Apostila de Matemática 16 – Polinômios
1.0 Definições
Expressão polinomial ou polinômio – Expressão que obedece a esta forma:
an, an-1, an-2, a2, a1, a0 – Números complexos chamados de coeficientes.
n – Número inteiro positivo ou nulo:
‘n’ não será negativo – ‘x’ não poderá aparecer no denominador.
‘n’ não poderá ser fracionário – ‘x’ não poderá aparecer sob radical.
O maior grau do expoente de ‘x’ é o grau da expressão.
Polinômio completo – Todos os coeficientes são nulos.
Polinômio incompleto – 1 ou mais coeficientes são nulos.
2.0 Função Polinomial
Funções polinomiais -
:
Para todo ‘x’ complexo, é denominada função polinomial de grau ‘n’, em que
‘n’ é um número inteiro positivo ou nulo e an é diferente de zero.
A cada função polinomial associa-se um único polinômio e vice-versa.
Polinômio identicamente nulo (Pin):
Os coeficientes são todos nulos.
Não se define grau para ele.
Se p(x) for zero – ‘x’ é denominado raíz de p(x).
Conjunto de uma solução algébrica – Conjunto solução de todas as raízes da
equação.
Teorema fundamental da Álgebra – Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n
(n 1) possui pelo menos uma raiz complexa (real ou não).
3.0 Operações com Polinômios
3.1 Igualdade de Polinômios
Se 2 polinômios são iguais, então seus valores numéricos são iguais para todo
x C.
A diferença dos polinômios deve ser igual ao Pin.
Polinômios de graus diferentes nunca são iguais.
3.2 Operações Simples com Polinômios
Soma, subtração, multiplicação de polinômios e multiplicação de um número
real por polinômio - Ocorre do jeito normal. Soma-se, subtrai-se ou multiplicamse os valores.
Na soma e subtração de polinômios de graus diferentes, conserva-se o maior
grau.
Numa multiplicação de graus – Grau (P.Q) = Grau (P) + Grau (Q).
3.3 Divisão de Polinômios
Dividir 2 polinômios significa encontrar mais 2 polinômios que satisfaçam as
condições:
p(x) = h(x)q(x) + r(x)
O grau de r(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de h(x), ou
r(x) = 0.
p(x) – Dividendo.
h(x0 – Divisor.
q(x) – Quociente.
r(x) – Resto.
p(x) h(x)
r(x) q(x)
3.3.1 Método das Chaves
Processo:
Divide-se o termo de maior grau de p(x) pelo de maior grau de h(x) –
Obtêm-se assim o primeiro termo do quociente q(x).
Multiplica-se o quociente obtido, por h(x) – O resultado é colocado com
o sinal trocado, sob os termos semelhantes de p(x).
Somam-se os termos semelhantes, e os termos de p(x) que não têm
semelhantes devem ser copiados – Obtêm-se um resto parcial.
Repetem-se os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o
grau de r(x) se torne menor que grau de h(x).
Exemplo:
3.3.1 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Obtêm-se a divisão de polinômios do tipo ‘x – a’ de uma maneira mais simples e
rápida.
O quociente q(x) será um polinômio de grau nx – 1.
Termo Constante do
divisor, com sinal trocado
Coeficientes de ‘x’ do
dividendo p(x)
Coeficientes do quociente
q(x)
Termo constante do
dividendo p(x)
Resto
Processo:
Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo.
Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o
próximo termo do dividendo.
Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto.
Exemplo:
Divisão de p(x) = 2x³ – 3x² – 3x + 2 por h(x) = x + 1:
-1
2
-3
-3
2
1 – Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo.
-1
2
2
-3
-3
2
2 – Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o próximo
termo do dividendo.
-1 . 2 = -2
-2 + (-3) = -5
-1
2
2
-3
-5
-3
2
3 – Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto.
-1 . (-5) = 5
5 + (-3) = 2
-1 . 2 = -2
-2 + (-2) = 0
-1
2
2
-3
-5
-3
2
2
0
Conclui-se que:
q(x) = 2x² - 5x +2
e
r(x) = 0
p(x) = h(x)q(x) + r(x)
2x³ – 3x² – 3x + 2 = (x + 1)(2x² - 5x + 2)
3.3.2 Teorema de D’Alembert
O resto da divisão de um polinômio p(x) por x – a é p(a).
r = p(a)
3.3.3 Teorema do Fator
Se ‘c’ é uma raíz do polinômio p(x):
x – c é um fator de p(x).
p(c) é zero.
Pode-se dizer que p(x) é divisível por (x – a) e (x – b), com a ≠ B, se p(x) for
divisível por (x – a)(x – b).
4.0 Decomposição em Fatores de Primeiro Grau
Usando o teorema fundamental da Álgebra, pode-se provar que todo polinômio
p(x) pode ser decomposto num produto de ‘n’ fatores de 1ª grau.
Toda equação polinomial de grau ‘n’ tem exatamente ‘n’ raízes complexas.
x1, x2, x3 e xn são as raízes do polinômio.
Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução.
Conhecendo uma raíz do polinômio, pode-se baixar o grau deste.
Se conhecermos 1 raíz do polinômio de terceiro grau, podem-se conhecer as
outras 2 raízes, baixando o polinômio para segundo grau e aplicando o Teorema
de Báskara.
O polinômio terá como uma das raízes ‘1’ se a soma dos coeficientes for zero.
4.1 Multiplicidade da Raíz
Toda equação de grau ‘n’ pode ter no máximo ‘n’ raízes distintas.
Pode existir ‘n’ raízes iguais – O número de vezes que uma mesma raíz aparece
indica a multiplicidade da raíz.
4.2 Raízes Complexas Não Reais
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes o número
complexo ‘a + bi’, com b ≠ 0, então o complexo conjugado ‘a – bi’ também é
raíz da equação.
5.0 Relações de Girard
5.1 Equação de Segundo Grau
Considere a equação:
ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2), a ≠ 0
Desenvolvendo o produto:
ax² + bx + c = a[x² - (x1 – x2)x + x1x2]
Dividindo os termos por ‘a’:
Pela igualdade dos polinômios, tem-se que:
5.2 Equação de Terceiro Grau
Considere a equação:
ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), a ≠ 0
Desenvolvendo o produto:
ax² + bx + c = a[x³ - (x1 + x2 + x3)x² + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3]
Dividindo os termos por ‘a’:
Pela igualdade dos polinômios, tem-se que:
5.3 Equação de Grau n
Considere a equação:
Relações de Girard:
Soma das raízes:
Produto das raízes:
Soma do produto das raízes:
De 2 em 2:
De 3 em 3:
De 4 em 4: