UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E
DAS MISSÕES CAMPUS DE ERECHIM
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
CURSO DE MATEMÁTICA
ARLETE ROSANA BANACZESKI SCARMIGNANI
A GEOMETRIA PRESENTE NA CONSTRUÇÃO CIVIL
ERECHIM
2010
ARLETE ROSANA BANACZESKI SCARMIGNANI
A GEOMETRIA PRESENTE NA CONSTRUÇÃO CIVIL
Trabalho de Graduação apresentado ao curso de
Licenciatura em Matemática, da Universidade
Regional Integrada do Alto Uruguai e das
Missões (URI) – Campus de Erechim –
Departamento de Ciências Exatas e da Terra.
Orientador: Prof. Silvério Fortunato
ERECHIM
2010
RESUMO
A Geometria está presente em nossa vida em diferentes contextos, seja por suas aplicações ou
pelas formas geométricas, o que permite uma contextualização visualizada de seus conteúdos.
Considerando isto, o tema da pesquisa, a Geometria presente na construção civil, teve como
objetivos relacionar conteúdos que podem ser contextualizados com a construção civil e
identificar os conceitos geométricos que podem ser construídos. O presente trabalho apresenta
a importância de se trabalhar o ensino Geométrico em sala de aula, considerando as vivências
dos alunos, propondo uma aprendizagem com conceitos e significados, que permitam
aproximar os conteúdos teóricos com suas aplicações no cotidiano. A proposta consente ao
aluno construir sua própria aprendizagem, constituindo conceitos estruturados e solidificados.
No desenvolvimento do que foi proposto, será possível relacionar os conteúdos geométricos
presentes na construção civil e apresentar propostas para se construir os seus conceitos. A
planta baixa de uma casa permite explorar o conceito da Geometria básica (ponto, reta,
plano), a Geometria plana e conceitos de medidas. Para os sólidos geométricos, a proposta
apresentada para a construção dos pensamentos geométricos é estabelecer relações com
maquetes de casas (construídas em aula), ou manusear e explorar os materiais usados para
construção predial. Outras propostas de ensino geométricas foram sendo apresentadas durante
o desenvolvimento dos conceitos, para possibilitar diferentes conceitos de aprendizagem.
Palavras-chave: Ensino da Geometria. Contextualizações de conteúdos geométricos. A
Geometria na construção civil. Conceitos geométricos e a construção civil.
LISTA DE ILUSTAÇÕES
Figura 1 ..................................................................................................................................... 16
Figura 2 ..................................................................................................................................... 17
Figura 3 ..................................................................................................................................... 17
Figura 4 ..................................................................................................................................... 18
Figura 5 ..................................................................................................................................... 18
Figura 6 ..................................................................................................................................... 18
Figura 7 ..................................................................................................................................... 18
Figura 8 ..................................................................................................................................... 19
Figura 9 ..................................................................................................................................... 20
Figura 10 ................................................................................................................................... 21
Figura 11 ................................................................................................................................... 21
Figura 12 ................................................................................................................................... 22
Figura 13 ................................................................................................................................... 22
Figura 14 ................................................................................................................................... 23
Figura 15 ................................................................................................................................... 24
Figura 16 ................................................................................................................................... 25
Figura 17 ................................................................................................................................... 26
Figura 18 ................................................................................................................................... 26
Figura 19 ................................................................................................................................... 27
Figura 20 ................................................................................................................................... 27
Figura 21 ................................................................................................................................... 29
Figura 22 ................................................................................................................................... 30
Figura 23 ................................................................................................................................... 36
Figura 24 ................................................................................................................................... 37
Figura 25 ................................................................................................................................... 38
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 5
2 O ENSINO DA GEOMETRIA............................................................................................. 6
3 O ENSINO DA GEOMETRIA CONTEXTUALIZADA ................................................ 11
4 A GEOMETRIA E A CONSTRUÇÃO CIVIL ................................................................ 14
4.1.1 Explorando a geometria plana na planta baixa .......................................................... 15
4.1.2 Ponto, reta e plano ......................................................................................................... 17
4.1.3 Porta e ângulos ............................................................................................................... 19
4.1.4 Circunferência ou círculo? ........................................................................................... 23
4.1.5 Os polígonos da planta baixa ........................................................................................ 24
4.1.6 Um quarto de quatro lados ........................................................................................... 25
4.1.7 A soma dos ângulos internos ........................................................................................ 27
4.1.8 Perímetro e área das figuras geométricas ................................................................... 30
4.1.9 O construtor e a escala .................................................................................................. 31
4.2.1 Área total de um sólido geométrico.............................................................................. 33
4.2.2 Volumes e capacidades .................................................................................................. 34
4.2.3 Quanto pesa 1000l de água? ......................................................................................... 35
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 40
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 42
5
1 INTRODUÇÃO
O ramo da construção civil nos permite conviver com diferentes pessoas e com os
mais variados graus de conhecimentos. Com base no grau de conhecimento sobre os conceitos
geométricos apresentados pelas pessoas, percebem-se as dificuldades de aplicação destes
conceitos no cotidiano. Independente de idade, sexo ou grau de instrução, é possível
visualizar claramente que muitos não conseguem estabelecer relação do que foi ensinado em
sala de aula com suas vivências.
Buscando a construção do conhecimento e o desenvolvimento do ensino da
Geometria contextualizada com o cotidiano, esta pesquisa visa identificar e analisar quais os
possíveis conteúdos geométricos estudados no ensino fundamental que podem ser utilizados
na construção civil. Mais precisamente, os objetivos da pesquisa são: relacionar os conteúdos
geométricos que podem ser contextualizados com a construção civil e identificar os conceitos
geométricos que podem ser construídos trabalhando à Geometria na construção civil.
Com base em autores como Giardinetto, Lorenzatto, Biembengut, entre outros, será
realizada uma análise da situação do ensino da Geometria no ensino fundamental. Além disso,
será analisada a perspectiva desses autores perante as metodologias para o desenvolvimento
do conhecimento em sala de aula, visto que, por mais que estamos inseridos numa sociedade
em que possui inúmeros objetos com formas geométricas e situações envolvendo a
Geometria, o seu ensino encontra-se numa situação de total descaso.
O ensino tradicional de memorização continua presente em sala de aula. Professores
insistem em não dar ênfase aos conteúdos geométricos, muitas vezes, excluindo por completo
da relação de conteúdos propostos para o ano letivo.
À continuação, serão relacionados os conteúdos geométricos programáticos propostos
para o ensino fundamental. Com o propósito de desenvolver o estudo dos conteúdos
geométricos e suas definições, possibilitando as possíveis contextualizações com as situações
presentes no ramo da construção civil.
6
2 O ENSINO DA GEOMETRIA
A preocupação com a educação matemática vem aumentando no decorrer dos anos e
desencadeia uma série de discussões sobre como ensinar os conteúdos de matemática em sala
de aula, já que esta ocupa uma posição de relevante importância na formação do cidadão. Ela
está presente, diariamente, nas atividades cotidianas do homem, seja pelo simples cálculo do
custo de um produto ou nos gráficos expressos nos jornais.
A matemática é exigida, como indicadora de competência, em praticamente todos os
processos seletivos de admissão funcional e está presente na maioria das profissões, sejam
elas graduações como: administração, medicina, engenharia. Ou nas profissões não graduadas
como: costureira, pedreiro, carpinteiro, entre outras.
É por essa relevante importância que a matemática, na educação formal, é ministrada
em todas as séries do ensino fundamental e médio. Pois segundo os Parâmetros Curriculares
Nacionais (1997, p.19):
“(...) a Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida
em que a sociedade utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos
tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. A aprendizagem em
Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; aprender o
significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com
outros objetos e acontecimentos” (PARÂMETROS CURRICULARES
NACIONAIS, 1997, p.19).
Dentre os ramos matemáticos propostos, para serem estudados nas escolas, abre-se
um espaço para o ensino da Geometria. O desenvolvimento dos conceitos geométricos
constitui uma parte importante da matemática, para os PCNs (1997). O pensamento
geométrico permite ao aluno compreender, descrever e representar, de forma organizada, o
mundo que vive. Isto porque estimula a observação e a percepção das mais variadas formas
geométricas dos objetos que o cercam.
Apesar dos documentos oficiais, para o ensino da matemática na educação básica,
ressaltar a importância da Geometria na formação do indivíduo, sabe-se que ainda hoje esta
área tem um tratamento frágil. O ensino sistemático da geometria é ministrado somente a
partir da 5º série do ensino fundamental, que conforme Lorenzatto (1995) é trabalhada uma
7
pequena parte do conteúdo a ser aplicado e retido especificamente na geometria plana,
raramente, abrangendo os conteúdos de geometria espacial.
De acordo com Kaleff (1994), ao longo das últimas décadas, a Geometria no Brasil,
não possui o reconhecimento de suas potencialidades em todos os níveis de ensino e áreas de
aplicação, mesmo considerando apenas a sua vertente Euclidiana. E ainda, muitas escolas
confundem a Geometria com desenho geométrico, chegando a trabalhá-la separadamente da
matemática.
O fracasso escolar e as dificuldades que os alunos enfrentam em sala de aula estão
diretamente relacionados, segundo Giardinetto (1999), com o fato de que o ensino da
Geometria tem sido desenvolvido de forma enfadonha, com ênfase numa memorização
aleatória de resultados conceituais, muitas vezes, apresentados sem lógicas.
Ainda conforme o autor, existem educadores que se preocupam apenas com os
compromissos didáticos, ou seja, seguir todo o programa pedagógico ou realizar todas as
avaliações periodicamente. Pressupõe-se que estes educadores estão preocupados apenas em
transmitir
o
conhecimento
escolar
que
é
trabalhado
com
todo
formalismo,
e
consequentemente, as aplicações práticas são esquecidas ou deixadas de lado. Dificilmente a
rotina dos alunos é tomada como exemplo em sala de aula, fator este que distancia a
matemática ensinada nas escolas da sua aplicação no cotidiano.
Além do mais, há situações em escolas que a Geometria nem sequer é ensinada e o que
chama a atenção são os empecilhos colocados pelos professores para não ensiná-la. Sempre
há uma explicação ou um culpado, que não justifica o descaso pelo ensino da Geometria no
ensino fundamental.
De acordo a Perez (1995), as explicações mais comuns entre os professores que não
ensinam a Geometria são a falta de tempo para cumprir a programação e a falta de conteúdos
geométricos ou metodologias adequadas para ensinar. Perez expõe que alguns professores
seguem o livro didático e este, geralmente, posiciona os conteúdos geométricos nos últimos
capítulos. E há, ainda, professores que dão preferência em ensinar Álgebra ou Aritmética
porque na concepção dos mesmos os alunos vão utilizar mais do que os conteúdos
geométricos.
A realidade do ensino nas escolas torna-se mais agravante quando o professor aprova
seus alunos sem os conhecimentos básicos de Geometria. Também, quando estes alunos
mudam de escola ou de professor, deixando comprometida a construção da aprendizagem. Se
a turma recebe novo professor, com uma metodologia diferente de ensino, é possível que os
8
alunos não consigam acompanhar as explicações em relação aos conteúdos. Neste caso, o
novo professor se vê obrigado a resgatar os conteúdos que ficaram pendentes.
Já quando ocorre à mudança de escola, o aluno, em um novo ambiente, em uma nova
turma e com metodologias diferenciadas, pode encontrar dificuldades prejudicando sua
aprendizagem e a construção do conhecimento.
Diante de uma reflexão sobre a situação em que se encontra o ensino, não só da
geometria, como também da matemática, verifica-se a necessidade de mudanças urgentes e
revolucionárias, indispensáveis para reverter este quadro de descontentamento e quebrar os
paradigmas da sociedade escolar em relação à Matemática como um todo.
Com relação à afirmação acima, a educação propõe que o ensino da Geometria passe
a constituir um processo de interação entre professor e aluno, em que ambos possam
problematizar, refletir e produzir conhecimentos matemáticos.
Cada vez mais, espera-se o desenvolvimento de atividades didáticas envolvendo a
construção e o manuseio de materiais concretos que contribuam de forma eficaz na construção
do conhecimento. Segundo Kaleff (1999) as atividades, quando bem planejadas e executadas,
tornam-se importantes para a construção do conhecimento e para as habilidades de
visualização, desenho e interpretação do pensamento geométrico.
O incentivo mediante um planejamento de aulas que exijam a exploração de materiais
concretos e a contextualização dos conteúdos geométricos são formas de relacionar a
Geometria da sala de aula com a Geometria do cotidiano. Já que em nosso meio estamos
cercados de formas geométricas e situações que exigem conhecimentos geométricos.
Portanto, o propósito de metodologias diferenciadas, inovadoras no âmbito de mudar
a realidade do ensino de Geometria nas salas de aula, independente da formação escolar do
aluno, desperta a ânsia de ampliar nossos conhecimentos, pesquisar e construir meios que nos
permitam unir teoria e prática, fugindo do método tradicional de ensino. Em fim, levar para as
salas de aula o conhecimento geométrico, envolvendo professor e aluno, para que estes
desenvolvam o pensamento crítico, possibilitando a visibilidade da importância da Geometria
no desenvolvimento intelectual de cada um.
9
2.1 PRIMEIROS CONTATOS COM A GEOMETRIA
O processo de aprendizagem da Geometria em sala de aula torna-se mais atrativo
quando os alunos conseguem visualizar ou relacionar com seu cotidiano, explorando o
conhecimento através de objetos já conhecidos por eles. Essa é uma proposta de ensino de
aprendizagem contextualizada e muito aceita na sala de aula. Quanto antes começarmos a
trabalhar a Geometria contextualizada em sala de aula, melhores serão os resultados obtidos
no processo de construção de conhecimento do ensino fundamental.
Trautenmuller (2005) sugere que os primeiros contatos do aluno com a Geometria
sejam ainda nas séries iniciais do ensino fundamental e que o professor utilize materiais
concretos tridimensionais das mais variadas formas, principalmente, objetos presentes na vida
da criança, como: brinquedos, sacolas, e também, os sólidos geométricos para que eles
estabeleçam relações entre a Geometria e o mundo físico que os rodeia.
Após o reconhecimento dos objetos tridimensionais, o professor deve dar sequência
às figuras planas, isto desenvolve a percepção espacial dos alunos. Trautenmuller (2005)
explica que através da exploração do material tridimensional, o aluno começa a identificar as
características de cada objeto, que se incentivado e auxiliado pelo professor inicia a
construção do conhecimento da geometria bidimensional.
Esta metodologia pode facilitar ao professor o ensino da Geometria plana em sala de
aula, pois o aluno identificará que a figura geométrica pode ser o lado de uma caixa, a parede
de um prédio ou a base de um sólido geométrico. Assim, os alunos perceberão que estão
planificando os objetos, ou seja, deixando-os na forma bidimensional.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática (1997, p.82), propõe o incentivo
aos alunos:
10
[...] a identificar posições relativas dos objetos, a reconhecer no seu entorno e nos
objetos que nele se encontram formas distintas, tridimensionais e bidimensionais,
planas e não planas, a fazer construções, modelos ou desenhos do espaço (de
diferentes pontos de vista) e descrevê-los. Um trabalho constante de observação e
construção das formas é que levará o aluno a perceber semelhanças e diferenças
entre elas. Para tanto, diferentes atividades podem ser realizadas: compor e
decompor figuras, perceber a simetria como característica de algumas figuras e não
de outras, etc. Dessa exploração resultará o reconhecimento de figuras
tridimensionais (como cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides,
etc.) e bidimensionais (como quadrados, retângulos, círculos, triângulos,
pentágonos, etc.) e a identificação de suas propriedades (PARÂMETROS
CURRICULARES NACIONAIS, 1997, p.82).
Portanto, de acordo com Trautenmuller (2005), as atividades realizadas que permite
às crianças o desenvolvimento da percepção espacial, deveriam fazer parte do programa de
ensino da Matemática desde as séries inicias, considerando o desenvolvimento total da
mesma, resultando numa Geometria presente na vida escolar do aluno, desde o momento que
ele ingressa na escola, permitindo que as primeiras construções conceituais dos conteúdos
geométricos iniciem antes da 5° série.
O desenvolvimento de tarefas, que estimulam a construção do conhecimento e a
coordenação motora de cada aluno, conduz a um crescimento mental e estrutural. Isto
influencia diretamente no interesse e na motivação do mesmo, durante o ano letivo atual e nos
anos seguintes, não somente pela Geometria, mas por outros ramos da matemática. Portanto
quando se aproxima o conteúdo da sala de aula com o cotidiano, cria-se um vínculo de
significado ao que se está aprendendo.
11
3 O ENSINO DA GEOMETRIA CONTEXTUALIZADA
As primeiras manifestações geométricas, ligadas ao cotidiano, surgiram da
necessidade do homem, ainda na pré-história. As civilizações antigas que povoavam as
margens dos grandes rios, Nilo e Ganges, utilizavam formas geométricas para demarcação e
medição das terras para plantio, possibilitando calcular a área atingida pelas enchentes, o
custo e os impostos relativos à área demarcada, conforme Kallef (1994).
A Geometria é tão importante quanto à matemática como um todo. Se observarmos
ela está presente em todos os momentos do nosso dia a dia, seja nas formas geométricas que
nos cercam ou no espaço que ocupamos. O homem, na construção do seu habitat, deu formas
às coisas, tendo como base a natureza. Construiu e organizou os objetos conforme sua cultura.
Quando a criança nasce, ela passa por um processo de descobrimentos.
Primeiramente, a posição que ocupa no espaço; na sequência a identificação dos objetos que a
cercam e suas formas geométricas. Portanto, ao ingressar na escola, ela já possui um
determinado conhecimento, o qual não pode ser desconsiderado pelo professor:
Os alunos trazem para a escola conhecimentos, idéias e intuições, construídas
através das experiências que vivenciam em seu grupo sociocultural. Eles chegam à
sala de aula com diferenciadas ferramentas básica para, por exemplo, classificar,
ordenar, quantificar e medir. Além disso, aprendem a atuar de acordo com os
recursos, dependências e restrições de seu meio (PCN´s, 1997).
O manuseio de materiais concretos como caixas, latas, maquetes, possibilita ao aluno
uma maior facilidade na construção de seus próprios conceitos, relacionando e identificando
as diferentes formas geométricas. Conforme Grando e Marasini (2008), o aluno vai
estabelecendo significados àquilo que está aprendendo a cada novo conceito construído, o que
determina a evolução da aprendizagem.
Portanto, cabe ao professor:
12
[...] a relação entre aprendizagem e interação social e entre desenvolvimento mental
e aprendizagem, a importância do domínio dos fundamentos da matemática e da
definição dos objetivos para as atividades propostas e a relevância de considerar os
conceitos referentes a um sistema de conhecimento de modo contextualizado
(GRANDO; MARASINI: 2008 p. 21).
Para Lorenzatto (2006), o ensino da Geometria nas escolas e o sucesso do professor e
dos alunos no processo de aprendizagem dependem de muitos fatores ligados à educação,
entre eles, a metodologia de ensino adotada pelo professor, os materiais didáticos utilizados e
como o educador se propõe a construir o conhecimento. Para o autor, o professor deve saber o
conteúdo, conhecer os materiais didáticos disponíveis e suas aplicações e, principalmente,
saber explorá-los dando ênfase ao seu propósito para que os materiais utilizados não se
tornem simples objetos.
No entanto, há professores que não utilizam materiais didáticos porque não sabem
como poderiam explorar em sala de aula. Outros têm medo de que estes recursos possam
gerar situações ou questionamentos, que fogem do planejado, criando dificuldades e
constrangimento. Isto ocorre quando o professor não tem domínio do conteúdo, ou sabe, mas
não confia no seu potencial.
Quando há falta de confiança em si mesmo, utilizar materiais didáticos ou não,
proporcionará resultados parecidos, pois os recursos utilizados não terão seu devido
significado.
Os alunos até poderão manusear os materiais didáticos ou contextualizar os
conteúdos, porém certamente não terão a oportunidade de construir os conceitos e concluir
fórmulas, pois o professor entregará tudo pronto para que possam resolver os exercícios.
Esta triste realidade piora ainda mais, quando o professor acredita que levando alguns
sólidos geométricos ou situações-problemas para a sala de aula e passando os conceitos e
fórmulas prontas no quadro negro, estará construindo o conhecimento.
Na busca da construção do conhecimento geométrico, há inúmeras metodologias
diferenciadas, propostas pelos autores citados, para se ensinar geometria, como: jogos,
resolução de problemas, etnomatemática, modelagem matemática, entre outros. Dentre estes,
a que mais se destaca é a modelagem matemática, como uma alternativa de ensino que busca
relacionar os conhecimentos práticos do cotidiano, com os conhecimentos sistematizados da
sala de aula.
Contudo, a construção da aprendizagem geométrica, com atividades que envolvam a
modelagem matemática, o manuseio de materiais concreto e as contextualizações dos
13
conteúdos, torna-se significativa. Os alunos percebem, através da visualização, as várias
formas que a Geometria assume, tanto nos sólidos geométricos, quanto nas figuras planas, a
organização espacial dos objetos. A maioria destes alunos ingressará nas próximas séries com
um grau de conhecimento mais avançado, relembrando as atividades realizadas em sala de
aula, assim que o novo professor apresentar o conteúdo.
Estas propostas têm como objetivo melhorar o ensino da educação de Geometria em
sala de aula, buscando despertar o interesse do aluno em conhecer, aprender e construir os
conhecimentos geométricos de forma significativa, estimulando o senso crítico e a
curiosidade exploratória dos conteúdos, de forma objetiva em que isto solidifique conceitos
cada vez mais complexos, em que o aluno supere os paradigmas impostos sobre o ensino da
matemática em geral.
Paradigmas estes impostos por uma sociedade estruturada, educacionalmente voltada
à memorização de conteúdos, conceitos e fórmulas, em que professores se preocupam em
vencer os conteúdos propostos para o ano letivo, desenvolvendo suas aulas num método
tradicional de transmissão de conhecimento e decoreba.
14
4 A GEOMETRIA E A CONSTRUÇÃO CIVIL
Quando o homem saiu das cavernas, deixou de ser nômade e passou a construir a sua
moradia, surgiu-se a preocupação com as formas, pois era necessário desenvolver ferramentas
e utensílios que os ajudassem no seu cotidiano. Isto estimulou o homem a observar as formas
que existiam na natureza e a função que elas desempenhavam no seu contexto.
Na reprodução do que se observava, construíram casas, prédios, monumentos,
templos, etc. Com base nestas formas, o homem criou todo o ambiente em que vive, sendo
que para aprimorar as aplicações destas construções, necessitou um desenvolvimento teórico,
no qual envolve a Geometria.
Atualmente, a Geometria é considerada um dos principais conteúdos, com aplicação
matemática, ligada ao ramo da Engenharia Civil, e também, da Arquitetura. São através de
formas e cálculos geométricos, que profissionais ligados a estas áreas, esboçam as plantas das
casas, prédios, ruas, praças.
Ela também se faz presente no dia a dia dos pedreiros e carpinteiros, na construção de
casas. Estes profissionais não utilizam fórmulas para calcular ângulos e nem teoremas, como
Pitágoras, para construir os telhados. Mas traduzem em suas obras, geralmente sem saber, os
conteúdos, que distante dali, são ensinados em sala de aula. Conforme Biembengut (2004), a
geometria contextualizada com o cotidiano, envolvendo a construção civil, pode ser uma
opção a ser trabalhada em sala de aula.
Relacionar, identificar e construir os conceitos geométricos que estão presentes neste
ramo profissional permite aproximar a Geometria teórica da Geometria da aplicação, na qual
o aluno desenvolve pensamentos geométricos manuseando e criando seu material propulsor
de aprendizagem.
4.1 CONCEITOS GEOMÉTRICOS BASICOS PRESENTES NA CONSTRUÇÃO CIVIL
Para uma melhor contextualização e identificação dos conteúdos geométricos, foi
feita uma relação do que envolve a construção de uma casa. Com ela verificou-se que se faz
necessário um capital financeiro, seguido de um terreno, do projeto da casa (planta baixa,
15
planta 3D), das licenças legais, do material (tijolo, areia, ferragem, madeiras), da mão de obra
(engenheiro, pedreiro, carpinteiro, eletricista, encanador), entre outros.
Todos os itens são importantes para a construção de uma obra, no entanto o projeto é
o que mais se destaca, já que é através dele que se pode concretizar a obra dentro dos desejos
de cada um, estimar o custo que será gerado e se este está dentro do orçamento do
proprietário. Também auxilia o engenheiro a calcular a quantidade e o tipo de material a ser
utilizado. Já para os profissionais envolvidos, diretamente na construção da obra, o mesmo
serve como um guia. É através do projeto, que estes profissionais conseguem determinar a
posição que a obra ficará em relação ao terreno, onde ficarão os pilares, as vigas e, até
mesmo, como será o formato do telhado, seguindo sempre os regulamentos legais.
Logo após o levantamento do que se utiliza na construção de uma casa, vem o
segundo passo que é identificação dos conteúdos e em que situações eles podem ser
explorados, envolvendo o contexto da construção civil.
É importante o planejamento das aulas e o conhecimento do material que está sendo
utilizado por parte do professor, pois geralmente quando a aula é contextualizada ao
cotidiano, gera comentários entre os alunos, e ele poderá exemplificar com dados reais ou
sanar dúvidas sobre o conteúdo envolvendo situações variadas.
Na sequência serão apresentadas propostas de como construir conceitos de conteúdos
geométricos do ensino fundamental, utilizando situações, materiais, entre outros, que estão
presentes no dia a dia destes profissionais envolvidos com a construção civil.
4.1.1 Explorando a geometria plana na planta baixa
O desenvolvimento dos conteúdos e a atuação do educador são pontos importantes na
construção do conhecimento. Quanto melhor explorados os recursos disponíveis em sala de
aula, mais satisfatórios serão os resultados obtidos.
Por isso, sugere-se que o professor aproveite os recursos, a fim de desenvolver uma
aula construtiva, em que os alunos realmente construam seus conhecimentos, visualizando e
manuseando o material didático.
A utilização da planta baixa, para o desenvolvimento dos conteúdos da Geometria
Plana, proporciona também ao professor, a exploração do material de desenho geométrico
16
como: régua, compasso, transferidor. Ele sugerirá à turma o esboço de um projeto de planta
baixa, seja da sala de aula, do colégio ou de sua casa.
Talvez, trazer o esboço pronto e distribuir aos alunos seria mais cômodo para o
professor, pois além de ganhar tempo, os alunos não se dispersariam enquanto desenham. No
entanto, o resultado expresso pelos alunos, na construção e estruturação dos conceitos
geométricos podem não obter a mesma profundidade e amplitude.
Segundo Vygotski (1998 apund Grando; Marasini, 2008), “o conceito surge quando
chegamos a conhecer o objeto em todos seus nexos e relações”. Portanto a sugestão é que o
educador leve um esboço para a sala de aula, somente para os alunos identifiquem o que é
uma planta baixa.
Analisando a planta baixa de uma casa (figura 1), podem-se destacar conteúdos a
serem explorados através de seu estudo, como: conceitos elementares de Geometria Plana,
medidas de superfície e proporcionalidade. Conteúdos estes que terão sua ordem de aplicação,
conforme a projeção de ensino do professor ou conforme o desempenho e exigência da turma.
Figura 1
Fonte:
O esboço apresentado pode instigar os alunos a desenvolver seus próprios conceitos
sobre pontos, retas, plano, ângulos, circunferências e polígonos, identificando e estruturando o
conhecimento da Geometria plana.
17
4.1.2 Ponto, reta e plano
A interação do aluno com o conteúdo estudado o conduzirá a um processo de
atribuições de significados para que este relacione o conteúdo com o material didático,
possibilitando que o mesmo seja capaz de desenvolver os conceitos, de forma sequencial e
organizada.
O aluno visualizará que no encontro entre duas retas (que na planta representam as
paredes da casa) ou nos extremos de um segmento de reta, existe o que determinamos de
ponto. Sempre representado por letras maiúsculas A, B, C,..., Z.
A parede de um quarto pode ser considerada um segmento de reta que tem seus
extremos limitados por pontos, representado por
, como mostra a figura 2.
Figura 2
Fonte:
Quando prolongado este segmento de reta para ambos os lados, seguindo nas
mesmas direções, a reta é representada por letra minúscula (r, y, t) ou
.
Figura 3
Fonte:
E se prolongar o segmento de reta somente para um lado, tem-se a semi-reta
representada por
.
18
Figura 4
Fonte:
E as paredes laterais que estão na horizontal são retas, que uma ao lado da outra,
numa mesma direção, determinam as retas paralelas.
Figura 5
Fonte:
Quando duas paredes se cruzam representam duas retas, que em determinado ponto
cruzam e se tornam as retas concorrentes (figura 6). Quando as retas concorrentes têm a
mesma abertura em todos os lados, tem-se o que chamamos de retas perpendiculares (figura
7):
Figura 6
Fonte:
Figura 7
Fonte:
19
Elaborados os conceitos acima, é imprescindível demonstrar que isso está contido em
um plano, ou seja, o desenho da planta baixa pertence a um plano, que no caso é a folha de
papel. Estes planos são representados por letras gregas (α, β), conforme figura 8:
Figura 8
Fonte:
Desta forma, a contextualização de conteúdos, com demonstrações, comentários e
comparações, possivelmente, encaminha para um ensino diferenciado, no qual professor e
aluno desenvolvem o ensino-aprendizagem e ambos se envolvem numa troca de experiência e
numa pesquisa conjunta sobre as possíveis relações entre os conteúdos geométricos da sala de
aula e a Geometria presente na construção civil.
Geralmente, quando se faz a demonstração dos conteúdos na prática, consegue-se
fazer entender a teoria. É muito mais fácil o aluno compreender o significado de um ponto
quando o compara com os pilares, as retas com as paredes e o plano com o papel, em que está
desenhada a planta baixa, ou o terreno no qual a casa será construída.
4.1.3 Porta e ângulos
Atualmente, é comum se ter paredes nas casas formando ângulos diferentes de 90º
graus, como no caso da figura 1. A parede entre a cozinha e a sala indica ao construtor que o
ângulo não será reto. Também, se podem trabalhar os ângulos, analisando a abertura das
20
portas que dispõe de diferentes medidas de ângulos, conforme abrimos ou fechamos as
mesma. Como mostra a figura 9:
Figura 9
Fonte:
Conforme Biembengut (2004, p.53), as portas representam semi-retas que giram em
torno do ponto O, sem sair do plano que no caso é a folha de papel. Quando uma semi-reta faz
um movimento de rotação, a parte descrita é determinada ângulo. Observando a figura 2, o
espaço entre as semi-retas (
), possui a mesma origem, determinando o ângulo
AÔB, em que o ponto O é o vértice do ângulo.
Na elaboração dos desenhos, o professor deve incentivar o uso dos materiais de
desenho geométrico, como a régua para traçar as retas e o compasso para desenhar os ângulos,
os arcos e as circunferências. E, para visualizar as medidas dos ângulos, fazer uso do
transferidor.
Por isso, conforme a série do ensino fundamental que está sendo aplicado o conteúdo,
deve se explicar como se manuseia o transferidor e que este é um instrumento de medida,
dividido em 180 partes iguais e que cada parte representa um grau.
Quando se abre uma porta, fazendo o movimento de rotação, a área entre as duas
semi-retas (a porta e a parede), pode assumir diferentes medidas de ângulos, ou seja, se a
abertura da porta for de 90°, determina-se ângulo reto. Se a porta abriu e formou um ângulo
de 180°, chama-se ângulo raso. E, por último se for uma porta giratória e esta completar uma
volta completa tem-se o giro de 360°.
Também classificamos os ângulos como:
ângulo agudo – menor que 90°
ângulo reto – igual a 90°
ângulo obtuso – maior que 90°
21
Dois ângulos agudos, cuja soma é igual a 90°, determina-se que estes ângulos sejam
complementares. Assim, como se a soma de dois ângulos quaisquer seja igual a 180°, tem-se
ângulos suplementares.
Os ângulos também podem ser congruentes, consecutivos ou adjacentes.
Dois ângulos que possuam a mesma medida são chamados de ângulos congruentes.
Figura 10
Fonte:
O ângulo
(lê-se “
é congruente a
tem a mesma medida e pode ser feita a seguinte indicação:
”)
Para que os dois ângulos sejam consecutivos, eles devem possuir o mesmo vértice e
ter um lado em comum. Como na figura 11.
Figura 11
Fonte:
Aqui, identificam-se os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.
Dois ângulos que não possuem pontos internos em comum, chamam-se ângulos
adjacentes. Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:
22
Figura 12
Fonte:
Na figura 12 pode-se identificar o que é um ângulo oposto pelo vértice. Se
observarmos os ângulos AÔB e CÔD, eles têm a mesma medida, mas são opostos entre eles.
Isto porque os lados de um deles são semi-retos, opostos aos lados do outro.
Nos estudos dos ângulos se tem o que se denomina bissetriz, que é uma semi-reta
com origem no vértice desse ângulo e divide em dois outros ângulos congruentes. Veja
abaixo:
Figura 13
Fonte:
m (AÔC) = m (CÔB) = 20º
Nesse caso, a semi-reta
é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
23
Também se podem trabalhar os ângulos explorando inúmeras outras situações
encontradas na construção civil, como os ângulos formados por escadas encostadas na parede,
detalhes arquitetônicos das janelas, telhados e paredes.
4.1.4 Circunferência ou círculo?
Uma porta giratória, em que o giro da porta se dá em torno de um pino, quando girada
a um ponto de partida 0°, fazendo o giro de 360°, obtém uma volta completa. No papel,
desenhada com o auxílio do compasso, a trajetória percorrida pela porta é chamada de
circunferência. Na qual, o pino de giro da porta representa o centro (O) da circunferência.
À distância entre o centro (O) e a circunferência determina-se raio (r). Se esticarmos
uma linha de um ponto a outro ponto da circunferência, passando pelo centro se obtém dois
raios (r) que determinam o diâmetro da circunferência, sendo D = 2r. Veja na figura abaixo:
Figura 14
Fonte:
Para um melhor entendimento, pode-se utilizar uma tampa circular e um pedaço de
barbante. Faça a demonstração, deixando-os buscar suas próprias respostas.
Aqui, identifica-se com os alunos a diferença de um círculo e uma circunferência.
Visto que a circunferência é a linha que representa o giro de 360º e o círculo é a área limitada
pela circunferência.
As circunferências podem ser exploradas nas bitolas de canos de água e esgotos, em
furos feitos em lâminas de vidro das janelas, das portas e do box para banheiro, necessários
para a instalação de fechaduras e maçanetas.
24
Conforme a série que a atividade está sendo desenvolvida, pode-se explorar a
atividade e construir a aprendizagem sobre o perímetro da circunferência, a área do círculo e
as posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência e suas propriedades.
4.1.5 Os polígonos da planta baixa
Se perguntassem aos alunos, que figura geométrica lembra o formato dos quartos, o
que será que eles diriam? Dependendo a série, a resposta seria imediata. Considerando a
planta baixa inicial, identifica-se que se trata de dois retângulos, ou dois quadriláteros.
Também se pode dizer que são dois polígonos.
Mas o que é um polígono?
O professor deve instigar os alunos a determinarem que polígono é a reunião de
segmentos de retas sucessivas entre si e que estas podem ser representadas pelas linhas que
limitam o piso do quarto.
Os polígonos podem ser classificados pelo número de lados ou vértices.
Por exemplo, o polígono abaixo possui cinco lados e cinco vértices. Então nomeamos
de pentágono.
Figura 15
Fonte:
Os lados têm os segmentos AB, BC, CD, DE e EA.
Os vértices são os pontos A, B, C, D e E.
Ainda, o professor deve propiciar aos alunos que por meio de análises e discussões,
eles mesmos identifiquem e nomeiem os polígonos, principalmente os mais conhecidos,
como:
25
Figura 16
Fonte:
Os polígonos aparecem em várias situações de uma construção predial. Se analisadas
as paredes de uma casa, elas têm a forma de um polígono de quatro lados e as cumeiras
lembram triângulos. Esses são exemplos, entre inúmeros outros, que podem ser explorados
em sala de aula.
Os alunos podem ser instigados a pesquisarem outros exemplos que representem
pentágonos, hexágonos. Também se pode pedir para que eles desenhem outra planta baixa,
isto pode servir de termômetro para verificar qual o grau de aprendizagem estabelecido com a
atividade e indicar, se tiver, quem ainda apresenta dificuldade.
Portanto, é necessário incentivar os alunos a buscar mais informações para que
obtenham êxito na construção do seu conhecimento. Utilizando-se o material proposto, a
planta baixa de uma casa, direcionar os próprios alunos a construírem os conceitos dos
conteúdos relacionados.
Assim, através do manuseio do material, da contextualização, das discussões e
reunião de informações, obtidos durante a análise e o estudo das possibilidades de aplicações,
desenvolvam o ensino-aprendizagem de forma eficaz, fugindo da tradicional decoreba.
4.1.6 Um quarto de quatro lados
Normalmente, ouvem-se pessoas chamar um retângulo de quadrado. Isto ocorre
porque relacionam a figura geométrica, com base no número de lados, que é quatro,
desprezando as medidas que cada lado possui. Tanto o quadrado, quanto o retângulo, são
figuras geométricas, denominadas quadriláteras.
26
Conforme a planta baixa inicial percebe-se que nem todos os ambientes da casa são
quadriláteros:
Figura 17
Fonte:
É importante possibilitar ao aluno a percepção que para ser um polígono quadrilátero,
a figura geométrica deveria ser composta por quatro lados e quatro vértices:
Figura 18
Fonte:
Os ângulos
são os ângulos internos do quadrilátero ABCD.
O segmento de reta, que liga o vértice B ao vértice C, denomina-se diagonal (d). A
diagonal é um segmento de reta que une dois vértices não consecutivos (CD). Ela representa a
bissetriz do polígono, pois divide o ângulo ao meio.
Isso pode ser demonstrado em sala de aula da seguinte forma: peça a um aluno para
que se posicione em um canto da sala de aula e, utilizando um barbante, segure uma de suas
pontas, estique-a até o outro lado da sala e peça a outro aluno para que fique neste canto
segurando o barbante. Neste caso, o barbante ficará como se fosse ser a diagonal da sala.
A exemplificação dos quadriláteros com a figura geométrica de um retângulo ou um
quadrado é comum. No entanto, torna-se interessante propor aos alunos que busquem outros
exemplos de quadriláteros, como o trapézio, o paralelogramo e o losango.
27
Figura 19
Fonte:
4.1.7 A soma dos ângulos internos
A planta baixa de uma escada tem um de seus degraus à figura geométrica de um
triângulo:
Figura 20
Fonte:
Os alunos devem ser incentivados a perceber que quando uma figura geométrica
possui três lados ou três ângulos, denominam-se triângulo. E seus vértices são A, B e C. Os
ângulos internos do triângulo ABC são representados por
.
Pelas medidas dos lados, os triângulos podem ser classificados como:
Quadrilátero = tem todos os lados iguais;
Isósceles = tem dois lados iguais;
28
Escalenos = tem os três lados diferentes;
A medida dos ângulos internos permite uma classificação dos triângulos. Chama-se
de triângulo acutângulo quando todas as medidas dos ângulos internos são menores que 90°.
Triângulo retângulo possui um ângulo igual a 90° e dois ângulos agudos. E, o triângulo
obtusângulo, um dos ângulos é maior que 90° e os dois outros são ângulos agudos.
triângulo retângulo
triângulo obtusângulo
triângulo acutângulo
Após a classificação dos triângulos, pode-se coordenar para que os alunos façam uma
relação entre as medidas dos ângulos internos do triângulo, determinando a soma.
Considerando um triângulo retângulo, que tem o maior ângulo de 90° e os outros dois são
ângulos agudos, só resta determinar as medidas dos mesmos. Pode utilizar-se o raciocínio da
diagonal da sala de aula.
Então, como a sala de aula, geralmente é retangular, todos os ângulos são de 90°.
Traçando uma diagonal com o barbante, divide-se a sala em dois triângulos retângulos, e
consequentemente, o ângulo também será dividido em dois, com a mesma medida. Seguindo
o raciocínio têm-se dois triângulos com medidas iguais.
Se somarmos as medidas de cada triângulo temos:
90° + (90° ÷ 2) + (90° ÷ 2) = 180°
Portanto, pode-se concluir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a
180°. E, se um quadrilátero for dividido em dois triângulos se deduz que a soma desse, seja
igual a 360°.
Após a verificação dos quadriláteros e a determinação de como poderiam ser somados
seus ângulos internos, sugere-se propor aos alunos uma apresentação de soluções para que a
soma dos ângulos dos polígonos com mais ângulos, como o hexágono, octógono, decágono.
Também, pode-se instigá-los a deduzir que a soma dos ângulos internos pode ser simplificada
se considerarmos o seguinte: se um quadrado foi dividido em dois triângulos, em quantos
triângulos podemos dividir um octógono?
29
A partir de um único vértice (A), traçar segmentos de retas, unindo os vértices nãoconsecutivos, dividindo em triângulos como no polígono abaixo:
Figura 21
Fonte:
Neste caso, com um polígono de oito lados, obtêm-se seis triângulos. Se
multiplicados: 180° x 6 = 1080°. Propõem-se repetir esta operação com outros polígonos.
Caso seja preciso utilizar novamente a prática da diagonal da sala de aula.
Então, deixar que os alunos determinem qual é o número de lados que menos dois
seja igual ao número de triângulos que multiplicado por 180° resulta na soma dos ângulos
internos dos polígonos regulares.
Também se deve permitir que os alunos construam os conceitos e desenvolvam as
fórmulas, tornando as atividades da sala de aula muito mais atrativas, despertando o interesse
pelo conteúdo, pois é muito mais interessante quando há desafios a serem superados. Se as
fórmulas são dadas prontas, não haverá coisas que eles possam encontrar.
Como sugestão para avaliar o entendimento de cada um sugere-se pedir aos alunos
que exemplifiquem e proponham situações problemas contextualizados. Com isso possibilitase a visão dos mesmos sob outros ângulos dos conceitos construídos em sala de aula.
30
4.1.8 Perímetro e área das figuras geométricas
É interessante o desenvolvimento de conteúdos, em sala de aula, que estejam
contextualizados com o cotidiano. Muitos alunos não imaginam que um pedreiro utiliza
cálculos de áreas geométricas e do perímetro para definir o material necessário para a
construção de uma casa, o preço que cobrará de mão de obra ou a posição e o formato que a
essa terá.
Para a aplicação destes conteúdos geométricos, espera-se que os alunos já tenham
embasamento dos conteúdos básicos envolvendo sistemas de medidas, como noção de
medidas lineares (mm, cm, dm, m, dam, hm e km).
Mas o que é o perímetro? Como pode ser calculado?
Com base na planta baixa, pedir para que os alunos meçam as paredes de cada
ambiente da casa, para verificar quantos metros de rodapé iria a cada um. Quando feito isto,
conduzir os alunos à conclusão que perímetro é a soma da medida linear dos lados de um
polígono. No caso, as paredes dos ambientes.
Nos cálculos de áreas, trabalhar as unidades de medidas de superfícies, determinando
km², hm², dam², m² dm², cm² e mm². Para a construção de conceitos de medidas de superfície
plana, o professor pode utilizar as medidas da própria sala de aula. Juntamente com os alunos,
identificar qual polígono a sala de aula representa. E, em seguida, com o auxílio de uma fita
métrica medir as paredes, verificando suas medidas.
Pedir aos alunos para que desenhem no caderno a planta baixa da sala de aula, numa
escala de 1:1, e coloquem as medidas conforme seus respectivos lados. Conforme exemplo:
Figura 22
Fonte:
Com o auxílio da régua, divida a base e a altura em segmentos de 1 cm. Se obtiver 54
quadrados de 1 cm de lado, ou seja, 1*1=1 cm². Tem-se 54 quadrados. Então tem 54 cm².
31
Proporcione ao aluno a associação de que o produto da multiplicação da base pela altura é: 9 *
6 = 54 cm².
Além de trabalhar as áreas do retângulo e quadrado, o professor poderá aproveitar o
momento para trabalhar e desenvolver os conceitos de áreas e perímetros de outras figuras
geométricas, como o triângulo, o trapézio, o losango, o círculo, a circunferência, entre outros.
Também, identificar suas propriedades, deduzindo suas respectivas fórmulas para calcular
suas áreas. Para isto poderá explorar as figuras que possuem o formato de terrenos, praças,
quarteirões, a própria planta baixa de casas ou até detalhes arquitetônicos.
Lembra-se que o cálculo do perímetro e da área dos ambientes de uma construção
está diariamente presente na vida dos profissionais envolvidos. O pedreiro mede cada parede
para sair conforme as medidas contidas na planta baixa. O pintor, guiando-se pelas medidas
das paredes construídas, calcula a área da superfície para saber quanta tinta precisa ser
comprada. O vendedor de material de construção calcula, pela planta, quantos metros de
revestimentos precisarão e quantos metros lineares de rodapé.
Enfim, opções de aplicações do cálculo geométrico não faltam para ser trabalhadas
em sala de aula. Depende do professor, selecionar o melhor conteúdo a ser explorado, dando
ênfase ao desenvolvimento e à construção da aprendizagem, valorizando os materiais
didáticos levados.
4.1.9 O construtor e a escala
O engenheiro ao projetar, no papel, a planta de uma casa, informa as medidas das
paredes, a área de cada ambiente, e outros dados, como a escala em que a planta foi
desenhada.
A escala é uma razão de proporcionalidade. Ou seja, ela permite aumentar ou
diminuir o tamanho de um desenho, para que este se mantenha semelhante ao original. Isto
acontece porque quando aplicada a um desenho, ela atua em todas as medidas, como no
exemplo:
Um retângulo de lados 4 cm e 5 cm, se forem triplicar seu tamanho é só multiplicar
4*3 = 12 cm e 5*3 = 15 cm.
Verifica-se que aumentou de tamanho, mas manteve-se semelhante ao original.
32
Quando o construtor civil está interpretando uma planta, ele analisa a medida
indicada e sua escala. Com isso, sabe exatamente o tamanho da casa e as medidas de cada
divisória.
Então, quando uma figura geométrica tem tamanhos diferentes, mas as medidas dos
lados diretamente proporcionais, considera-se figuras semelhantes.
Ao passo que se constroem os pensamentos geométricos nos alunos e elaboram-se
conceitos a cada anotação, um aprendizado eficaz se desenvolve em sala de aula.
Possivelmente, o conceito sobre o que é uma planta baixa mudaria. Ao invés de só traçar as
paredes, os alunos também colocariam medidas para estas, posicionando janelas e portas,
informando as áreas dos ambientes.
Entender com clareza, demonstrar e comprovar aos alunos com sabedoria e
confiança, nos faz capaz de transformar uma parede em um segmento de reta. Um movimento
habitual de abrir e fechar a porta torna-se uma situação de estudos sobre ângulos.
Portanto, não faltam exemplos para a fábrica do conhecimento. A sugestão de se
contextualizar, construir e/ou aprofundar os conhecimentos geométricos com a Geometria
presente no ramo da construção civil, é mais uma proposta.
4.2 AS FIGURAS ESPACIAIS
Quando se fala em figuras espaciais, é o mesmo que falar em figuras tridimensionais,
ou também, como conhecidas nos programas tecnológicos de engenharia, figura em 3D.
Atualmente, já existem programas de computador específicos para facilitar o trabalho dos
projetistas. Eles possibilitam visualizar a planta baixa, a planta em 3D e a maquete da casa na
tela do computador. Na planta 3D, se consegue visualizar a distribuição dos móveis de cada
ambiente, com escala proporcional a medidas reais. As maquetes permitem à determinação do
melhor formato do telhado da sua casa e como esta ficaria depois de pronta.
Numa proposta de aplicação em sala de aula, de explorar os sólidos geométricos,
contextualizando com a construção civil, Biembengut (2004, p. 83-84) sugere a confecção da
maquete de uma casa, explorando os conteúdos geométricos, conforme aplicados durante o
ano letivo, permitindo que o material didático seja manuseado várias vezes. A maquete pode
ser de papelão, madeira ou isopor.
33
Nesta mesma concepção, a construção dos conceitos sobre as figuras espaciais e suas
propriedades, é desenvolvida passo a passo durante o período letivo. A construção artesanal
da maquete leva o aluno a observar que a figura espacial assume diferentes formas e que estas
ocupam espaço físico.
Há vários tipos de sólidos geométricos, como os exemplos abaixo:
cubo
cilindro
prisma
Os sólidos geométricos, como os prismas e as pirâmides, possuem base e faces
limitadas por segmentos de retas. Se comparados a uma sala, por exemplo, as bases seriam o
piso e o teto. E as faces seriam as paredes. O canto da sala representaria o vértice e, o
encontro entre as paredes as arestas.
No caso dos cilindros e dos cones, eles possuem bases, mas não possuem faces, nem
arestas. E, a esfera, por ter suas retas em curvatura, não determina nenhuma das propriedades
acima.
4.2.1 Área total de um sólido geométrico
Para calcular a área total de um sólido geométrico, primeiramente, deve-se observar
que forma geométrica que ele possui. Em seguida, observar as faces, para verificar quais
polígonos foram usados para sua construção.
O pintor, quando vai pintar as paredes externa de um prédio, determina a área total do
mesmo. Observando que as faces e as bases desse possuem o formato de figuras retangulares,
com medidas já determinadas, ele calcula a área de cada parede e a soma total, facilitando o
cálculo da quantidade de tinta necessária para a pintura.
Uma sugestão, para facilitar o cálculo dos diferentes sólidos geométricos, é a
planificação dos mesmos, o que facilita a identificação das figuras planas. Sugere-se sua
relação com objetos dispostos no cotidiano, como latas de pintura, caixas, sacolas, canos,
entre outros. A utilização dos inúmeros sólidos geométricos, de várias formas, proporciona
aos alunos o desenvolvimento de seus conceitos e o raciocínio lógico.
34
4.2.2 Volumes e capacidades
O cálculo do volume de areia, que precisa para encher a carroceria de um caminhão,
pode ser uma sugestão para o aluno conceituar o volume interno de um objeto. Ou seja,
propõe a determinação da capacidade da carroceria.
Como é um objeto tridimensional, ela possue três medidas: largura, comprimento e
altura. Assim, o raciocínio pode ser construído a partir do cálculo da área do chão da
carroceria. Multiplica-se a largura com o comprimento. O resultado, seguidamente deduz-se
que se multiplica, com uma terceira medida: a altura. Portanto, o produto destas
multiplicações é igual ao volume de areia.
Vejamos: l*c = a²*h = v
Pode ser feita a verificação do raciocínio, juntamente com os alunos. Considerando
uma caixa, em formato cúbico, com 1 m de arestas, calcula-se:
1 m*1 m*1 m = 1 m³, decompondo fica 1 m*1 m = 1 m²* 1 m = 1 m³
Neste caso, o volume de areia, ou a capacidade da carroceria, é indicado conforme a
unidade de medida utilizada (cm³, m³).
Outra unidade de medida de capacidade bem conhecida pelos alunos é o litro (l), que
pode ser expressa em unidades cúbicas. Esta unidade de medida divide-se em:
Múltiplos:
Quilolitro = Kl = 1000l
Hectolitro = hl = 100l
Decalitro = dal = 10l
Submúltiplos
Decilitros = dl = 0,1l
Centilitro = cl = 0,01l
Mililitro = ml = 0,001l
Portanto, determina-se que 1l corresponde a 1dm³ ou a 1000cm³, aproximadamente.
Os reservatórios de água são ótimos exemplos para se criar os conceitos e estabelecer
relações entre as unidades de medidas. Eles podem assumir diferentes tamanhos e formas
geométricas.
Os reservatórios de água são opcionais numa obra. O dono pode optar pela sua
instalação.
35
4.2.3 Quanto pesa 1000l de água?
Calcular o peso que um reservatório de água tem, quando está cheio, é fundamental
no momento de determinar o local de instalação. Geralmente, é indicado que se faça uma laje
bem plana, para que o reservatório fique com toda a sua base assentada. Isto pode evitar
possíveis transtornos.
É interessante ressaltar aos alunos que massa e peso não são a mesma coisa.
Biembengut (2004, p. 98-99) explica que a massa corresponde à matéria que compõe o corpo,
e o peso é à força de atração que a terra exerce no corpo.
O instrumento utilizado para fazer a medida da massa é a tradicional balança, com
diferentes tamanhos, ela pode nos dar com precisão as medidas desejadas. Desde medidas
pequenas, como os quilates, quanto às grandes medidas, como a tonelada.
A medida de unidade de massa adotada é o quilo-grama (kg). Ele divide-se em:
=>Múltiplos
Quilograma = 1 kg = 1000g
Hectograma = 1 hg = 100g
Decagrama = 1 dag = 10g
=> Submúltiplos
Decigrama = 1 dg = 0,1g
Centigrama = 1 cg = 0,01g
Miligrama = 1 mg = 0,001g
Como determinado anteriormente, em volume, 1l de água é igual 1 dm³, sugere-se
que os alunos meçam a massa dessa água, utilizando uma balança. Isto serve para que eles
mesmos verifiquem que 1 litro de água é, aproximadamente, 1 dm³. E, 1 dm³ é,
aproximadamente, 1 kg. Ou seja: 1l
1 dm³
1kg.
Portanto, 1000l de água equivale a 1 m³ e tem aproximadamente 1000 kg ou uma
tonelada de massa. Daí a importância de se fazer uma base reforçada para sustentar o
reservatório.
36
4.3 OS TRIÂNGULOS NAS CONSTRUÇÕES CIVIS
É comum encontrarmos a forma triangular, aplicada em construções feitas pelos
homens, principalmente nas estruturas de telhados, de portões, de pontes e estruturas
metálicas. Esse procedimento é justificado por ser o triângulo uma figura rígida, ao contrário
de quadrados e retângulos, que podem mudar de forma. O triângulo possui rigidez
geométrica, isto é, dados os três lados, sendo a medida de qualquer um dos lados, é menor do
que a medida da soma dos outros dois lados, defini-se o triângulo.
O triângulo, uma vez construído, é capaz de modificar a abertura de seus ângulos e
construir outro triângulo, porém sua forma não muda, sempre será um triângulo. Já outras
estruturas geométricas, se exercerem força sobre elas, podem mudar de forma, veja:
Figura 23
Fonte:
Essa propriedade tem bastante valor e é muito utilizada na carpintaria, engenharia e
arquitetura. Em especial, na construção da estrutura dos telhados, conhecida como tesoura ou
treliça, feita de madeira e composta por diversos triângulos.
Desta forma, conclui e justifica-se que as estruturas triangulares possuem maior
resistência aos pesos nelas exercidos. A estrutura do telhado pode ser fortalecida se tiver a
forma de um triângulo isóscele, pois o suporte central dividirá o triângulo em outros dois
triângulos retângulos.
Além disso, o telhado com forma triangular facilita o escoamento da água, evitando
possíveis infiltrações. Na Europa, percebesse que os telhados possuem maior caimento que no
Brasil. Isso porque a neve é intensa durante o inverno. Neste caso, os telhados possuem maior
caimento para facilitar o deslizamento da neve e não comprometer a estrutura com o peso,
aumentando também, a vida útil da telha.
A estrutura do telhado é feita conforme o material a ser utilizado. É ela que determina
as medidas e o caimento que o telhado terá.
37
4.4 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Os povos egípcios usavam uma corda com doze nós para construir o triângulo
retângulo, ou seja, utilizavam para obter cantos com ângulos retos. O triângulo era formado
pelas distribuições dos nós entre os lados, ficando assim, um lado com três nós, o outro com
quatro nós e terceiro lado com cinco nós. Baseando-se neste triângulo retângulo particular dos
egípcios, desenvolveu-se em sala de aula, a relação entre as medidas dos lados desse
triângulo.
Sugere-se utilizar o exemplo dos egípcios no desenvolvimento deste conteúdo. O
interessante do triângulo retângulo é a relação que se estabelece entre as medidas dos lados.
Se cada lado do triângulo fosse também o lado de um quadrado, obteríamos a
seguinte figura:
Figura 24
Fonte:
Calculando as áreas dos quadrados:
5² = 25
5² = 4² + 3²
25 = 16 + 9
25 = 25
4² = 16
3² = 9
38
Observando os resultados, nota-se que a soma das áreas dos dois quadrados menores
é igual à soma da área do quadrado maior. O filósofo e matemático grego, Pitágoras
conseguiu provar que essa relação métrica era válida para todos os triângulos retângulos.
Ficando a seguinte relação: a² = b² + c²
Essa teoria é muito utilizada na construção civil. Com ela, pode-se calcular a altura de
prédios, largura de rios para construção de pontes, altura dos telhados para o cálculo das
telhas, entre outros.
O pedreiro costuma verificar se a obra está no “esquadro”, ou seja, se as medidas
estão certas. Ele poderia usar o Teorema de Pitágoras para fazer isto. Mas, atualmente, ele
disponibiliza de uma ferramenta chamada esquadro, projetada especialmente para isso.
Essa atividade pode ser realizada em sala de aula, para construir o conceito de
relações métricas e desenvolver o Teorema de Pitágoras. Caso o professor venha de uma
sequência de contextualização da Geometria com a construção civil, os alunos poderão
construir a maquete de uma casa. Então, o podem utilizar para verificar se a casa não está
torta, ou seja, se as medidas estão corretas. Sugere-se que primeiro seja medido e depois
calculado conforme o teorema.
Como mostra na figura:
Figura 25
Fonte:
a² = d² + c²
e² = b² + a²
a² = 3² + 5²
e² = 3² + 4,8990²
a² = 9 + 15
e² = 9 + 24
a = √24
e = √33
a = 4,8990 m
e = 5,7445 m
Portanto, para saber se as paredes estiveram corretamente no “esquadro”, elas terão as
medidas encontradas acima.
39
Caso o professor não tenha ou esteja trabalhando com maquetes, ele pode utilizar
outras situações que permitam a aplicação dos conceitos abordados, como: caixas, cubos,
prismas ou a própria sala de aula.
Além destas sugestões de aplicação do teorema, pode-se utilizar em diversas outras
situações. Como no cálculo das madeiras, utilizadas nas estruturas dos telhados das casas, em
que pode ser aprofundado o estudo das relações métricas no triângulo retângulo e suas
propriedades. Neste caso, também podem ser explorados os conteúdos das relações
trigonométricas nos triângulos, desenvolvendo o estudo e a aplicação de seus conceitos.
O desenvolvimento dos conceitos da Geometria tridimensional e de suas
propriedades, em sala de aula, pode apresentar uma aprendizagem mais ampla e significativa
para o aluno quando se relaciona com objetos presentes no seu cotidiano. O incentivo à
criatividade do aluno, mediante a construção da maquete de uma casa, permite a ele
identificar os tipos de sólidos geométricos existentes, as formas que cada sólido assume e
quais figuras geométricas representam cada face, bem como a área, o volume e a capacidade.
Como mostra o exemplo do reservatório de água. Também, pode-se explorar o Teorema de
Pitágoras com o cálculo da diagonal das peças da maquete para verificar se as medidas estão
corretas.
O desenvolvimento de um estudo completo sobre os triângulos pode ser feito com a
construção dos telhados da maquete, proporcionando aos alunos uma aprendizagem mais
complexa, construindo conceitos sobre relações métricas do triângulo retângulo, o próprio
Teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas nos triângulos. Também poderá verificar a
importância que o triângulo tem, na construção civil, por ser uma figura geométrica rígida.
Portanto, desenvolver uma aula prática, explorando os mais diversos materiais
didáticos que permitam relacionar os conteúdos geométricos do ensino fundamental com o
cotidiano dos alunos, possibilita um momento de troca de experiência entre aluno e professor,
e também, entre os próprios alunos, permitindo que os conceitos dos conteúdos geométricos
sejam construídos e a aprendizagem se desenvolva na vida do mesmo.
40
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho foram relacionados os conteúdos geométricos propostos para o ensino
fundamental, que se encontram diretamente presentes na construção civil. Os conceitos foram
construídos de forma contextualizada, seguindo uma sequência de complementação
conceitual, conforme proposto inicialmente. Também foi sendo apresentada, no decorrer do
desenvolvimento deste, outras propostas de aplicações para as construções dos conceitos
geométricos neste ramo de atividade.
O ensino da Geometria, apesar dos esforços, ainda não é devidamente valorizado.
Pode-se verificar durante a pesquisa, que muitos professores não ensinam a Geometria
porque, em suas concepções, ela não é importante para a formação do ser humano. Para eles,
o importante é o ensino de Álgebra e Aritmética, e que estas sim, serão utilizadas pelos
alunos. Este ponto de vista defronta-se com o que coloca os PCN’s Matemáticos (livro 1),
pois apontam que os conceitos geométricos, assim como todo o contexto matemático, são
possibilitadores do desenvolvimento de habilidades e competências essenciais na formação do
indivíduo.
Os PCN’s, assim como outros autores citados, propõem para o ensino da Geometria,
aulas contextualizadas. Com atividades que envolvam o manuseio, dos mais variados
materiais concretos, como: caixas, situações problemas e atividades lógicas. O objetivo de
realizar aulas práticas e explorativas é aproximar a Geometria da sala de aula com a
Geometria inserida na sociedade que vive.
Pelo pressuposto que a Geometria surgiu pela necessidade do ser humano, de
transformar e construir o ambiente em que se vive, a proposta de se ensinar Geometria, nas
séries iniciais, ganha fundamento, pois devemos desenvolver os pensamentos geométricos
com uma visão ampla, ultrapassando os limites escolares.
O ensino-aprendizagem construído em sala de aula, envolvendo situações presentes
na construção civil, colocou frente ao aluno, a possibilidade das relações que podem
estabelecer entre conceitos e práticas diárias. O possível aprendizado construído com as
necessidades apresentadas terá vinculo com o cotidiano presente, associando a realidade
sócio-cultural do aluno, ao contexto escolar, atribuindo significado ao que está querendo
ensinar.
Os conteúdos com seus conceitos e as possibilidades de contextualizar, foram
levantados, conforme proposto. Verificou-se que os conteúdos geométricos estão presentes
41
em várias situações. Os pensamentos da Geometria, básica e plana, foram sendo construídos
relacionando com a planta baixa e suas atribuições. Para as figuras espaciais atribuiu-se a
relação com objetos tridimensionais e a construção de maquetes, identificando suas formas,
calculando suas áreas e volumes. Para o Teorema de Pitágoras, a proposta vai do cálculo na
planta baixa para suas atribuições na Geometria espacial.
Como pode ser visto, praticamente todos os conteúdos geométricos propostos para o
ensino fundamental estão expressos na construção civil. Contudo, não se podem provocar
abusos no uso dos materiais didáticos. Deve-se manter um equilíbrio entre teoria e prática. A
sugestão é que se tenha a prática para que o aluno construa conceitos visuais, mas anexada a
esta, os fundamentos da teoria.
Conclui-se que, o ensino da Geometria está mudando suas concepções de como ser
trabalhado em sala de aula, novas metodologias são propostas periodicamente, direcionadas
cada vez mais, para o cotidiano. Técnicas que estão exigindo do educador conhecimento e
profissionalismo.
42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino e na
Aprendizagem de Matemática. 2. ed. Blumenau: Edfurb, 2004.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. 3. ed.
São Paulo. Contexto, 2003.
BOYER, C.B. História da Matemática. Tradução Elza F. Gomide. 2ª ed., São Paulo. Edgard
Blucher, 2002.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática da Teoria à Prática. Coleção Perspectiva
em Educação Matemática. Campinas, SP. Papirus, 1996.
FONSECA, Maria da Conceição F. R., et al. O Ensino de Geometria na Escola
Fundamental: Três questões para formação do professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte:
Autentica, 2001.
GIARDINETTO, José Roberto Boettger. Matemática Escolar e Matemática da Vida.
Coleção Polêmicas do Nosso Tempo; v. 65. Campinas, SP: Ed. Autores Associados, 1999.
GRANDO, Neiva Ignês, MARASINI, Sandra Mara. Educação Matemática; a sala de aula
com espaço de pesquisa. Passo Fundo, RS: Universidade de Passo Fundo, 2008.
KALEFF, Ana Maria. Tomando o Ensino da Geometria em Nossas Mãos. Niterói, RJ.
SBEM, n. 2, p. 19-25, 1994.
LEIVAS, Jose Carlos Pinto. Desenhar ou Representar Geometricamente? A educação
matemática em revista. RS: SBEM; p. 39-47, 2004.
LORENZATTO, Sergio. Por Que Não Ensinar Geometria? A educação matemática em
revista. São Paulo: SBEM, n. 4; p. 3-13, 1995.
LORENZATTO, Sergio e outros. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação
de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino
Fundamental: Matemática, Brasília: MEC/SEF, 1997.
PEREZ, Geraldo. A Realidade Sobre o Ensino da Geometria no 1° e 2° Graus, no Estado
de São Paulo. A educação matemática em revista. Rio Claro, SP: SBEM, n. 4; p. 55-62,
1995.
TRAUTENMULLER, Maricléia Sippert. O Ensino Da Geometria. Frederico Westphalen.
Revista Matemática, v 3, n. 3; p. 123-136, 2005.
GIOVANNI, Jose Ruy, CASTRUCCI, Benedito, GIOVANNI JR, Jose Ruy. A Conquista da
Matemática: a + nova. Coleção a Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 2002.
43
LEIVAS, Jose Carlos Pinto. Estimulando Cultura Geométrica na Escola Básica. A
educação matemática em revista. RS: SBEM; p. 43-51, 2006.
MAIA, Lícia de Souza Leão. O Ensino da Geometria: analisando diferentes representações.
A educação matemática em revista. SBEM, n. 8; p. 25-33, 2000.