Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios, Lista 04 - Segmentos Orientados e Vetores .
1. Dados os vetores u e v, determinar e obter graficamente o vetor w tal que:
2 u − 4 w = ½ v − ½ ( w − u ), sendo:
u
v
e
2u-4w=
4u-8w=1v-1w+1u
2
w
3/7u
-8w+1w=1v+1u-4u
-7w=1v-3u
w=
-1/7v
+
2. Dados os vetores u e v, determinar e obter graficamente o vetor w tal que:
½ u − ¾ w = 3v − 3 ( w − u ), sendo:
v
u
e
=3v-3w+3u
2u-3w=12v-12w+12u
4
-3w+12w=12v+12u-2u
9w=12v+10u
4/3v
10/9u
w=
+
w
w=
+ u
3. Dados os vetores, conforme a figura, construir o vetor x tal que
(u + v + w ) + x = 0, nos casos abaixo:desenhar a partir do ponto 0.
x=-u-v-w
a)
x
0
u
-w
-u
v
w
-v
b) x=-u-v-w
v
w
u
0
-u
x
-v
-w
c) x=-u-v-w
0
u
v
-w
x
-v
-u
w
4. Determinar o vetor (D–A) em função dos vetores (B–A) e (C–A) sendo DC=
de BD.
A
B
D
C
¼
Vamos dar nomes para os vetores:
(B-A)=U
(C-A)=V
(C-B)=W
(D-A)=X
Então vamos determinar o vetor x em função de u e v.
Como DC=1/4 de BD, então BD=4/5 de w e DC=1/5 de w, pois para construir DC,
BD foi dividido por 4 partes, somando todas as partes (C-B) passa a ter 5 partes.
x=u+4/5w
x=v-1/5w
Somando as duas equações:
2x=u+v+3/5w
como não queremos em função de w vamos substituí-lo pela sua soma de seus
vetores.
2x=u+v+3/5(-u+v)
2x=u+v- u+ v
10x=5u+5v-3u+3v
5
10x=2u+8v
x=
ou
(D-A)=
5. Provar vetorialmente que os pontos médios das diagonais de um trapézio,
determinam um segmento paralelo às bases e igual a sua semi-diferença.
a
d
n
m
x
c
Temos que provar que: x=
x=-1/2m-a-1/2n
x=1/2m+c+1/2n
somando as duas equações:
b
2x=c-a
x=
6. Dados os vetores a e b , determinar o vetor x , tal que:
2a – 4x = ½ b – ½ ( x – a ).
2a-4x=1/2b-1/2x+1/2a
4a-8x=1b-1x+1a
2
-8x+x=b+a-4a
-7x=b-3a
x=-
+
7. Resolver o sistema:
x–½ (y+a)=b
2/3 ( x – y ) = ½ x
Vamos isolar o valor de x na segunda equação.
-
x
y=
x
4x-4y=3x
6
4x-3x=4y
x=4y
Substituindo o valor de x na primeira,
x–
½(y+a)=b
4y -
y-
a =b
8y-y-a=2b
2
7y=2b+a
y=2b+a
7
Substituindo o valor de y,
x=4.(2b+a)
7
x=8b+4a
7
8. Provar, vetorialmente, que os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero,
são sempre vértices de um paralelogramo.
Quadrilátero é qualquer figura com quatro lados,
u
b
a
v
w
c
d
t
Temos que provar que a=d, e b=c
a=1/2v+1/2u
a=-1/2v-t-w-1/2u
d=-1/2t-1/2w
d=1/2t+v+u+1/2w
somando as duas:
somando as duas:
2a=-t-w
a=-t-w
2
a=-1/2t-1/2w
2d=v+u
d=v+u
2
d=1/2v+1/2u
a=d
d=a
b=-1/2w-1/2u
b=1/2w+t+v+1/2u
c=1/2t+1/2v
c=-1/2t-w-u-1/2v
somando as duas:
somando as duas:
2b=t+v
b=t+v
2
b=1/2t+1/2v
2c=-w-u
c=-w-u
2
c=-1/2w-1/2u
b=c
c=b
9. Na figura abaixo, exprimir o vetor x em função do vetor u e v , sabendo que D é
o ponto médio do lado AC.
B
u
A
x
v
D
C
w
x=u+1/2w
x=v-1/2w
somando as duas: 2x=u+v
x=
10. Na figura abaixo, exprimir o vetor x em função do vetor u e v , sabendo que
DC= ¼ de AC .
B
v
u
A
x
W
C
D
x=u+3/4 w
x=v-1/4 w
somando as duas equações:
2x=u+v+2/4 w
Como não queremos em função de w vamos substituí-lo pela soma de seus vetores.
2x=u+v+2/4(-u+v)
2x=u+v-2/4u+2/4v
2x=1/2u+3/2v
x=
x=1/4u+3/4v
11. Dados os vetores a , b e c:
a) determinar algebricamente o vetor x tal que: −¾ a +
⅝ x − ½ b = − ½ (c −x):
-6a+5x-4b=-4c+4x
8
5x-4x=6a+4b-4c
x=6a+4b-4c
b) construir graficamente o vetor x, a partir de um ponto P de sua escolha, sendo:
a
c
b
x=6a+4b-4c
6a
x
-4c
4b
12. Determinar o vetor (D–A) em função dos vetores (B–A) e (C–A) sendo que a
razão entre os segmentos DC e BD é 1gual a ½.
A
B
C
D
2DC=BD
DC=BD/2
Vamos dar nomes para os vetores:
(B-A)=U
(C-A)=V
(C-B)=W
(D-A)=X
Então vamos determinar o vetor x em função de u e v.
x=u+2/3w
x=v-1/3w
Somando as duas equações:
2x=u+v+1/3w
Como não queremos em função de w vamos substituí-lo pela soma de seus vetores.
2x=u+v+1/3(-u+v)
2x=u+v-1/3u+1/3v
2x=2/3u+4/3v
x=
x=
13. Provar vetorialmente que os pontos médios dos quatro lados de um
quadrilátero, são vértices de um paralelogramo.
Exatamente igual ao exercício 8.
14. Usando as definições e as propriedades de Eqüipolência, e operações com
vetores, conforme o caso,escrever o vetor (D–A) = x em função dos vetores
(B–A)=u e (C–A)=v sendo DC= ⅜ de BC.
(C-B)=w
A
B
D
C
DC=3/8 de W
BD=5/8 de W
x=u+5/8 w
x=v-3/8 w
Somando as duas equações:
2x=u+v+2/8 w
2x=u+v+1/4 w
Como não queremos em função de w vamos substituí-lo pela soma de seus vetores.
2x=u+v+1/4(-u+v)
2x=u+v-1/4u+1/4 v
2x=3/4 u+5/4 v
x=
x=
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios