FIS-26 — Prova 02 — Abril/2013
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Turma:
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Duração máxima da prova: 100 min. Responda às questões de forma clara, completa e concisa. Uma
parte da pontuação de cada questão será atribuı́da para o resultado final, e, quando for o caso, para a(s)
unidade(s) e para os algarismos significativos. Soluções criativas e inteligentes receberão uma pontuação
extra (por este mérito). Questões com erros graves e/ou erros conceituais serão penalizadas com mais
severidade. Você poderá consultar:
• uma folha de anotações pessoais (tamanho A4, escrita somente em um dos lados do papel), a qual
deverá ser entregue junto com a prova;
• qualquer livro (em papel, sem ser fotocopiado) previsto no Plano de Curso;
• as folhas de momento de inércia disponibilizadas na página do professor.
O uso de calculadora está permitido, mas não o seu empréstimo.
1. (23 pontos) O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura seguinte.
Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até
uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no sentido contrário
ao do projétil. Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo
sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação para trás contra um sistema mola-amortecedor
criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo. Em um caso particular, o cano do canhão
e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10000 N/m.
O recuo (máximo) do canhão após um disparo é de 400 mm.
Determine:
(a) (4 pontos) a frequência natural ωn (não amortecida) do sistema.
(b) (4 pontos) o coeficiente de amortecimento c do amortecedor.
(c) (10 pontos) a velocidade inicial v0 de recuo do canhão. Dica: note que o canhão (em t = 0)
tem velocidade v0 , mas a mola do mecanismo de recuo tem deformação nula x0 = 0.
(d) (5 pontos) o tempo t que leva para o canhão retornar até uma posição de 100 mm de sua
posição inicial (depois que ele atingiu a posição de máximo recuo). Considere que o disparo do
canhão ocorreu em t = 0. Você deverá cair numa equação transcendental para determinar t.
Pede-se que você obtenha a resposta com apenas uma casa decimal de precisão, sabendo que
0,5 s < t < 1,0 s.
1
2. (32 pontos)
(a) (10 pontos) Dê respostas breves para as seguintes questões
i. (4 pontos) Dê dois exemplos de maus e dois de bons efeitos da vibração. Dê exemplos de
casos reais de Engenharia.
ii. (2 pontos) A frequência de uma vibração livre amortecida é menor ou maior que a frequência
natural do sistema? Explique, de forma qualitativa (sem recorrer à expressão matemática),
por que isto acontece.
iii. (4 pontos) Em diversos problemas de Engenharia, o amortecimento (quando pequeno) é
considerado apenas na vizinhança da ressonância. Por quê?
(b) (14 pontos/ 2 pontos cada palavra) Complete os espaços em branco com a palavra adequada
(cada espaço admite uma única palavra).
i. Sistemas fı́sicos sofrem oscilações perigosamente grandes a
ii. Vibração não amortecida é caracterizada por nenhuma perda de
iii. Se um sistema vibrar devido apenas a uma perturbação inicial, temos uma vibração
iv. Se um sistema vibrar devido a uma excitação externa, temos uma vibração
v. Na vibração livre de um sistema não amortecido ocorre uma permuta entre energias
e
vi. O centro de
pode ser usado de forma vantajosa em um taco de beisebol.
(c) (8 pontos/ 2 pontos cada) Analise as seguintes afirmações, assinalando V se a afirmação for
verdadeira, ou F se for falsa.
(a) (
(b) (
(c) (
(d) (
) Um movimento harmônico é um movimento periódico.
) Um movimento periódico é um movimento harmônico.
) A frequência de vibração de um sistema fı́sico depende do sistema de coordenadas
utilizado.
) As coordenadas normais evitam o acoplamento dinâmico dos graus de liberdade de
um sistema.
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3. (25 pontos) A caixa d’água mostrada na Figura a seguir é sustentada por uma coluna de altura l
feita de concreto reforçado. A massa de água que cabe na parte superior da caixa d’água, quando
esta está cheia, é igual a M (nesta massa já estamos incluindo a massa da parte superior da caixa
d’água também). Considere que a parte superior da caixa d’água (cheia) pode ser modelada por
uma massa pontual M , e que a coluna pode ser modelada por um barra elástica unidimensional cuja
massa m está uniformemente distribuı́da ao longo da altura l. Esta coluna quando sofre um esforço
P na direção transversal à sua altura exibe uma deformação elástica (na direção do esforço aplicado)
(3x2 l − x3 ), onde ymax = P/k, sendo
que pode ser caracterizada pela função matemática y(x) = ymax
2l3
k uma “espécie de constante elástica de mola” (por curiosidade, k = 3EI/l3 , onde E é o módulo de
Young do concreto e I é o momento de inércia de área da seção transversal da coluna). Nos itens
(a) e (b) que se seguem, ignore o efeito da massa M .
(a) (15 pontos) Suponha que a coluna é posta para oscilar sob a ação de uma força P periódica, de
forma que a sua extremidade superior oscila com velocidade v(t) = dy(l)
= vmax sin(ωt). Com
dt
isto, a coluna (em toda a sua extensão) adquire uma energia cinética que varia (periodicamente)
com o passar do tempo entre 0 e Tmax . Encontre uma expressão para a energia cinética média
Tmed da coluna de massa m. Dê sua resposta em função de m e vmax . OBS.: o valor médio hf i
de uma função periódica f (t) com perı́odo p é dada por:
Z
1 t0 +p
f (t)dt,
hf i =
p t0
onde t0 é um valor convenientemente escolhido (o valor médio independe de t0 ).
(b) (5 pontos) Encontre meq a massa puntiforme “equivalente” à coluna, isto é, uma massa meq
que, posta para oscilar na posição y = l com velocidade v(t) = dy(l)
= vmax sin(ωt), teria a
dt
mesma energia cinética da coluna inteira. Escreva sua resposta da forma meq = f m, onde f é
uma fração irredutı́vel (uma razão entre dois números inteiros simplificada ao máximo).
(c) (5 pontos) Obtenha a frequência angular ω0 de oscilação do sistema coluna mais caixa d’água.
Dê sua resposta em função de M , m e k. OBS.: Se você não tiver conseguido fazer o item
(b), você pode tentar resolver este problema; neste caso, deixe sua resposta em função de f
(você poderá receber uma pontuação parcial, se fizer isto). Dica: Para o cálculo da frequência
angular de oscilação, o efeito da gravidade pode ser ignorado.
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4. (20 pontos) Uma das rodas e feixe de molas de um automóvel que trafega por uma estrada acidentada
são mostrados na Figura seguinte (esquerda). Por amor à simplicidade, podemos supor que todas
as rodas são idênticas e o sistema (automóvel) idealizado possa ser representado como na Figura do
meio, ou ainda, para facilitar nosso trabalho, como na Figura da direita. O automóvel tem massa
m1 = 1000 kg, e o feixe de molas tem uma rigidez total de k1 = 400 kN/m. As rodas e os eixos têm
uma massa de m2 = 300 kg, e a rigidez dos pneus é k2 = 500 N/m.
(a) (15 pontos) Obtenhas as frequências naturais de oscilação do automóvel. Considere, para tanto,
que o automóvel não está trafegando na pista acidentada e ignore o efeito da gravidade.
(b) (5 pontos) Modele as oscilações da estrada acidentada através de uma função senoidal y(x) =
Y sin(2πx/L), onde Y = 100 mm e L = 6,00 m. Obtenha (em km/h) as velocidades crı́ticas
do automóvel (que irão acarretar ressonância). Você pode continuar ignorando o efeito da
gravidade.
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