322
Capitulo Onze
Problemas
-
--
. -···0 nurnero
-
de pontos indica 0 nfvel de dificuldade do problema.
Se~ao 11-2 Rolamento como uma Combinacao de
Translacao e Rota~ao
0, Urn autom6vel viajando a 80 km/h possui pneus com 75,0 em de
diametro. (a) Qual e a veloeidade angular dos pneus em torno dos
seus eixos? (b) Se 0 carro e parado uniformemente em 30 voltas
eompletas dos pneus (sem deslizamento), qual e 0 m6dulo da aeeleracao angular das rodas? (c) Que distancia 0 carro percorre durante
a frenagem?
Um C!UTO viaja a 80,0 km/h em uma estrada plana no sentido
positivo de urn eixo x. Cada pneu possui diametro de 66 ern. Em
relacao a uma mulher dentro do carro e em notacao de vetor unitario, quais sac a velocidade ii (a) no centro, (b) no topo e (c) na base
do pneu e 0 m6dulo da aceleracao a (d) no centro, (e) no topo e (f)
na base de cada pneu? Em relacao a um carona sentado proximo da
estrada e em notacao de vetor unitario, quais sao a velocidade ii (g)
no centro, (h) no topo e (i) na base do pneu eo m6dulo da acelera<;:aoa (j) no centro, (k) no topo e (1)na base de cada pneu?
Fig. 11-31
Problema 7.
002
Se~ao 11-4
As
oo~ Na Fig. 11-32, uma bola de bronze s6lida de massa 0,280 g rolara suavemente ao longo do trilho em loop quando solta do repouso
ao longo do trecho retilfneo inc1inado. 0 loop circular tem raio R =
14,0 ern e a bola tern raio r ~ R. (a) Quanto vale h. se a bola deve
estar na iminencia de perder contato com 0 trilho quando ela alcanca 0 topo do loop? Se a bola for solta da altura It = 6,00R, quais sao
(b) 0 m6dulo e (c) 0 sentido da componente horizontal da forca atuante sobre a bola no ponto Q?
Forcas do Rolamento
03 Uma roda de 140 kg rola ao longo de urn piso horizontal de modo
que 0 seu centro de massa tern uma veloeidade de 0,150 mls. Que
trabalho deve ser realizado sobre a roda para para-la?
Uma esfera s6lida uniforme rola para baixo em urn plano inc1inado. (a) Qual deve ser 0 angulo de inclinacao do plano se a acelera<;:aolinear do centro da esfera tem m6dulo de 0,10g? (b) Se urn bloco sem atrito deslizasse para baixo nesse mesmo plano inclinado, 0
m6dulo de sua aceleracao seria maior, menor ou igual a 0, 109? Por
que?
04
-s Um carro de '0
kg possui quatro rodas de 10 kg. Quando 0 carro
esta se movendo, que fracao de sua energia cinetica total e devida a
rotacao das rodas em tomo dos seus eixos? Suponha que as rodas tern
o mesmo momento de inercia que discos de mesma massa e tamanho. Por que voce nao precisa conhecer os raios das rodas?
Fig. 11-32
Problema 8.
009 Na Fig. 11-33, uma bola s6lida rola suavemente a partir do repouso (comecando na altura H = 6,0 m) ate deixar a parte horizontal do fim da pista, a uma altura It = 2,0 m. A que distancia horizontal do ponto A a bola toea 0 piso?
Na Fig. 11-30, uma forca horizontal con stante Fap de intensidade
10 N e aplicada a uma roda de massa 10 kg e raio 0,30 m. Aroda
rola suavemente sobre a superffcie horizontal, e a aceleracao do seu
centro de massa tern m6dulo 0,60 mls2. (a) Em notacao de vetor
unitario, qual e a forca de atrito sobre a roda? (b) Qual e 0 momento
de inercia da roda em tome do eixo de rotacao atraves do seu centro
de massa?
06
Fig. 11-33
Problema 9.
00;0
A Fig. 11-34 fomece a velocidade escalar v em funcao do tempo t para um objeto de 0,500 kg e 6,00 em de raio que rola suavemente para baixo em uma rampa inclinada de 30°. Qual e 0 momento
de inercia do objeto?
4
./
3
Fig. 11-30
/,
Problema 6.
./
a Fig. 11-31, urn cilindro s6lido de raio 10 em e massa 12 kg
parte do repouso e rola para baixo uma distancia L = 6,0 rn, sem
deslizar, em um teto inclinado de urn angulo w = 30°. (a) Qual e a
velocidade angular do cilindro em torno do seu centro quando ele
deixa 0 teto? (b) A borda do teto encontra-se a uma altura H = 5,0
m. A que distancia horizontal da borda do teto 0 cilindro toea 0 chao?
o~
VI
./
1
I
1./
°
I
0,2 0,4 0,6 0,8
I (s)
Fig. 11-34
Problema 10.
,
Rolamento,
··11 A Fig. 11-35 mostra a energia potencial U(x) de uma bola salida que pode rolar ao longo de urn eixo x. A bola e uniforme, rola
suavemente e possui massa de 0,400 kg. Ela e direcionada em x =
7,0 m ao longo do sentido negati vo do eixo x com energia mecanica
de 75 J. (a) Se a bola puder alcancar x = a m, qual sera a sua velocidade nesse ponto, e se nao puder, qual sera 0 seu ponto de retorno? Suponha, em vez disso, que ela seja direcionada ao longo do
sentido positivo do eixo x, quando solta emx = 7,0 m com 75 J. (b)
Se a bola puder alcancar x = 13 m, qual sera sua velocidade nesse
ponto e, se ela nao puder, qual sera seu ponto de retorno?
Torque e Momento
Angular
323
camada cilindrica externa (de certa densidade uniforme) que esta
grudada a urn cilindro central (de densidade uniforme diferente). 0
momento de inercia do objeto pode ser expresso na forma geral 1=
[3MR2, mas [3 nao igual a 0,5, como para 0 caso de urn cilindro
uniforme. Determine [3.
e
U (1)
100~\,-rTT""rrrTTT"
1\.1
Fig. 11-38 Problema
14.
Se~ao11-5 0 loic>
o
2
4
6
8
10 12 14
x(m)
Fig. 11-35 Problema
11.
e
Na Fig. 11-36, uma bola pequena, salida e uniforme deve ser
atirada do ponto P para que ela role suavemente primeiro ao longo
de urna trajetoria horizontal, depois para cima ao longo de uma rampa
e finalmente sobre urn plato. Ela entao deixa 0 plato horizontalmente
para aterrissar sobre urn campo a uma distancia horizontal d da extrernidade do plato. As alturas verticais sao hi = 5,00 em e h2 = 1,60
cm. Com que velocidade a bola deve ser lancada do ponto P para
que ela aterrisse em d = 6,00 ern?
0112
([-----I
-
Bola
p
Fig. 11-36 Problema
01°13
Urn ioio possui urn momento de inercia de 950 g . em? e uma
massa de 120 g. 0 raio do seu eixo e 3,2 mm e seu cordao tem 120
ern de comprimento. 0 ioio rola a partir do repouso, descendo ate a
extrernidade do cordao. (a) ~al
0 modulo de sua aceleracao linear? (b) Quanto tempo ele leva para atingir a extremidade do cordao?
Quando ele atinge a extrernidade do cordao, quais sac suas (c) velocidade linear, (d) energia cinetica translacional, (e) energia cinetica
rotacional e (f) velocidade angular?
·15
12.
Bola ndo-uniforme. Na Fig. 11-37, uma bola de massa M e raio
R rola suavernente,
a partir do repouso, descendo uma rampa e entao passando por urn loop circular de raio 0,48 m. A altura inicial da
bola e h = 0,36 m. No fundo do loop, a intensidade da forca normal
sobre a bola e 2,00 Mg. A bola comp5e-se de uma camada esferica
extern a (de certa densidade uniforme) que esta grudada a uma esfera central (de densidade uniforme diferente). 0 momento de inercia
da bola pode ser expresso na forma geral I = [3MR2, mas nao e igual
a 0,4 como para 0 caso de uma bola de densidade uniforme, Determine [3.
..
·16 Em
1980, sobre a Bafa de Sao Francisco, urn grande ioio foi solto
de urn guindaste. 0 ioi6 de 116 kg compunha-se de dois discos uniformes com 32 em de raio con ectad os por urn eixo de raio 3,2 ern.
Qual era 0 modulo da aceleracao do ioio durante (a) sua queda e (b)
sua subida? (c) Qual era a tensao no cordao no qual ele rolava? (d)
A tensao estava proxima do limite do cordao de 52 kN? Suponha
que voce construa uma versao ampliada do ioi6 (mesrna forma e
mesmo material, porem maior). (e) 0 modulo da aceleracao do ioio
durante a queda sera maior, menor ou 0 mesmo daquele do ioi6 de
Sao Francisco? (f) E sobre a ten ao no cordao?
Se~ao11-6 Torque Revisitado
·17 Uma ameixa esta localizada
Em notacao de vetor unitario,
sobre a ameixa se esse torque
componente e (a) F, = 6,0 N,
F, = -6,ON?
nas coordenadas (-2,0 m, 0, 4,0 m).
qual e 0 torque em tomo da origem
e devido a uma forca F cuja iinica
(b) F, = -6,0 N, (c) F, = 6,0 N, (d)
e
·18 Em notacao de vetor unitario, qual
0 torque em tomo da origem
sobre uma particula localizada nascoordenadas
(0, -4,0 m, 3,0 m)
e esse torque e devido aJa) forca
com componentes FIx = 2,0 N,
Fly = FI' = Oe (b) forca F2 com componentes Fj, = 0, F2y = 2,ON, F2z
= 4,ON?
F;
e
Em notacao de vetor unitario, qual 0 torque resultante em torno da origem sobre uma pulga localizada n~ coordenadasjf), -4,0 m,
5,0 m) quando as forcas R. = (3,0 N)k e Fi = (-2,0 n)j atuam sobre a pulga?
·19
Fig. 11-37 Problema
13.
···14 Objeto cilindrico ndo-uniforme. Na Fig. 11-38, urn objeto ci!indrico de massa ty1 e raio R rola suavemente descendo uma rampa,
a partir do repouso, e a seguir passa por uma secao horizontal. A
partir daf, ele rola para fora da rampa sobre urn piso, aterrissando a
uma distancia horizontal d = 0,506 m a partir da extremidade da
rarnpa. A altura inicial do objeto e H = 0,90 m; a extremidade da
rarnpa esta a uma altura h' = 0,10 m. 0 objeto cornpoe-se de uma
··2'0 Em notacao de vetor unitario, qual e 0 torque em torno da origem sobre urn pote de pimentas localizado n_ascoordenadas (3,0 m,
-2,0
m, 4,0 m) devido
(a) a forca
= (3,0 N)i - (4,0 N)
] + (5,0 N)k, (b) a forca
= (-3,0 N)i - (4,0 N)] - (5,0 N)k e
(c) soma vetorial de F; e F? Repita a parte (c) para 0 torque em tomo
do ponto com coordenadas (3,0 m, 2,0 m, 4,0 m),
F;
F2
a
_
A
A
A forca F = (-8 N)i t (6,0 N)j qtua sobre lima particula com
vetor posicao
= (3,0 m)i + (4,0 m)j. Quais sao (a) 0 torque sobre a partfcula em torno da origem, em n.9tac;:aode vetor unitario e
(b) 0 angulo entre os sentidos de
e de F?
··21
r
r
324
Capitulo Onze
-
A
A
A forca F = (2,0 N)i::- (3,0
)kAatua sobre urn seixo com
vetor posicao
= (0,50 m)j - (2,0 m)k em relacao
origem. Em
notacao de vetor unitario, qual e 0 torque resultante sobre 0 seixo
em tomo (a) da origem e (b) do ponto (2,0 m, 0, -3,0 m)?
"22
r
a
tomo de P devido a forca gravitacional quando a bola esta (a) na
altura maxima e (b) na metade do caminho de volta ao chao?
y
Uma particula se move atraves de um sistema de coordenadas
xyz enquanto uma forca atua ~obre ela. Q~ando a partfcula poss~i veto! posicao
(2,00 rn)i -;: (3,00 m)j + (2,00 m)k, a forca e
F = F;.i + (7,00 N)j - (6,00 N)k e 0 torque correspondente
em torno
ga origem
e 7- = (4,00 N . m)i + (2,00 N . m)j (1,00 N . m)k. Determine F,.
··23
Bola
r~
Fig. 11-41 Problema 28.
No instante err.!que 0 deslocamento de uJ!l objeto de ?,OO kg em
d = (2,00 m)) + (4,00 m)j - 3,00 m)k, sua velocidade e v = -(6,OQ mls)i + (3,90 mls)] + (1,00 m/s)ket;.leestasujeito a uma forca F = (6,00 N)i - (8,00 N)j + (4,00 N)k. Encontre (a) a aceleracao do objeto, (b) 0 momento angular do objeto em
tome da origem, (c) 0 torque em torno da origem que atua sobre 0
objeto e (d) 0 angulo entre a velocidade do objeto e a forca que atua
sobre ele.
··29
Se~ao 11-7 Momento Angular
relacao II origem
No instante da Fig. 11-39, uma partfcula P de 2,0 kg possui urn
vetor posicao
de modulo 3,0 m e angulo 81 =_45° e velocidade
de modulo 4,0 mls e angulo 82 = 30°. A forca F, de modulo 2,0 N
e angulo 83 = 30°, atua sobre P. Todos os tres vetores estao no plano xy. Em tomo da origem, quais sac (a) 0 modulo e (b) 0 sentido
do momento angular de P e (c) 0 modulo e (d) 0 sentido do torque
que atua sobre P?
·24
r
v
e
Se~ao 11-8 Segunda Lei de Newton
J
na Forma Angular
Uma partfcula sofre a acao de do is torques em tornoda origem:
modulo de 2,0 N . me esta dirigido no sentido positi vo do
eixo x, e
possui modulo de 4,0 N . m e esta dirigido no sentido
negatiyo do eixo y. Em notacao de vetor unitario, encontre d eJdt,
onde
e 0 momento angular da partfcula em tomo da origem.
·30
i; possui
7-;
e
~-'----x
Fig. 11-39 Problema 24.
·25 No instante da Fig.11-40, duas partfculas se movem em urn plano xy. A partfcula PI possui massa 6,5 kg e velocidade VI = 2,2 mls e
esta a uma distancia z, = 1,5 mdo ponto O. A parncula Apossui massa 3,1 kg e velocidade V2 = 3,6 mls e esta a uma distancia ~ = 2,8 m do
ponto O. Quais sac (a) 0 m6dulo e (b) 0 sentido do momenta angular
resultante das duas partfculas em tome do ponto O?
·31 Uma parncula de 3,0 kg com velocidade ii (5,0 m/s)i - (6,0 rnIs)J
esta em x = 3,0 m, y = 8,0 m. Ela e puxada por uma forca de 7,0 N
no senti do negativo de x. Em tome da origem, quais sac (a) 0 momento angular da particula, (b) 0 torque que atua sobre a partfcula e
(c) a taxa na qual 0 momenta angular esta variando?
·32 Uma partfcula se move em urn plano xy, em tomo da origem no
sentido horatio, conforme visto do lado positivo do eixo z. Em notayao de vetor unitario, qual 0 torque que atua sobre a particula se 0
m6dulo do seu momenta angular em tomo da origem e (a) 4,0 kg'
m2/s, (b) 4,Ot2 kg' m2/s, (c) 4,0.Jt kg-mvs e (d) 4,0/t2 kg· m2/s?
r
A
A
No instante t, = 4,Ot2i - (2,Ot + 6,Ot2)j fomece a posicao de
uma partfcula de 3,0 kg em relacao a origem de urn sistema de coordenadas xy (r esta em metros e tern segundos). (a) Encontre uma
expressao para 0 torque que atua sobre a partfcula em relacao 11 origem. (b) 0 modulo do momento angular da partfcula em relacao
origem esta aumentando, diminuindo ou permanece inalterado?
·33
a
O·----d2-----'~
P2
Fig. 11-40 Problema 25.
Se~ao 11-10 0 Momento Angular de um Corpo Rigido Girando
em Torno de um Eixo Fixo
Urn disco de lixar, com momento
esta conectado a uma broca eletrica
de m6dulo 16 N . m em torno do eixo
aplicado pol' 33 ms em tomo desse
momento angular e (b) da velocidade
-34
Urn objeto de 2,0 kg que se comporta como uma partfcula se move
em urn plano com componentes de velocidade v, = 30 mls e Vy =
60 mls quando ele passa atraves do ponto com coordenadas (x, y)
de (3,0, -4,0) m. Neste instante, em notacao de vetor unitario, qual
eo seu momenta angular em relacao (a) origem e (b) ao ponto
(-2,0, -2,0) m?
·26
a
de inercia 1,2 X 10-3 kg· m2,
cujo motor fornece urn torque
central do disco. Com 0 torque
eixo, qual e 0 m6dulo (a) do
angular do disco?
·350 momento angular de urn volante com momento de inercia de
Em urn certo instante, a forca F = 4, OJ Aatua sobre urn objeto de
0,25 kg que possui vetor posicao
= (2,Oi - 2, Ok) m e vetor velocidade
= (-5,Oi + 5,Ok) mls. Em tomo da origem e em notacso de vetor unitario, quais sac (a) 0 momenta angular do objeto e (b) 0 torque que atua sobre ele?
0,140kg . m+em tomo do seu eixo central diminui de 3,00 para 0,800
kg . m2/s em 1,50 s. (a) Qual e 0 modulo do torque medic que atua
sobre 0 volante ern tomo do seu eixo central durante esse periodo?
(b) Supondo uma aceleracao angular con stante, de que angulo 0
volante gira? (c) Qual 0 trabalho realizado sobre 0 volante? (d) Qual
e a potencia media do volante?
··28 Na Fig. 11-41, uma bola de 0,400 kg e lancada diretamente para
cima com uma velocidade inicial de 40,0 mls. Qual e 0 seu momento angular em tomo de P, horizontalmente
a 2,00 m do ponto de
lancamento, quando a bola esta (a) na altura maxima e (b) na metade do carninho de volta ao chao? Qual e 0 torque sobre a bola em
·36 A Fig. 11-42 mostra tres discos uniformes em rotacao acoplados
por correias. Uma correia passa em tomo das bordas dos discos A e
C. A outra correia passa em tomo do eixo central do disco A e pel a
borda do disco B. As correias se movern suavemente sem deslizar
nas bordas e no eixo central. 0 disco A tern raio R; seu eixo central
_
·27
v
A
r
Rolamento,
tern raio 0,5000R; 0 disco B tern raio 0,2500R; 0 disco C tern raio
2,000R. Os discos Bee tern a mesma densidade (massa por unidade de volume) e mesma espessura, Qual
a razao entre 0 modulo
90 momenta angular do disco Ceo do disco B?
e
Torque e Momento
325
Angular
Se~ao 11-11 Conservacao do Momento Angular
°40 0 rotor de urn motor eletrico possui momenta
de inercia 1m =
2,0 X 10-3 kg . m? em tomo do seu eixo central. 0 motor
usado
para mudar a orientacao da sonda espacial no qual ele esta montado. 0 eixo do motor esta montado ao longo do eixo central da sonda; a sonda possui momenta de inercia Ip = 12 kg . rn? em tome
desse eixo. Calcu1e 0 mimero de revolucoes do rotor necessarias para
girar a sanda de 30° em tome do seu eixo central.
e
Urn homem esta em pe sabre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de 1,2 rev/s; seus braces estao abertos e ele segura urn tijolo em cada mao. 0 momenta de inercia do
sistema composto por homem, tijolos e plataforma ern tome do eixo
vertical central da plataforma
6,0 kg· rn-. Se ao mover os tijolos 0
homem reduz 0 momento de inercia do sistema para 2,0 kg . m2,
quais sac (a) a velocidade angular resultante da plataforma e (b) a
razao entre a nova energia cinetica do sistema e a energia cinetica
original? (c) Que fonte fomece a energia adicional?
°41
Fig. 11-42 Problema 36.
e
Na Fig. 11-43, tres partfculas de massa m = 23 g sao presas a
tres hastes de eomprimento d = 12 em e mass a desprezfvel. 0 conjunto gira em tomo do ponto 0 com velocidade angular to = 0,85
rad/s. Em tomo do ponto 0, quais sao (a) 0 momento de inercia do
conjunto, (b) a m6dulo do momenta angular da partfcula do meio e
(c) 0 modulo do momento angular do conjunto?
°37
Dois discos esgo montados (como urn carrossel) em rolamentos de baixo atrito sobre a mesmo eixo e podem ser aproximados de
modo a serem acoplados e girarem como uma unidade. 0 primeiro
disco, com momenta de inercia 3,30 kg . m2 em tome do seu eixo
central,
pas to para girar no sentido anti-horario a 450 rev/min. 0
segundo disco, com momento de inercia 6,60 kg . m2 em tome do
seu eixo central,
tarnbem posto em rotacao anti-horaria a 900 rev/
min. Eles sac entao acoplados. (a) Qual a velocidade angular dos discos apos 0 acoplamento? Se, em vez disso, 0 segundo disco posto
para girar a 900 rev/min no sentido horario, quais sao (b) suas velocidades angulares e (c) seus sentidos de rotacao apos 0 acoplamento?
°42
e
e
o yo.
e
Fig. 11-43 Problema 37.
oo:a A Fig.
11-44 fomece a torque 'T que
almente estacionario que pode girar em
urn carrossel. Qual e a momenta angular
de rotacao nos tempos (a) t = 7,0 s e (b)
atua sabre urn disco inicitomo do seu centro como
do disco em tomo do eixo
t = 20 s?
",(N' m)
04'3 Uma roda esta girando livremente com uma veJocidade angular
de 800 rev/min sobre uma haste cujo momenta de inercia
desprezivel. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com 0 dobro
do momenta de inercia da prirneira, e repentinamente
acoplada a
mesma haste. (a) Qual a velocidade angular da combinacao resultante da haste e das duas rodas? (b) Que fracao da energia cinetica
rotacional original
perdida?
e
e
e
4BmOOEffimE
°44 Uma barata primeiro encontra-se
no centro de urn disco circular
que gira livremente como urn carrossel sem torques extemos. A
barata entao carninha em direcao
borda do disco, a uma distancia
radial R. A Fig. 11-46 fomece a veJocidade angular w do sistema
barata-disco durante a caminhada. Quando a barata encontra-se na
borda do disco de raio R, qual a razao entre 0 momento de mercia
do inseto e 0 momento de inercia do disco, ambos calculados em
tome do eixo de rotacao?
a
e
6,5
Fig. 11-44 Problema 38.
6,0
A Fig. 11-45 mostra uma estrutura rigida composta de urn aro
de raio R e massa meum quadrado feito de quatro barras finas, cada
uma de comprimento R e massa m. A estrutura rigida gira com uma
velocidade constante em tomo de urn eixo vertical, com perfodo de
rotacao de 2,5 s. Supondo R = 0,50 m e m = 2,0 kg, calcu1e (a) a
momenta de inercia da estrutura em tomo do eixo de rotacao e (b)
seu momento angular em tomo desse eixo.
0°39
tEiXO
~ 5,5f--+-t---l'
•••••
]. 5,0
<3
4,5O'---'-~'---'----''---'R
Distancia
radial
Fig. 11-46 Problema 44.
de rotacao
e
·45 Uma pista
montada sobre uma grande roda que pode girar livremente com atrito desprezivel em torno de urn eixo vertical (Fig.
1l-47). Urn trenzinho de brinquedo de massa m colocado sobre a
pista e, com 0 sistema inicialmente
em repouso, a alimentacao eletrica
do trenzinho
Jigada. 0 trenzinho
adquire uma velocidade de 0,15 mI
Fig. 11-47 Problema 45.
e
T
R
...L
e
Fig. 11-45 Problema
39.
326
Capitulo Onze
em relacao a pista. Qual e a velocidade angular da roda se sua massa
for 1,lm e seu ra.io for 0,43 m? (Trate a roda como um aro e despreze as massas dos ra.ios e do cubo da roda.)
°46 0 momento de inercia de uma estrela colapsando em rotacao ca.i
a
do seu valor inicial. Qual e a razao entre a nova energia cinetica
rotacional e a energia cinetica rotacional inicial?
t
°47 Na Fig. 11-48, duas patinadoras,
cada uma com massa de 50 kg,
se aproximam uma da outra ao longo de trajetorias paralelas separadas por 3,0 m. Elas tern velocidades opostas de 1,4 m/s cada. Uma
das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezfvel segurando-a em uma extrernidade e a outra se agarra
outra extrernidade quando a primeira passa por ela. As patinadoras entao passam
a girar em tome do centro da baliza. Suponha que 0 atrito entre as
patinadoras e 0 gelo e desprezfvel. Quais sao (a) 0 ra.io do circulo,
(b) a velocidade angular das patinadoras e (c) a energia cinetica do
sistema das duas patinadoras? Em seguida, as patinadoras se puxam
ao Ion go da baliza ate que elas ficam separadas por 1,0 m. Quais
sac entao (d) a velocidade angular delas e (e) a energia cinetica do
sistema? (f) Qual a origem do aumento da energia cinetica?
0°51 Uma haste uniforme fina de comprimento
0,50 m e massa 4,0
kg pode girar em urn plano horizontal em tomo de urn eixo vertical
passando pelo seu centro. A baste encontra-se em repouso quando
uma bala de 3,0 g deslocando-se no plano de rotacao
disparada
contra urna das suas extrernidades. Conforme vista de cima, a trajetoria da bala faz urn angulo 8 = 600 com a haste (Fig. 11-50). Se a
bala se aloja na haste e a velocidade angular da haste e igual a 10
rad/s imediatamente apos a colisao, qual
a velocidade da bala
imediatamente antes do impacto?
e
e
Eixo
a
Fig. 11-50 Problema 5l.
Uma barata de massa m encontra-se sabre a borda de urn disco
uniforme de massa 4,00m que pode girar livremente em tomo do
seu centro como um carrossel. Inicialmente a barata e a disco giram
juntos com uma velocidade angular de 0,260 radls. A barata entao
carninha ate metade da distancia ao centro do disco. (a) Qual entao a velocidade angular do sistema barata-disco? (b) Qual e a razao KIKo entre a nova energia cinetica do sistema e a sua energia
cinetica inicial? (c) 0 que responsavel pela variacao na energia
cinetica?
0°52
e
e
Fig. 11-48 Problema 47.
Uma barata de massa 0,17 kg corre no sentido anti-horatio em
torno da borda de urn disco circular de raio 15 cm e momenta de
inercia 5,0 X 10-3 kg . m-, montado sobre urn eixo vertical com atrito
desprezfvel. A velocidade da barata (em relacao ao chao) e 2,0 m/s
e 0 disco gira no sentido horario com velocidade angular Wo = 2,8
rad/s. A barata encontra uma rnigalha de pao sobre a borda e, obviamente, para. (a) Qual e a velocidade angular do disco depois que a
barata para? A energia mecanica e conservada quando ela para?
°48
°49 Urn disco de vinil horizontal de massa 0, I0 kg e raio 0,10 m gira
livremente em torno de urn eixo vertical que passa pelo seu centro
com uma velocidade angular de 4,7 rad/s. 0 momenta de inercia do
disco em torno do seu eixo de rotacao e igual a 5,0 X 10-4 kg . m'.
Urn pedaco de massa de vidraceiro iimida de massa 0,020 kg cai verticalmente e se gruda na borda do disco. Qual e a velocidade angular do disco imediatamente apos a )assa se grudar nele?
A Fig. 11-49 e urna vista de cima de uma barra uniforme de comprirnento 0,600 m e massa M girando borizontalmente
a 80,0 radls
no sentido anti-horario em torno de urn eixo que passa pelo seu centro. Uma particula de massa MI3,00, viajando horizontalmente a uma
velocidade de 40,0 mls atinge a barra e se gruda nela. A trajetoria
de partfcula e perpendicular a barra no instante da colisao, a uma
distancia d do centro da barra. (a) Para que valor de d a barra e a
partfcula ficam estacionarias apes a colisao? (b) Em que sentido a
barra e a partfcula giram se d for maior que esse valor?
0°50
I
I
I
tvPanfcuJa
Eixo de rotacao "-
•
I
r-
d
Fig. 11-49 Problema SO.
1
e
0°53 A Fig. 11-51
uma vista de cima de uma barra fina uniforme
de comprimento 0,800 m e massa M girando horizontalmente
com
velocidade angular 20,0 radls em torno de urn eixo que passa pelo
seu centro. Uma particula de massa M13,00 inicialmente presa a uma
das extrernidades
ejetada da barra e viaja ao longo de uma trajetoria perpendicular a barra no instante da ejecao. Se a velocidade da
partfcula vp 6,00 mls maior que a velocidade da extrernidade da
barra imediatamente apos a ejecao, qual e 0 valor de vp?
e
e
,t
Eixo?eJ
rotacao
Fig. 11-51 Problema 53.
0°54 Uma plataforma horizontal na forma de urn disco circular gira
sem atrito em tome de urn eixo vertical que passa pelo centro do
disco. A plataforma possui massa de 150 kg, urn raio de 2,0 meum
momento de inercia de 300 kg . m2 em torno do eixo de rotacao.
Uma estudante de 60 kg carninha lentamente da borda da plataforma em direcao ao seu centro. Se a velocidade angular do sistema e
igual a 1,5 radls quando 0 estudante parte da borda, qual a ve1ocidade angular quando ela estiver a 0,50 m do centro?
e
0°55 Urn disco uniforme de massa 10m e raio 3,Or pode girar livremente como urn carrossel em torno do seu cent.ro fixo. Urn disco
uniforme menor de massa m e raio r, encontra-se em cima do disco
ma.ior, concentrico com ele. Inicialmente as dois discos giram juntos com uma velocidade angular de 20 rad/s. Entao urna pequena
perturbacao faz com que 0 disco men or deslize para fora atraves do
disco maior ate que a sua borda atinja a borda do disco maior. Em
seguida, os dois discos passam novamente a girar juntos (sem haver
ma.is deslizamento). (a) Qual entao a velocidade angular dos discos em tomo do centro do disco ma.ior? (b) Qual a razao KI Ko entre
a nova energia cinetica do sistema dos dois discos e sua energia cinetica inicial?
e
e
Rolamento,
°
00:';6 Na Fig. 11-52, urna bala de 1 g e di parada em urn bloco de 0,50
kg preso a extremidade de uma haste nao-uniforme de 0,60 m e massa
igual a 0,50 kg. 0 sistema bloco-haste-bala entao gira no plano da figura, em tome de urn eixo fixo emA. 0 momenta de inercia apenas da
haste em tomo desse eixo em A igual a 0,060 kg . m2. Trate 0 bloco
como uma particula. (a) Qual entao 0 momento de inercia do sistema bloco-haste-bala em tome do ponto A ? (b) Se a velocidade angular do sistema em tomo de A imediatarnente ap6s 0 impacto e 4,5 rad/s,
quale a velocidade da bala imediatamente antes do impacto?
e
e
A
Haste
B1oco
Torque e Momento
Angular
327
···59 Duas bolas de 2,00 kg estao presas as extremidades
de uma
haste fina de comprimento 50,0 cm e massa desprezfvel. A haste
livre para girar sem atrito em urn plano vertical em tomo de urn eixo
horizontal que passa pelo seu centro. Com a haste inicialmente na
horizontal (Fig. 11-55), urn pedaco de massa de vidraceiro umida
de 50,0 g cai sobre uma das bolas, atingindo-a com uma velocidade
de 3,00 mis e se grudando nela. (a) Qual e a velocidade angular do
sistema imediatamente ap6s a coliMassa de
sao com a massa de vidraceiro? (b)
vidraceiro
Qual e a razao entre a energia cineEixo de
tica do sistema apos a colisao e a
rotacao ~
energia cinetica do pedaco de mas~
sa de vidraceiro imediatamente antes? (c) De que angulo 0 sistema ira
girar antes de parar rnomentaneaFig. 11-55 Problema 59.
mente?
e
Q
g
.
···60 Na Fig. 11-56, urn pequeno bloco de 50 g desliza para baixo
em uma superffcie curva sem atrito a partir de uma altura h = 20
em e entao se gruda em uma barra uniforrne de massa igual a 100 g
e comprimento de 40 ern. A barra gira de urn angulo
em tome do
ponto 0 antes de parar momentaneamente.
Encontre e.
e
Bala
Fig. 11-52 Problema 56.
o
A baste uniforme (de comprimento 0,60 m e massa 1,0 kg) na
Fig. 11-53 gira no plano da figura em tome de urn eixo que pass a
por urna de suas extremidades, com urn momento de inercia de 0,12
kg . m2. Quando a haste passa por sua posicao mais baixa, ela colide
com urn pedaco de massa de vidraceiro de 0,20 kg que fica grudada
na sua extremidade. Se a velocidade angular da haste imediatamente
antes da colisao igual a 2,4 rad/s, qual a velocidade angular do sistema haste-rnassa de vidraceiro imediatarnente apes a colisao?
0057
e
e
Eixo de rotacao
Fig. 11-56 Problema 60.
Haste
Se~ao 11-12 Precessao de um Giroscopio
Urn piao gira a 30 rev/s em tome de urn eixo que faz urn angulo
de 30° com a vertical. A massa do piao e igual a 0,50 kg, seu momento de inercia em tome do seu eixo central vale 5,0 X 10-4 kg·
m2 e seu centro de massa esta a 4,0 em do ponto de pivo. Se a rota~ao e horaria quando vista de cima, quais sac (a) a taxa de precessac e (b) 0 sentido da precessao tambem quando visto de cima?
··61
Fig. 11-53 Problema 57.
00058 Na Fig. 11-54, uma crianca de 30 kg esta em pe sobre a borda
de urn carrossel estacionario de massa igual a 100 kg e raio igual a
2,0 m. 0 momento de inercia do carrossel em tome do seu eixo de
rotacao
igual a 150 kg . m2. A crianca entao agarra uma bola de
massa 1,0 kg lancada por urn colega. Imediatamente antes de a bola
ser agarrada, ela tern velocidade
de modulo 12 m/s, formando urn
angulo </> = 37° com a linha tangente it borda do carrossel, como
mostrado. Qual e a velocidade angular do carrossel imediatamente
apes a crianca agarrar a bola?
.
e
v
•
/A........
Crianca
I
I
I
I
I
:
, r-1
I
Fig. 11-54 Problema 58.
Urn certo giroscopio consiste em urn disco uniforme com 50 cm
de raio montado no centro de urn eixo com 11 em de comprimento
e massa desprezfvel. 0 eixo esta na posicao horizontal apoiado em
uma das extremidades. Se 0 disco esta girando em tome do eixo a
1000 rev/nun, qual a taxa de precessao?
0·62
e
Problemas Adicionais
Uma partfcula de 2,50 kg movendo-se horizontalmente sobre urn
piso com velocidade ( - 3,00 mls)j sofre uma colisao cornpletamente inelastica com uma partfcula de 4,00 kg que esta se rqovendo horizontalmente sobre 0 piso com velocidade (4,50 mls )i. A colisao
ocorre nas coordenadas xy (-0,500 rn, -0,100 m). Ap6s a colisao
e em notacao de vetor unitario, qual e 0 momenta angular do sistema das duas partfculas juntas em relacao a origem?
63
Umjogador de boliche arremessa uma bola de raio R = 11 cm ao
longo de uma pista. A bola (Fig.
11- 57) desliza sobre a pista com velocidade inicial vCM•O = 8,5 mls e velocidade angular inicial li>o = O. 0 coeficiente de atrito cinetico entre a bola
e a pista e igual a 0,21. A forca de
atrito cinetico j, que atua sobre a
Fig. 11-57 Problema 64.
64
328
Capitulo Onze
bola causa sobre ela uma aceleracao linear enquanto produz urn
torque que causa uma aceleracao angular na bola. Quando a velocidade vCM tiver diminuido 0 suficiente e a velocidade angular w tiver
aumentado 0 suficiente, a bola para de deslizar e passa entao a rolar
suavemente. (a) Quanto vale entao VCM em termos de w? Durante 0
deslizamento, quais sao (b) a aceleracao linear e (c) a aceleracao
angular da bola? (d) Quanto tempo a bola desliza? (e) Que distancia
a bola desliza? (f) Qual e a velocidade linear da bola quando 0 rolamento suave se inicia?
65 Urn bloco uniforme de granito na forma de urn livro possui dimens6es das faces de 20 em e 15 cm e espe sura de 1,2 cm. A densidade (massa por unidade de volume) do granito e 2,64 g/cm'. 0
bloco gira em tomo de urn eixo perpendicular as suas faces localizado a meia distancia entre 0 seu centro e urn dos seus cantos. Seu
momento angular em tomo deste eixo e igual a 0,104 kg· mvs. Qual
e sua energia cinetica de rotacao ern tomo deste eixo?
66 A Fig. 11-58 mostra uma vista de cima de urn disco que po de girar
em tomo do seu centro como um carrossel. Seu raio extemo Rz e
igual a 0,800 m, seu raio interno R, e igual a R/2,00, sua massa M
vale 8,00 kg e a massa da cruz em seu centro e desprezfvel. Inicialmente 0 disco gira com velocidade angular de 8,00 rad/s com urn
gato de massa m = M14,00 sobre sua borda extema, a uma distancia
radial R2• De quanto 0 gato aumentara a energia cinetica do sistema
gate-disco se ele se arras tar ate a borda intema, com raio R,?
70 Uma esferaocaderaio
0,15 m, commomento de inercia Z = 0,040
kg . m- em tomo de uma linha que passa pelo seu centro de massa,
rola sem deslizar subindo uma superficie inclinada de 30° em rela<;:aoa horizontal. Em uma certa posicao inicial, a energia cinetica
total da esfera e igual a 20 1. (a) Quanto desta energia cinetica inicial e rotacional? (b) Qual e a velocidade do centro de massa da
esfera na posicao inicial? Ap6s a esfera ter se deslocado 1,0 m ao
Longo da superficie inclinada a partir de sua posicao inicial, quais
sao (c) sua energia cinetica total e (d) a velocidade do seu centro de
massa?
de 2,0 kg possui vetor posicao
origem. Sua velocidade e
ep segundos. Em torno da
origem, quais sao (a) a momenta angular L da partfcula e (b) 0 torque
T- atuante sobre a particula,
ambos em notacao de vetor unitario e
para t > O? Em tomo do ponto ( - 2,0 m, - 3,0 m) quais sao (c) L e
(d) T- para t > O?
71
r
No tempo t = 0, um~a particula
= (4,0 m)i - (2,0 m)j fm relacao
dada par 11 = (-6,0 rnls)i para t ~
°a
72 Uma bola s6lida uniforme rola suavemente
ao longo de urn piso
e entao corneca a subir uma rampa inclinada de 15°. Ela para momentaneamente ap6s ter rolado 1,50 m ao longo da rampa. Qual era
sua velocidade inicial?
73 Uma roda gira no sentido horario em torno do seu eixo central
com urn momento angular de 600 kg . m2/s. Em t = 0, urn torque de
m6dulo 50 N . m e aplicado
roda para inverter sua rotacao. Em
que tempo t sua velocidade angular e nula?
a
74 Urn tuba de paredes finas rola ao longo do piso. Qual e a razao
entre sua energia cinetica translacional
e sua energia cinetica
rotacional em tomo do eixo central paraleloao seu comprimento?
75 Um carro de brinquedo de 3,0 kg se desloca ao longo de um eixo
x com uma velocidade dada por Ii = -2,Ot3i m/s, c.9m t em segundos. Para t > 0, quais sao (a) a momento angular L do carro e (b)
a torque T- sobre 0 carro, ambos calculados em torno da origem?
Quais sa2 (c) L e (d) i em torn a do ponto (2,0 m, 5,0 m, O)? Quais
sao (e) L e (f) T- em torno do ponto (2,0 m, -5,0 m, O)?
Fig. 77-58 Problema 66.
As rodas A e B na Fig. 11-60 sao conectadas par uma correia que
nao desliza. 0 raio de B 3,00 vezes 0 raio de A. Qual seria a razao
entre as momentos de inercia [AlIo se as duas rodas possuissem (a) a
mesmo momenta angular em torno dos seus eixos centrais e (b) a
mesma energia cinetica de rotacao?
76
Duas partfculas, cad a uma com massa 2,90 X 10-4 kg e velocidade 5,46 mfs, se deslocam em sentidos opostos ao longo de linhas paralelas separadas por 4,20 cm. (a) Qual
0 m6dulo L do
momento angular do sistema das duas partfculas em tomo do ponto medic entre as duas linhas? (b) 0 valor de L se altera se 0 ponto
em tomo do qual ele e calculado nao estiver a meia distancia entre
as linhas? Se 0 sentido de deslocamentopara
uma das partfculas
for invertido, qual sera (c) a resposta da parte (a) e (d) a resposta
da parte (b)?
67
e
68 Uma pequena esfe~a s6lida com raio 0,25 cm e massa 0,56 g rola
sem deslizar no interior de urn grande hemisferio fixo com raio 15
ern e urn eixo de simetria vertical. A esfera parte do repouso do topo
do hernisferio. (a) Qual e sua energia cinetica no fundo do hemisferio? (b) Que fracao de sua energia cinetica no fundo e associada
rotacao em tome de urn eixo que passa pelo seu centro de massa?
(c) Qual e 0 m6dulo da forca normal que a esfera exerce sobre 0
hemisferio quando ela alcanca a fundo?
a
69 Uma partfcula
de rnassa M =
0,25 kg e salta de urn ponto que esta
a uma altura h = 1,80 m acima do
chao e a uma distancia s = 0,45 m
de urn ponto de observacao 0, como
mostrado na Fig. 11-59. Qual e 0
m6dulo do momento angular da
partfcula em relacao a 0 quando a
particula tiver cafdo metade da distancia ao chao?
o
$-1
M
h
e
Fig. 77-60 Problema 76.
U ma garota de massa M esta em pe sobre a borda de urn carrossel
sem atrito de raio R e momento de mercia [ que nao esta se movendo. Ela joga uma pedra de massa m horizontalmente
em uma dire<;ao tangente a borda externa do carrosseL A velocidade da pedra
em relacao ao chao e v. Depois disso, quais sao (a) a velocidade
angular do carrossel e (b) a velocidade linear da garota?
77
78 Uma partfcula de 4,0 kg se move em um plano xy. No instapte
em que ~a posicao e a velocidade da particula sao
(2,0 m)i +
(4,0 m)j me Ii = -4,Oj m/s.aforca sobre a particula e F = -3,OiN.
Neste instante, determine (a) 0 momento angular da partfcula em tomo
da origem, (b) a momento angular da partfcula em tomo do ponto x '=
0, y = 4,0 m, (c) 0 torque que atua sobre a partfcula em tomo da origem
e (d) a torque que atua sabre a partfcula em tomo do ponto x
0, y =
4,Om.
r~
=
Fig. 77-59 Problema 69.
Rolamento, Torque e Momenta Angular
79 Em urn certo instapte, uma particula de 0,80 kg esta localizada
na
po i~ao
= (2,0 m)i + (3,0 m)j. Omomento linear da partfcula esta
ootido no plano xy e possui m6dulo 2,4 kg . mfs e uma direcao de
115° medida no sentido anti-horatio a partir do sentido positivo do
eixo x. Qual 0 momento angular da partfcula em tome da origem,
em notacao de vetor unitario?
r
e
80 Uma esfera salida de peso 36,0
N sobe rolando urn plano inclina-
do em urn angulo de 30,0°. Na base do plano inclinado 0 centro de
massa da esfera possui uma velocidade translacional de 4,90 mfs.
a) Qual
a energia cinetica da esfera na base do plano? (b) Que
di tancia a esfera sobe ao longo do plano? (c) A resposta de (b) depeode da massa da esfera?
e
Urn corpo de raio R e massa m esta rolando suavemente com velocidade v sobre uma superffcie horizontal. Ele entao sobe uma elevacao rolando ate uma altura maxima h. (a) Se h = 3v2/4g, qual e 0
momenta de mercia do corpo em torno do eixo de rotacao que passa
pelo seu centro de massa? (b) Que corpo poderia ser este?
81
82 Uma roda de raio 0,250 m, que esta se movendo inicialmente
a
-t3,0 mfs, rola ate parar em 225 m. Calcule os modules (a) de sua
aceleracao linear e (b) de sua aceleracao angular. (c) 0 momenta de
inercia da roda em tome do seu eixo central
igual a 0,155 kg . m2.
Calcule 0 modulo do torque em tome do eixo central devido ao atri[0 obre aroda.
e
83 Uma roda uniforme de massa 10,0 kg e raio 0,400 m esta montadarigidarnente
sobre urn eixo que passa atraves de seu centro (Fig.
11-61). 0 raio do eixo e 0,200 me 0 momenta de inercia da comb inacao roda-eixo em tome de seu eixo central 0,600 kg· m2. Aroda
e ta inicialmente em repouso no topo de uma superffcie inclinada
de urn angulo 8 = 30,Qo com a horizontal; 0 eixo repousa sobre a
uperffcie enquanto aroda se estende em uma cava existente na superficie sem toca-la. Uma vez solta, 0 eixo rola para baixo, suavemente
e em deslizamento, ao.longo da superffcie. Quando a cornbinacao
roda-eixo tiver descido 2,00 m na superficie, quais sac (a) sua energia cinetica rotacional e (b) sua energia cinetica translacional?
e
329
86 Urn projetil de massa 0,320 kg e disparado do chao com uma velocidade inicial Vo = 12,6 mfs em um angulo inicial 80 = 30,0° acima de urn eixo x horizontal (0 eixo y e direcionado para cima). (a)
Encontre uma expressao como funcao do tempo para 0 modulo do
momento angular do projetil em tome do ponto de disparo, (b) Encontre a taxa na qual 0 momento angular varia com 0 tempo. (c)
Calcule diretamente 0 m6dulo de X mg e compare 0 resultado com
o resultado do item (b). (d) Por que os resultados de (b) e (c) devem
ser identicos?
r
87 Com 0 eixo e os raios de massas despreziveis
e urn aro fino, uma
certa roda de bicicleta possui urn raio de 0,350 m e pesa 37,0 N; ela
pode girar em tome do seu eixo com atrito desprezivel. Urn homem
segura aroda acima de sua cabeca com 0 eixo vertical enquanto ele
esta sentado sobre uma mesa giratoria que po de girar livremente sem
atrito; aroda gira no sentido horatio, quando vista de cima, com uma
velocidade angular de 57,7 rad/s, e a mesa girat6ria esta inicialmente em repouso. 0 momenta de inercia da roda + homem + mesa girat6ria em tome do eixo de rotacao comum e 2,10 kg· m2. A mao
livre do homem repentinamente para a rotacao da roda (em relacao
mesa giratoria). Determine (a) a velocidade angular resultante e
(b) 0 sentido de rotacao do sistema.
a
Na Fig. 11-63, urn pequeno bloco de 0,50 kg possui uma velocidade horizontal Vo de m6dulo 3,0 mfs quando deixa uma mesa de
altura h = 1,2 m. Responda 0 que se segue em notacao de vetor
unitario para urn sistema de coordenadas no qual a origem esta na
borda da mesa (no ponto 0), 0 sentido de x positivo e horizontal
partindo da mesa e 0 sentido de y positivo e para cima, Quais sac os
momentos angulares do bloco em tomo do ponto A (a) imediatamente
apos 0 bloco deixar a mesa e (b) imediatamente antes de 0 bloco tocar
o piso? Quais sac os torques sobre 0 bloco em tomo do ponto A (c)
imediatamente ap6s 0 bloco deixar a mesa e (d) imediatamente antes de 0 bloco tocar 0 piso?
88
--
h
Fig. 77-63 Problema 88.
Fig. 77-67 Problema 83.
Urn autom6vel possui uma massa total de 1700 kg. Ele acelera a partir do repouso ate 40 kmIh em 10 s. Suponha que cada roda e urn disco
uniforme de 32 kg. Encontre, ao final do intervalo de 10 s, (a) a energia cinetica rotacional de cada roda em tome do seu eixo, (b) a energia
cinetica total de cada roda e (c) a energia cinetica total do automovel.
84
a Fig. 11-62, uma forca horizontal constante Fap de modulo 12
a urn cilindro s6lido uniforme atraves de uma linha de
car enrolada em tome do cilindro. A massa do cilindro e de 10
-g. seu raio e 0,10 m e 0 cilindro rola suavemente sobre uma superfi ie horizontal. (a) Qual e 0 moduF
da aceleracao do centro de mas'pi
- do cilindro? (b) Qual eo modulo
Linha de
aceleracao angular do cilindro
pescar
em tome do centro de mass a? (c)
Em notacao de vetor unitario, qual
e a forca de atrito que atua sobre 0
rilindro?
Fig. 77-62 Problema 85.
&5
_- e aplicada
89 Suponha que 0 ioi6 no Problema
IS, em vez de rolar a partir do
repouso, e lancado de modo que sua velocidade inicial para baixo e
1,3 rn/s. (a) Quanto tempo 0 ioi61eva para atingir a extremidade do
cordao? Quando ele atinge a extremidade do cordao, quais sac suas
(b) energia cinetica total, (c) velocidade linear, (d) energia cinetica
translacional, (e) velocidade angular e (f) energia cinetica rotacional?
90 Uma barra uniforme gira em urn plano horizontal em tomo de urn
eixo vertical que passa par uma de suas extrernidades. A barra tern
6,00 m de comprirnento, pes a 10,0 N e gira a 240 rev/min. Calcule
(a) seu momento de inercia em tome do eixo de rotacao e (b) 0
m6dulo do seu momento angular em tome desse eixo.
91 (a)
No Exemplo 10-7, quando 0 rotorexplodiu,
quanta momento
angular, calculado em tome do eixo de rotacao, foi liberado para a
vizinhanca ? (b) Se supusermos que a maioria das partes do rotor foi
parada dentro de 0,025 sapos a explosao, qual foi 0 m6dulo medic
do torque atuante sobre as partes, calculado em tome do eixo de
rotacao?
92 Se as calotas pol ares de gelo da Terra se fundissem completamente
e as aguas retomassem para os oceanos, estes aumentariam cerca de
330
Capitulo Onze
30 m em profundidade. Que efeito isso teria sobre a rotacao da Terra?
Faca uma estimativa da variacao resultante na duracao de urn dia. (Ha
advertencias de que 0 aquecimento da atmosfera resultante da polui~ao industrial pode causar 0 derretimento das calotas de gelo.)
93 (a)
Use os dados fomecidos nos apendices para calcular 0 modulo total dos momentos angulares de todos os planetas devido as suas
revolucoes em torno do Sol. (b) Que fracao desse total esta associado com 0 planeta Jupiter?
94 Urn aviao de 1200 kg esta voando em uma linha reta a 80 mis, a 1,3
km acima do solo. Qual e 0 modulo do momenta angular do aviao em
relacao a urn ponto no solo diretamente abaixo de sua trajetoria?
9S Em urn playground existe urn carrossel de 1,20 m de raio e 180
kg de massa. Seu raio de giracao (veja Problema 85 do Capitulo 10)
e 91,0 Uma crianca com 44,0 kg de massa corre com uma velocidade de 3,00 mls ao longo de uma trajetoria tangente a borda do
carrossel inicialmente estacionario e entao pula sobre 0 carrossel.
Despreze 0 atrito entre os rolamentos e 0 eixo rnecanico do carrossel.
Calcule (a) 0 momento de inercia do carrossel, (b) 0 modulo do
momenta angular da crianca correndo em relacao ao eixo de rota~ao do carrossel e (c).a velocidade angular do carrossel e da crianca
apos ela ter saltado no carrossel.
em.
r
A,
'"
'"
_
'"
Dado que =_xi + yj + zk e F
torque T = r X F e dado por
96
T
=
(yFz - zFy)i + (zFx
=
F)
,..
"
+ Fyj + Fzk, mostre que 0
Para uma pessoa de 84 kg que se encontra no equador, qual e 0
modulo do seu momento angular em tomo do centro da Terra devido a rotacao da Terra?
97
ss Mostreque, se reF estao contidos em urn dado plano,
'T- = r X F nao tern componentes nesse plano.
xFz)J + (xFy - yFJk.
torque
Se nos forem fomecidos r, p e <p, podemos calcular 0 momenta
angular de uma partfcula a partir da Eq. 11-19. Algumas vezes, porem, em vez disso nos sao fomecidas as componentes (x, y, z) de r
e (vx, vy' vz) de v. (a) Mostre que as componentes de e ao longo dos
eixos x, y e z sao entao dadas por ( = m(yv, - zv,), f), = m(zvx xv,) e e, = m(xvy - YVx)' (b) Mostre que, se a partfcula se move apenas no plano xy, 0 vetor momenta angular possui apenas uma componente z.
99
100 Uma forca impulsiva F(t) atua por urn curto intervalo de tempo
!J.t sobre urn corpo rfgido que gira com momento de inercia I. Mos-
tre que
f'T dt
=
RFrred t.t
=
J(W! - Wi),
onde 'Te 0 torque devido a forca, Reo brace de alavanca da forca,
F med e 0 valor medic da forca durante 0 tempo que ela atua sobre 0
corpo e co, e WI sao as velocidades angulares do corpo imediatamente antes e imediatamente depois da atuacao da forca. (A quantidade 'T dt = RF mtd!J.t e chamada impulso angular, analoga a
Fmed!J.t, 0 impulso linear.)
I
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