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PARA QUEM CURSA O 9.O ANO EM 2014
Colégio
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
As trajetórias dos planetas em torno do Sol são elípticas. No caso da Terra, essa trajetória é
aproximadamente uma circunferência, com centro no Sol. A distância média da Terra ao Sol é
de 15 . 107 km.
TERRA
O comprimento aproximado da órbita da Terra é:
JR-MAT-0003811-bpb
a) 942 . 107 km
b) 94,2 . 107 km
c) 9,42 . 107 km
d) 706,5. 107 km
e) 70,65 . 107 km
RESOLUÇÃO
O comprimento C da órbita da Terra, de acordo com o enunciado, é aproximadamente
igual ao de uma circunferência de raio 15. 107 km. Logo:
C = 2 . p . 15 . 107 km ⇔ C = 2 . 3,14 . 15 . 107 km ⇔ C = 94,2 . 107 km
Resposta: B
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 17
O sexto termo da sequência
1
31 31
7
7
–– ; –– ; ––– ; ––– ; ––– ; ... é:
3
15 15 63
3
127
a) ––––
63
97
b) ––––
65
103
c) ––––
99
115
d) ––––
63
119
e) ––––
63
RESOLUÇÃO
1
O primeiro termo da sequência é –– cada termo a partir do segundo, é obtido do an3
terior com a seguinte lei de formação:
a) o denominador da segunda fração é igual ao denominador da primeira; o denominador da quarta fração é igual ao denominador da terceira, o denominador da
sexta é igual ao da quinta e assim por diante.
b) o numerador da terceira fração é igual ao da segunda; o numerador da quinta fração
é igual ao da quarta e assim por diante.
c) cada fração, é composta de dois números naturais em que o maior é o dobro do
menor; acrescido de uma unidade.
Assim sendo:
冢
冣
1
7
7
31 31 2 . 63 + 1
–– ; –– ; ––– ; ––– ; ––– ; –––––––––– ; ... e
3
3 15 15 63
63
127 .
portanto o sexto termo da sequência é ––––
63
Resposta: A
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 18
A tela de um quadro retangular mede 9 dm por 12 dm e está cercada por uma moldura. A
moldura sozinha cobre uma área de 162 dm2. A largura da moldura, em dm, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
JR-MAT-0003812-bpb
RESOLUÇÃO
x
12 dm
x
x
9 dm
x
Sendo AQ, AT e AM, respectivamente, as áreas do quadro, da tela e da moldura, de
JR-MAT-0003813-bpb
acordo com o enunciado, temos:
AQ = AT + AM ⇔ (2x + 12) . (2x + 9) = 12 . 9 + 162 ⇔ 4x2 + 18x + 24x + 12 . 9 = 12 . 9 + 162 ⇔
– 21 ± 33
12
– 54
⇔ 4x2 + 42x – 162 = 0 ⇔ 2x2 + 21x – 81 = 0 ⇔ x = ––––––––– ⇔ x = –––
ou x = ––––
⇔
4
4
4
⇔ x = 3 pois x > 0
Resposta: B
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 19
Cinco quadrados de lado formam a cruz da figura.
U
A
M
I
Determine a área do quadrilátero convexo de vértices M, I, A, U.
JR-MAT-0003814-cpb
a) 2 2
b) 3 2
c) 4 2
d) 5 2
e) 6 2
RESOLUÇÃO
MIAU é um quadrado pois MI = IA = AU = UM e AM = UI. No triângulo retângulo
hachurado, temos:
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
U
A
2l
M
M
2l
l
l
I
I
(MI)2 = (2)2 + 2 ⇔ (MI)2 = 42 + 2 ⇔ (MI)2 = 52 ⇔ MI = 兹苶苶
52 ⇔ MI = 兹苶
5
JR-MAT-0003815-dpb
A área do quadrado é, pois ( 兹苶
r ) = 5 2
Resposta: D
2
QUESTÃO 20
Se você dividir um número real positivo x por um número real positivo y, vai encontrar 3 como
resultado. Se o quadrado do número y é igual ao número x aumentado de 10 unidades, o valor
de x . y é:
a) 5
b) 15
c) 20
d) 75
e) 12
RESOLUÇÃO
冦
x
–– = 3 ⇒ x = 3y
y
y2 = x + 10
y2 – 3y – 10 = 0
D = (–3)2 – 4 . 1 . (–10) = 49
10
y = ––– = 5
3±7
2
x = –––––
–4
2
y = ––– = – 2 (não serve)
2
冦
x = 3 . 5 = 15
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
Assim: x = 15, y = 5 e x . y = 75
Resposta: D
QUESTÃO 21
–––
–––
No triângulo ABC, o lado AB é igual a 12 cm. Sendo CD a bissetriz interna relativa ao vértice
C do triângulo ABC, os valores de m e n são, respectivamente:
C
10 cm
A
6 cm
m
a) 2,5 cm e 9,5 cm
b) 5,5 cm e 6,5 mm
c) 75 mm e 0,45 dm
d) 35 mm e 0,85 dm
e) 0,25 dm e 9,5 dm
n
D
B
JR-MAT-0003816-dpb
RESOLUÇÃO
C
10 cm
A
OBJETIVO
m
6 cm
n
D
JR-MAT-0003817-bpb
6
B
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
Pelo teorema de bissetriz, temos:
6
10
––– = ––– ⇔ 10n = 6 m ⇔ 5n = 3m
n
m
Pelo enunciado m + n = 12
Logo:
5n = 3m
⇔
m + n = 12
冦
冦
m = 7,5 cm
⇔
n = 4,5 cm
冦
m = 75 mm
n = 0,45 dm
Resposta: C
QUESTÃO 22
Em uma pesquisa feita entre os 44 alunos de uma classe, obteve-se o seguinte resultado: o
4
número de alunos que gostam de matemática corresponde a ––– do número de alunos que
5
gostam de história,
8 alunos não gostam de nenhuma das duas disciplinas e nenhum aluno gosta das duas
disciplinas simultaneamente.
O número de alunos que gostam de matemática é:
a) 16
b) 8
c) 20
d) 22
e) 124
RESOLUÇÃO
4x é o número de alunos
Se x for o número de alunos que gostam de história então –––
5
que gostam de matemática.
Assim sendo:
4x + 8 = 44 ⇔ 9x = 180 ⇔ x = 20
x + –––
5
4 . 20 = 16.
O número de alunos que gostam de matemática é, portanto, ––––––
5
Resposta: A
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 23
A área do triângulo isósceles, cujo perímetro mede 32 cm e a altura relativa à base mede
8 cm, é:
A
8 cm
B
a) 12 cm2
b) 8 cm2
c) 96 cm2
d) 50 cm2
e) 48 cm2
C
JR-MAT-0003818-apb
RESOLUÇÃO
A
b
B
a
8 cm
b
a
M
C
Se o perímetro do triângulo ABC é 32 cm, então:
JR-MAT-0003819-apb
2a + 2b = 32 ⇔ a + b = 16 ⇔ b = 16 – a (I)
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
No triângulo retângulo AMC, temos:
b2 = a2 + 82 (II)
De (I) e (II). temos:
(16 – a)2 = a2 + 82 ⇔ 256 – 32a + a2 = a2 + 64 ⇔ 32a = 192 ⇔ a = 6
BC . AM
12 . 8
A área do triângulo ABC é –––––––––
e portanto –––––– = 48
2
2
Resposta: E
QUESTÃO 24
Um médico endocrinologista usa uma fórmula que estabelece se uma pessoa precisa ou não
fazer dieta. A fórmula é P ÷ a2 = I, em que P é a massa corpórea em kg, a é a altura em
metros e I é o índice que determina o grau de obesidade.
Se I estiver entre 20 kg/m2 e 25 kg/m2, a pessoa tem massa corpórea ideal. Se I for menor
que 20 kg/m2, a pessoa precisa engordar; e se I for maior que 25 kg/m2, a pessoa precisa
emagrecer. A massa corpórea de uma pessoa que tem 1,70 m de altura e I = 23 kg/m2 é:
a) 66,47 kg
b) 56,47 kg
c) 66,37 kg
d) 56,37 kg
e) 66,27 kg
RESOLUÇÃO
P
kg
P
Sendo I = 23 kg/m2, a = 1,70 m e ––– = I tem-se ––––––––– = 23 –––2 ⇔
m
(1,70m)2
a2
⇔ P = (1,70)2 . 23 kg ⇔ P = 2,89 . 23 kg ⇔ P = 66,47 kg
Resposta: A
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 25
Perguntou-se a um granjeiro quantos ovos as galinhas haviam posto naquele dia. Ele
respondeu:
“– Não sei, mas contando de dois em dois sobra um, contando de três em três sobra um,
contando de cinco em cinco sobra um, porém, contando de sete em sete não sobra
nenhum”. Se o número de ovos é menor que 100, então, a galinha havia posto:
a) 89 ovos
b) 90 ovos
c) 91 ovos
d) 92 ovos
e) 93 ovos
RESOLUÇÃO
Seja n o número de ovos postos pela galinha.
1)
n
0
7
q1
⇔ n é múltiplo de 7
2)
n
1
2
q2
⇔
n–1
0
2
q2
⇔ (n – 1) é múltiplo de 2
3)
n
1
3
q3
⇔
n–1
0
3
q3
⇔ (n – 1) é múltiplo de 3
4)
n
1
5
q3
⇔
n–1
0
5
q4
⇔ (n – 1) é múltiplo de 5
5) Dos itens (2), (3) e (4), conclui-se:
(n – 1) é múltiplo do mmc (2, 3, 5) = 30 ⇔ (n – 1) Œ {0, 30, 60, 90}, pois n é positivo
e menor que 100.
6) Assim, n Œ {1, 31, 61, 91} e n é múltiplo de 7, portanto n = 91.
Resposta: C
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 26
O clube que frequento possui um terreno retangular de 120 m de largura por 150 m de
comprimento.
120 m
120 m
150 m
150 m
Nesse terreno há um campo de futebol de 90 m de largura por 110 m de comprimento.
JR-MAT-0003820-cpb
Que fração do terreno não é ocupada pelo campo de futebol?
5
13
7
9
a) –––
b) –––
c) –––
d) –––
20
20
20
20
11
e) –––
20
RESOLUÇÃO
Sejam ST a área do terreno. SC a área ocupada pelo campo de futebol e S a área não
ocupada pelo campo.
Tem-se:
ST = 120 m . 150 m = 18000 m2,
SC = 90 m . 110 m = 9900 m2 e
S = ST – SC = (18000 – 9900) m2 = 8100 m2
Assim
81
9
S
8100 m2
= –––– = ––––
––– = ––––––––––
2
180
20
ST
18000 m
Resposta: D
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 27
No quadro da figura, o produto dos elementos de cada linha, cada coluna ou cada diagonal é
sempre constante.
92
B
x
1
–––
3–7
A
1
–––
3–1
1
–––
3–2
y
27
3–3
C
z
1
–––
94
1
–––
9–3
1
–––
3–5
D
Os valores de A, B, C e D são, respectivamente:
a) 3–1, 3–2, 3–6, 3–5
b) 3–2, 3–1, 3–5, 3–6
c) 3–1, 3–6, 3–5, 3–2
d) 3–6,3–1,3–2, 3–5
e) 3–1, 3–6, 3–2, 3–5
RESOLUÇÃO
Da tabela
92
B
x
1
–––
3–7
A
1
–––
3–1
1
–––
3–2
y
27
3–3
C
z
1
–––
94
1
–––
9–3
1
–––
3–5
D
conclui-se
I) produto dos elementos da diagonal:
1
1
1
= 37 . 32 . 3–3 . 3–8 = 3–2
. ––––
. 3–3 . ––––
–––
–2
–7
3
3
94
2) produto dos elementos da 1.a coluna:
1
92 . A . 27. –––– = 34 . A . 33 . 3–8 = 3–1 . A = 3–2 ⇔ A = 3–1
94
OBJETIVO
12
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
3) produto dos elementos da 2.a coluna:
1
1
B . –––– . 3–3 . –––– = B . 31 . 3–3 . 36 = 34 . B = 3–2 ⇔ B = 3–6
–1
3
9–3
4) produto dos elementos da 4.a linha:
1
1
1
. –––– . –––– . D = 3–8 . 36 . 35 . D = 33 . D = 3–2 ⇔ D = 3–5
–––
94
9–3
3–5
5) produto dos elementos da outra diagonal:
1
92 . –––– . C . D = 34 . 31 . C . 3–5 = 30 . C = 3–2 ⇔ C = 3–2
3–1
Assim, A, B, C e D são respectivamente 3–1, 3–6, 3–2 e 3–5
Resposta: E
QUESTÃO 28
2 do divisor e o quociente, 5 do resto. Qual o dividendo, se o diNuma divisão, o resto é ––
––
3
3
visor é 126?
a) 8901
b) 8904
c) 8913
d) 8921
e) 8934
RESOLUÇÃO
Sejam D o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto de uma divisão. São dados
d = 126,
2
5
2
5
r = –– d = –– . 126 = 84 e q = –– r = –– . 84 = 70
6
6
3
3
Assim
D
r
d
q
⇒ D = q . d + r = 70 . 126 + 84 e portanto D = 8904
Resposta: B
OBJETIVO
13
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
QUESTÃO 29
No “País dos Quadrados”, o povo desenha
6
para representar 67 e
7
JR-MAT-0003821-apb
3
4
para representar 834.
8
Que
número representa
JR-MAT-0003822-apb
4
3
5
9
?
a) 5943 JR-MAT-0003823-bpb
b) 50943
c) 500943
d) 5000943
e) 50000943
RESOLUÇÃO
Observando os
6
= 67 = 6 . 101 + 100 e
7
3
4
= 834 =
8
= 8 . 102 + 3 . 101 + 4 . 100
JR-MAT-0003821-apb
JR-MAT-0003822-apb
verifica-se que o número de quadrados que envolve cada algarismo é o expoente da
potência de 10 que multiplica o algarismo.
OBJETIVO
14
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
Assim
4
3
9
5
=
= 5 . 105 + 9 . 102 + 4 . 101 + 3 . 100 =
= 5 . 100000 + 9 . 100 + 4 . 10 + 3 . 1 = 500943
JR-MAT-0003824-bpb
Resposta: C
QUESTÃO 30
Se todos os quadradinhos da retícula têm 1 cm de lado, então, a área da figura escurecida,
em centímetros quadrados, vale:
a) 12,5
JR-MAT-0003825-cpb
b) 13,0
c) 13,5
d) 14,0
e) 14,5
OBJETIVO
15
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO
RESOLUÇÃO
A
B
I
M
II
III
D
Sendo:
SI a área do triângulo ABM,
SII a área do triângulo BCN,
SIII a área do triângulo NDM,
S a área do triângulo BNM e
SQ a área do quadrado ABCD
tem-se:
N
C
JR-MAT-0003826-cpb
3.3
3.6
3.6
S = SQ – SI – SII – SIII = 6 . 6 – ––––– – ––––– – ––––– ⇔ S = 36 – 9 – 9 – 4,5 ⇔ S = 13,5
2
2
2
Resposta: C
OBJETIVO
16
MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO