Matemática I
3. (UFRN/2013) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de
quatro alunos em três avaliações e a matriz M formada pelos
dados dessa tabela.
Capítulo 39
Avaliação 1
Matrizes
1. (EsPCEX-(Aman)/2014) O elemento da segunda linha e
 1 0 1


terceira coluna da matriz inversa da matriz  2 1 0  é:
 0 1 1


2
a) d) – 2
3
3
1
b) e) 2
3
c)0
2
3
4
5
1
Z
Y
X
V
U
2
T
S
R
Q
P
3
O
N
M
L
K
4
J
I
H
G
F
5
E
D
C
B
A
8
9
6
Maria
6
8
7
Sônia
9
6
6
André
7
8
9
O produto
1
1  
M 1 corresponde à média:
3  
1
1º bimestre
2º bimestre
3º bimestre
4º bimestre
Matemática
5,9
6,2
4,5
5,5
Português
6,6
7,1
6,5
8,4
Geografia
8,6
6,8
7,8
9,0
História
6,2
5,6
5,9
7,7
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a
partir da tabela por:
1
a) 
2
50 25
10 11 10 15 −8 30 −1


14 31 19 19 −3 −4 0 
B =  6 −4 8 31 0
0
0


−
8
6
16
32
20
−
17
0


 44 −8 13 30
0 20 10 20

a) Sorria você está sendo advertido.
b) Sorria você está sendo filmado.
c) Sorria você está sendo gravado.
d) Sorria você está sendo improdutivo.
e) Sorria você está sendo observado.
ensino médio
8
4. (Enem/2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas
de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas
numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia
calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de
matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela
que ele conseguiu é mostrada a seguir.
1
0 34 32 3 4 0 
26 13 24 0 0 0 

45 16 20 11 17 0 
50 21 3 35 42 11
1
20 13
Thiago
a) de todos os alunos na avaliação 3.
b) de cada avaliação.
c) de cada aluno nas três avaliações.
d) de todos os alunos na avaliação 2.
Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número
formado pela linha e pela coluna, nessa ordem. Assim, o número
32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por
A + B = M, onde B é uma matriz fixada, que deve ser mantida
em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada
linha da matriz M corresponde a uma palavra da mensagem,
sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.
José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma
mensagem do seu chefe, que continha uma matriz A. De posse
da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.
O que a chefia informou a José?
Dados:
12
0

A =  45

30
1

Avaliação 3
8 9 6


6 8 7
M=

9 6 6
7 8 9


2. (UEL/2013) Atualmente, com a comunicação eletrônica,
muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens,
principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas
de envio e recepção de mensagens codificadas chamam-se
Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras
por números, como indicado na tabela-código a seguir.
1
Avaliação 2
1
b) 
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2 
 1
2
 
 1
2
d)
 
 1
2
 
 1
 2 
1
4 
 1
4
 
 1
 
e)  4 
 1
4
 
 1
 4 
1
1
c)  
1

1
1
2º ano
Capítulo 40
Capítulo 68
Determinantes – I
Determinantes – II
1 2 3 


1. (IME/2013) Seja ∆ o determinante da matriz  x x 2 x 3  .
 x x 1 
O número de possíveis valores de x reais que anulam ∆ é:
a)0
b)1
c)2
d)3
e)4
1. (Eewb/2011) O determinante da matriz A4x4 onde os
elementos da primeira linha são 4, 3, 5 e 1; os elementos
da segunda linha são 0, 3, 0 e 2; os da terceira linha são
2, 7, 0 e 0 e os da quarta linha, 8, 6, 10 e 2, é:
a) – 5
b)0
c)5
d)15
log(x − 1) 1
1
2. (UEPB/2013) A equação
0
1
0
= 0, tem
log(x − 1) 1 log(x − 1)
2. (IFSUL/2011) Sendo o determinanteD =
2
3
4
6
e
1
1
b) 
2

5
2 3 4
4 5 16 
6 8 20

6 11 8 
log2 256 log2 0, 25
números reais, o valor da expressão
1
1
2
4
– A ⋅ B–1 é:
1
2
c) 
3

4
1
2
3
4
a) – 3
1 2 3 4
5 6 7 8

d) 
 9 10 11 12


13 14 15 16
A=
sen x cos x
- cos x sen x
B=
1
3
c)–
1
5
3
2
6
7
1
2
3
4
4
1
8

8
1
2 
3

4
3
4 
 −1 2
 1 −6 7
8 
e) 
 9 10 −11 12 


13 14 15 −16
d)1
e)5
ensino médio
,
4. (FGV/2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é:
1
4
a) 
2

5
b)–
1+ 2 ⋅ senx
1 x
x 2
eB=
a
-1 2
1 1
diferença entre os valores de x, tais que det (A · B) = 3x,
pode ser igual a:
a)3
b) – 2
c)5
d) – 4
e)1
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa II é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa III é verdadeira.
e) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Sendo
cos x
3. (ESPM/2011) Dadas as matrizes A =
3. (Udesc/2013) Seja X o conjunto formado por todas as
matrizes diagonais de ordem 2 × 2. Analise as proposições:
I. A multiplicação de matrizes pertencentes a X satisfaz a
propriedade comutativa;
II. Todas as matrizes pertencentes ao conjunto X possuem
inversa;
III. A matriz identidade de ordem 2 × 2 pertence ao conjunto X;
IV.Se A e B são dois elementos pertencentes a X, então A + B
também pertencem a X.
4. ( M a c k e n z i e / 2 0 1 3 )
− senx
π
o valor do D =   está no intervalo:
6
a)[0,3]
b)[3,5]
c)[5,7]
d)[7,9]
como solução real os valores de x:
a) 2 e 10
b) 0 e 2
c) 3 e 11
d) 4 e 11
e) 2 e 11
1 − 2 ⋅ senx
2
2º ano
Respostas
b) Correto. Sabendo que α + β = 1, vem
 0, 7 0, 2   α   α 
X k +1 = X k ⇔ 
  =  
 0, 3 0, 8   β   β 
Capítulo 39 – Matrizes
1. B
Sabendo que a11 = log (1+1) = log 2 ≅ 0,3 tem-se que
x = a23
x = a32
x = log (2 + 3)
x = log 5
x = log 
x = log 10 – log 2
x ≅ 1 – 0,3
x = 0,7.
 0, 7α + 0, 2β   α 
⇔
= 
 0, 3α + 0, 8β   β 
⇔ β = 1, 5 α.
Desse modo, α + 1,5α = 1 ⇔ α = 0,4 e, portanto, β = 0,6.
c) Incorreto. A probabilidade de um consumidor do
detergente da marca 1 comprar o da marca 2 ao final
do 2º mês, corresponde ao elemento p21 da matriz P2.
Então, como
 0, 7 0, 2   0, 7 0, 2   0, 55 0, 30 
P2 = 
=
⋅
,
 0, 3 0, 8   0, 3 0, 8   0, 45 0, 70 
segue que p21 = 0,45 < 0,50 sendo inferior a 50%
10 

 2
2. A
Basta fazer o produto das matrizes
35%
25%
[340 520 305 485] ⋅ 30% =


10%
Capítulo 40 – Determinantes – I
1. B
1
6 
 x + y x − y xy   x + y
 x −y =1


 

M=  1
y − x 2y  =  x − y y − x x + 1 ⇒  x ⋅ y = 6
x + 1 = 2y
 6
x + 1 1   xy
2y
1 

= 340 ⋅ 0, 35 + 520 ⋅ 0, 25 + 305 ⋅ 0, 30 + 485 ⋅ 0,10 = 389 mg.
3. D
Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são dados,
respectivamente, por:
5x + 5y + 3z = 96, 6x + 3y + 3z = 105 e 4x + 5y + 2z = 79
Portanto, a única alternativa que relaciona corretamente os
preços unitários com os dados da tabela é a alternativa [D].
Resolvendo o sistema, temos: x = 3 e y = 2.
5 1 6
Portanto, det(M) = 1 −1 4 = −2.
6 4 1
2. C
Calculando o determinante de A, temos:
det (A) = cos2θ – 6 ⋅ senθ + sen2θ – 6 ⋅ cosθ
Considerando que
senθ = - cosθ, temos det(A) = 1 e det=
(A–1)
4. A
[A] Verdadeira, pode se ir de A até B passando por D.
[B] Falsa, pois A não possui conexão até B.
[C] Falsa, pois a43 = 0.
[D] Falsa, existe apenas um caminho passando por D.
[E] Falsa, existe apenas um caminho (ADBC).
5.
75432 = 4714 ⋅ 16 + 8
Logo, n = 4714 + 1 = 4715 e i = 3 e j = 1.
1
= 1
det(A)
3. E
Desenvolvendo o determinante da equação, temos:
−3x 3 − 5xy + 3x ⋅ ( x 2 + y 2 ) + 2x 2y = 0
−3x 3 − 5xy + 3x 3 + 3xy 2 + 2x 2y = 0
6.
a) Correto. Temos que=
a0
80
120
b0
= 0, 4.
= 0, 6 e=
200
200
−5xy + 3xy 2 + 2x 2y = 0
xy( −5 + 3y + 2x ) = 0
 0, 6 
Então, como X 0 = 
 , vem
 0, 4 
Como o produto (x ⋅ y) é não nulo, temos:
3y + 2x – 5 = 0 ⇒ 2x + 3y = 5
 0, 7 0, 2   0, 6   0, 5 
X1 = 
,
=
⋅
 0, 3 0, 8   0, 4   0, 5 
4. B
 0, 7 0, 2   0,5   0, 45 
X2 = 
⋅
=

 0, 3 0, 8   0,5   0,55 
e
 0, 7 0, 2   0, 45   0, 425 
X3 = 
.
=
⋅
 0, 3 0, 8   0, 55   0, 575 
Segue que b1 = 0,5, b2 = 0,55 e b3= 0,575.
Portanto, a sequência (b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2) = (0,1; 0,05; 0,025)
0, 05
é uma progressão geométrica de razão
= 0, 5.
0,1
ensino médio
x
xq
x y z 


3
M = m n p  = xq xq4
 u v w  xq6 xq7
colunas são proporcionais.
x ⋅ q x ⋅ q4 x ⋅ q7
=
=
= q.
x
x ⋅ q3 x ⋅ q6
xq2
xq5 = 0, pois as duas primeiras
xq8
5. 01 + 02 = 03.
[01] (Verdadeira), pois
3
2º ano

cos2 15° − sen215°
− cos 15° ⋅ sen15° − cos 15° ⋅ sen15° 
A 2 = 

cos
15
15
cos
15
°
⋅
sen
15
°
+
°
⋅
sen
°
− cos2 15° + sen215


 cos 30° −sen30° 
= 

 sen30° − cos 30° 
[02] (Verdadeira). det (A) = cos2 15º + sen2 15º = 1.
a
b
c
a b c
a b c
d + 2a e + 2b f + 2c = d e f + 2a 2b 2c = −2 + 0 = −2.
h
i
g h
i
g
h
i
3. E
0
 2 ⋅ cos 15°

[03] (Falsa). A + A t = 
.
0
2
⋅
cos
15
°


[04] (Falsa). det(2 ⋅ A) = 22 ⋅ det(A) = 4 ⋅ 1 = 4.
[05] (Falsa). detA2 = detA2 = 12 = 1.
det(A1) = 1
det(A2) = a2
det(A3) = a2. a2 .a2 = a6
det(A4) = a3. a3 . a3 . a3 = a12
Portanto, a sequência não representa P.A e nem P.G.
6.
4. E
3 x −x
3 x −x 3 x
p( x ) = 3 x −4 
−4 3 x = x 3 − 4 x 2 − 9x + 36
Aplicando Re gra de Sarrus → p( x ) = 3 x
x 3 −3
x 3 −3 x 3
x y
=6⇒ x−y =6
1 1
Portanto: (fatorando o polinômio)
p(x) = x3 – 4x2 – 9x +36
⇒ p (x) = x2 (x – 4) – 9(x – 4)
⇒ p (x) = x2 (x – 4) – 9(x – 4)
x 2 − 9 = 0 ⇒ x = ±3
⇒ p (x) = (x2 – 9) (x – 4) ⇒ 
 x−4 =0⇒ x = 4
(I)
3x + 1 8
= 8 ⋅ (3x + 1) − 8 ⋅ (3y − 1) = 24 x − 24 y = 24( x − y ) (II)
3y + 1 8
Substituindo (I) em (II), temos:
3x + 1 8
= 24 ⋅ 6 = 144
3y + 1 8
5. Pelo Teorema de Binet, temos que det(AB) = det A ⋅ det B. Assim,
Capítulo 68 – Determinantes – II
sen 3x cos 3x
det( AB) ≤ 0 ⇔ − cos 3x sen 3x
0
0
2 0
0 ⋅ 3x 0 4 ≤ 0
x
9 0 2x
0
0
3− x
x
 x

2
⇔
⋅ sen 3x +
⋅ cos2 3x  ⋅ (36 ⋅ 2 − 6x ⋅ 2 ) ≤ 0
3− x

3− x
x
2
2
⇔
⋅ (sen 3x + cos 3x ) ⋅ 2 ⋅ (36 − 6x ) ≤ 0
3− x
x
⇔
⋅ (36 − 6x ) ≥ 0; com x ≠ 3
x −3
⇔ x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3.
1. A
O determinante da matriz A em função de x e de y é dado por
det A = 12y – 1 + 12x + 8 – 18 – xy = 12x + 12y – xy – 11.
Mas, det A = 63 e y = x + 3. Logo,
12x + 12(x + 3) – x(x + 3) – 11 = 63 ⇔ x2 – 21x + 38 = 0
⇔ x = 2 ou x = 19.
Daí, (x, y) = (2, 5) ou (x, y) = (19, 22).
Por outro lado, o determinante da matriz B é dado por:
det B = 24 + 3xy – 2 – 8x + 18 – y = – 8x – y + 3xy + 40.
Assim, dado que detB = 49, concluímos, por inspeção, que
x = 2 e y = 5 e, portanto, x + y = 2 + 5 = 7.
Portanto, o conjunto solução da inequação é S = ] – ∞, 0] ∪ [2, 3[.
6.
a)a12 = cos2 x – sen2x + 2.sen2x = cos2x + sen2x = 1
a13 = – 1 + 0.sen3x = –1.
b) (2, a22, a23) é uma P.A., então (2, a22, a23) = (2, 2+r, 2+2r),
ou seja:
2 + 2+r + 2 + 2r = 3
3R = – 3
r = –1
2. A
I. Verdadeira. Ao permutarmos duas filas paralelas de
uma matriz quadrada A, obtemos uma matriz B, tal que
det B = – det A.
II. Falsa. Como:
 3a 3b 3c 
a b c




3
d
3
e
3
f
3
=
⋅


d e f ,
 3g 3h 3i 
g h i 




vem
Logo, a22 = 2 + (–1) = 1 e a23 = 2 + 2.(–1) = 0.
c) As raízes da equação z3 – 4z2 + 5.z = 0 são 0, 2 + i e 2 – i,
portanto, a31 = 2 e a32 = 1.
 b 1 −1


Logo, A =  2 1 0  e det(A) = d = b = c, então :
2 1 c 


det(A) = bc – 2c ⇔ d = d · d – 2d ⇔ d2 – 3d = 0 ⇔ d =0
(não convém, pois A é invertível) n ou d = 3.
Logo, b = c = 3.
3a 3b 3c
a b c
3
3d 3e 3f = 3 ⋅ d e f = 27 ⋅ ( −2) = −54 ≠ −6.
3g 3h 3i
g h i
III.Verdadeira. Se uma matriz quadrada apresenta uma fila
de zeros, então seu determinante é nulo.
IV.Verdadeira. Sabendo que uma matriz quadrada com duas
filas paralelas proporcionais têm determinante nulo, vem:
ensino médio
g
4
2º ano