.1, |f 0 (0)| = 0 < 1 e |f 0 (1)| = 2 > 1, logo
0 e 1 é atrator e repulsor respectivamente.
28
2
x2
x
1.5
y
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 5.3: f (x) = x2
O teorema e as definições anteriores estendem-se para pontos periódicos de perı́odo
n 6= 1. Basta notar que se f n (p) = p, então p é um ponto fixo para a função f n .
Ao contrário dos pontos fixos hiperbólicos, os pontos fixos não-hiperbólicos ou
neutros não apresentam um comportamento determinado por algum fator como acontece
com os pontos hiperbólicos, são atratores se o módulo da derivada é menor do que 1 e
repulsores se o módulo da derivada é maior que 1. Quando um ponto neutro atrai (ou
repele) os pontos a sua volta, dizemos que ele é fracamente atrator ( fracamente repulsor)
[3].
Exemplo 5.2 Considere as funções reais abaixo e o comportamento de seus pontos fixos
não-hiperbólicos através de seus gráficos:
1. f1 (x) = ex − 1
29
1.5
e x-1
x
1
0.5
y
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
Figura 5.4: W s (0) = (−∞, 0]
• f1 0 (0) = 1 e não é possı́vel determinar uma vizinhança U de 0 tal que para
x ∈ U, lim f1n (x) = 0.
n→∞
2. f2 (x) = x − x3
1
3
x-x
x
y
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
x
Figura 5.5: (−1, 1) ⊂ W s (0)
30
1
• f2 0 (0) = 1 e é possı́vel determinar uma uma vizinhança U de 0 tal que x ∈
U → lim f2n (x) = 0. Um exemplo disso é o intervalo (−1, 1).
n→∞
3. f3 (x) = x + x3
2
x3+x
x
1.5
1
y
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Figura 5.6: W s (0) = 0
• f3 0 (0) = 1 e é possı́vel determinar uma vizinhança U de 0 tal que x ∈ U e x 6=
p, ∃k > 0 tal que f3k (x) ∈
/ U.
Zero é ponto fixo das três funções e f10 (0) = f20 (0) = f30 (0) = 1, entretanto ele
apresenta um comportamento distinto nos três casos. No primeiro caso ele é fracamente
atrator à esquerda e fracamente repulsor à direita, no segundo caso ele é fracamente
atrator e no terceiro caso ele é fracamente repulsor. Tal comportamento demonstra a
imprevisibilidade de um ponto fixo neutro.
Teorema 5.2 Seja I = [a, b] um intervalo fechado e f : I → I uma função contı́nua.
Então f tem ao menos um ponto fixo em I.
Demonstração
31
Se f (a) = a ou f (b) = b, então um ou outro é o ponto fixo e a prova está
finalizada. Suponha f (a) 6= a e f (b) 6= b. Seja g(x) = f (x) − x, contı́nua por ser uma
diferença de funções contı́nuas. Como f (a) 6= a e f (a) ∈ [a, b], temos que f (a) > a.
Analogamente, por f (b) 6= b, concluimos que f (b) < b. Portanto g(a) = f (a) − a > 0 e
g(b) = f (b) − b < 0. Por g ser contı́nua e g(b) < 0 < g(a), podemos aplicar o Teorema do
Valor Intermediário, isto é, existe c ∈ [a, b], tal que g(c) = 0. Mas g(c) = f (c) − c = 0,
então f (c) = c. Logo f tem ao menos um ponto fixo em I.
Teorema 5.3 Seja I um intervalo e f : I → R uma função contı́nua. Se f (I) ⊃ I, então
f tem um ponto fixo em I.
Demonstração
Seja I = [a, b]. Como f (I) ⊃ I existem c e d em I tal que f (c) = a e f (d) = b.
Se c = a ou d = b, já encontramos o ponto fixo. Deste modo, suponha c 6= a e d 6= b, logo
a < c < b e a < d < b. Definindo a função g(x) = f (x)−x, então g(c) = f (c)−c = a−c < 0
e g(d) = f (d) − d = b − d > 0. Do fato de g ser contı́nua e g(c) < 0 < g(d), temos pelo
Teorema do Valor Intermediário que existe h ∈ [a, b] satisfazendo g(h) = 0 ⇔ f (h) = h.
Assim, f tem um ponto fixo em I.
Teorema 5.4 Dado um intervalo fechado I e f : I → R uma função diferenciável satisfazendo I ⊂ f (I) e | f 0 (x) |< 1 para todo x ∈ I. Então f tem um único ponto fixo em I.
Além disso | f (x) − f (y) |<| x − y |, para todo x, y ∈ I com x 6= y.
Demonstração
Provemos primeiro a segunda parte do teorema. Dado x e y dois pontos em I
satisfazendo x 6= y. Sem perda de generalidade, nós assumimos que x < y. Por hipótese f
32
é diferenciável no intervalo [x, y] (em particular em (x, y)), logo f é contı́nua no intervalo
[x, y]. Pelo Teorema do Valor Médio existe c ∈ [x, y] tal que
|f (x) − f (y)| = |f 0 (c)||x − y| ou |f 0 (c)| =
|f (x) − f (y)|
|x − y|
Como [x, y] ⊂ I, nós sabemos que |f 0 (c)| < 1. Então a equação anterior implica
que |f (x) − f (y)| = |f 0 (c)||x − y| < |x − y| ⇒ |f (x) − f (y)| < |x − y|.
A hipótese de que f (I) ⊃ I, nos garante a existência de um ponto fixo em I,
vamos provar a unicidade. Suponha por absurdo que existam dois pontos fixos distintos
p e q. Pela informação demonstrada temos
|f (p) − f (q)| < |p − q| ⇒ |p − q| < |p − q|
Um absurdo, logo existe um único ponto fixo em f.
6
Conclusão
Partindo de algo tão simples como a composição de funções, fornecemos impor-
tantes definições relativas à teoria dos Sistemas Dinâmicos Discretos. O comportamento
das funções apresentadas nos exemplos nos levam não só a observar aspectos raramente
discutidos como a indagar que outras implicações estes aspectos têm para a teoria.
33
7
Apêndice
Exemplos de Iteração
Exemplo 7.1 Seja g(x) = ex , então
x
g 2 (x) = (g ◦ g)(x) = ee ,
ex
g 3 (x) = (g ◦ g ◦ g)(x) = ee .
Exemplo 7.2 Considere h(x) = sen(x), temos que
h2 (x) = (h ◦ h)(x) = sen(sen(x)),
h3 (x) = (h ◦ h ◦ h)(x) = sen(sen(sen(x))),
h4 (x) = (h ◦ h ◦ h ◦ h)(x) = sen(sen(sen(sen(x)))).
Voltar ao texto.
Verificando se
(f n )0 (x0 ) = (f )0 (xn−1 ). ... .(f )0 (x0 )
34
Considere a função real f n (x) = (f ◦ f n−1 )(x), e um x0 pertencente ao domı́nio
da função, logo f n (x0 ) = (f ◦ f n−1 )(x0 ), calculando a derivada no ponto x0 teremos:
(f n )0 (x0 ) = ((f (f n−1 (x0 ))))0 , utilizando a Regra da Cadeia
(f n )0 (x0 ) = f 0 (f n−1 (x0 )).(f n−1 (x0 ))0 ,
baseando-se na composição de funções
(f n )0 (x0 ) = f 0 (xn−1 ).(f ◦ f n−2 (x0 ))0
novamente teremos que
(f n )0 (x0 ) = f 0 (xn−1 ).f 0 (f n−2 (x0 )).(f n−2 (x0 ))0
pela notação utilizada em iterações
(f n )0 (x0 ) = f 0 (xn−1 ).f 0 (xn−2 ).(f n−2 (x0 ))0 .
Por recorrência
(f n )0 (x0 ) = f 0 (xn−1 ).f 0 (xn−2 ). ... .f 0 (x0 )
Demonstração
Provemos por indução sobre n que
(f n )0 (x0 ) = (f )0 (xn−1 ).....(f )0 (x0 ).
35
• i Para n = 1 (f 1 )0 (x0 ) = (f )0 (x0 )
• ii Supomos válido para n, provemos para n + 1
• iii
Provemos que:
(f n+1 )0 (x0 ) = f 0 (xn ).f 0 (xn−1 ).....(f )0 (x0 ).
Pela notação de composição temos que:
f n+1 (x) = f (f n (x))
Usando a Regra da Cadeia:
(f (f n (x)))0 = f 0 (f n (x)).(f n )0 (x)
Mas pela notação de composição:
(f (f n (x)))0 = f 0 (xn ).(f n )0 (x)
Utilizando a hipótese de indução teremos:
(f n+1 )0 (x0 ) = f 0 (xn ).f 0 (xn−1 ).....(f )0 (x0 ).
Voltar ao texto
36
Diferenciabilidade
Definição 7.1 Sejam f : X → R e a ∈ X∩X 0 (em que X 0 é o conjunto dos pontos de acuf (x) − f (a)
,
x→a
x−a
mulação de X). A derivada da função f no ponto a é o limite f 0 (a) = lim
f (a + h) − f (a)
[7].
h→0
h
ou considerando x − a = h, f 0 (a) = lim
Observe que a existência da derivada está condicionada a existência do limite
acima. Se existir, diz-se que f é derivável no ponto a.
A definição anterior, deixa bem claro que a diferenciabilidade é um fenômeno
local, isto é analisamos a diferenciabilidade em um ponto pertencente a X ∩ X 0 . Entretanto, se existe uma derivada f 0 (x) em todos os pontos x ∈ X ∩ X 0 diz-se que a função
f : X → R é derivável no conjunto X e obtém-se uma nova função f : X ∩ X 0 → R,
x 7→ f 0 (x), chamada função derivada de f.
Voltar ao texto.
Voltar para Regra da Cadeia.
Pontos de Acumulação
Definição 7.2 Diz-se que a ∈ R é ponto de acumulação do conjunto X ⊂ R quando
toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a [5]. Ou seja,
V ∩(X−{a}) 6= ∅. O que é equivalente dizer que, ∀ > 0 tem−se (a−, a+)∩(X−{a}) 6=
∅. Denotamos por X 0 o conjunto dos pontos de acumulação de X. Se a ∈ X não é ponto
de acumulação dizemos que a é um ponto isolado. Isto é, existe > 0 tal que, a é o
único ponto de X no intervalo (a − , a + ) [7]. Quando todos os pontos do conjunto são
isolados dizemos que o conjunto é discreto.
37
Voltar ao texto.
Voltar para Diferenciabilidade.
Voltar para Regra da Cadeia.
Vizinhança
Bola aberta. A bola aberta de centro a e raio r é o conjunto B(a;r) dos pontos de um
espaço métrico M cuja a distância ao ponto a é menor do que r [8]. Ou seja,
B(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) < r}.
Exemplo 7.3 Note que, pela definição de bola e baseado na métrica da reta, teremos que
dado r > 0 e a ∈ R, B(a; r) = {x ∈ R; d(x, a) < r}.
Mas
d(x; a) < r ⇔| x − a |< r ⇔ −r < x − a < r ⇔ a − r < x < r + a
Conclusão, todo intervalo aberto (a-r;a+r) é uma bola aberta de centro a e raio r.
Ponto interior. Dado um conjunto X. Um ponto a ∈ X diz-se um ponto interior a X
quando é centro de uma bola aberta contida em X, ou seja, quando existe > 0 tal que
d(x, a) < ⇒ x ∈ X.
Exemplo 7.4 O centro de uma bola aberta é sempre um ponto interior, isso decorre da
própria definição de bola.
38
Vizinhança. Num espaço métrico, diz-se que o conjunto V é uma vizinhança do ponto
a quando a ∈ intV.
Exemplo 7.5 O intervalo (−1, 1) é uma vizinhança de zero, basta verificar que B(0; 1) =
(−1, 1).
Voltar para Pontos de Acumulação.
Voltar ao texto.
Terminologia sobre Funções
Funções Cr
No decorrer dos estudos de Sistemas Dinâmicos, usa-se algumas terminologias
sobre funções e suas derivadas. Consideremos um intervalo aberto I em R e a função
f : I → R. Se f é contı́nua nós dizemos que f é C 0 . Se f é derivável para cada ponto
de I e f 0 é contı́nua então dizemos que f é continuamente diferenciável ou uma função
C 1 . Dado r ≥ 1, se f juntamente com f (j) (lembre-se que a notação anterior representa
a j- ésima derivada da função ) são contı́nuas para 1 ≤ j ≤ r então f é chamada r-vezes
continuamente diferenciável ou uma função C r [9].
Exemplo 7.6 Dado f : R → R, f (x) = x4 + 2x3 + x2 + 5x + 10
• f é contı́nua, logo f é C 0
• f 0 (x) = 4x3 + 6x2 + 2x + 5 é contı́nua, f é C 1
• f 00 (x) = 12x2 + 12x + 2 é contı́nua, f é C 2
39
• f (3) = 24x + 12 é contı́nua,é f é C 3
• f (4)(x) = 24 é contı́nua, f é C 4
• f (5) (x) = 0 é contı́nua, f é C 5 , ou cinco vezes continuamente diferenciável.
• Como f (n) (x) = 0 para n ≥ 5 temos que f é C ∞
Definição 7.3 Uma função f : X → Y , com X e Y Espaços Métricos quaisquer é denominada homeomorfismo se for
i injetora
ii sobrejetora
iii contı́nua
iv Se f −1 : Y → X sua inversa é contı́nua.
Definição 7.4 Para um intervalo aberto I de R, a função f : I → K ⊂ R é dita C r difeomorfismo de I para K se:
i f é injetora
ii f é sobrejetora
iii f é contı́nua
iv f −1 é contı́nua
v f é C r
Voltar ao texto.
40
Continuidade
Uma função f : X → R, definida no conjunto X ⊂ R, diz-se contı́nua no ponto
a ∈ X quando
∀ > 0 ∃ δ > 0; x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < .
Uma função é descontı́nua no ponto a se não for contı́nua neste ponto. Diz-se
que f : X → R é uma função contı́nua se ela for contı́nua em todos os seus pontos [7].
Voltar para Terminologia Sobre Funções.
Exemplos de Pontos Periódicos
Exemplo 7.7 Considere n ∈ N e g : R∗ → R definida por g(x) =
1
. Afirmação, n é um
x
ponto periódico de perı́odo 2.
De fato, g(n) =
1
1
1
e g 2 (n) = f (f (n)) = g( ) = 1 = n
n
n
n
Exemplo 7.8 Considere, f : (−∞, 1) → R, definida por f (x) = 2x − [2x], em que [2x]
significa tomar a parte inteira do número 2x [2].
Tomemos o ponto x = 0, 2 e vejamos como ele evolui se o aplicarmos sucessivamente na função f.
Para x = 0, 2, f (0, 2) = 2 · (0, 2) − [2 · (0, 2)] = 0, 4 − [0, 4] = 0, 4 − 0 = 0, 4
Para x = 0, 4, isto é f (0, 2), f (0, 4) = 2 · (0, 4) − [2 · (0, 4)] = 0, 8 − [0, 8] = 0, 8 − 0 = 0, 8
Para x = 0, 8, isto é f 2 (0, 2), f (0, 8) = 2 · (0, 8) − [2 · (0, 8)] = 1, 6 − [1, 6] = 1, 6 − 1 = 0, 6
Para x = 0, 6, isto é f 3 (0, 2), f (0, 6) = 2 · (0, 6) − [2 · (0, 6)] = 1, 2 − [1, 2] = 1, 2 − 1 = 0, 2
41
Note que, 2 é um ponto periódico de perı́odo 3, pois f 3 (0, 2) = 0, 2.
0,2
0,4
0,6
0,8
Figura 7.1: Registro Fase de f 3 (0, 2)
Voltar ao texto.
Exemplos de Pontos Fixos
Exemplo 7.9 Considere h : R → R, definida por h(x) = |x|. Se x ≥ 0, temos que x é
um ponto fixo de h, pois por definição de módulo |x| = x, para x ≥ 0.
Exemplo 7.10 Todo polinômio P (x) possui um ponto fixo, isto é, é sempre possı́vel
determinar um valor x tal que P (x) = x.
Com efeito tal afirmação é verdadeira pelo Teorema Fundamental da Álgebra,
pois P (x) = x equivale a escrever P (x) − x = 0.
Voltar ao texto.
Teorema Fundamental da Álgebra
42
Toda equação algébrica
P (z) = an z n + . . . + a1 z + a0 ,
com an , . . . , a0 ∈ C, tem pelo menos uma raiz complexa.
A demonstração fica como exercı́cio para o leitor, entretanto o link http://www.
de.ufpe.br/~toom/articles/portug/index.htm fornece uma análise bem didática do
teorema através do artigo Senhora com o Cachorro, bem como indica uma referência
para a demonstração do mesmo.
Voltar para pontos fixos.
Exemplo de Ponto Eventualmente Periódico
Exemplo 7.11 Considere, f : (−∞, 1) → R, definida por f (x) = 2x − [2x], em que [2x]
significa tomar a parte inteira do número 2x [2].
Dado o ponto x = 0, 11, vejamos como ele evolui se o aplicarmos sucessivamente
na função f.
Para x = 0, 1, f (0, 1) = 2 · (0, 1) − [2 · (0, 1)] = 0, 2 − [0, 2] = 0, 2 − 0 = 0, 2
Para x = 0, 2, isto é f (0, 1), f (0, 2) = 2 · (0, 2) − [2 · (0, 2)] = 0, 4 − [0, 4] = 0, 4 − 0 = 0, 4
Para x = 0, 4, isto é f 2 (0, 4), f (0, 4) = 2 · (0, 4) − [2 · (0, 4)] = 0, 8 − [0, 8] = 0, 8 − 0 = 0, 8
Para x = 0, 8, isto é f 3 (0, 1), f (0, 8) = 2 · (0, 8) − [2 · (0, 8)] = 1, 6 − [1, 6] = 1, 6 − 1 = 0, 6
Para x = 0, 6, isto é f 4 (0, 1), f (0, 6) = 2 · (0, 6) − [2 · (0, 6)] = 1, 2 − [1, 2] = 1, 2 − 1 = 0, 2
Note que, f 4 (0, 1) = f (0, 1), isto é f 1+3 (0, 1) = f 1 (0, 1), logo 0, 1 é um ponto
eventualmente periódico de perı́odo 3.
43
0,1
0,4
0,2
0,6
0,8
Figura 7.2: Registro de Fase de f 4 (0, 1)
Voltar ao texto
Os conjuntos estáveis de pontos periódicos distintos
não se intersectam.
Demonstração
Sejam p1 e p2 , pontos periódicos distintos de perı́odo k1 e k2 , respectivamente.
Suponha por absurdo que W s (p1 ) ∩ W s (p2 ) 6= ∅.
Seja x ∈ (W s (p1 ) ∩ W s (p2 )), então para todo > 0 existe n1 e n2 tal que
2
. Considere
2
e |p2 − f nk2 (x)| < .
m = max{n1 , n2 }, temos que ∀ n ≥ m ⇒ |p1 − f nk1 (x)| <
2
2
∀ n ≥ n1 ⇒ |p1 − f nk1 (x)| <
e ∀ n ≥ n2 ⇒ |p2 − f nk2 (x)| <
Aplicando desigualdade triangular:
|p1 − p2 | = |p1 − f nk1 (x) + f nk2 (x) − p2 | ≤ |p1 − f nk1 (x)| + |p2 − f nk2 (x)| <
+ =
2 2
como a distância entre p1 e p2 é menor do que , para todo > 0, temos que isso só é
possı́vel se p1 = p2 , o que é um absurdo. Assim conjuntos estáveis de pontos periódicos
de perı́odos distintos não se intersectam [4].
44
Voltar ao texto.
Exemplo de Conjunto Estável e Instável
Neste artigo , fizemos uma análise do Conjunto Estável e Instável de todos os
pontos fixos de j : R → R, definida por j(x) = x3 . Nos exemplos que seguem, vamos
analisar o Conjunto Estável do ponto fixo x = 0 para a função f : [0, 1] → [0, 1] definida
por f (x) = xn e o Conjunto Instável do ponto fixo x = 1 de f −1 (x) =
√
nk
x, com k ∈ N.
Exemplo 7.12 Conjunto Estável de x = 0.
A órbita positiva de x ∈ [0, 1] é:
2
3
k
ϕ+ (x) = {x, xn , xn , xn , . . . , xn , . . .}.
k
Provemos que se 0 ≤ x < 1, então lim xn = 0
k→∞
k
De fato para 0 ≤ x < 1, lim xn = 0, como xn é uma subseqüência de xn , temos
n→∞
para 0 ≤ x < 1 lim x
k→∞
nk
= 0.
Ver demonstração de que lim xn = 0.
n→∞
Ver demonstração de que se a seqüência converge para um valor L, então todas as suas
subseqüências também convergem para L.
k
Note que se x = 1, xn = 1 ∀k ∈ N. Logo
W s (0) = {x ∈ R/0 ≤ x < 1}
Exemplo 7.13 Para x > 0, temos que
[7]). Além disso, ϕ− (x) : {x,
√
n
x,
√
n2
√
n
x → 0, quando n → ∞(ver demosntração em
x, . . . ,
45
√
nk
x, . . .}. Podemos perceber que,
√
nk
x é
uma subseqüência de
√
n
x e f é definida no intervalo [0, 1], logo lim
√
nk
k→∞
x = 1. Assim, o
W u (1) = (0, 1].
Voltar ao texto.
Aplicações da Regra da Cadeia
Exemplo 7.14 Seja f : R∗+ → R definida por f (x) =
√
x utilizando o método discutido
no artigo, calculemos (f 3 )0 (4):
f (4) =
√
4=2
√
f 2 (4) = f (2) =
2
1
f 0 (x) = √
2 x
√
1
1
1
1
1
1
1
(f 3 )0 (4) = f 0 ( 2) · f 0 (2) · f 0 (4) = p√ · √ · √ = √
· √ · = √
.
4
4
2 2 2 2 4
16 23
2
2 2 2 2 4
Exemplo 7.15 Dada g : R → R definida por g(x) = 2x − x2 , calculemos (g 4 )0
g
1
2
=2·
1
2
−
1 2
46
2
=1−
1
3
=
4
4
1
2
:
g2
g3
1
1
2
2
=g
=g
3
4
15 16
=2·
=2·
3 1 2 3
9
15
−
= −
=
4
2
2 16
16
15 15 2 15 225
255
−
−
=
=
16
16
8
256
256
g 0 (x) = 2 − 2x logo
(g 4 )0
1
2
= g0
255 256
· g0
15 16
· g0
3
4
· g0
1
2
=
15 3 1
1
1 1
1
255 · 2−2·
· 2−2·
· 2−2·
=
·
· =
.
= 2−2·
256
16
4
2
128 16 2
4.096
Voltar ao texto.
Exemplos de Órbitas
Exemplo 7.16 Considere x = 0 e a função real f (x) = ex , calculemos a órbita positiva
de 0 [4]:
0
e0
ϕ+ (0) = {0, e 0 , e e , e e , e e
ee
0
e
, ...} = {0, 1, e, e e , e e , ...}.
Exemplo 7.17 Baseado no exemplo anterior, temos f −1 (x) = lnx, para x > 0, a órbita
47
negativa de x = ee :
ϕ− (ee ) = {ee , ln(ee ), ln(lnee ), ln(ln(lnee ))} = {ee , e, lne, ln1} = {ee , e, 1, 0}
Ao contrário do exemplo anterior a órbita acima é finita pois ln 0 não está
definido.
Voltar ao texto.
O lim xn = 0 ?
n→∞
Provemos que o lim xn = 0 para 0 ≤ x < 1. Para isso usaremos alguns resultan→∞
dos de séries de números reais, caso o leitor desconheça os resultados utilizados abaixo,
recomendamos a leitura do texto representado pelo link a seguir.
Ver resultados e definição de Séries de Números Reais.
Demonstração
1. Pelo Teste da Razão
∞
X
| x |n converge, uma vez que lim
n→∞
n=1
| x |n+1
= | x |< 1 pois
| x |n
−1 < x < 1;
2. Se
∞
X
n=1
n
| x | converge, então
∞
X
xn converge. Logo lim xn = 0.
n→∞
n=1
Voltar para Exemplo de Conjunto Estável e Instável.
48
Se a seqüência converge para um valor L, então todas
as suas subseqüências também convergem para L.
Demonstração Seja (xn1 , xn2 , . . . , xnk ) uma subseqüência de (xn ).Como (xn )
é convergente, dado > 0, ∃ n0 ∈ N; ⇒ |xn − L| < . Sabemos que os ı́ndices da
subseqüência formam um subconjunto infinito, assim, existe entre eles ni0 > n0 . Então
ni0 > n0 ⇒ ni > n0 ⇒ |xni − L| < . Logo limxni = L [7].
Voltar para “ lim |q−n − p−n | = 0 ? ”
n→∞
Voltar para Exemplo de Conjunto Estável e Instável.
lim |q−n − p−n| = 0 ?
n→∞
Analisemos os valores das duas seqüências:
p
=1
0
√
= 2
p
√
p −2 = 1 + 2
q
p
√
p −3 = 1 + 1 + 2
r
q
p
√
p −4 = 1 + 1 + 1 + 2
s
r
q
p
√
p −5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2
p
0
q
−1
=0
q
−2
=1
−1
q
q
−4
−n
=
√
=
−3
=
√
q
−5
=
2
p
√
1+ 2
q
..
.
p
= −1
q
1+
p
1+
..
.
1 + p−n+1
q
49
−n
=
√
1 + q−n+1
√
2
Note que:
q−2 = p0
q−3 = p−1
q−4 = p−2 ,
isto é, q−n = p−n+2 com n ∈ N e n ≥ 2.
Verifiquemos se p−n é convergente, através das afirmações abaixo:
i p−n é crescente
Provemos que p−n é crescente utilizando a indução:
• Para n = 0 temos p−1 > p0 , ou seja
√
2 > 1;
• Supomos válido para n, p−(n+1) > p−n
• Vamos provar que p−(n+2) > p−(n+1) :
Por hipótese de indução, p−(n+1) > p−n
⇒
√
√
1 + p−n > 1 + p−n ⇒
p
1+
√
1 + p−n >
√
1 + p−n > p−n
⇒
1+
1 + p−n ⇒ p−(n+2) > p−(n+1) .
Logo p−n é crescente.
ii p−n é limitada, pois p−n < 2, ∀ n
Mais uma vez baseando-se na indução, vamos demonstrar que p−n é limitada.
• De fato,
√
2 < 2 ⇒ 1+
√
2 < 1+2 ⇒
modo
• Suponha p−n < 2;
50
p
1+
√
2<
√
3<
√
4 = 2, deste
• Vamos provar que p−(n+1) < 2
Por hipótese, p−n < 2 ⇒ 1 + p−n < 1 + 2 ⇒
√
1 + p−n <
√
3 < 2 . Logo p−n
é limitada.
Se p−n é crescente e limitada, então ela é convergente.
Por definição se lim p
n→∞
−n
= a, então ∀ > 0 ∃ n0 ∈ N, talque, |p−n − a| <
, ∀ n > n0 . Além disso, se p−n converge então p
2
−n+2
converge e para o mesmo limite
que p−n . Deste modo por definição:
|q−n − p−n | = |p−n+2 − q−n | = |p−n+2 − a + a − p−n |, pela desigualdade triangular ,
|p−n+2 − a + a − p−n | ≤ |p−n+2 − a| + |p−n − a| <
+ =
2 2
Logo ∀ > 0∃ n0 ∈ N, tal que|(q−n − p−n ) − 0| < , ∀ n > n0 , ou seja lim |q−n −
n→∞
p−n | = 0.
Voltar ao texto.
Teorema 5.1
Provemos a primeira parte:
“Considere f : R → R uma função C 1 e p um ponto fixo de f com | f 0 (p) |< 1.
Então existe uma vizinhança U de p tal que x ∈ U ⇒ lim f n (x) = p.”
n→∞
Demonstração
51
Afirmação 2 Existe um d > 0 de maneira que 0 < |f 0 (x)| < A < 1 para todo x ∈
(d − p, d + p) = U .
Isto acontece porque, sendo f C 1 , temos que f 0 é contı́nua, além disso, | f 0 (p) |<
1. Logo dada uma vizinhança T de f 0 (p) é sempre possı́vel determinar uma vizinhança
U de p de modo que todo para todo x ∈ U ⇒ f 0 (x) ∈ T . Em especial isto vale para
a vizinhança T = (f 0 (p) − , f 0 (p) + ), de modo que f 0 (x) ∈ T ⇒ |f 0 (x)| < A < 1,
vizinhança esta que pode ser determinada porque | f 0 (p) |< 1, como mostra a figura
abaixo:
1
f '(p)
+
E
(
A
f '(p) - E
(
f '(x)
(
p-d
x
(
p +d
Figura 7.3:
Como f é C 1 temos que f é contı́nua em [x, p] ⊂ U e derivável em (x, p). Assim,
pelo Teorema do Valor Médio existe α ∈ [x, p] tal que |f 0 (α)| =
temos que
|f (x) − f (p)|
, como α ∈ U
|x − p|
|f (x) − f (p)|
|f (x) − f (p)|
= |f 0 (α)| < A < 1 ⇒
< A < 1 ⇒ |f (x) − f (p)| <
|x − p|
|x − p|
A|x − p| < |x − p| < d, entretanto, p é um ponto fixo: |f (x) − p| < A|x − p|. Deste modo
f (x) ∈ U e está mais próximo de p do que x.
Utilizando a Regra da Cadeia:
|(f 2 )0 (x)| = |f 0 (f (x))| · |f 0 (x)|,
52
como f (x) ∈ U ⇒ |f 0 (f (x))| · |f 0 (x)| < A · A ⇒ |(f 2 )0 (x)| < A2 . Aplicando mais uma vez
o Teorema do Valor Médio, teremos |f 2 (x) − p| < A2 · |x − p|, portanto f 2 (x) ∈ U e está
mais próximo de p do que f (x).
Generalizando, |f n (x) − p| < An |x − p| ⇒ f n (x) → p quando n → ∞.
Demonstremos a segunda parte
“ Se | f 0 (p) |> 1, então existe uma vizinhança U de p tal que x ∈ U e x 6= p ⇒
∃k > 0 tal que f k (x) ∈
/ U. ”
A demonstração da segunda parte é análoga a primeira.
Demonstração
Sendo f de classe C 1 , existe um d > 0 tal que |f 0 (x)| > A > 1 para x ∈
f '(p)
+
E
(
(d − p, d + p) = U , como mostra a figura abaixo:
f '(p) -
E
(
f '(x)
A
1
(
p -d
x
(
p +d
Figura 7.4:
Pelo Teorema do Valor Médio,
|f (x) − p| = |f (x) − f (p)| > A|x − p|.
Daı́ f (x) está mais afastado de p do que x. Generalizando,
53
|f n (x) − p| > An |x − p|
Como A > 1, temos que ∃ k ∈ N, tal que |f k (x) − p| > d para x ∈ U [3].
Voltar ao texto.
Espaços Métricos
Uma das idéias mais importantes da Matemática é a de continuidade. A grosso
modo, dada uma aplicação f : X → Y definida em um conjunto X e tomando valores
num conjunto Y, diz - se que f é contı́nua no ponto a ∈ X quando é possı́vel tornar f (x)
arbitrariamente próximo de f (a), desde que se tome x suficientemente próximo de a.
Para que a informação anterior signifique algo, é necessário que nos conjuntos em
questão exista alguma estrutura que permita falar em “proximidades”de pontos. Ora a
maneira mais natural de verificar qual de dois pontos x, y, pertencentes a um conjunto
X, está mais próximo de um ponto a ∈ X é medir as distâncias de x e y ao ponto a. Isto
porém só será possı́vel se existir conjuntos onde a noção de distância, for previamente
definida no conjunto X.
Os conjuntos onde se faz sentido falar na distância entre dois pontos são denominados Espaços Métricos.
Para definir Espaços Métricos é necessário definir o que vem a ser uma métrica 4 .
Definição 7.5 De acordo com em Lima (2003),uma métrica num conjunto M é uma
4
Todo o trecho é baseado em Lima (1976).
54
função:
d:M ×M →R
(x, y) 7→ d(x, y)
Ou seja uma função que associa cada par ordenado de elementos (x, y) ∈ M a um número
real d(x,y), chamado distância de x a y.
Além disso, é necessário que sejam satisfeitas as seguintes condições para quaisquer x, y e z ∈ M :
d1 d(x, x) = 0;
d2 Se x > y, então d(x, y) > 0;
d3 d(x, y) = d(y, x);
d4 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular).
O Espaço Métrico é um par (M,d), onde M é um conjunto e d é uma métrica em
M.
Exemplo 7.18 A reta
d0 : RXR → R
(x, y) 7→ |x − y|
Verifiquemos se a reta, com a métrica anterior, é de fato um Espaço Métrico:
Demonstração 7.1
d1 d0 (x, x) = |x − x| = |0| = 0;
d2 Considere x > y, então d0 (x, y) = |x − y| > 0 (por definição de módulo);
d3 d0 (x, y) = |x − y| = |y − x| = d0 (y, x) (por definição de módulo);
55
d4 Sabemos que em R: |a + b| ≤ |a| + |b|. Logo pela definição de d0 :
|x − z| = |x − y + y − z| ≤ |x − y| + |y − z| ⇒ d0 (x, z) ≤ d0 (x, y) + d0 (y, z).
Assim R com a métrica d0 é um Espaço Métrico.
Exemplo 7.19 O plano
00
d :
R2 XR2 → R
(x, y) 7→
p
x2 + y 2
Provemos que o plano, com a métrica d00 , é um Espaço Métrico.
Demonstração 7.2 Como estamos trabalhando com x, y ∈ R2 podemos escre ver x =
(x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ). Assim:
d1 d00 (x, x) =
p
√
(x1 − x1 )2 + (x2 − x2 )2 = 0 + 0 = 0;
d2 Considerando x > y, temos d00 (x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 > 0, uma vez que a
soma de dois quadrados é sempre positiva;
d3 d00 (x, y) =
p
(x − y1 )2 + (x2 − y2 )2 =
| 1
{z
p
(y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 = d00 (y, x);
}
Como os valores estão ao quadrado a igualdade não se altera.
d4 Mostremos que
d00 (x, z) ≤ d00 (x, y) + d00 (y, z) ⇔
v
v
v
u 2
u 2
u 2
uX
uX
uX
⇔ t (xi − zi )2 ≤ t (xi − yi )2 + +t (yi − zi )2
i=1
i=1
i=1
Isto é, pondo xi − yi = ai e yi − zi = bi teremos 6 :
P2
Note que i=1 (xi − zi )2 ⇔ (x1 − z1 )2 + (x2 − z2 )2
6
Observe que somando as duas equações obtemos xi − zi = ai + bi
5
56
5
.
v
v
v
u 2
u 2
u 2
uX
uX
uX
t (a + b )2 ≤ t (a )2 + t (b )2 .
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
Elevando ambos os membros ao quadrado podemos perceber que de monstrar a
desigualdade acima é o mesmo que provar:
2
X
(ai )2 +
i=1
2
X
(bi )2 + 2
i=1
2
X
ai .bi ≤
i=1
⇔2
2
X
i=1
2
X
v
v
u 2
u 2
uX
uX
2 t
2
t
(ai ) .
(bi )2 ⇔
(bi ) + 2
i=1
i=1
i=1
v
v
u 2
u 2
uX
uX
ai .bi ≤ 2t (ai )2 .t (bi )2 ⇔
i=1
⇔
(ai )2 +
2
X
2
X
i=1
i=1
v
v
u 2
u 2
uX
uX
2
ai .bi ≤ t (ai ) .t (bi )2 .
i=1
i=1
i=1
Que é uma conseqüência da desigualdade de Cauchy :
"
2
X
i=1
#2
ai .bi
"
≤
2
X
# "
(ai )2
i=1
.
2
X
#
(bi )2
.
i=1
Logo para demonstrarmos que d00 (x, z) ≤ d00 (x, y) + d00 (y, z) devemos mostrar que
a desigualdade de Cauchy é verdadeira, para tal vamos analisar a desigualdade observando
2
X
os valores
(bi )2 .
i=1
Note que
2
X
(bi )2 é sempre maior ou igual a zero, logo:
i=1
57
2
X
1. Se
(bi )2 = 0, então bi = 0, i = {1, 2}, portanto:
i=1
"
2
X
#2
"
=0=
ai .bi
i=1
2
X
2. Se
2
X
# "
(ai )2
.
i=1
#
(bi )2
i=1
i=1
2
(bi ) > 0 o trinômio do segundo grau em λ:
i=1
2
X
2
X
2
X
2 2
(bi ) λ + 2
i=1
2
(ai ) =
2
X
2
X
ai .bi λ +
i=1
(ai + λbi )2 ≥ 0 para ∀ λ. Logo o seu discriminante deve ser menor
i=1
ou igual a zero, isto é:
"
2
X
4
#2
ai .bi
"
−4
i=1
# "
(ai )2
.
i=1
"
⇔
2
X
2
X
#2
ai .bi
"
≤
i=1
2
X
#
(bi )2
≤0⇔
i=1
2
X
#"
(ai )2
i=1
2
X
#
(bi )2
.
i=1
Logo: d00 (x, z) ≤ d00 (x, y) + d00 (y, z) 7 .
Voltar para Vizinhança.
Voltarpara Conjunto Limitado.
Teorema do Valor Intermediário
Seja f : [a, b] → R contı́nua, tal que, f (a) 6= f (b). Para cada número d ∈ R
compreendido entre f (a) e f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d [7].
7
A demonstração do Exemplo é baseada em Lima (1976).
58
Demonstração
Consideremos f (a) < f (b) e tomemos f (a) < d < f (b).
Definamos o conjunto
A = {x ∈ [a, b]; f (x) < d}
Vejamos que:
i A 6= ∅, pois a ∈ A.
ii Se α ∈ A, existe δ > 0; [α, α + δ] ⊂ A. De fato, seja α ∈ A ⊂ [a, b]. Sendo f contı́nua
em [a, b], e em particular contı́nua em α, temos que dado > 0, ∃δ 0 > 0; x ∈ [a, b] e
|x − α| < δ 0 ⇒ |f (x) − f (α)| < .
Tomemos = d−f (x) > 0. Assim x ∈ [a, b]∩(α−δ 0 , α+δ 0 ) ⇒ f (x) ∈ (2f (x)−d, d).
Logo tomando δ < δ 0 , temos x ∈ [α, α + δ] ⇒ x ∈ A.
iii A é limitado, pois A ⊂ [a, b].
Por (iii), existe c ∈ [a, b], tal que c = supA. Logo, ∀ > 0 ∃ x ∈ A, tal que
c − < x ≤ c < c + , ou seja, (c − , c + ) ∩ A 6= ∅. Assim c ∈ A, isto é, existe
uma seqüência xn , xn ∈ A, ∀n ∈ N tal que (xn ) → c. Sendo f contı́nua, temos
(f (xn )) → f (c).
Como f (xn ) < d, ∀ n ∈ N, temos f (c) ≤ d. Note que, c ∈
/ A pois caso contrário, se
c ∈ A, terı́amos , por (iii), que existiria δ > 0; [c, c + δ] ⊂ A. Portanto f (c) = d.
Voltar para a demonstração do Teorema 5.2
59
Teorema do Valor Médio e o Teorema de Rolle
O uso de derivadas em Sistemas Dinâmicos Discretos é fundamental não só em
definições como para determinar o comportamento de pontos fixos e periódicos. Neste
tópico vamos discutir dois temas diretamente ligados a derivada: o Teorema de Rolle e o
teorema do Valor Médio.
Observe os gráficos das funções abaixo , bem como de suas derivadas:
2
-1
2
x +1
2x
0
1
Figura 7.5: f (x) = x2 + 1 e f 0 (x) = 2x
60
2
cos(x)+1
sen(x)
1
2
-1
0
1
2
-1
Figura 7.6: g(x) = cosx + 1 e g 0 (x) = senx
As funções acima são ambas contı́nuas. Na figura 1, f está definida no intervalo
h π πi
π
[−1, 1] e f (1) = f (−1), na figura 2, g está definida no intervalo − ,
eg −
=
2 2
2
π = 1. Em ambos os casos as derivadas se anulam em um ponto interior ao intervalo
g
2
do domı́nio, neste caso o ponto é x = 0. Tal comportamento pode ser generalizado através
do Teorema de Rolle.
Teorema de Rolle. Seja f : [a, b] → R contı́nua, tal que f (a) = f (b).Se f é derivável
em (a, b), então existe um ponto c ∈ (a, b) onde f 0 (c) = 0. [6]
Demonstração
Por hipótese, f é definida num intervalo fechado e portanto num compacto. Assim,
pelo Teorema de Weierstrass f atinge seu valor máximo M e seu valor mı́nimo m em
pontos de [a, b]. Se esses pontos forem a e b então M=m e f será constante, daı́ f 0 (x) = 0
qualquer que seja x ∈ (a, b). Caso a e b não sejam valores extremos, sabemos que existe
um c ∈ (a, b) de modo que f (c) seja igual a um valor extremo, logo c é um ponto crı́tico
61
e portanto f 0 (c) = 0.
Vejamos os gráficos das funções abaixo, bem como os gráficos de suas derivadas:
ln(x)
1/x
1
0,55
,5
0
1
2
1,8
3
l
Figura 7.7: f1 (x) = ln x e f10 (x) =
3
1
x
2
x +2 x
2x+2
1
-2
-0.5
0
Figura 7.8: g1 (x) = x2 + 2x e g1 0 (x) = 2x + 2
62
1
As funções representadas pelos gráficos acima são ambas contı́nuas, deriváveis no
interior dos seus domı́nios e definidas num intervalo fechado. Fazendo algumas aproxiln 3 − ln 1
f1 (3) − f1 (1)
=
, analogamente
mações o leitor poderá notar que f10 (1, 8) =
3−1
3−1
1
3−0
g1 (1) − g1 (−2)
=
=1=
.
podemos verificar que g10 −
2
1 − (−2)
1 − (−2)
Tal comportamento pode nos levar a alguma generalização, entretanto antes de
fazermos isso vejamos mais alguns gráficos:
3
2
x + 2x
x- 0,25
x+2
-0.5
0
-2
1
-3/4
Figura 7.9: g 1 , uma reta secante e uma reta tangente
Note que a reta tangente a g 1 no ponto
1 3
− ,−
é paralela à reta secante à
2 4
g 1 que passa pelos pontos (−2, 0) e (1, 3), deste modo fica mais fácil determinar a reta
tangente. Esta é uma interpretação geométrica do Teorema do Valor Médio.
Teorema do Valor Médio. Seja f : [a, b] → R contı́nua. Se f é derivável em (a, b),
existe c ∈ (a, b), tal que:
f 0 (c) =
f (b) − f (a)
b−a
63
. [7]
Demonstração 7.3 Consideremos a função auxiliar g : [a, b] → R, dada por g(x) =
f (x) − dx onde d é escolhido de modo que g(a) = g(b) ou seja g(a) = g(b) = f (a) − da =
f (b) − db. Assim se
f (a) − da = f (b) − db
da − db = f (b) − f (a)
d(a − b) = f (b) − f (a)
d=
f (b) − f (a)
a−b
Sabe-se que: g 0 (x) = f 0 (x) − d. Pelo teorema de Rolle, existe c ∈ (a, b) tal que g 0 (c) = 0,
ou seja: g 0 (c) = 0 = f 0 (c) − d ⇒ f 0 (c) − d = 0 ⇒ f 0 (c) = d.
Se isso ocorre podemos concluir que : f 0 (c) = d =
f (b) − f (a)
, para algum c ∈
b−a
(a, b).
Voltar a demonstração do Teorema 5.4
Teorema de Weierstrass
Considere os exemplos abaixo:
64
3
2.5
2
1.5
2
x -1
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
1
1.5
2
1
1.5
2
Figura 7.10: f (x) = x2 − 1
4
3.5
3
2
x
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
x
Figura 7.11: g(x) = 2 x
Observe que ambas as funções estão definidas em intervalos fechados, são limitadas e atingem um valor máximo e um valor mı́nimo. Em essência, esta é a idéia do
Teorema de Weierstrass. Antes de discutirmos este teorema, vamos definir enunciar e
demonstrar alguns resultados.
Proposição 7.1 A fim de que a função f : X → R seja contı́nua no ponto a é necessário
65
e suficiente que, para toda seqüência de pontos (xn ) ∈ Xcom lim xn = a, se tenha
lim f (xn ) = f (a).
A demonstração fica a cargo do leitor, em [7] o leitor encontra uma sugestão de
como demonstrar o teorema.
Teorema 7.1 Um conjunto X ⊂ R é compacto se, e somente se, toda seqüência de pontos
em X possui um subseqüência que converge para um ponto de X [7].
Demonstração 7.4 ⇒] Se X ⊂ R é compacto, toda seqüência de pontos de X é limitada,
logo, por Bolzano-Weierstrass, possui uma subseqüência convergente cujo o limite é um
ponto de X, pois X é fechado.
[⇐ Seja X ⊂ R um conjunto tal que toda seqüência de pontos xn ∈ X possui uma
subseqüência convergindo para um ponto de X. Então X é limitado porque do contrário,
para cada n ∈ N poderı́amos encontrar xn ∈ X com |xn | > n. A seqüência (xn ), assim obtida, não possuiria subseqüência limitada, logo não seria subseqüência convergente.
Além disso, X é fechado pois do contrário existiria um ponto a ∈
/ X com a = limxn , onde
cada xn ∈ X. Deste modo, qualquer subseqüência de xn terá limite a, um absurdo. Logo
x é compacto.
Teorema 7.2 Seja f : X → R uma função contı́nua. Se X é compacto então f (X) é
compacto [7].
Demonstração 7.5 De acordo com o teorema anterior se provarmos que toda seqüência
de pontos yn ∈ f (X) possui uma subseqüência que converge para pontos de f (X) então
f (X) é compacto. Para cada n ∈ N temos yn = f (xn ) com xn ∈ X. Como X é compacto,
a seqüência (xn ) possui uma subseqüência (xn )n∈N 0 que converge para um ponto a ∈ X.
66
Sendo f contı́nua no ponto a, se lim0 xn então lim0 f (xn ) = f (a) = b; b ∈ f (X). Deste
n∈N
n∈N
modo, lim0 yn = lim0 f (xn ) = f (a) = b, e assim encontramos uma subseqüência de yn
n∈N
n∈N
convergindo para um valor de f (X) e conseqüentemente f (X) é um conjunto compacto.
Teorema 7.3 Teorema de Weierstrass- Toda função contı́nua f : X → R definida num
compacto X é limitada e atinge seus extremos . Isto é, x1 , x2 , x3 ∈ X tais que f (x1 ) ≤
f (x) ≤ f (x2 ) para todo x ∈ X [6].
Demonstração 7.6 Do teorema anterior podemos concluir que f (X) é um conjunto compacto. Sendo um compacto, f (X) possui um valor máximo e um valor mı́nimo, isto é,
existem x0 , x1 ∈ X tais que f (x0 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) para todo x ∈ X.
Voltar para o Teorema de Rolle.
Conjunto Compacto
Definição 7.6 Conjunto Compacto- Um conjunto é dito compacto quando é limitado e
fechado [7].
Voltar para o Teorema de Weierstrass.
Seqüências e Subseqüências de Números Reais
67
Definição 7.7 Seqüência- Uma seqüência de números reais é uma função f : N → R
que associa a cada número natural n a um número real xn , chamado o n-ésimo termo de
seqüencia .
Exemplo 7.20 A seqüência xn = 2, 3, 4, 5... , cujo o termo geral é (xn ) = n + 1
Definição 7.8 Subseqüência- Dada uma seqüência (xn )n∈N , uma subseqüência de x é a
restrição da função que define a seqüência xn a um subconjunto infinito N0 de N. Escrevemos (xn )n∈N0 para indicar uma subseqüência de (xn ).
Definição 7.9 Limite de uma Seqüência- Dizemos que o número real é a é limite de
uma seqüência xn
lim xn = a , quando para todo > 0, podemos determinar um
n→∞
n0 ∈ N tal que para todos os termos xn com ı́ndice n > n0 temos xn ∈ (a − , a + ) [7].
Simbolicamente escrevemos:
lim xn = a ⇔ ∀ > 0 ∃ n0 ∈ N; |xn − a| < , ∀ n > n0
n→∞
1 1
1 1
Exemplo 7.21 Dada a seqüencia 1, , , ..., , ... , lim = 0, logo 0 é o limite desta
n→∞
2 3
n
n
seqüencia.
Uma seqüência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário ela será
divergente.
Voltar ao Teorema de Weierstrass.
Voltar ao Teorema de Bolzano -Weierstrass.
Voltar para “Se a seqüência converge a subseqüência converge, ambas para o mesmo
limite.”
Voltar para Conjunto Fechado
68
Conjunto Limitado
Definição 7.10 Um subconjunto X de um espaço métrico M chama-se limitado quando
existe uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para todo x, y ∈ X [8]. Em especial, no
conjunto dos números reais, dizemos que X ⊂ R é limitado se ∀ x ∈ X temos |x| ≤ L,
com L ∈ R [7].
Exemplo 7.22 Todo intervalo fechado [a, b] da reta é limitado. De fato para todo x ∈
[a, b], temos |x| ≤ b.
Voltar para Conjunto Compacto.
Conjunto Fechado
Definição 7.11 Ponto Aderente- Um ponto a é dito ponto aderente X ⊂ R quando a é
limite de alguma seqüência de pontos xn ∈ X.
Decorre imediatamente da definição que todo ponto b ∈ X é aderente a X: basta
tomar todos os xn = b
Definição 7.12 Fecho- O fecho de um conjunto X ⊂ R é o conjunto de todos os valores
de aderência a X. Denotamos o fecho por X.
Exemplo 7.23 Seja X =
n1 1 1
o
1
, , , ..., n , ... , temos que X = X ∪ {0}.
2 4 8
2
Definição 7.13 Conjunto fechado- Dizemos que X é um conjunto fechado se ele for igual
ao seu fecho, isto é, X = X.
Voltar para Conjunto Compacto.
69
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema 7.4 (Bolzano-Weierstrass) - Toda seqüência limitada possui uma subseqüência
convergente [7].
Demonstração 7.7 Sendo (an ) limitada, temos que o conjunto imagem A = {a1 , a2 , ..., an , ...}
é limitado. Logo existem α e β tais que: α = inf A e β = supA.
Definamos o conjunto X = {x ∈ R /existe no máximo um número f inito de índices n ∈
N, tais que an > x}. Note que:
i X 6= ∅, pois β ∈ X
ii X ⊂ [α, +∞), isto é, λ < α ⇒ λ ∈ X.
Como X é limitado inferiormente existe a ∈ R tal que a = inf X.
Vejamos que existem infinitos ı́ndices n ∈ N tais que an ∈ (a − 1, a + 1). Caso
contrário a − 1 ∈ X, contradizendo a = inf X. Tomemos an1 ∈ (a − 1, a + 1). Da
1
1
. Tomemos
mesma forma, existem infinitos ı́ndices n ∈ N tais que an ∈ a − , a +
2
2
1
1
an2 ∈ a− , a+ , com n2 > n1 . Fazendo este mesmo argumento k-vezes, encontramos
2
2
1
1
1
1
ank ∈ a − , a +
com n1 < N2 < ... < nk isto é a − < ank < a + , fazendo
k
k
k
k
k → ∞, teremos ank → a.
Voltar para o Teorema de Weierstrass.
Supremo e Ínfimo
70
Seja A ⊂ R, dizemos que a ∈ R é cota superior de A quando x ≤ a, ∀ x ∈ A.
Um conjunto A é dito limitado superiormente quando possui um cota superior.
Considere B ⊂ R, b ∈ R é cota inferior de B quando b ≤ x, ∀ x ∈ B. Um
conjunto B é dito limitado inferiormente quando possui uma cota inferior.
Decorre das definições acima, que um conjunto é limitado se ele é limitado superiormente e inferiormente.
Dizemos que α ∈ A é supremo de A, isto é, α = (supA) quando:
i x ≤ α, ∀ x ∈ A
ii Se x ≤ c, ∀ x ∈ A ⇒ α ≤ c
Ou seja, α é a menor das cotas superiores.
Dizemos que β ∈ R é ı́nfimo de B, denotamos por β = (infB), quando:
i β ≤ x, ∀ x ∈ B
ii d ≤ x, ∀ x ∈ B ⇒ β ≥ d
Baseados na definição acima, podemos concluir que β é a maior das cotas inferiores.
Voltar ao Teorema de Bolzano-Weierstrass.
W s de 0, 1 e -1
n
∗ lim x3 = 0, para x ∈ (−1, 1)
n→∞
71
n
Como x3 é uma subseqüência de xn e, para x ∈ (−1, 1), xn → 0 quando n → ∞,
n
logo lim x3 = 0.
n→∞
n
n
∗ lim x3 = +∞, para x ∈ (1, +∞) e lim x3 = −∞ para x ∈ (−∞, −1)
n→∞
n→∞
n
A seqüência x3 não é limitada superiormente para x ∈ (1, +∞) e não é limitada
inferiormente para x ∈ (−∞, −1), logo ela vai para +∞, quando x ∈ (1, +∞), e vai para
−∞ quando x ∈ (−∞, −1).
Voltar ao texto.
W u de 0, 1 e -1
Temos que para x > 0, lim
n→∞
√
n
x = 1 (ver demonstração em [7]). Para x 6= 0,
p
p
√
n
|x| é uma subseqüência de n x, portanto, lim 3 |x| = 1. Por definição de módulo,
3n
n→∞
|x| = x, para x ≥ 0 e |x| = −x, para x < 0, além disso, 3n é sempre ı́mpar para todo
n ∈ N. Logo
√
3n
√
√
√
n
n
n
−x = − 3 x ⇒ lim 3 x = −1, para x < 0 e lim 3 x = 1, para x > 0.
n→∞
n→∞
Voltar ao texto.
Verificando Definição e Resultados de Séries de
Números Reais
As demonstrações das proposições que seguem, ficam a critério do leitor, estes
resultados podem ser enconterados em [7].
72
Definição 7.14 Dada uma seqüência (an ) de números reais, a soma infinita
∞
X
(an ) = a1 + a2 + . . . + an + . . .
n=1
é denominada série infinita ou simplesmente série.
Sn = a1 + a2 + . . . + an é denominada a n-ésima soma parcial. Dizemos que a
∞
X
série converge, se
(an ) = lim Sn = L, com L ∈ R.
n→∞
n=1
Proposição 7.2 Se
∞
X
(an ), converge, então lim an = 0.
n→∞
n=1
Definição 7.15 Uma série
∞
X
(an ), é dita absolutamente convergente se
n=1
∞
X
|(an )| con-
n=1
verge.
Proposição 7.3 Toda série absolutamente convergente é convergente, isto é,
∞
X
|(an )| converge ⇒
∞
X
(an ) converge.
n=1
n=1
Voltar para lim xn = 0?
n→∞
Regra da Cadeia
Um método eficaz para calcularmos a derivada da composição de funções é a
Regra da Cadeia.
Regra da Cadeia. Sejam f : X → R, g : Y → R, a ∈ X ∩ X 0 , b ∈ Y ∩ Y 0 , f (X) ⊂ Y e
f (a) = b com X 0 e Y 0 o conjunto dos pontos de acumulação de X e de Y respectivamente).
73
Se f é derivável no ponto a e g é derivável no ponto b então g ◦ f : X → R é derivável no
ponto a, com (g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a) [7].
Voltar ao texto.
Referências
[1] ALLIGOOD, Rathlee T.; SAUER, Tid D.; YORKE, James A. Chaos: an introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, 1996.
[2] CARVALHO, Sônia P. KAMPHORSI, Sylvie O. Caos na Base Dois. Revista do
Professor de Matemática, São Paulo, v. 36, p. 9-19, 1998.
[3] CERQUEIRA, Aline Gomes et al. Atratores estranhos como causadores do
caos. Disponı́vel em : http://www.ime.uerj.br/~progerio/iniciacao/2003/
projeto.pdf. Acesso em: 01 de novembro de 2007.
[4] HOLMGREN, Richard A. A first course in Discrete Dynamical Systems. 2.
ed. New York: Springer, 1996.
[5] LIMA, Elon Lages. Elementos de Topologia Geral. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Cientı́ficos S. A., 1976.
[6] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. Vol 1. 4. ed. Rio de janeiro: IMPA, 1995.
[7] LIMA, Elon Lages . Análise Real.Vol 1. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, CNPq , 1997.
[8] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. 2. ed. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 2003.
74
[9] ROBINSON, Clark. Dynamical systems : stability, symbolic dynamic, and chaos.
Florida: CRC Press, 1995.
[10] VILLATE, Jaime E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem
prática com o Máxima. Disponı́vel em : http://fisica.fe.up.pt/maxima/book/
sistdinam-1_2.pdf. Acesso em : 01 de novembro de 2007.
75