Escoamentos em condutas convergentesdivergentes

Matéria:






05-11-2015
Exemplo
Dimensionamento de tubeiras convergentesdivergentes
Regimes de funcionamento
Exemplo
Cálculo da posição duma onda de choque
Exemplo
Prof. António Sarmento DEM/IST
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável: Exemplo

Ar ( =1,4; R=287 J/kg/K) expande isentropicamente de p0=4 105
Pa e T0=293 K para pext=105 Pa. Quais as secções em que a
pressão é de 3 105 Pa, 2 105 Pa e 105 Pa. Qual o número de
Mach nessas secções? O caudal é de 10 kg/s.
1
Resposta:
A
0
m
2c pT0
 p
 
 p0 
p0
4  105
0 

 4,76 kg/m3
RT0 287 293
p/p0
A (m2)
05-11-2015
3/4
0,0120
2/4
0,0106


 1
2




1   p  
  p0  



m
 0,00274 m2
0 2c pT0
1
1/4
0,0129
Prof. António Sarmento DEM/IST
Nota: Não há informação sobre
a distância entre secções
Escoamento isentrópico em condutas de
secção variável: Exemplo

Ar ( =1,4; R=287 J/kg/K) expande isentropicamente de p0=4 105
Pa e T0=293 K para pext=105 Pa. Quais as secções em que a
pressão é de 3 105 Pa, 2 105 Pa e 105 Pa. Qual o número de
Mach nessas secções? O caudal é de 10 kg/s.
Resposta:

p0    1 2   1
 1 
M 
p 
2

p/p0
M
05-11-2015
3/4
0,65
 1



2  p 
   1
M

  1  p0 


2/4
1,05
Prof. António Sarmento DEM/IST
1/4
1,56
Projecto de tubeiras convergentesdivergentes

Consiste em calcular a área da garganta e a área da
secção de saída para valores impostos de caudal e de
pressão exterior (suposta igual à pressão da secção de
saída), para valores fixos de p0 e T0.
Ag  A 
As 
05-11-2015
0

m
0 RT0
m
2c pT0
 2 


  1
 1
2 1

 pext     pext 

 1  


 p0    p0 


1
Prof. António Sarmento DEM/IST
1
 1  2





Exemplo – I

Dimensione uma tubeira convergente divergente para permitir um
caudal de ar (=1,4; R=287 J/kg/K) de 10 kg/s de um reservatório a
4 x 105 Pa e 293 K para atmosfera (105 Pa) numa evolução
isentrópica com escoamento supersónico à saída (Ms>1).
Resposta:
pext=105
T0=293 K
Ms>1
Mg=1; Ag=A*
m
  1
A 


0 RT0  2 

p0=4105
 1
2  1
Ag  A  0,0106 m2
Ag
05-11-2015
Ms>1
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo – II

Dimensione uma tubeira convergente divergente para permitir um
caudal de ar (=1,4; R=287 J/kg/K) de 10 kg/s de um reservatório a
4 x 105 Pa e 293 K para atmosfera (105 Pa) numa evolução
isentrópica com escoamento supersónico à saída (Ms>1).
Resposta: como se pretende ps=pext
 
 pext     pext 

 1  


 p0    p0 

1
As 
p0=4105
0




As  0,0129 m2
T0=293 K
Ag=0,0106 m2
05-11-2015
m
2c pT0
1
 1  2

pext=105
Qual o número de Mach à saída?
Ms>1
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo – III

Dimensione uma tubeira convergente divergente para permitir um
caudal de ar (=1,4; R=287 J/kg/K) de 10 kg/s de um reservatório a
4 x 105 Pa e 293 K para atmosfera (105 Pa) numa evolução
isentrópica com escoamento supersónico à saída (Ms>1).
Qual o número de Mach à saída?
ps
105

 0,25
p0 4 105
p0=4105 Pa
T0=293 K
Ag=0,0106 m2
As  0,0129 m2
pext=105 Pa
 1


2  p  
   1 = 1,56
M

  1  p0 


Ms>1
05-11-2015
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo – IV

Dimensione uma tubeira convergente divergente para permitir um
caudal de ar (=1,4; R=287 J/kg/K) de 10 kg/s de um reservatório a
4 x 105 Pa e 293 K para atmosfera (105 Pa) numa evolução
isentrópica com escoamento supersónico à saída (Ms>1).
pext=105
Ms>1
O que acontecerá se a pressão exterior
for diferente de 105 Pa?
p0=4105
T0=293 K
Haverá alguma outra pressão exterior para a qual
o escoamento seja isentrópico com Mg=1?
Ag=0,0106 m2
05-11-2015
As  0,0129 m2
 A
    1,217
 A s
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo – V
A  2 


A    1 
 1
2  1
1
 1




 p
2 
 p 




1

 p 
p 
 1
0 
0 






O que acontece se
325,6 kPa<pext<400 kPa ?
1
A/A*
p/p0
 A
    1,217
 A s
A/A*
ps=325,6 kPa
ps=100 kPa
Ms<1
05-11-2015
p/p0=0,814
p/p0
p/p0=0,25
ps=pext=325,6 kPa
0,55
Prof. António Sarmento DEM/IST
1,56
M
Exemplo – VI
O que acontece se
325,6 kPa<pext<400 kPa ?
Escoamento subsónico em toda a
conduta; ps=pext
Por exemplo: para pext= 350 kPa qual o caudal mássico e Mg?
1
m   0
 px   
 px  
 1  

2c pT0 A x 
 p0 
 p0 
 1

= 8,28 kg/s
Aplicando na secção de saída A(x)=As=0,0129 m2 e p(x)=ps=350 kPa
 
p
 g     pg 
  1   
 p0    p0 

1
05-11-2015
1
 1  2






m Ag
0 2c pT0
 0,214
pg
p0
Prof. António Sarmento DEM/IST
 0,795
Exemplo – VII
Pext = 350 kPa
 
 pg     pg 
  1   
 p0    p0 

1
Escoamento subsónico em toda a
conduta; ps=pext
1
 1  2






m Ag
0 2c pT0
 0,214
pg
p0
 0,795

p0    1 2   1
 1 
M 
p 
2

05-11-2015
Mg=0,58
Prof. António Sarmento DEM/IST
Cont.
Exemplo – VIII
Onda de choque normal
na secção de saída
p0=4105
T0=293 K
1
Ag=0,0106 m2

2
As  0,0129 m2
Para que pressão exterior ocorrerá uma onda de choque normal na
secção de saída?
Características do escoamento: p1=ps=100 kPa ; M1=Ms=1,56
p2=pext
; M2<1
Numa onda de choque normal:
p2
2
 1

M12 
= 2,672
p1   1
 1
p2 = 267,2 kPa
05-11-2015
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo – IX
p0=4105
T0=293 K
Ag=0,0106 m2
> 325,6 kPa
As  0,0129 m2
M < 1 em toda a tubeira, esc isentrópico
com ps=pext
= 325,6 kPa
M = 1 na garganta com
M < 1 no restante
Nível a de (pext /p0)
da tubeira, esc. isent. e ps =pext
pext
= 267,2 kPa
M = 1 na garganta, esc. isent.
na tubeira, o. choque
normal na saída, e ps=pext
= 100 kPa
05-11-2015
Nível c de (pext /p0)
M = 1 na garganta e
Nível b de (pext /p0)
M < 1 convergente
M > 1 divergente, esc. isentrópico e ps =pext
Prof. António Sarmento DEM/IST
Análise do funcionamento duma tubeira
convergente-divergente
M<1 (excepto na garganta nas condições a) e ps = pext
Mg= 1 ; o. de choque no interior;
Ms < 1 e ps = pext
p/p0
a
p*/p0
c
b
Mg= 1; Ms > 1 ; ps < pext ; o. choque normal na saída
Mg= 1 ; Ms > 1 ; ps < pext ;
o. choque oblíqua no exterior
Mg= 1 ; Ms > 1 e ps = pext
Mg= 1; Ms > ; ps > pext ;
o. de expansão no exterior
05-11-2015
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo (continuação)
O.C.N.

Questão: qual a pressão
exterior sabendo que ocorre
uma onda de choque normal
na secção com 0,0121 m2?
Se ocorre O.C.
p0=4105
T0=293 K
 A
    1,144
A 
As  0,0129 m2
 A  0,0121
 1,144
  
 A 1 0,0106
 p
   0,293
 p0 
p1  117,2 kPa
M1  1,45
M 2  0,720
Das tabelas das ondas de choque normais:
05-11-2015
2
Ag=0,0106 m2
M1>1 e Mg=1; Ag=A*=0,0106 m2
Das tabelas de
escoamento isentrópico:
1
Prof. António Sarmento DEM/IST
p2 p1  2,286
p0 2 p01  0,945
Exemplo
O.C.N.

Questão: na tubeira do exemplo
anterior qual a pressão exterior
sabendo que ocorre uma onda de
choque normal na secção com
0,0121 m2?
Já calculado:
p2
 2,286
p1
p1  117,2 kPa
p2  267,9 kPa
p0=4105
T0=293 K
1
Ag=0,0106 m2
M1  1,45
2
As  0,0129 m2
M 2  0,72
p0 2
 0,945
p01
p0 2  378 kPa
Qual a pressão exterior?
Notar que: i) (A*)2 ≠ (A*)1.pois a o. choque é irreversível; ii) ps = pext, pois Ms <1
05-11-2015
Prof. António Sarmento DEM/IST
Exemplo
O.C.N.

Questão: qual a pressão exterior
sabendo que ocorre uma onda de
choque normal na secção com
0,0121 m2?
p0=4105
T0=293 K
1
2
Ag=0,0106 m2
As  0,0129 m2
Já calculado:
p1  117,2 kPa M1  1,45
Lembrando que
M 2  0,72
T02  T01  293 K
  10 kg/s
m
1
m  0 2
05-11-2015
 ps  
 ps 
 1 

2c pT02 As 
 p0 
 p0 
 2
 2
 1

p2  267,9 kPa p0 2  378 kPa
p02
0 2 
 4,5 kg/m3
RT02
0,288 é também solução, mas
corresponde a M>1, o que é impossível)
ps
 0,76
p02
Prof. António Sarmento DEM/IST
pext  ps
 287,3 kPa
Escoamentos em condutas convergentesdivergentes

Matéria:





Exemplo
Projecto de tubeiras convergentes-divergentes
Regimes de funcionamento duma tubeira
convergente-divergente
Exemplo
Bibliografia


05-11-2015
Secção 9.8 do Fluid Flow, Sabersky
Secção 9.6 do Fluid Mechanics, White
Prof. António Sarmento DEM/IST