Universidade do Algarve
Campeonato de Matemática SUB14
2006/2007
Problema 2: Sete rectângulos num quadrado
O quadrado ABCD está dividido em 7
A
B
D
C
rectângulos iguais.
O perímetro de cada um dos rectângulos é
32cm.
Qual é a área do quadrado ABCD?
Campeonato de Matemática SUB14 - www.ualg.pt/fct/matematica/5estrelas/sub14
Resolução:
O quadrado ABCD está dividido em sete rectângulos todos iguais. A interpretação da
figura permite-nos dizer que os lados [AD] e [BC] do quadrado ficam divididos em 7
partes iguais, cada uma das quais será o comprimento do lado menor do rectângulo.
Portanto, a primeira conclusão que podemos tirar é que cada um dos rectângulos tem
uma das suas dimensões igual ao lado do quadrado e a outra igual à sétima parte do
lado do quadrado. Sabemos ainda que o perímetro de cada rectângulo é 32 cm.
Precisamos então de encontrar uma forma de relacionar estes dados.
Nas respostas enviadas pelos “atletas” em prova, encontramos essencialmente dois
processos de resolução do problema. Uma das alunas que respondeu correctamente,
a Joana Figueiredo da E.B. 2,3 das Naus, de Lagos, apresentou as duas formas de
resolução mais frequentes: 1) por tentativa e erro e 2) traduzindo o problema para uma
equação.
Usando o processo de tentativa e erro, a Sara Dias, E.S./3 Manuel da Fonseca, de
Santiago do Cacém, explicou o seu raciocínio, dizendo que considerou apenas
números inteiros para as medidas dos lados do rectângulo, tendo em conta que o
perímetro é 32. Como os lados são iguais dois a dois, pensou na metade de 32, isto é,
na soma do comprimento do lado maior e do comprimento do lado menor. Trata-se do
semi-perímetro do rectângulo, que é 16 cm. Assim, foi tentando pares de números cuja
soma fosse igual a 16 e em que um dos números fosse sete vezes o outro. Chegou ao
resultado 2 e 14. A partir daqui, basta concluir que o lado do quadrado mede 14 cm e
o cálculo da área é simples: 14 × 14 = 196 cm2.
A Júlia Kovacs, da E.B. 2,3 de Algoz, também pensou no semi-perímetro e foi
experimentando subtrair números inteiros ao número 16 e verificando se o resultado
seria divisível por 7. Ao fazer 16 − 2 = 14 , percebeu que tinha um múltiplo de 7. Como
2 × 7 = 14 , estavam encontradas as medidas do rectângulo.
Outros alunos, como a Joana Guerreiro e o Bernardo Barroso, da E.B. 2,3 D.
Martim Fernandes, Albufeira, ou o José Quintas, da E.B. 2,3 Dr. Garcia
Domingues, de Silves, começaram por dizer que um dos lados do rectângulo seria x e
o outro seria 7x. Com isto, chegaram a uma equação simples:
7 x + 7 x + x + x = 32 ⇔ 16 x = 32 ⇔ x =
32
⇔ x=2
16
Assim, ficaram a saber a medida do lado menor do rectângulo e, multiplicando esse
valor por 7, acharam a medida do lado do quadrado.
Por último, houve quem resolvesse o problema, introduzindo novos elementos na
figura dada. Foi o caso do João Pedro Calado, da E.B. 2,3 Francisco Cabrita, de
Albufeira, e do Nuno Gabriel, da E.B. 2,3 Dr. António Francisco Colaço, de Castro
Verde.
A ideia é interessante e criativa. Reparemos que os lados [AD] e [BC] do quadrado
ficam divididos em 7 partes pelos segmentos paralelos que correspondem aos lados
maiores dos rectângulos. E se pensarmos em dividir o quadrado em 7 rectângulos
iguais, também na vertical?
Ficam assim representados 49 quadrados pequenos. E sabemos que são quadrados
porque os seus lados são iguais e têm a medida do lado menor de cada um dos
rectângulos.
Depois, considerando que cada um dos rectângulos representados inicialmente tem 32
cm de perímetro, facilmente se percebe que o respectivo perímetro fica dividido em 16
partes iguais, isto é, 16 lados do quadradinho que foi criado. Portanto, o lado do
quadradinho será 32 : 16 = 2 . Cada quadradinho terá 4 cm2 de área. Uma vez que o
quadrado grande é formado por 49 quadradinhos, a sua área é 4 × 49 = 196 cm2.