MODELO BASEADO EM UM
SISTEMA DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS LINEARES PARA A
DINÂMICA DE PREÇOS DE UM
ATIVO FINANCEIRO
PALOMA DE OLIVEIRA CAMPOS
Belo Horizonte
Janeiro de 2014
MODELO BASEADO EM UM
SISTEMA DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS LINEARES PARA A
DINÂMICA DE PREÇOS DE UM
ATIVO FINANCEIRO
PALOMA DE OLIVEIRA CAMPOS
Orientador: Arthur Rodrigo Bosco de Magalhães.
Coorientador: Allbens Atman Picardi Faria.
Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado
em Modelagem Matemática e Computacional do
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas
Gerais, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Modelagem Matemática e
Computacional.
Área de Concentração: Econofísica.
Belo Horizonte
Janeiro de 2014
PALOMA DE OLIVEIRA CAMPOS
MODELO BASEADO EM UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES PARA A DINÂMICA DE PREÇOS DE UM ATIVO FINANCEIRO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e
Computacional do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais, como requisito
parcial para obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional pela
comissão julgadora composta pelos membros:
COMISSÃO JULGADORA
____________________________________________________
Prof. Dr. Arthur Rodrigo Bosco de Magalhães.
DFM / Centro Federal Tecnológico de Minas Gerais (Presidente).
____________________________________________________
Prof. Dr. Allbens Atman Picardi Faria.
DFM / Centro Federal Tecnológico de Minas Gerais.
____________________________________________________
Prof. Dr. Rodrigo Tomás Nogueira Cardoso.
DFM / Centro Federal Tecnológico de Minas Gerais.
____________________________________________________
Prof. Dr. José Luiz Acebal Fernandes.
DFM / Centro Federal Tecnológico de Minas Gerais.
___________________________________________________
Prof Dr. Adélcio Carlos de Oliveira
PPGF / Universidade Federal de São João Del-Rei
Avaliada em: 28 de janeiro de 2014.
Local de Defesa: CEFET-MG, Campus II. Av. Amazonas, 7675. Gameleira, BH – MG.
AGRADECIMENTO(S)
Nesta página do trabalho gostaria de agradecer algumas pessoas que foram
fundamentais para a construção do mesmo.
Primeiro gostaria de agradecer meu orientador, professor Arthur, que sempre com
muito bom humor, boa vontade, e uma paciência enorme, me ajudou, me acalmou e me
orientou de forma indescritível, exercendo, inúmeras vezes, o papel essencial de orientador
(no sentido mais amplo da palavra). Sempre me guiando da forma mais honesta e sincera nos
aspectos acadêmicos e profissionais. Sou eternamente grata à sua dedicação em me
transformar numa pesquisadora e pessoa melhor. Professor Arthur, pretendo nunca desapontar
suas expectativas. O Sr. será eternamente meu mestre, quem eu me espelho para seguir minha
futura carreira acadêmica. Muito obrigada!
Em seguida gostaria de agradecer meu co-orientador, professor Albens, este sempre
me recebeu carinhosamente e de forma motivadora, me convencendo que mesmo não sendo
física ou programadora, detinha condições suficientes para fazer este mestrado. Agradeço
muito pela motivação e ensinamentos que o Sr me concedeu. Obrigada!
Gostaria de agradecer todo o corpo docente e discente do Mestrado em Modelagem
Matemática e Computacional, que me mostraram um mundo novo de conhecimento, pesquisa
e companheirismo.
Agradeço também meu marido André Felipe (muito amado) por ser tão generoso,
paciente e atencioso comigo, quando eu precisava me ausentar do nosso cotidiano para me
dedicar a pesquisa. Agradeço-o também por sempre me acompanhar e esperar várias vezes
enquanto estudava. Agradeço minha mãe por sempre se preocupar com minha saúde mental e
me achar tão “brilhante”, mesmo não sendo! Agradeço ao meu pai por ser fonte fundamental
dos meus sonhos e estudos, quem sempre me proporcionou a gana e a ambição de ser alguém
melhor e maior. Agradeço meu irmão Robertinho por me cobrar avanço em minha formação
acadêmica, e me fomentar o grande interesse pelo mestrado. Agradeço minha cunhada Ivre
pelo exemplo de força e garra. Agradeço as amigas Poliana e Gabriela, que foram sempre
ombros e ouvidos para os meus desabafos, entendendo sempre minha necessidade de
descanso e me reanimando. Por fim, agradeço toda a minha família e amigos por entenderem
minha ausência em inúmeros eventos sociais, e não me abandonarem nunca. Muito obrigada a
todos vocês! Serei eternamente grata. Obrigada!
“Assim, o mercador ou comerciante, movido apenas pelo seu próprio interesse egoísta,
é levado por uma mão invisível a promover algo que nunca fez parte do interesse dele:
o bem-estar da sociedade”.
(ADAM SMITH)
RESUMO
A presente pesquisa procura modelar através de um sistema de equações diferenciais lineares
homogêneas a dinâmica do preço de um ativo financeiro. O conjunto de equações representa a posição
de compra ou venda de cada agente do mercado e desvio do preço do ativo em relação a um preço
considerado justo (fundamentalista). Cada variável presente nestas equações evolui de acordo o
impacto que a quantidade demandada ou ofertada pelos agentes, bem como o desvio do preço,
provocam na decisão dos mesmos em demandar ou ofertar o ativo em questão. O modelo considera o
comportamento de imitação, antimitação ou neutralidade dos agentes, analisando diferentes casos
deste comportamento. Por conhecimentos prévios, acreditamos que a imitação é a característica que
mais se aproxima de situações reais. Para sistemas constituídos de agentes imitadores, verificou-se que
é necessário um termo que modele a finitude do dinheiro, para que a dinâmica não divirja.
Observamos que para encontrarmos distribuições de expoentes característicos de séries financeiras de
mercados eficientes, é fundamental a participação predominante de componentes aleatórias, exógenas
ao modelo. Contudo, concluímos que a presença da dinâmica interna deve ser considerada para
encontrarmos expoentes característicos de mercados emergentes.
Palavras-chave: Econofísica, finanças comportamentais, equações diferenciais lineares, expoente de
Hurst, mercado de ações
ABSTRACT:
This research seeks to model through a system of differential homogeneous linear equations the
dynamics of the price of a financial asset . The set of equations represents the position of buying or
selling of each agent in the market and the deviation of the price of the asset in relation to a price
considered fair (fundamentalist). Each variable present in these equations evolves according to the
impact that the quantity demanded or supplied by the agents, as well the deviation of the price,
provoke in the decision of the agents to demand or offer the asset in question. The model considers the
behavior of imitation, antiimitation or neutrality of agents, analyzing different cases of this behavior.
By prior knowledge, we believe that imitation is the feature that is closest to real situations. For
systems consisting of imitators agents, it was found that a term that models the finiteness of money is
necessary in order to the dynamics not to diverge. We note that to find distributions of characteristic
exponents of series of efficient financial markets, it is essential the predominant participation of
random components, exogenous to the model. However, we conclude that the presence of internal
dynamics must be considered in order to find characteristic exponents of emerging markets.
Keywords: Econophysics, behavioral finance, linear differential equations, Hurst exponent,
stock market.
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................
09
2.
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS ...........................................................................
2.1. Distribuição normal ..............................................................................................
2.2. Inferência estatística .............................................................................................
2.2.1. Estimação de parâmetros ..............................................................................
2.2.2. Intervalo de confiança ...................................................................................
2.2.3. Expoente de Hurst .........................................................................................
2.2.3.1. Como calcular o expoente de Hurst para séries de ativos financeiros.
14
14
17
17
19
22
24
3.
SOLUÇÃO MATRICIAL DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES HOMOGÊNEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES ................... 26
4.
MODELO: DINÂMICA DO MERCADO FINANCEIRO EMBASADA NO
EQUILÍBRIO DE OFERTA E DEMANDA DE ATIVOS ......................................... 31
5.
ANÁLISES EXPERIMENTAIS DO MODELO ........................................................ 40
5.1. Representação do modelo utilizando uma matriz de ordem �.............................. 42
5.2. Casos particulares onde as constantes , e serão preenchidas por valores
diferentes ...................................................................................................................... 47
5.2.1. Primeiro Caso: Todos os agentes são imitadores e indiferentes a variações no
preço ..................................................................................................................................
5.2.1.1. Condição inicial �1 (0): Imitadores com um único agente comprando e
os demais estáticos...................................................................................................
5.2.1.2. Condição inicial �2 (0): Imitadores com um único agente vendendo e os
demais estáticos.......................................................................................................
5.2.1.3. Condição inicial �3 (0): Imitadores com dois agentes, um comprando e
o outro vendendo, e os demais estáticos..................................................................
5.2.2. Segundo Caso: Todos os agentes são antimitadores e indiferentes a variações
no preço .............................................................................................................................
5.2.2.1 Condição inicial �1 (0): Antimitadores com um único agente comprando
e os demais estáticos ...............................................................................................
5.2.2.2. Condição inicial �2 (0): Antimitadores com um único agente vendendo e
os demais estáticos ..................................................................................................
5.2.2.3. Condição inicial �3 (0): Antimitadores com dois agentes, um comprando
e o outro vendendo, e os demais estáticos ..............................................................
5.2.3. Terceiro Caso: Todos os agentes são indiferentes às escolhas dos demais,
entretanto não são indiferentes ao preço...................................................................
5.2.3.1. Condição inicial �1 (0): Agentes neutros com relação à posição dos
demais, mas atentos à variação no preço, com um único agente comprando e os
demais estáticos ......................................................................................................
5.2.3.2. Condição inicial �2 (0): Agentes neutros com relação à posição dos
demais, mas atentos com à variação no preço, com um único agente vendendo e
os demais estáticos ..................................................................................................
5.2.3.3. Condição inicial �3 (�): Agentes neutros à posição dos demais, mas
atentos à variação no preço, com dois agentes, um comprando e o outro
vendendo, e os demais estáticos ..............................................................................
5.2.4. Quarto Caso: Todos os agentes são imitadores e sensíveis à variações no
preço ..................................................................................................................................
47
48
49
50
51
52
53
55
56
57
58
59
60
5.2.4.1. Condição inicial �1 (0): Imitadores atentos à variação no preço, com
um único agente comprando e os demais estáticos.................................................
5.2.4.2. Condição inicial �2 (0): Imitadores atentos à variação no preço, com
um único agente vendendo e os demais estáticos....................................................
5.2.4.3. Condição inicial �3 (0): Imitadores atentos à variação no preço, com
dois agentes, um comprando e o outro vendendo, e os demais estáticos................
5.2.5. Quinto Caso: Todos os agentes são antimitadores e sensíveis à variações no
preço ..................................................................................................................................
5.2.5.1. Condição Inicial �1 (0): Antimitadores atentos à variação no preço, com
um único agente comprando e os demais estáticos.................................................
5.2.5.2. Condição inicial �2 (0): Antimitadores atentos com à variação no preço,
com um único agente vendendo e os demais estáticos.............................................
5.2.5.3. Condição inicial �3 (0): Antimitadores atentos com a variação no preço,
com dois agentes, um comprando e o outro vendendo, e os demais estáticos.........
5.2.6. Sexto caso: Todos os agentes são imitadores, sensíveis à variação no preço e o
dinheiro é finito .................................................................................................................
5.2.6.1. Condição inicial �1 (0): Imitadores atentos à variação no preço, o
dinheiro é finito, com um único agente comprando e os demais
estáticos...........................................................................................................
5.2.6.2. Condição inicial �2 (0): Imitadores atentos à variação no preço, o
dinheiro é finito, com um único agente vendendo e os demais
estáticos...........................................................................................................
5.2.6.3. Condição inicial �3 (0): Imitadores atentos à variação no preço, o
dinheiro é finito, com dois agentes, um comprando e o outro vendendo, e os
demais estáticos.......................................................................................................
5.3. Balanço dos casos estudados ................................................................................
6.
7.
61
62
63
64
65
66
67
68
71
72
73
73
RESULTADOS DA EVOLUÇÃO DO MODELO ....................................................
6.1. Dinâmica 1: Comportamento da componente microeconômica ..........................
6.2. Dinâmica 2: Comportamento endógeno do modelo..............................................
6.3. Dinâmica 3: Comportamento endógeno do modelo com a participação
gradativa da componente microeconômica..................................................................
6.4. Dinâmica 4: Comportamento endógeno do modelo com a participação da
componente macroeconômica......................................................................................
6.5. Dinâmica 5: Comportamento endógeno do modelo com a participação das
componentes microeconômica e macroeconômica......................................................
6.6. Considerações gerais...................................................................................................
74
78
80
DISCUSSÕES FINAIS......................................................................................................
91
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................
95
81
85
87
89
APÊNCICE: Programa desenvolvido no software Matlab, para a construção do modelo
de sistema de equações diferencias lineares para a dinâmica de preços de um ativo
financeiro....................................................................................................................... 99
1.
INTRODUÇÃO
O mercado financeiro vem sendo fonte de estudos e análises nas últimas décadas. Isso
se deve principalmente a três grandes fatores. Primeiro, a complexidade com a qual a
economia vem crescendo geração após geração, desta forma elevando o nível de autonomia e
dimensão de eventos econômicos e financeiros, acompanhada do crescimento tecnológico,
que se torna, neste caso, o segundo fator de alavancagem em estudos neste cenário. Como
último fator, a geração de renda que o mercado financeiro promove, constituindo, talvez, este,
o principal fator de interesse dos estudiosos e analistas nos anos atuais e seguintes. Afinal, é
indubitável a geração de valor que o mercado de capitais pode fornecer aos agentes que atuam
neste mercado em meses, dias, ou até mesmo horas, utilizando por diversas vezes apenas
especulação financeira1.
O cenário econômico atualmente está passando por alterações significativas. O
fenômeno tecnológico favorece a agilidade das transações que ocorrem naturalmente de forma
corriqueira em todo o mundo. Os agentes econômicos, pessoas, empresas e governos,
tornaram-se mais astutos e complexos, salientando que compreender o comportamento desses
agentes tornou-se uma tarefa muito mais difícil com o passar dos anos. Essas características
da civilização moderna denotam a complexidade do mundo atual.
Neste contexto, podemos destacar o mercado de capitais como um dos cenários mais
sensíveis às ações dos agentes econômicos. O comportamento estratégico exercido pelos
mesmos interfere diretamente neste mercado. Auferir ganhos neste panorama decorre da
habilidade de conseguir interpretar as escolhas dos agentes econômicos e traduzi-las em
fenômenos reais ou especulativos que serão traduzidos nas transações ágeis de compra e
venda neste mercado, possibilitando, nesses moldes, grandes ganhos ou perdas financeiras.
Didier Sornette ressalta essa habilidade, quando contextualiza em seu livro o potencial que o
mercado possui para ganhos generosos, além da atração que ele provoca nos investidores,
principalmente pelas facilidades de efetuar transações rápidas, que surgiram após o advento
da internet (SORNETTE, 2003).
Um dos principais enigmas encontrados na perspectiva do mercado de ações
concentra-se essencialmente em como prever o futuro de ativos financeiros. A parcela das
1
É uma aposta baseada nas previsões de crescimento ou queda de um ativo financeiro.
9
empresas que sobrevivem da variação de altas e baixas desses ativos está sempre procurando
ferramentas e pessoas gabaritadas para executar a melhor análise possível do futuro desses
ativos. Muitas vezes, a análise concentra-se no curto prazo, ou seja, na variação especulativa
em período de horas ou dias, visto a imensa lucratividade que podem auferir com uma simples
transação de compra e venda.
Diante dessas características, parte da comunidade científica encontra-se na busca
incessante por modelos que possam descrever as variações de ativos financeiros. Será que é
possível formalizar as atitudes dos agentes que atuam nesse cenário? É viável construir um
modelo matemático capaz de prever a variação de preços de ativos financeiros? Quão longe
estamos de uma descrição completa das estatísticas dos retornos de ativos?
O estudo do comportamento de ativos financeiros é atualmente uma área de pesquisa
interdisciplinar, com atuação de economistas, administradores, engenheiros, matemáticos,
estatísticos, físicos, entre outros. Rosario Mantegna e Eugene Stanley argumentam em sua
obra que economistas e matemáticos são os pesquisadores que apresentam maior tradição na
investigação de sistemas financeiros (MANTEGNA e STANLEY, 2000). Entretanto,
recentemente, o número de físicos interessados na análise de sistemas econômicos apresentou
um crescimento extraordinário, o que resulta em inúmeros trabalhos de relevância econômica
que estão sendo publicados em revistas de Física. O estudo nessa área do conhecimento gerou
uma nova linha de pesquisa na fronteira entre a Economia, a Matemática e a Física, denotada
como Econofísica2. Existem vários estudos interessantes nessa linha de pesquisa. Podemos
destacar entre eles o livro de Didier Sornette, que pretende associar quebras (do inglês, crash)
financeiras à teoria de sistemas complexos e fenômenos críticos (SORNETTE, 2003). O autor
procura, através de uma tarefa ambiciosa, estimular cientistas e investidores a entenderem
como os mercados quebram.
Podemos destacar algumas contribuições nesta área realizadas por alguns
pesquisadores brasileiros. Daniel Cajueiro e Benjamin Tabak, analisam a eficiência do
mercado financeiro de economias emergentes e consolidadas, por meio do estudo do expoente
2
A Econofísica é uma nova área interdisciplinar na qual conceitos e técnicas de análise usualmente utilizados na
descrição dos sistemas físicos são aplicados para investigar os problemas financeiros e econômicos.
Atualmente usa primariamente, mas não exclusivamente, a física estatística para entender a natureza do
mercado, seu possível e uilíb io , funções de dist ibuição relacionadas à variação dos valores das ações em
mercados de ações, etc. Inclui também estudos acerca da distribuição individual de renda: fractalidade,
distribuição de Pareto; estuda a taxa de falência das empresas (distribuídas como um fractal) assim como a
distribuição do faturamento das empresas (RIBEIRO, 2010).
10
de Hurst (CAJUEIRO e TABAK, 2004). Albens Atman e Bruna Gonçalves desenvolvem uma
pesquisa baseada em autômatos celulares e redes complexas, modelando um mercado de
ativos artificial, onde os agentes que atuam neste mercado podem apresentar diferentes
comportamentos. O trabalho de Atman e Gonçalves objetiva quantificar e analisar o impacto
que o comportamento dos agentes financeiros provoca na estabilidade do mercado, sendo a
dinâmica aqui também caracterizada com o estudo do expoente de Hurst (ATMAN e
GONÇALVES, 2012). Já o trabalho de Renato Santos baseia-se em duas técnicas da física,
uma tradicional a respeito de séries temporais, e outra que utiliza métodos de renormalização
da física teórica conhecidos como aproximação auto-similar, para fazer previsões de índices
financeiros no período da crise financeira mundial de 2008 (SANTOS, 2009). Ana Luísa
Santos, Diego Carvalho e Felipe França apresentaram um algoritmo paralelo que descreve o
modelo de um mercado imperfeito, onde os agentes negociavam diferentes produtos
(SANTOS, CARVALHO e FRANÇA, 2004). Clayton Samora apresentou um estudo sobre as
séries temporais dos log-retorno de ações negociadas no período de 2010, desenvolvendo um
arranjo de forma que identificasse os conglomerados para ajudar a análise de diversificação
do risco em portifólios (SAMORA, 2011).
Importantes discussões que fomentam a base teórica para pesquisas nesta área
concentram-se principalmente na contraposição entre economistas fundamentalistas, que
defendem a Hipótese de Mercados Eficientes3 (FAMA, 1970), e estudiosos das finanças
comportamentais, que afirmam que os agentes que atuam no mercado financeiro podem deter
todas as informações possíveis - simetria de informação -, mas, mesmo assim, o que fará
diferença é o comportamento de cada agente ao fazer suas escolhas, sendo essas escolhas
fortemente influenciadas por hábitos de investimento da cada agente (KAHNEMAN e
TVERSKY, 1979). Os estudiosos de finanças comportamentais buscam entender os processos
psicológicos de decisão dos agentes, que em síntese impactam a dinâmica dos mercados
financeiros (OLSEN, 1996). Diante dessa discussão, estudos envolvendo modelos para a
dinâmica de investidores no mercado de ações têm sido realizados, e nessas pesquisas
podemos destacar o matemático, Gunduz Caginalp, da Univesidade de Pittsburg. Caginalp é
3
A hipótese de mercado eficiente não implica a permanecia de preços perfeitos, ou seja, (Preço de mercado
igual ao valor real do ativo). A exigência se dá apenas para que os preços não sejam tendenciosos. Ou seja, que
não exista nenhum tipo de correlação entre a variação desses valores e algum tipo de variável exógena ao
sistema. Damodaram explicita que essa relação de sub ou supervalorização do preço de um ativo seja
totalmente aleatória (DAMODARAM, 1996). Os mercados financeiros são "eficientes em relação à informação".
Uma vez que as informações estão disponíveis publicamente, os agentes, com certo grau de risco, não
conseguem retornos superiores à média do mercado.
11
um dos pioneiros na modelagem matemática para compreender a dinâmica de mercados de
capitais, suas pesquisas mais atraentes para estudiosos da área de Econofísica encontram-se
no campo de finanças quantitativas comportamentais e métodos envolvendo equações
diferenciais (CAGINALP e ERMENTROUT, 1990). As pesquisas realizadas por Caginalp
contribuíram para inúmeros trabalhos no campo da física, da ciência dos materiais e da
economia e finanças, podendo salientar dentre estes, alguns trabalhos com o ganhador do
prêmio Nobel em Ciência Econômica de 2002, o economista Vernon Smith.
Vernon Smith é um dos estudiosos que caminha em novas direções na pesquisa
econômica, na busca de modificar os principais postulados da economia clássica, como o da
racionalidade ilimitada dos agentes. Ele está aprofundando suas pesquisas em estudos como a
tomada de decisão humana, em psicologia cognitiva, e testes de predileções da teoria
econômica por meio de experimentos em laboratório (SMITH, 1994). Atualmente, a
economia comportamental e economia experimental estão entre as áreas mais latentes no
campo de pesquisa econômica.
A modelagem matemática, de acordo com a argumentação de Barbosa (2001), referese à problematização de algum episódio real. A uma dada situação, associam-se questões, a
partir das informações qualitativas e quantitativas apresentadas no contexto da situação.
Assim, no contexto dessa pesquisa pode-se definir a modelagem matemática como um
processo de indagação e investigação lógica utilizando parâmetros matemáticos para solução
de problemas empíricos. Através do instrumental matemático, em termos gerais, esta pesquisa
procura investigar e validar um modelo matemático baseado em equações diferenciais
lineares, interpretando-o dentro da conjuntura econômica do mercado de capitais. Desta
forma, assim como Gunduz Caginalp, Daniel Cajueiro, Benjamin Tabak, Didier Sornette,
Rosario Mantegna, Eugene Stanley, e demais pesquisadores aqui citados, respondemos à
demanda latente que vem crescendo nessa área de pesquisa, sendo a proposta principal deste
trabalho criar, de forma interdisciplinar, um modelo que alie o conhecimento de modelagem
matemática, estatística e teoria econômica, e que seja capaz de gerar resultados de acordo com
a perspectiva atual da conjuntura econômica do mercado de capitais.
De forma específica, propomos um modelo com um grande número de equações
diferenciais lineares, que relacionam a demanda e a oferta dos agentes individuais ao preço de
um único ativo financeiro. No capítulo 2, revisamos alguns conceitos estatísticos, necessários
para validar estatisticamente a proposta empírica do modelo e, no capítulo 3, desenvolvemos
12
uma solução matricial particular, para as equações diferenciais lineares. Em sequência, no
capítulo 4, construímos o modelo na perspectiva da dinâmica do mercado de capitais,
baseado-o no equilíbrio encontrado na interação entre as curvas de oferta e demanda de um
ativo financeiro, e na influência que os demais agentes provocam uns nos outros, através das
suas atitudes de imitar, de anti-imitar ou de neutralidade às escolhas dos demais. No capitulo
5, realizamos diversas análises – através de simulação computacional – dos coeficientes
presentes no modelo, ajustando-os para que estes sejam coerentes com os resultados
encontrados em trabalhos e pesquisas que envolvem séries reais de ativos financeiros. No
capítulo 6, introduzimos aleatoriedades ao modelo, que visam modelar impactos de origem
microeconômica e macroeconômica. Desta forma, foi possível encontrar resultados que
relacionam aspectos ressaltados por estudiosos das finanças comportamentais, como
Kahneman, e a visão de outros pesquisadores que defendem a hipótese de Mercado eficiente,
como Vernon Smith e Eugene Fama. Nossas discussões finais, conclusões e propostas para
trabalhos futuros encontram-se no capítulo 7.
2.
FERRAMENTAS ESTATÍSTICAS
13
Diante da necessidade humana de descrever, analisar e prever resultados do cotidiano
científico e empresarial surge a Estatística como ferramenta para solucionar essas conjunturas.
Segundo Freund e Simon (2004) “A coleta, o processamento, a interpretação e a apresentação
de dados numéricos pertencem todos ao domínio da Estatística”, desta forma a Estatística se
apresenta como instrumental na análise de dados. Essa disciplina, assim como outras linhas
do conhecimento, generaliza soluções através de instrumentação matemática.
2.1. Distribuição normal
A Estatística utiliza várias distribuições de variáveis contínuas para fazer inferências
sobre diversos resultados de uma pesquisa. Dentre essas inúmeras distribuições, podemos
destacar a distribuição normal, muito conhecida também como distribuição gaussiana.
A história da distribuição normal, de acordo com Pasquali (2011), aponta para
pesquisadores do século dezoito como Abraham de Moivre, Laplace, Legendre e Johann
Gauss, sendo o primeiro deles o pioneiro neste estudo. Em suas pesquisas, o matemático
francês Moivre fazia aproximações da distribuição binomial para grandes valores da amostra
de seus ensaios. O físico Laplace, aproveitando os resultados encontrados por seu compatriota
Moivre, continuou sua pesquisa conjecturando o teorema conhecido atualmente como
Moivre-Laplace, utilizando a distribuição normal para estimar erros em seus experimentos
estatísticos. Posteriormente o matemático parisiense, Legendre inseriu o famoso método dos
mínimos quadrados. Entretanto, foi o matemático e físico alemão Johann Carl Friedrich
Gauss, que afirmou utilizar esse método há muito tempo, justificando-o rigorosamente em sua
pesquisa em 1809. Por isso, a distribuição normal também é hoje conhecida como
distribuição de Gauss ou gaussiana.
A curva da distribuição gaussiana é simétrica e tem a forma de um sino, apresentando
caudas que se prolongam em ambas as direções (vide figura 1).
14
Figura 01: Curva em forma de Sino correspondente à distribuição Normal ou distribuição Gaussiana, onde �
representa o desvio-padrão.
A equação matemática que descreve a curva normal é
=
1
� 2�
−
− 2
2� 2
, para −∞ <
< ∞.
(2.01)
Consideremos uma variável aleatória � que apresenta como sua Função Densidade de
Probabilidade4 a equação (2.01). Pelo fato de sua função densidade de probabilidade
representar a curva normal, dizemos que a variável aleatória � possui uma distribuição
normal, podendo ser chamada de uma variável aleatória normal, com parâmetros
que −∞ <
< ∞, e � > 0.
Pode-se mostrar a partir da equação (2.01), que o parâmetro
e �, em
é o valor médio da variável
aleatória normal �, também conhecido como valor esperado ou esperança matemática
� .
Este valor é uma média ponderada dos valores possíveis de �, sendo uma medida de posição
que determina o centro da distribuição de probabilidades, ou seja,
=
� =
∞
−∞
.
(2.02)
Já o parâmetro �² corresponde à variância da variável aleatória normal �, também denotada
por �(�). É uma medida de dispersão ou largura na distribuição. Baseia-se na diferença entre
o valor de cada observação relacionada à variável aleatória normal � e sua respectiva média,
assim
4
Uma função densidade de probabilidade é utilizada para descrever a distribuição de probabilidades de uma
∞
variável aleatória contínua �, de tal forma que obedeça três critérios: 1º) ( ) 0; 2º) −∞
= 1; 3º)
= (
), ou seja, a área sob a curva entre dois valores quaisquer e
de uma variável aleatória com essa distribuição contínua assumir um valor no intervalo de
dá a probabilidade
a .
15
�² = � � =
�−
2
=
∞
−∞
−
2
(2.03)
.
A raiz quadrada da variância define o desvio-padrão �, sendo definido desta maneira para que
tenhamos uma medida estatística não negativa, e que utilize a mesma unidade de medida da
variável aleatória, portanto
�=
∞
−∞
No que segue, as letras gregas
−
2
(2.04)
.
e � serão denotadas respectivamente como média e
variância, para a distribuição normal, assim como para qualquer outra distribuição. Variáveis
aleatórias que apresentam diferentes médias e variâncias frequentemente são modeladas pela
função densidade de probabilidade da distribuição gaussiana, uma vez que são feitas escolhas
� =
coerentes do centro e da largura da curva. O valor esperado
determina o centro da
distribuição. Já o valor �(�) = �², determina a largura da curva. Quanto maior o desvio
padrão �, mais larga e achatada é a curva, quanto menor o desvio-padrão �, mais estreita e
alta é a curva.
Para determinarmos a probabilidade de encontrarmos uma variável aleatória normal �
num dado intervalo, é necessário calcular a área sob a curva normal nesse intervalo
previamente especificado, ou seja,
=
1
� 2�
−
− 2
2� 2
.
(2.05)
Caso a variável aleatória possua média zero ( = 0) e desvio padrão igual a um
(� = 1), terá uma distribuição normal padrão. Na distribuição normal padrão é usual utilizar
a letra
para caracterizar a variável aleatória, que neste caso será denominada variável
aleatória normal padrão. A distribuição normal padrão é frequentemente utilizada como
ferramenta de construção e análise no campo da inferência estatística, como veremos na
próxima seção.
16
2.2. Inferência estatística5
A inferência estatística consiste na utilização de métodos estatísticos para tirar
conclusões e tomar decisões acerca de um experimento, estes métodos servem para auxiliar a
extrair conclusões acerca da população utilizando apenas uma amostra adequada da mesma.
O estudo da inferência estatística pode ser dividido em duas grandes áreas, a estimação
de parâmetros e o teste de hipóteses.
2.2.1. Estimação de parâmetros
A estimação pontual de parâmetros é muito importante no campo da estatística;
fazemos inferências a respeito de médias, variâncias e proporções de uma população
utilizando estimadores pontuais. Para compreender melhor as ideias que serão tratadas nesta
seção é de suma importância entender o que é um parâmetro e o que é um estimador ou
estimativa.
Para começarmos a entender o que é um parâmetro, consideremos � uma variável
aleatória com distribuição de probabilidades descrita pela função ( ). Podemos caracterizar
essa distribuição por um valor desconhecido que chamaremos de �. Em geral, parâmetros são
quantidades desconhecidas da população. Normalmente utilizamos letras gregas para definilos. A variável aleatória � representa uma característica particular da população que queremos
estudar, sendo � um valor analítico que procura representar todo o conjunto a respeito dessa
característica particular observada em todas as ocorrências da variável aleatória �.
Já um estimador, ou uma estimativa, é a estatística construída a partir da amostra com
o objetivo de representar, ou estimar, o verdadeiro parâmetro de interesse da população, uma
vez que, na maioria dos casos, é inviável estudar toda a população. Usualmente destacamos
estimadores com acento circunflexo. Para exemplificar, vamos pressupor que as variáveis
�1 , �2 , … , � correspondem a amostras aleatórias de tamanho
retiradas de uma população
5
Para a construção desta seção, utilizamos como referência os livros Noções de Probabilidade e Estatística
(MAGALHÃES e LIMA, 2011) e Estatística Aplicada à Engenharia (MONTGOMERY, RUNGER e HUBELE, 2011).
17
com distribuição
( ). A estatística feita sobre o parâmetro � será destacada como � =
ℎ �1 , �2 , … , � , sendo ℎ uma função de observações na amostra aleatória.
Observe que o estimador � também é uma variável aleatória, uma vez que sua
construção advém da estatística feita sobre amostras de variáveis aleatórias. Após a seleção da
amostra, o estimador � assume um valor numérico especifico denominado estimador pontual
do parâmetro real �.
Podemos estabelecer diferentes estatísticas para a função ℎ na tentativa de estimarmos
o parâmetro de interesse, entretanto, para facilitar a escolha mais coerente, precisamos
verificar algumas propriedades que os estimadores pontuais devem possuir tais como:
Vício: Dizemos que um estimador é não viciado quando seu valor esperado coincide com o do
parâmetro de interesse, ou seja,
� = �;
Consistência: Um estimador é consistente se, ao aumentarmos o tamanho da amostra, o valor
esperado do estimador se aproxima do valor do parâmetro de interesse, lim
sua variância tende para zero, lim
→∞
� � = 0;
→∞
(�) = �, e
Eficiência: Quando satisfeitas as condições anteriores, ou seja, sendo o estimador não viciado
e consistente, diremos que ele é tanto mais eficiente quanto menor for sua variância
comparada à variância de outro estimador. A variância ou o desvio padrão de um estimador
fornece uma ideia de sua precisão, sendo denominada como erro padrão. Assim, um
parâmetro �1 será mais eficiente que outro parâmetro �2 se, e somente se, � �1 < �(�2 ).
Como dito anteriormente, muitas vezes é inviável estudar toda a população num
experimento. Assim, para conseguirmos fazer alguma inferência sobre a população,
precisamos retirar dela amostras consideráveis, e executamos a análise estatística sobre as
amostras, esperando que as mesmas se comportem do mesmo modo que a população. Daí a
importância de um estimador pontual. A tabela 1 apresenta os principais estimadores pontuais
numa análise estatística.
Parâmetro
Desconhecido
Estatística
Estimativa
Pontual
18
�
(média)
� 2 (variância)
(proporção)
�
�
2
�=
=
=
−
−1
2
2
Tabela 1: Relação entre os parâmetros desconhecidos, suas estatísticas típicas e estimativas pontuais.
Os estimadores pontuais apresentam como estimativa um único valor numérico para
os parâmetros populacionais. Mas, como vimos nesta seção, estimadores pontuais também são
variáveis aleatórias, e também possuem uma distribuição de probabilidade. Sendo assim,
podemos utilizar algumas características de suas distribuições de probabilidades para
apresentar uma medida mais informativa do valor do parâmetro populacional de interesse, de
forma que inclua uma medida de precisão do valor obtido. Esse método de estimação é
denominado intervalo de confiança. O método permite que, através da distribuição amostral
dos estimadores, possamos aliar ao estimador informações a respeito de sua variabilidade.
2.2.2. Intervalo de confiança
Para construir uma estimativa intervalar sobre um estimador pontual, é necessário
conhecer a distribuição de probabilidades desse estimador. Entretanto, frequentemente as
variáveis envolvidas na estatística possuem natureza contínua, e por essa razão torna-se
inviável enumerar todas as possíveis amostras envolvidas, o que nos impede de encontrar as
densidades de probabilidades dos estimadores. Portanto, encontrar a distribuição de
probabilidade de estimadores é um problema relevante e muitas vezes complicado no campo
da inferência estatística.
Então, levando em consideração esses aspectos, como podemos solucionar o
problema? A resposta para essa pergunta se encontra num dos teoremas mais relevantes da
estatística, o Teorema Central do Limite. Porém, para conceituar esse teorema, precisamos
conhecer alguns conceitos que nos ajudarão a entendê-lo melhor.
19
Primeiramente vamos considerar uma população que apresente uma distribuição de
probabilidades normal com média
� ~�
e variância finita �². Assim a variável de interesse será
, �2 ,
= 1, 2, 3, … , .
(2.06)
Vamos considerar também que � é independente de � , para todo
≠ . Assim, seja
�1 , �2 , … , � uma amostra aleatória de tamanho . Iremos representar sua média como
=
e sua variância como
�1 =
�2 =
�
=
�² = � �1 = � �2 =
(2.07)
=� � .
(2.08)
Seja � a média amostral para essa amostra de variáveis aleatórias:
�=
�1 + �2 +
+�
.
(2.09)
Como � é composta pela soma das variáveis aleatórias � , ela, por si só, também é uma
variável aleatória. Assim, seu valor esperado e sua variância serão, respectivamente,
e
� =
� � =�
�1 + �2 +
�1 + �2 +
+�
+�
=
=
1
1
(�1 + �2 +
e
�
� =
1
1
(2.10)
2
� �1 + �2 +
Com algumas manipulações algébricas encontraremos
� =
+ � ),
=
2
�² =
+� .
(2.11)
(2.12)
�²
.
(2.13)
Podemos observar que a variância amostral é menor que a variância de cada uma das
variáveis aleatórias � consideradas individualmente. Ou seja, quando o tamanho da amostra
aumenta, menor se torna o valor da variância da média amostral �(�). De outra forma,
20
quanto maior o valor de
. Quando
maior a probabilidade que o estimador � esteja próximo da média
→ ∞, � → . Esse resultado é conhecido como a lei dos grandes números que
tem um papel importantíssimo na teoria da inferência estatística. Desta forma, o problema de
determinar a distribuição de probabilidade de um estimador é passível de solução quando
coletarmos
amostras
suficientemente
grandes.
Segundo
Magalhães
(2011),
dados
experimentais mostram que amostras iguais ou maiores que 30 itens nos fornecem boas
aproximações para uma distribuição normal.
média
Seja �1 , �2 , … , � uma amostra aleatória retirada de uma determinada população, com
e variância �². Segundo o Teorema Central do Limite, quanto maior for o tamanho
da amostra, mais a distribuição de probabilidade da média amostral � se aproxima de uma
distribuição normal com média
e variância �²/ , que devidamente padronizada para a
distribuição normal padrão apresentará média 0 e variância 1, ou seja:
�−
→
�/
~� 0,1 .
(2.14)
Para construirmos uma estimativa intervalar confiável, precisamos estabelecer um
nível probabilístico, que é denominado de nível de confiança. O nível de confiança, que a
partir de agora denotaremos pela letra , é a probabilidade de que o intervalo estimado
contenha o verdadeiro parâmetro populacional. Por exemplo, se estabelecermos um nível de
confiança c igual a 95%, significa que dos
( = 1 − ) desses
significância
intervalos que eu possa vir a construir, 5%
intervalos não conterão o parâmetro populacional verdadeiro. A
é conhecida como coeficiente de confiança. Podemos escrever a probabilidade
estabelecida pelo coeficiente de confiança como:
−
/2
/2
=1−
= .
(2.15)
Nos extremos do intervalo temos a variável aleatória normal padrão pautada pelo índice
/2.
Isso se deve ao fato da distribuição normal ser bicaudal, então para mantermos a massa da
distribuição centrada devemos redistribuir igualmente a probabilidade
Substituindo a variável aleatória normal padrão por
−
/2
�−
�
/2
�−
�
entre as caudas.
, teremos o seguinte intervalo:
=1−
.
(2.16)
21
Ao manipularmos essas grandezas, encontraremos
�−
/2 .
�
Logo, se uma amostra de tamanho
aleatória normal padrão
�+
�
= 1 − . (2.17)
possuir � como a média amostral de uma variável
, podemos estabelecer como intervalo de confiança (IC) para a
média , a um nível de significância 100 1 −
�−
/2 .
/2 .
�
%, o intervalo
�+
/2 .
�
.
(2.18)
É preciso ressaltar que devemos ter muita cautela na interpretação do intervalo de
confiança, apesar do intervalo ser numérico ele continua sendo aleatório, afinal a sua
expressão envolve o valor de �, que é uma variável aleatória. A interpretação mais adequada
desse intervalo é: se calcularmos os intervalos de confiança com nível de significância , para
diferentes amostras, esperamos que a proporção de intervalos calculados que contém o
verdadeiro parâmetro
seja igual ao nível de significância .
Conhecendo os valores nos extremos do intervalo de confiança, que denominaremos
de valores críticos, podemos definir a amplitude do intervalo. A amplitude é a diferença entre
os limites superior e inferior, sendo a semi-amplitude, conhecida como erro de amostragem:
=
/2 .
�
. (2.19)
2.2.3. Expoente de Hurst
O hidrólogo Harold Edwin Hurst (1880-1978) em meados de 1906 foi nomeado pelo
governo britânico para trabalhar no projeto da construção de uma represa para o rio Nilo.
Hurst ficou aproximadamente 40 anos no Cairo concentrando seus estudos na política de
fluxo da água que deveria ser adotada para a vazão do rio. A vazão de água do rio deveria ser
de forma tal que a represa não transbordasse, mas também não ficasse vazia. Hurst media a
diferença entre o volume máximo e mínimo do reservatório, essa extensão seria o alcance (do
inglês range) de volume do reservatório. Dependendo do intervalo que era usado para auferir
as medições as extensões dessas flutuações mudavam. Desta forma, ele decidiu padronizar o
22
processo, criando uma medida adimensional que divide a extensão das observações (R) pelo
desvio padrão (S), denominada análise de reescalonamento (estatística R/S). Esta análise
levou Hurst a concluir que a maioria dos fenômenos naturais, assim como o regime de chuvas,
o fluxo de água nos rios, e a temperatura seguiam um passeio aleatório viesado, ou seja,
Harold Hurst diagnosticou um ruído nas séries que poderia ser medido pela nova
estatística.“Nessa relação, a estatística R/S é igual à metade no número de observações
elevado a um expoente H, mais tarde, denominado Expoente de Hurst.”(CAJUEIRO;
TABAK e SOUZA, 2006, p.8).
Mandelbrot e Wallis em 1969 observaram que a estatística desenvolvida por Hurst
seguia o mesmo comportamento de séries que apresentavam o movimento browniano
fracionário. Desta forma, o estudo desenvolvido por Hurst pode ser aplicável para
diagnosticar propriedades de memória de longo prazo em séries que apresentam esse
movimento. Se as séries seguem o movimento Browniano, as extensões das flutuações
mudam aumentando com a raiz quadrada do tempo (
1/2
). Logo, esta nova estatística serviria
para distinguir uma série randômica de uma série não-randômica. O valor do expoente de
Hurst ( ) varia entre 0 e 1. Para 0 <
< 0,5 a série apresenta memória de longo prazo
antipersistente, ou seja, o comportamento do futuro tem tendência oposta ao comportamento
do passado. Quando 0,5 <
< 1 a série apresenta memória de longo prazo persistente, de
forma análoga, o comportamento do futuro tende a caminhar na mesma direção do
comportamento do passado. E quando
= 0,5 a série desenvolve o movimento browniano
clássico, descrevendo a existência de um passeio aleatório (random walk).
Anos depois, o estudioso de mercados Edgar E. Peters (1989) aplicou a estatística do
expoente de Hurst em séries financeiras, e percebeu que elas possuíam o mesmo
comportamento estudado por Hurst em fenômenos naturais. Ele aprimorou seus estudos nessa
área, e observou que o mercado de ações apresenta uma persistência de memória, encontrando
resultados para o expoente de Hurst de ações em torno de 0,61 e 0,66 para ações e títulos.
Apesar de o mercado apresentar persistência de memória, ela não é tão significativa que
levasse a resultados além de curtos períodos de tempo. Entretanto, tal estudo serviu para
quebrar a evidência da hipótese de mercado eficiente, pois foi comprovado com os resultados
encontrados por Peters que o mercado não segue o modelo aleatório puro (random walk).
2.2.3.1.
Como calcular o expoente de Hurst para séries de ativos financeiros.
23
Segundo Cajueiro (2004), seja � � o preço do ativo a ser estudado, e (�) a taxa do
retorno logarítmico desse ativo de acordo com fórmula
�(�)
� = ln
�(� − 1) ,
(2.20)
onde o intervalo do tempo é definido por 0 < � < �, uma vez que 0 determina o instante de
tempo da primeira cotação do ativo e � determina o instante da última cotação do ativo no
período estudado. A partir da fórmula 2.20 podemos determinar uma série de tamanho �.
� em blocos de observações que
Para calcular o expoente de Hurst iremos dividir a série
possuirão � elementos, sendo �
�. Para cada valor atribuído a � teremos uma estatística
/ calculada da forma descrita a seguir.
Primeiro iremos subdividir a série em vários intervalos sequenciais numerados por ,
com 1
de tamanho fixo � iremos classificar seus
, logo para cada intervalo
elementos de 1
�
�. Assim iremos calcular a taxa de retorno médio de todos os intervalos
, fixados por �, presentes na série de acordo com a seguinte expressão:
�
�=1
=
�
�,
.
(2.21)
Após o cálculo da taxa de retorno médio, calculamos desvio padrão de todos os intervalos
�
�=1
=
�,
�
2
−
.
(2.22)
Em seguida, calculamos a estatística / de todos os intervalos
/
=
1
max
1 � �
�
,
=1
−
− min
1 � �
�
,
=1
−
Na sequência, calculamos a média dos valores das estatísticas
.
/
(2.23)
encontradas para os
intervalos, associando essa média ao tamanho fixo � de cada intervalo.
/
�
=
=1
/
.
(2.24)
24
Por fim, executamos o cálculo descrito anteriormente para diferentes e sucessivos tamanhos
de �, assim para cada valor de � temos uma estatística
�.
/
encontrado através da seguinte relação:
/
�
= �/2
.
O expoente de Hurst (H) é
(2.25)
Aplicando logaritmo de base 10 na relação anterior temos
log
Consideramos
log
/
�
/
�
log � −
=
log 2.
(2.26)
log 2 uma constante . Desta forma, podemos analisar os pares de dados
e log �, ajustando-os a uma reta dada por
Os valores dos parâmetros
log
/
e
�
=
log � − .
(2.27)
da equação (2.27) podem ser encontrados a partir do
método Mínimos Quadrados Ordinários, que define uma regressão linear em torno dos pares
ditos anteriormente.
25
3.
SOLUÇÃO MATRICIAL DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
LINEARES
HOMOGÊNEAS
COM
COEFICIENTES CONSTANTES
Analisemos o seguinte sistema de equações diferenciais lineares:
1
�
2
�
�
onde os coeficientes
=
11 1
+
12
+
+
1
,
=
21 1
+
22 2
+
+
2
,
=
1 1
+
2 2
+
+
(3.01)
,
são constantes. O presente sistema pode ser representado na seguinte
forma matricial:
Sendo as matrizes � ′ (�),
1
�′ � =
Caso a matriz
�
�′ � = � � ,
e �(�) definidas a seguir:
2
�
,
(3.02)
=
11
12
21
22
1
2
�
…
…
⋱
…
1 (�)
1
2
e � � =
seja uma matriz diagonalizável, existirão as matrizes
2 (�)
.
(3.03)
(�)
e
que tornam válida
a afirmação
−1
=
,
(3.04)
onde
=
1
0
0
2
0
0
0
0
⋱
(3.05)
é a matriz que contém os autovalores de ,
26
=
11
12
21
22
1
2
1
2
(3.06)
⋱
é a matriz que contém os autovetores de , e
12
1
21
22
2
1
2
11
−1
é a matriz inversa da matriz
,
e
−1
=
(3.07)
⋱
. Como os elementos da matriz
são constantes, as matrizes
também serão compostas por constantes.
Podemos substituir a matriz
na equação 3.02 pela forma estabelecida em (3.04), o
que nos leva a
�′ � =
−1
� � .
(3.08)
−1
Multiplicando os dois membros da equação (3.08) pela matriz
−1
�′ � =
Vamos considerar o produto entre
−1
−1
� � .
, temos
(3.09)
�(�) como sendo a matriz
� :
1 (�)
� =
−1
� � =
2 (�)
.
(3.10)
(�)
Explicitando o produto que define a matriz (�) teremos
1 (�)
2 (�)
=
(�)
=
11
12
21
22
1
2
11 . 1
� +
� +
21 . 1
1. 1
� +
1
1 (�)
2
2 (�)
⋱
(�)
12 . 2
22 . 2
2.
2
� +
� +
� +
1
2
.
.
(�)
(�)
.
(�)
.
(3.11)
Derivando a matriz (�) da equação 3.11 encontraremos a seguinte equação matricial:
27
1
2
�
1
21 .
=
�
Assim,
1
11 .
�
�
�
12 .
+
22 .
+
2.
1
1.
2
+
�
�
2
�
2
�
+
+
1
.
+
+
2
.
+
+
(3.12)
�
1
2
�
.
�
.
1
�
�
=
11
12
1
21
22
2
1
2
�
2
�
.
�
⋱
(3.13)
�
Podemos denotar o produto matricial do segundo membro da equação acima como
1
′
�
2
� =
(3.14)
�
Logo, temos a seguinte expressão:
′
.
�
� =
Substituindo o produto matricial
−1
−1
�′ � .
�′ �
(3.15)
−1
por
estabelecida na expressão 3.09 , encontramos:
′ � =
−1
� � .
Uma vez que anteriormente estabelecemos que
� �
advindo da igualdade
(3.16)
−1
�(�) é equivalente à matriz
(�),
podemos reescrever a expressão anterior da seguinte forma
′
� =
� .
(3.17)
Abrindo a equação (3.17) em sua forma expandida chegamos a
28
1
�
2
=
�
1
0
0
2
0
1 (�)
0
0
2 (�)
⋱
0
�
1. 1
=
2. 2
(�)
.
�
�
. (3.18)
(�)
Podemos, dessa forma, montar o sistema descrito pelas matrizes da expressão (3.18):
1
�
=
1. 1
=
2. 2
�
=
2
�
� ,
� ,
(3.19)
� .
.
Esse sistema é composto por equações diferencias desacopladas, sendo a solução geral
de cada uma delas apresentada a seguir:
.�
=
Portanto, a solução do sistema em
1 (�)
2 (�)
=
(�)
1.
1 .�
2.
2 .�
.
.�
. ( = 1, 2,
, )
(3.20)
pode ser escrita de acordo a seguinte igualdade matricial:
1 .�
0
2 .�
0
=
0
⋱
0
0
0
0
0
1
2
.
(3.21)
.�
Podemos escrever a expressão matricial (3.21) como
� =
onde
1 .�
� =
Sabemos que
matriz , obteremos
0
2 .�
0
0
� =
0
−1
⋱
�
0
0
,
0
0
(3.22)
1
e
=
2
.
(3.23)
.�
�(�): se multiplicarmos os dois membros da equação pela
� =
−1
� � .
(3.24)
29
Ao substituir (�) encontrado em (3.22) na equação acima, chegamos em
� � =
�
.
� 0 =
0
.
(3.25)
Estabelecendo como condição inicial � = 0, a expressão (3.25) passa a ser
Explicitando a forma matricial:
1
2
0
0
=
0
=
11
12
1
21
22
2
1
2
(3.26)
1 .0
0
2 .0
0
⋱
0
11
12
1
21
22
2
1
2
1 0
0 1
⋱
0 0
0
0 0
0 0
⋱
1
⋱
0
0
0
0
1
2
.0
1
2
.
(3.27)
Vemos que aplicando a condição � = 0, a matriz (0) se transforma na matriz identidade ,
sendo a expressão matricial (3.26) reescrita como
� 0 =
.
(3.28)
Para determinar a matriz , multiplicamos os dois membros da equação anterior por
forma que a expressão fique
=
−1
� 0 .
�
−1
Logo, a expressão final passa a ser
� � =
−1
, de
(3.29)
� 0 ,
(3.30)
que é a solução do sistema de equações diferenciais lineares com a condição inicial � 0
dada.
30
4.
MODELO: DINÂMICA DO MERCADO FINANCEIRO
EMABASADA NO EQUILÍBRIO DE OFERTA E DEMANDA
DE ATIVOS.
O cenário econômico é traçado por vários mercados que apresentam diferentes formas.
Nosso estudo se concentra no mercado competitivo de ativos financeiros, cuja principal
característica é a existência de inúmeros compradores e inúmeros vendedores. Assim, o
modelo pretende descrever a dinâmica de flutuações dos preços de ativos financeiros
utilizando as forças de mercado da oferta e da demanda através da interação dos agentes
compradores/vendedores nos mercados competitivos.
As forças da oferta e da demanda determinam a quantidade vendida e o preço de um
bem. Para determinar as curvas que produzem essas forças e o ponto de equilíbrio entre oferta
e demanda de ativos, precisamos compreender o comportamento dos agentes econômicos.
A demanda representa a atitude dos compradores no mercado, a quantidade
demandada de um determinado bem é a quantidade que o comprador deseja adquirir.
Entretanto, essa quantidade depende diretamente do preço desse bem. Quanto mais alto o
preço, menor é o interesse do comprador, desta forma, menor será a quantidade adquirida do
item em questão. O contrário também é válido, quanto menor o preço do bem, maior é o
interesse do comprador, assim, maior a quantidade adquirida do item. Desta maneira,
podemos observar que a quantidade demandada se relaciona inversamente com o preço do
bem. Ceteris paribus6, se o preço do bem aumenta sua quantidade demandada diminui, caso o
preço diminua, a quantidade demandada aumenta, esta relação estabelece o que os
economistas chamam de lei da demanda.
Pelo fato da quantidade demandada se relacionar inversamente com o preço, a curva
de demanda (CD) apresentará inclinação negativa (vide figura 4.1). Cada comprador terá sua
curva de demanda individual, que é definida por diversos fatores como renda, gostos
individuais, expectativas, preço dos bens relacionados, entre outros. A soma das curvas de
6
Expressão latina que indica "todo o mais é constante" ou "mantidas inalteradas todas as outras coisas". Essa
condição é utilizada na Economia quando pretende-se analisar a influência de um fator em um determinado
mercado, sem que os demais fatores ou variáveis sofram alterações.
31
demandas individuais de todos os agentes envolvidos num mercado define o que denotaremos
de demanda de mercado. A curva de demanda de mercado pode se deslocar caso ocorram
alterações significativas nos fatores que a definem, como queda ou elevação na renda,
alterações dos gostos ou expectativas dos consumidores, etc. Como estamos interessados no
comportamento holístico dos agentes, estudaremos a curva de demanda de mercado. Ela nos
mostra como a quantidade total demandada de um determinado bem varia conforme o seu
preço varia, enquanto todos os outros fatores que afetam os desejos dos consumidores em
comprar se mantiveram constantes.
Figura 4.1: Curva de demanda de mercado
A oferta representa a atitude dos vendedores, sendo análoga à atitude dos
compradores. A quantidade ofertada de um bem é a quantidade que o vendedor deseja e pode
vender almejando lucro. Existem muitos determinantes para a quantidade ofertada, mas
destacaremos como principal o preço. Quando o preço de um bem é elevado, os produtores
tendem a produzir mais, auferindo maiores ganhos. Entretanto, quando o preço do bem sofre
uma queda, o negócio se torna menos lucrativo, e o produtor acaba por produzir menos. Logo,
podemos observar que a quantidade ofertada se relaciona diretamente com o preço do bem,
ceteris paribus, se o preço do bem aumenta sua quantidade ofertada aumenta, se o preço
diminuir, sua quantidade ofertada também diminuirá. Esta relação é denotada como lei da
oferta.
Como a quantidade ofertada se relaciona diretamente com o preço, a curva de oferta
(CO) será positivamente inclinada (vide figura 4.2). Assim como a demanda, cada vendedor
terá sua curva de oferta individual, sendo os fatores que a definem: o preço dos insumos de
produção, a tecnologia, as expectativas, o número de vendedores, dentre outros. Assim como
a demanda de mercado, a oferta de mercado é a soma de todas as ofertas individuais dos
32
agentes. Caso ocorram alterações nos fatores que definem a curva de oferta do mercado, ela se
deslocará. A curva de oferta de mercado mostra como a quantidade ofertada total varia à
medida que o preço do bem varia, enquanto todos os outros fatores que afetam a produção
permanecem constantes.
Figura 4.2: Curva de oferta de mercado
A Figura 4.3 mostra as curvas de oferta e demanda de mercado juntas, note que
quando a quantidade demandada é exatamente igual à quantidade ofertada, ao preço de
equilíbrio, existe um ponto de intersecção entre as curvas, esse ponto é denominado de
equilíbrio de mercado. A quantidade (
) e o preço ( ) determinam a quantidade e o preço
de equilíbrio. O preço de equilíbrio também é conhecido como o preço de ajustamento do
mercado, pois a esse preço os agentes encontram-se satisfeitos, os consumidores compraram
tudo que desejavam comprar, e os produtores venderam tudo que desejavam vender. As ações
dos agentes econômicos compradores/vendedores conduzem naturalmente ao equilíbrio de
mercado.
Figura 4.3: O equilíbrio entre as curvas de oferta e demanda de mercado.
33
Quando o preço de um determinado bem se encontra acima
1
ou abaixo ( 2 ) do
preço de equilíbrio ( ), como na figura 4.4, dizemos que há, respectivamente, um excesso de
oferta ou excesso de demanda. Ao preço
1
os produtores estão interessados em vender uma
quantidade maior, entretanto a quantidade demandada a esse preço é menor, logo ocorrerá
elevação nos estoques, e os produtores terão que reduzir o preço para a demanda absorver o
produto, o que leva ao ponto de equilíbrio. Já ao preço
2
o desejo dos consumidores
aumenta, aumentando a procura, o que leva os produtores a aumentar o preço uma vez que a
demanda é maior, chegando novamente ao equilíbrio. O preço sempre se ajustará para trazer a
quantidade ofertada e demandada do bem para o equilíbrio, são as forças de demanda e oferta
que determinam o preço dos bens e serviços presentes na economia.
Figura 4.4: O excesso de demanda e excesso de oferta.
Diante disso, vamos considerar � agentes atuando sobre determinado ativo financeiro.
O comportamento de cada agente será modelado conforme descrito a partir da variável
,
que tem o seguinte significado:

se

está disposto a comprar durante o intervalo de tempo ∆� ;
se
,
,
0,
0,
é igual à quantidade demandada do ativo financeiro que o agente
,
,
tem significado análogo, porém será a quantidade ofertada que o
agente esta disposto a vender durante o mesmo intervalo ∆� .
Vamos supor que a solicitação de compra ou venda seja pública. Isto é, todos os
agentes dessa economia sabem o que o agente
está disposto a fazer durante o intervalo de
tempo ∆� . Em outras palavras, a informação a respeito da escolha do agente
é simétrica,
sendo esta disponível a todos os agentes envolvidos neste mercado.
34
Ressaltemos que
não corresponde à quantidade efetivamente negociada no
,
intervalo ∆� , mas sim à intenção de compra ou venda publicada pelo agente
no período
∆� . De fato, não modelamos aqui a quantidade comprada ou vendida pelo agente ,
entretanto acreditamos que a probabilidade de que se efetue uma transação de compra ou
venda no período ∆� é uma função crescente do mesmo. Por outro lado, o volume desta
transação é associado à intenção de compra ou venda (
,
). Assim, podemos concluir que em
média a quantidade negociada no período ∆� é uma função de ∆� e
relação a ambas, e que tende a zero quando ∆� ou
,
,
, crescente em
tende a zero.
Os agentes farão suas escolhas de compra ou venda de acordo com o que perceberam a
respeito das decisões dos demais agentes, sendo a variação da quantidade de ativos que cada
agente pretende negociar modelada da seguinte forma:
, +1
onde os
,
−
,
=
�
,
são constantes, os
−
−
são constantes negativas,
antimita o agente , e se
Quando a diferença
(
=1
o preço que o agente considera justo7. Se
agente
+
,
,
,
),
(4.01)
é o preço no intervalo ∆ e
> 0, o agente imita o agente , se
= 0 o agente
,
é
< 0, o
é indiferente às escolhas do agente .
é positiva, o agente avalia que o preço do ativo está acima do
preço que ele considera justo pagar, desta forma influencia sua atitude gerando um impacto
negativo na expressão (4.01). Já quando a diferença
−
é negativa, o comportamento do
agente é análogo, no sentido oposto, logo, ela influencia sua atitude gerando um impacto
positivo na sua decisão.
Fazendo ∆� = ∆� (independente de ) e ∆� → 0, a indexação relacionada a
deve ser
contínua, e a equação (4.01) passa a ter a seguinte forma:
� + ∆� −
� =
�
=1
,
(�) +
( (�) −
),
(4.02)
o que nos leva em
7
De acordo com a análise fundamentalista, o preço justo de uma ação se baseia na expectativa que os agentes
possuem sobre resultados futuros, sendo uma avaliação individual. Se a cotação esta acima do preço justo,
aquele ativo não é uma boa opção de investimento no longo prazo, caso contrário, se a cotação estiver abaixo
do preço justo, aquele ativo torna-se uma boa opção de investimento no longo prazo.
35
�
onde
=
�
=1
,
=
.
e
∆�
Evidentemente, quando ∆� → 0,
=
∆�
),
.
(4.03)
(4.04)
devem também tender a zero, para que
,
permaneçam finitos. Esta consideração é consistente com a ideia de que a variação
,
em
( (�) −
(�) +
,
,
é infinitesimal em tempos infinitesimais.
Vamos pressupor que todos os agentes são racionais e a informação é simétrica. Sendo
desta forma o preço justo
uma constante
0
igual para todos eles. Assim, podemos escrever
a equação 4.03 da seguinte forma:
�
onde definimos
=
�+1
,
(�) ,
(4.05)
=1
+1
=
(4.06)
e
�+1
� =
� −
0.
4.07
de 1 até �. Uma equação
Atentemos para o fato de que a equação (4.05) é válida para
referente à derivada de
�+1
será dada no que se segue.
Para isso, analisemos como o preço se comporta a partir da demanda e oferta de
mercado. No intervalo ∆� é vigente:
de mercado e
intervalo
,
, onde
a oferta de mercado. O preço
a demanda
é resultado do equilíbrio relativo ao
− 1, o equilíbrio obtido a partir das curvas
demanda, respectivamente, vigentes no intervalo
é o preço do ativo,
−1
e
−1 ,
curvas de oferta e
− 1 (vide figura 4.5). Quando mudam as
preferências dos agentes, ocorre uma mudança na oferta e na demanda, para um dado preço.
36
As mudanças é que são responsáveis pela alteração no preço 8. Uma forma de incorporar esse
fato no modelo é pela translação horizontal das curvas.
Figura 4.5: Equilíbrio relativo entre as curvas de oferta e demanda no mercado de ativos.
Desta forma, existe um desequilíbrio entre oferta e demanda no intervalo . O novo preço de
equilíbrio, obtido a partir de
O preço
+1
e
, é o preço
+1 ,
válido no intervalo
+ 1.
é encontrado aproximadamente como a interseção das retas
:
=
+
e
:
=
+
,
(4.08)
Tangentes às curvas de demanda e de oferta, respectivamente (vide figura 4.5). Como
estamos considerando que novas curvas são obtidas a partir das antigas por meio de
translações horizontais,
são funções de
observando-se que os pontos (
,
) e (
apenas. Já
são obtidos
) pertencem às retas
,
e
,
respectivamente, ou seja,
=
+
=
+
,
(4.09)
logo,
=
−
=
−
e
A interseção das retas
8
e
(4.10)
.
(4.11)
ocorrem aproximadamente no ponto
,
+1
, onde é válido
Em outras palavras, se ocorrem variações no preço é porque as curvas estão se movendo.
37
+1
=
+
=
+
.
(4.12)
Usando as equações (4.10) e (4.11) em (4.12), temos
−
+
o que leva em
=
−
−
=
e
+1
=
+
=
+1
podemos escrever
Uma vez que
e
−
−
=
∆
=
∆�
.
1
∆�
−
−
são funções de
,
(4.13)
(4.14)
−
Definindo
∆
−
+
.
(4.15)
,
(4.16)
(4.17)
, podemos observar que
também será função de
∆� . Fazendo ∆� independente de , ∆� = ∆�, podemos considerar
como função de
apenas:
= (
).
(4.18)
Observemos também que
−
=
�
.
,
(4.19)
=1
Assim,
∆
=
∆�
�
,
.
(4.20)
=1
38
Tomando a aproximação ∆� → 0, a indexação dos valores
contínua:
ou seja:
torna-se (�),
,
� . Por outro lado, ∆
torna-se
� + ∆� − (�)
=
,
�
∆�
∆
= lim
∆�→0
∆�
�
�
=
� .
=1
e
,
deve ser feita de forma
/∆� torna-se
(4.21)
(4.22)
Considerando que as variações nas inclinações das curvas de oferta e demanda são
desprezíveis nas faixas em que os preços variam na dinâmica estudada, podemos
desconsiderar a variação de
com
, que se torna, então, constante. Observando agora a
equação 4.07 considerando o preço justo
0
constante, podemos escrever a expressão
(4.22) da seguinte forma:
�+1
�
=
�
=1
� .
(4.23)
Esta equação é equivalente à encontrada em Caginalp (2005) para o caso em que as curvas de
oferta e demanda são lineares. As equações (4.05) em conjunto com a equação (4.23)
compõem um sistema de � + 1 equações diferenciais lineares acopladas homogêneas, que
serão exploradas com o uso das técnicas tratadas no terceiro capítulo desse texto.
O mercado certamente não funciona exatamente conforme foi descrito, entretanto
esperamos capturar aspectos da dinâmica com o uso deste modelo, que troca demandas e
ofertas individuais que mudam de forma abrupta (nos mercados reais), por outras que variam
gradativamente, visando manter o caráter médio das influências das demandas e ofertas sobre
o preço, e deste sobre aquelas.
39
5.
ANÁLISES EXPERIMENTAIS DO MODELO
Neste capítulo, apresentaremos toda a evolução do modelo, começando de casos
extremos e chegando a uma estrutura coerente com a dinâmica do mercado de ativos.
O sistema de equações diferenciais lineares, descrito no capítulo 3, pode ser expresso
pela seguinte equação matricial:
�′ � = � � .
(5.01)
Relembrando a solução matricial desenvolvida no mesmo capítulo encontramos a equação
� � =
−1
�
� 0 .
(5.02)
Tal solução corresponde ao modelo de dinâmica do mercado financeiro embasada no
equilíbrio de oferta e demanda de ativos, descrito no capítulo 4 desta pesquisa. A matriz �(�)
da solução da equação (5.02) pode ser usada para descrever o comportamento de cada agente
de forma quantitativa, bem como o preço do ativo. Assim, consideraremos, a partir deste
capítulo, que a variável
(�), para 1
no tempo �, e
(dependendo do sinal) do agente
− 1, é relacionada a oferta ou demanda
(�) corresponde ao desvio do preço em
relação ao preço justo9, de acordo com a descrição do capítulo 4.
Podemos representar a solução (5.01) através de seguinte expressão matricial:
1 (�)
11
12
1
2 (�)
21
22
2
1
2
=
(�)
⋱
1 .�
.
0
2 .�
0
0
⋱
0
0 0
0 0
.
.�
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
⋱
(5.03)
.
0
0
.
0
Desenvolvendo a multiplicação matricial apresentada no segundo membro, encontraremos
1 (�)
2 (�)
(�)
=
11 .
1 .�
21 .
1 .�
.
=1 1
1.
1 .�
.
=1 1
.
=1 1
12 .
2 .�
. (0) +
22 .
2 .�
.
=1
2
. (0) +
+
. (0) +
2.
2 .�
.
=1
2
. (0) +
+
. (0) +
.
=1
2
. (0) +
+
1
2
.
.�
.
=1
. (0)
.
.�
.
=1
. (0)
.
.�
.
=1
. (0)
.
(5.04)
9
É importante ressaltar que o termo
corresponde ao termo � + 1 do capítulo 4.
40
Podemos separar deste resultado os termos que dependem diretamente de �, representando
essa solução como uma multiplicação de uma matriz de coeficientes pela matriz que
determina a dependência da variável �, da seguinte forma:
1 (�)
2 (�)
=
(�)
11 .
=1 1
. (0)
12 .
=1
2
. (0)
1
.
=1
. (0)
21 .
=1 1
. (0)
22 .
=1
2
. (0)
2
.
=1
. (0)
.
=1
. (0)
1.
=1 1
2.
. (0)
2
=1
. (0)
⋱
1 .�
2 .�
.
.
.�
(5.05)
Desta forma podemos escrever a representação matricial acima como
onde a matriz
.�
, com
� � =
� ,
5.06
é uma matriz de coeficientes e o vetor
é construída a partir das variáveis
variando de 1 á .
Por outro lado, também podemos representar a matriz
1
.
0
como
0
0
=1
=
11
12
21
22
1
1
2
⋱
2
.
0
2
.
0
0
.
=1
0
⋱
0
.
0
=1
(5.07)
Logo,
=
onde
,
(5.08)
é a matriz que contém os autovetores da matriz
, e
é a matriz que contém na
diagonal principal somatórios, que são determinados em cada linha do vetor encontrado na
multiplicação de
−1
. �(0).
41
5.1. Representação do modelo utilizando uma matriz de
ordem �
A solução matricial descrita na equação (5.03) foi encontrada através da manipulação
algébrica da equação matricial � ′ � = . �(�), desenvolvida no capítulo 3 deste trabalho.
Por esse motivo, vamos iniciar o processo de análise utilizando uma matriz
de ordem �,
que possa ser descrita por constantes que nos ajudem a entender melhor como ocorre á
evolução do sistema de equações diferenciais lineares. A seguir apresentamos a matriz em
questão
0
0
=
onde as constantes ,
e
0
⋱
,
(5.09)
0
possuirão valores específicos e serão tratadas mais adiante em
cada análise específica do modelo. De acordo com o nosso modelo desenvolvido no capítulo
4, a constante
refere-se ao impacto dos agentes sobre o preço, já a constante , representa a
imitação, antimitação, ou neutralidade de cada agente em relação aos demais, enquanto a
constante
refere-se ao impacto do preço sobre as escolhas dos agentes. Os elementos aqui
preenchidos, nas análise seguintes, pelas constantes
e
poderiam ser diferentes entre si, e
fazê-los invariantes foi uma escolha particular. Entretanto, os elementos que assumem o valor
da constante
teriam que ser todos iguais (vide equação 4. 23).
Para encontrarmos a solução geral definida na equação (5.03), iremos primeiramente
diagonalizar a matriz
descrita anteriormente. Ao diagonalizar a matriz encontramos três
autovalores associados a � autovetores:
=
=
−2 .
−
2
−2 .
+
2
−2 .
2
−2 .
2
2
+
−1 . .
→
�1 ;
(5.10)
2
+
−1 . .
→
�2 ;
(5.11)
42
=−
Logo, a matriz
�3 , �4 , … , � .
→
(5.12)
que apresenta os autovalores encontrados será
0
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
.
(5.13)
Assim, a matriz (�) presente na solução matricial terá o seguinte formato:
0
0
0
(�) =
A matriz
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
⋱
0
.
(5.14)
, que contém todos os autovetores �1 , �2 , �3 , �4 , … , � , presentes, nesta
ordem, em suas colunas, será
−1 −1
1
0
0
1
=
1
onde as constantes
=
e
0
0
1
⋱
,
(5.15)
1
0
são definidas como:
−2 .
2
−2 . ²
+ . + .
2
.
0
0
−1
0
0
−2 .
2
2
−1 . .
+
2
+
−1 . . +
2
,
(5.16)
. .
e
=
−
−2 . ²
− .
2
.
−2 .
2
+ .
−2 .
2
2
−1 . .
+
2
+
−1 . .
−
2
.
(5.17)
. .
43
É importante ressaltar que o termo
refere-se à ordem da matriz .
Já a matriz inversa da matriz
−1
onde as constantes
,
será
0
0
=
,
⋱
,
0
−2 .
2
−
=
=
−
−2 . ²
+
2
−2 . ²
+2
2
+
²
+2
+
−1 . . + . .
+ .
−1 . .
=
e
=
(5.19)
,
(5.20)
−1 . .
2
−1 . . + .
−2 . ²
+ .
2
−1 .
−2 .
2
−2 .
2
,
2
=
2.
(5.18)
são, respectivamente,
,
=
2.
,
+ . .
−1
,
( − 1)
−2
.
( − 1)
−1 . .
2
−2 .
2
+
2
−2 .
2
−2 .
2
+
−1 . .
,
(5.21)
−1 . .
2
−2 .
2
−1 . .
+
,
(5.22)
2
+
−1 . .
(5.23)
(5.24)
44
Desta forma podemos escrever a solução matricial do sistema de equações diferenciais
lineares do modelo, considerando a matriz
1 (�)
−1 −1
1
0
0
1
2 (�)
3 (�)
4 (�)
=
(�)
1
0
0
1
⋱
0
0
definida em 5.09 , como
−1
0
0
0
0
. 0 0
0 0
1
0
0 1
0
0
0
0
0
0
⋱
0
1
1 (0)
0
0
0
0
2 (0)
5
.
⋱
0
0
3 (0)
.
4 (0)
0
(0)
(5.25)
Todas as análises que serão propostas neste capítulo consideram a evolução do desvio
) com relação ao tempo � . Desta forma, nossas análises se concentrarão na
do preço (
última linha da matriz �(�). Utilizando a representação proposta na equação 5.04 , podemos
determinar a última linha da matriz �(�) como sendo
� =
1.
1 .�
.
1
. (0) +
2 .�
2.
.
2
. (0) +
+
.
.�
.
.
=1
=1
0 .
(5.26)
=1
Substituindo os termos da equação 5.26 pelos resultados encontrados para a matriz
definida em (5.09), encontramos:
� =
.�
.
−1
.
(0) +
.
(0) +
=1
.�
.
−1
. (0) +
.
(0) .
(5.27)
=1
A equação 5.27 será analisada nos testes iniciais, onde criamos situações específicas
para analisar a evolução do desvio do preço
mudarmos as constantes presentes na matriz
com relação ao tempo � , pois ao passo que
e alterarmos a matriz que estabelece a
condição inicial �(0), poderemos encontrar matrizes específicas para ambas, que
pressupomos que sejam capazes de descrever o comportamento dos agentes financeiros na
situação simulada.
Para cada simulação definimos três condições iniciais distintas que serão definidas
pela matriz �(0). Vamos partir da hipótese que em nossa simulação possuímos agentes que
detém uma informação privilegiada em momentos distintos. Desta forma, estabelecemos para
a primeira condição inicial a matriz �1 (0), onde preencheremos com o valor 1 o primeiro
agente, presente na primeira linha, e valor igual a 0 para os demais agentes e o desvio do
preço, que serão respectivamente as demais linhas, e a última linha desta matriz. Já para a
45
segunda condição inicial, partiremos da hipótese que outro agente irá começar vendendo, e
assim como foi feito na primeira condição, os demais agentes e o desvio do preço iniciarão
estáticos. Para caracterizar essa situação, estabelecemos a matriz �2 (0) com o valor −1 para a
segunda linha que representa o segundo agente, e valor igual a 0 para as demais linhas dessa
matriz. E por fim, teremos a terceira condição inicial onde os dois agentes atuarão em
conjunto, sendo a matriz �3 0 preenchida com os valores 1 e −1 nas duas primeiras linhas, e
zeros nas demais. Assim definimos a matriz � 0 de forma diferente nas três condições
iniciais descritas, conforme estabelecido a seguir.
Na primeira condição inicial,
1
0
0 ,
�1 0 =
(5.33)
0
no segunda condição inicial,
0
−1
0
�2 0 =
5.34 .
0
e na terceira condição inicial, teremos
�1 0 + �2 0 = �3 0 .
Assim a matriz �3 (0) será definida como
�3 0 =
A matriz
,
apresenta as constantes
> 0, antimitar
simulação a matriz
,
,
1
−1
0 .
(5.35)
(5.36)
0
que definem as escolhas de cada agente entre imitar
< 0, ou ser neutro
,
= 0 às posições dos demais agentes . Na nossa
terá ordem 11 e as constantes , e
serão preenchidas de acordo com
os valores especificados em cada situação.
46
5.2. Casos particulares onde as constantes
, e
serão
preenchidas por valores diferentes
5.2.1. Primeiro Caso: Todos os agentes são imitadores e indiferentes a variações
no preço.
Ao realizar a simulação no primeiro caso a matriz
=
0
1
1
1
0
1
1
10
onde a constante
e
1
1
0
0
0
0
⋱
1 1
10 10
será
,
0
0
(5.37)
11×11
será uma constante positiva 10, caracterizando imitadores, de valor igual a 1
será uma segunda constante que impactará o desvio do preço. Esta constante preencherá a
última linha da matriz. Nesta linha estamos considerando que todos os agentes impactam o
desvio do preço na mesma proporção:
= 10. Já a última coluna da matriz permanece sendo
composta por zeros, pressupondo que o desvio do preço não impacta a decisão dos agentes.
Por outro lado, o agente não sofre influência da sua própria decisão no próximo passo de
tempo, logo a diagonal principal também será composta por zeros.
Utilizando as expressões definidas para os autovalores nas equações 5.10 , 5.11 e
5.12 , encontramos os seguintes autovalores
=0 →
=9 →
= −1 →
�1 ;
(5.38)
�2 ;
(5.39)
�3 , �4 , … , � .
(5.40)
Analisando a última linha da matriz � � , para as condições iniciais aqui tratadas
0 = 0 para de 3 a ), temos
(
11
� =
−
10
.
9
1
0 + −
10
.
9
2
0
+
9.�
.
10
.
9
1
0 +
10
.
9
2
0 .
(5.41)
10
Por definição > 0, uma vez que todos os agentes estão imitando a decisão dos demais agentes na mesma
proporção .
47
Podemos observar que nessa situação o resultado final do desvio do preço
�
impacto mais expressivo da exponencial do autovalor
condições iniciais será abordada no que se segue.
. O desvio do preço
sofrerá o
para as três
5.2.1.1. Condição inicial �1 (0): Imitadores com um único agente comprando e os
demais estáticos.
Neste caso, temos
11 (�)
= −
10
10
+
9
9
9.�
.
(5.42)
Figura 5.01. Primeiro caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
comprando e os demais estáticos.
Desta forma, a dinâmica do preço será dominada pela função exponencial crescente presente
no segundo termo da equação (5.42). O preço subirá exponencialmente (vide figura 5.01).
Uma vez que definimos que todos os agentes serão imitadores, ao determinar na condição
inicial um único agente comprador, os demais imitarão essa atitude de compra em proporções
iguais ( ), essa atitude impactará o preço numa proporção ( ). Essa atitude permeia um
desequilíbrio econômico, pois se os agentes estão comprando cada vez mais, significa que
temos um excesso de demanda sem projeções de reequilíbrio. Afinal, os agentes irão
continuar comprando mesmo com a elevação no desvio do preço do ativo. Ou seja, o desvio
48
do preço continuará a subir abruptamente caracterizando um efeito de manada. Evidentemente
esta não é uma situação que pode ocorrer de forma sustentável em mercados reais.
5.2.1.2. Condição inicial �2 (0): Imitadores com um único agente vendendo e os
demais estáticos.
Aqui, encontramos
11 (�)
= 10/9 + −10/9
9.�
.
(5.43)
Figura 5.02. Primeiro caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
vendendo e os demais estáticos.
A dinâmica também será dominada pela função exponencial crescente presente no segundo
termo da equação (5.43), Entretanto esse impacto será negativo, visto que temos a constante
(−10/9) que acompanha a exponencial
9.�
. Logo, o desvio no preço cairá exponencialmente
(vide figura 5.02). Como todos os agentes serão imitadores em igual proporção ( ), ao
determinarmos na condição inicial um único agente vendendor, os demais imitarão essa
atitude de venda. Assim, essa atitude dos agentes impactará o preço numa proporção
.
Teremos novamente um desequilíbrio econômico. Já que todos os agentes estão vendendo,
teremos um excesso de oferta. Entretanto, apesar do excesso de oferta, não teremos uma
projeção de equilíbrio, ou seja, uma estabilidade no desvio do preço, pois esse excesso de
oferta aumentará cada vez mais, afinal os agentes continuarão vendendo indiferentes ao
desvio no preço. Desta forma, o desvio no preço cairá abruptamente caracterizando
49
novamente um efeito de manada 11. Mais uma vez, esta não é uma situação que esperamos
encontrar em mercados reais.
5.2.1.3. Condição inicial �3 (0): Imitadores com dois agentes, um comprando e o
outro vendendo, e os demais estáticos.
Uma situação curiosa ocorre aqui:
11
� =
−
10
10
+ +
9
9
+
Simplificando a expressão (5.44), teremos
9.�
11 (�)
+
10
10
+ −
.
9
9
(5.44)
= 0, ou seja, o desvio do preço
é nulo.
Assim, temos dois agentes atuando ao mesmo tempo, um está comprando e o outro está
vendendo, enquanto os demais estão estáticos. O somatório que define o resultado final da
variação do preço
não terá impacto dos autovalores pois suas constantes serão nulas. Desta
forma o desvio do preço será nulo. Economicamente, como os demais agentes são imitadores,
e temos dois agentes atuando em conjunto, um comprando e outro vendendo, a compra e a
venda serão consideradas em proporções iguais pelos demais agentes desse mercado, assim,
na dinâmica permanecerão estáticos, e o desvio do preço será nulo, pois teremos em
proporções iguais agentes comprando e vendendo (Somente os que começaram comprando ou
vendendo).
11
Lembremos que valores negativos de
relação ao preço justo, negativos.
não significam preços negativos, mas sim desvios do preço, em
50
5.2.2. Segundo Caso: Todos os agentes são antimitadores e indiferentes a
variações no preço.
Neste caso partiremos de uma hipótese análoga à do primeiro caso, o que altera nossa
análise é o fato dos demais agentes serem antimitadores. Agora, a constante
será uma
constante negativa12 igual a −1, caracterizando a composição de antimitadores. A constante
continuará sendo igual a 10, e impactando o preço em igual proporção pelos agentes. Por fim,
a última coluna continua sendo zero, pressupondo que o preço não impacta a decisão dos
agentes assim como o agente não sofre influência da sua própria decisão no próximo passo de
tempo, logo a diagonal principal também será composta por zeros.
Utilizando as expressões definidas para os autovalores nas equações 5.10 , 5.11 e
(5.12) encontramos os seguintes autovalores:
=0 →
�1 ;
= −9 →
=1 →
(5.45)
�2 ;
�3 , �4 , … , � .
Ao realizar a simulação no segundo caso, a matriz
=
0
−1
−1
−1
10
11
� =
−1
0
−1
(5.46)
−1
−1
0
será
0
0
0
⋱
−1 −1
10 10
(5.47)
0
0
(5.48)
11×11
Analisando a última linha da matriz � � , encontramos
10
.
9
1
0 +
10
.
9
2
0
+
−9.�
.
−
10
.
9
1
0 + −
para as condições iniciais que serão aqui tratadas (apenas
1 (0)
10
.
9
e
2
2 (0)
0
(5.49)
podendo ser não
nulos).
12
Por definição < 0, uma vez que todos os agentes estão antimitando a decisão dos demais agentes na
mesma proporção .
51
Podemos observar que, assim como foi no resultado do primeiro caso, o desvio do
preço
sofrerá um impacto apenas da exponencial dos autovalores
�
e
�
. O que difere
do primeiro caso são os sinais dos autovalores, que em módulo continuarão iguais. A seguir
tratamos as três condições iniciais aqui consideradas.
5.2.2.1. Condição inicial �1 (0): Antimitadores com um único agente comprando e os
demais estáticos.
Para esta condição,
11
� = 10/9 + −10/9
−9.�
.
(5.50)
Figura 5.03. Segundo caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
comprando e os demais estáticos.
A dinâmica assintótica do desvio do preço é dominada pela constante 10/9 presente
no primeiro termo do valor de
, pois a função exponencial decrescente presente no segundo
termo da equação 5.50 irá se aproximar de zero à medida que o tempo � vai aumentando.
Como a constante (−10/9) que acompanha a função
−9.�
é negativa, ao passo que o tempo
vai passando essa diferença no resultado final passa a ser cada vez menor, aproxima-se de
zero (vide figura 5.03).
Dado que definimos que todos os agentes serão antimitadores, ao determinar na
condição inicial um único agente comprador, os demais antimitarão essa atitude de compra,
ou seja, começarão a vender em proporções iguais ( ). Teremos então um desequilíbrio
52
econômico através de uma ação reversa dos agentes, onde o desvio do preço será elevado até
um valor de equilíbrio. Esse valor de equilíbrio somente poderá ser encontrado porque o
agente comprador está sempre disposto a comprar a uma margem superior do que todos os
outros agentes juntos estão dispostos a vender, caracterizando um excesso de demanda de um
único agente. Essa variação irá diminuir em cada passo de tempo, tendendo a zero no longo
prazo. Quando essa variação se aproxima de zero nos aproximamos da variação do preço de
equilíbrio (vide figura 5.04).
Figura 5.04. Segundo Caso: a linha superior representa a posição de compra do agente 1 , a linha inferior
−1
representa a posição de venda dos demais agentes =2
, e alinha intermediária representa a soma da posição
−1
de compra do agente 1 com a posição de venda dos demais agentes =1
.
5.2.2.2. Condição inicial �2 (0): Antimitadores com um único agente vendendo e os
demais estáticos.
Temos, agora,
11
� = −10/9 + 10/9
−9.�
.
(5.51)
53
Figura 5.05. Segundo caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
vendendo e os demais estáticos.
A dinâmica do desvio do preço é dominada pela constante (−10/9) presente no primeiro
termo, pois a função exponencial decrescente presente no segundo termo da equação (5.51)
será igual a zero com a evolução do tempo �. Entretanto, diferentemente do caso anterior, a
dinâmica da variação do preço
−9.�
evoluirá de forma decrescente, pois a função exponencial
irá contribuir positivamente, com parcelas cada vez menores, à medida que o tempo
aumenta, enquanto sempre termos a parcela negativa da constante (−10/9). Assim, no longo
prazo o desvio do preço
tenderá à constante −
10
9
(vide figura 5.05). Conforme a
condição inicial anterior, todos os agentes continuam sendo antimitadores, entretanto a
condição inicial passa a ser de um único agente vendedor. Os agentes desse mercado
antimitarão essa atitude de venda desse único agente, ou seja, começarão a comprar em
proporções iguais ( ); essa atitude também impactará o desvio do preço positivamente, de
acordo com a definição, numa proporção ( ). Teremos novamente um desequilíbrio
econômico através da ação reversa dos agentes desse mercado, onde o desvio do preço sofrerá
uma queda até um valor de equilíbrio. O agente vendedor está sempre disposto a vender mais
do que todos os outros agentes juntos estão dispostos a comprar, caracterizando assim um
excesso de oferta de um único agente. Essa variação irá diminuir em cada passo de tempo.
Quando essa variação se aproxima de zero, nos aproximamos do desvio do preço de
equilíbrio. (vide figura 5.06).
54
Figura 5.06. Segundo caso: a linha vermelha inferior a posição de venda do agente 1 , a linha superior representa
−1
a posição de compra dos demais agentes =2
, e alinha intermediária representa a soma da posição de venda
−1
do agente 1 com a posição de compra dos demais agentes =1
.
5.2.2.3. Condição inicial �3 (0): Antimitadores com dois agentes, um comprando e o
outro vendendo, e os demais estáticos.
Assim como ocorreu no primeiro caso, ao simplificar a expressão que dá
11
� = 0, a
variação do preço será novamente nula. O raciocínio econômico é análogo ao do primeiro
caso: como os demais agentes são antimitadores, e temos dois agentes atuando em conjunto,
um comprando e outro vendendo, a compra e a venda serão antimitadas em proporções iguais
pelos demais agentes desse mercado. Assim, na dinâmica, o desvio do preço será nulo.
55
5.2.3. Terceiro Caso: Todos os agentes são indiferentes às escolhas dos demais,
entretanto não são indiferentes ao preço.
O que difere o terceiro caso do primeiro e do segundo caso é que agora os agentes
serão influenciados apenas pela variação no preço. Assim, ao realizar a simulação no terceiro
caso para uma matriz
de ordem 11, utilizaremos
0
0
0
=
0
0
0
0
0
0
⋱
0 0
10 10
0
10
−10
−10
−10
−10
0
,
(5.52)
11×11
Continuamos considerando que todos os agentes impactam o desvio do preço na mesma
proporção
será uma constante negativa 13. Continuamos
= 10, enquanto a constante
pressupondo que o agente não sofre influência da sua própria decisão no próximo passo de
tempo, logo a diagonal principal continuará sendo composta por zeros.
Utilizando as expressões definidas para os autovalores nas equações 5.10 , 5.11 e
5.12 , encontramos os seguintes autovalores
= − 1000.
�1 ;
(5.53)
�3 , �4 , … , � .
(5.55)
= 1000.
=0 →
11
� =
→
→
�2 ;
(5.54)
Analisando a última linha da matriz � � , para os casos que estamos estudando temos:
− 1000 . .�
.
5. 1000.
.
1000
1
0 +
5. 1000.
.
1000
2 (0)
+
1000 . .�
.
−5. 1000.
.
1000
1
0 +
−5. 1000.
.
1000
2 (0)
(5.56)
o que será utilizado a seguir.
13
Desta forma, preços acima do preço justo tendem a diminuir a demanda e aumentar a oferta, ao passo que
preços abaixo do preço justo produzem o contrário.
56
,
5.2.3.1. Condição inicial �1 (0): Agentes neutros com relação à posição dos demais,
mas atentos à variação no preço, com um único agente comprando e os demais
estáticos.
Temos, agora,
11
� =
− 1000 . .�
.
5. 1000.
1000
+
1000 . .�
Ao simplificarmos a expressão (5.57), encontraremos
11
� =
A dinâmica é exposta na figura (5.07).
10
10
.
−5. 1000.
.
1000
. sin 1000. � .
(5.57)
(5.58)
Figura 5.07. Terceiro caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
comprando e os demais estáticos.
O comportamento oscilatório aqui observado pode ser explicado da maneira descrita a
seguir. O primeiro agente começa demandando, o que eleva o preço. Como o preço fica acima
do preço justo, seu ímpeto de demandar começa a diminuir e, por outro lado, os demais
agentes começam a ofertar. Quando a oferta (crescente) destes agentes equilibra a demanda
(decrescente) daquele, o preço para de subir. Como o desvio do preço ainda é positivo, a
demanda continua diminuindo e a oferta continua crescendo. A oferta ultrapassa então a
demanda e o preço começa a cair. Quando o desvio do preço chega à zero, ainda temos maior
oferta que demanda. Portanto o preço continua caindo, até atingir um mínimo que ocorre
quando oferta e demanda se equilibram. Neste mínimo o preço está baixo, logo a demanda
57
aumenta e a oferta diminui, o que leva o preço a subir novamente, chegando ao ponto em que
o ciclo começou, e assim segue sucessivamente.
5.2.3.2. Condição inicial �2 (0): Agentes neutros com relação à posição dos demais,
mas atentos com à variação no preço, com um único agente vendendo e os
demais estáticos.
Temos:
11
� =
− 1000 . .�
.
−5. 1000.
1000
+
1000 . .�
.
5. 1000.
.
1000
(5.59)
Simplificando a expressão anterior:
11
� =
−10
10
. sin 1000. � ,
(5.60)
cuja dinâmica pode ser vista na figura (5.08). A interpretação econômica desta dinâmica é
análoga à da condição inicial anterior.
Figura 5.08. Terceiro caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
vendendo e os demais estáticos.
58
5.2.3.3. Condição inicial �3 (�): Agentes neutros à posição dos demais, mas atentos à
variação no preço, com dois agentes, um comprando e o outro vendendo, e os
demais estáticos.
Aqui,
11
� =
− 1000 . .�
.
5. 1000.
−5. 1000.
+
1000
1000
+
1000 . .�
.
5. 1000.
−5. 1000.
.
+
1000
1000
(5.61)
A variação no preço será nula, pois de acordo com a equação (5.61)
11
� = 0.
Economicamente, neste último estágio dois agentes entram, comprando e vendendo na mesma
proporção, o ativo em questão. Desta forma, não teremos variação no preço, pois o excesso de
demanda provocado por um único agente é compensado pelo excesso de oferta do outro. Os
demais agentes não entram demandando nem ofertando, uma vez que só olham para o preço,
que é sempre o preço justo.
59
5.2.4. Quarto Caso: Todos os agentes são imitadores e sensíveis a variações no
preço.
O quarto caso mantém a hipótese dos anteriores de que dois agentes possuem uma
informação privilegiada em momentos distintos, definindo as mesmas matrizes para a
condição inicial �(0) que foram estabelecidas nos casos anteriores. Entretanto os agentes
agora serão influenciados pelos outros agentes e também pela variação no preço, logo a matriz
será preenchida da seguite forma:
0
1
1
=
1
0
1
1
1
0
1
1
10 10
onde a constante
1
10
⋱
−10
−10
−10
−10
0
,
(5.62)
11×11
será uma constante positiva igual para todos os agentes, caracterizando
imitadores, no valor 1. A constante
será uma constante positiva que impactará a variação do
preço, preenchendo a última linha da matriz ( = 10). A constante
negativa, que preencherá a última coluna com o valor
será uma constante
= −10. Continuamos pressupondo
que o agente não sofre influência da sua própria decisão no próximo passo de tempo, logo a
diagonal principal continuará sendo composta por zeros.
Novamente vamos utilizar as expressões definidas para os autovalores nas equações
5.10 , 5.11 e 5.12 , assim teremos
=
9 − 3919.
2
=
9 + 3919.
2
= −1 →
→
→
�1 ;
�2 ;
�3 , �4 , … , � .
(5.63)
(5.64)
(5.65)
A última linha da matriz � � , para as condições aqui consideradas, é
11
� =
9− 3919.
.�
2
.
10. 3919.
.
3919
1
0 +
10. 3919.
.
3919
2 (0)
+
9+ 3919.
.�
2
.
−10. 3919.
.
3919
1
0 +
−10. 3919.
.
3919
2 (0)
(5.66)
60
�3 (0).
A seguir vamos analisar os resultados referentes às condições iniciais �1 0 , �2 (0) e
5.2.4.1. Condição inicial �1 (0): Imitadores atentos à variação no preço, com um
único agente comprando e os demais estáticos.
Por esta condição, encontramos
11
� =
9− 3919 .
.�
2
10. 3919.
.
3919
+
9+ 3919 .
.�
2
.
−10. 3919.
.
3919
(5.67)
Simplificando a expressão acima teremos
11
� =
20 3919
3919
9/2.�
sin
3919
.
2
(5.68)
Figura 5.09. Quarto caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
comprando e os demais estáticos.
Podemos observar que o desvio do preço apresenta uma composição do que ocorre no
primeiro caso agregado com o terceiro caso. Os agentes não tomam suas decisões baseados
apenas no comportamento do agente um, eles também pautam suas escolhas pelo desvio no
preço. Vemos (figura 5.09) que o afastamento do preço justo fomentado pelo processo de
imitação é periodicamente contrabalanceado pelo fato de que os agentes olham também para
61
tal afastamento. Assim, quando o desvio no preço é grande, este tenderá a voltar a zero,
graças ao termo “fundamentalista” presente na matriz
. O processo, entretanto, leva a um
aumento exponencial da volatilidade para este caso de imitadores.
5.2.4.2. Condição inicial �2 (0): Imitadores atentos à variação no preço, com um
único agente vendendo e os demais estáticos.
Encontramos, aqui,
11
� =
9− 3919 .
.�
2
−10. 3919.
.
3919
+
9+ 3919 .
.�
2
.
10. 3919.
.
3919
(5.69)
Simplificando a expressão anterior obtemos
11
� =
−20 3919
3919
9/2.�
sin
3919
.
2
(5.70)
Figura 5.10. Quarto caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
vendendo e os demais estáticos.
Economicamente, o comportamento da segunda condição inicial é análogo ao da
primeira. O único fator que altera a análise é o fato do segundo agente iniciar o processo
vendendo, ao invés de comprando, como ocorreu na primeira condição inicial. Nas duas
62
situações teremos elevações absurdas no desvio do preço devido ao efeito de compra e venda
dos agentes influenciados principalmente pela característica imitadora.
5.2.4.3. Condição inicial �3 (0): Imitadores atentos à variação no preço, com dois
agentes, um comprando e o outro vendendo, e os demais estáticos.
Do mesmo modo dos casos anteriores o desvio no preço é nulo,
11
� = 0. Nesta
última condição inicial, teremos uma variação nula no preço, pois agora temos dois agentes
atuando em conjunto, um comprando e outro vendendo. Economicamente, a posição de
compra do primeiro agente não provocará um efeito de excesso de demanda no mercado em
questão, pois essa posição será absorvida instantaneamente, pela posição de venda do segundo
agente. Sendo assim, este também não impactará o mercado por um excesso de oferta. Os
demais agentes, que são imitadores, observam o comportamento dos dois agentes, e como a
posição é proporcional entre os dois agentes, os demais não imitam ninguém. Eles observam o
desvio do preço, que será nulo, e continuam na posição estática em que iniciaram o processo,
nem comprando, nem vendendo, mantendo o desvio do preço nulo.
63
5.2.5. Quinto Caso: Todos os agentes são antimitadores e sensíveis a variações no
preço.
Este caso é bem parecido com o caso anterior, a alteração na nossa análise decorre do
será uma constante negativa igual a −1,
fato dos agentes serem antimitadores. A constante
caracterizando a composição de antimitadores. A constante
continuará sendo igual a 10,
impactando o preço em igual proporção pelos agentes. E a última coluna será preenchida pela
constante
no valor igual a −10, pressupondo que o preço impacta a decisão dos agentes.
Entretanto o agente não sofre influência da sua própria decisão no próximo passo de tempo,
logo a diagonal principal será composta por zeros.
Ao realizar a simulação no quinto caso a matriz
0 −1 −1
−1 0 −1
−1 −1 0
=
⋱
−1 −1 −1
10 10 10
será:
−10
−10
−10
,
−10
0
(5.71)
11×11
De acordo com as expressões definidas para os autovalores nas equações
5.10 , 5.11 e (5.12) os autovalores serão:
=
−9 − 3919.
2
=
−9 + 3919.
2
=1 →
→
�1 ;
→
�3 , �4 , … , � .
�2 ;
(5.72)
(5.73)
(5.74)
A última linha da matriz � � , ressaltando as condições aqui estabelecidas, é
11
� =
−9− 3919.
.�
2
.
10. 3919.
.
3919
1
0 +
10. 3919.
.
3919
2 (0)
+
−9+ 3919.
.�
2
.
−10. 3919.
.
3919
1
0 +
−10. 3919.
.
3919
2 (0)
(5.75)
64
.
�3 (0).
A seguir vamos analisar os resultados referentes às condições iniciais �1 0 , �2 (0) e
5.2.5.1. Condição Inicial �1 (0): Antimitadores atentos à variação no preço, com um
único agente comprando e os demais estáticos.
Assim, temos,
11
� =
−9− 3919
2
.�
10. 3919.
.
3919
+
−9+ 3919 .
.�
2
.
−10. 3919.
.
3919
(5.76)
Simplificando a expressão acima encontramos
11
� =
20 3919
3919
−9/2.�
sin
3919
.
2
(5.77)
Figura 5.11. Quinto caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
comprando e os demais estáticos.
Análogamente ao quarto caso, os agentes fazem suas escolhas baseados no desvio do
preço e no comportamento do agente que inicia a dinâmica comprando, entretanto o que
difere este caso do caso referido anteriormente é o fato dos agentes serem antimitadores,
caracterizando, assim, as posições dos demais agentes como sendo opostas a posição do
primeiro agente, que inicia a dinâmica comprando. Observamos na figura (5.11) que ocorre
uma aproximação do preço justo.
65
5.2.5.2. Condição inicial �2 (0): Antimitadores atentos com à variação no preço, com
um único agente vendendo e os demais estáticos.
Temos:
11
� =
−9− 3919 .
.�
2
.
−10. 3919.
3919
+
−9+ 3919 .
.�
2
.
10. 3919.
.
3919
(5.78)
Simplificando a expressão anterior encontramos
11
� =
−20 3919
3919
−9/2.�
sin
3919
.
2
(5.79)
Figura 5.12. Quinto caso: desvio do preço
para a evolução do sistema com um único agente inicialmente
vendendo e os demais estáticos.
A segunda condição �2 0 apresenta o comportamento econômico equivalente ao da
primeira condição �1 (0). Contudo, o processo inicia com um agente vendendo, ao invés de
comprando. Em ambas as condições, observamos que o desvio do preço tende a zero,
estabilizando o processo no preço justo (vide figura 5.12).
66
5.2.5.3. Condição inicial �3 (0): Antimitadores atentos com a variação no preço, com
dois agentes, um comprando e o outro vendendo, e os demais estáticos.
Temos:
11
� =
−9− 3919.
.�
2
.
−10. 3919.
10. 3919.
+
3919
3919
+
−9+ 3919.
.�
2
.
10. 3919.
−10. 3919.
+
.
3919
3919
(5.80)
Desta forma, podemos observar que variação no preço é nula,
11
� = 0, assim como
observado nos casos anteriores. Na condição inicial �3 (0), o desvio do preço é zero. Afinal os
dois agentes atuam em conjunto: iniciamos a dinâmica com o primeiro comprando e o
segundo vendendo. O fato de o primeiro agente começar comprando não impactará o mercado
com um excesso de demanda, pois temos o segundo agente atuando, em proporção igual à do
primeiro agente, vendendo. Fato que também não irá gerar um excesso de oferta do agente
vendedor, pois o agente comprador absorve esse excesso. Como ocorreu no quarto caso na
condição inicial �3 (0), apesar dos demais agentes serem antimitadores, eles não antimitaram
as posições dos agentes ditos anteriormente, pois a posição de compra e venda é proporcional
entre os mesmos. Logo os outros agentes continuam estáticos, e o desvio no preço permanece
nulo.
67
5.2.6. Sexto caso: Todos os agentes são imitadores, sensíveis à variação no preço
e o dinheiro é finito.
Ao analisarmos a expressão que define a variação do preço do ativo
� =
.�
.
−1
. (0) +
.
.�
(0) +
−1
.
=1
. (0) +
.
(0) ,
=1
(5.81)
percebemos que os autovalores
e
dominam a dinâmica. Desta forma, para que a
variação tenha as características oscilatórias de ascensão e queda, devemos ter os autovalores
sendo
=
=
−2
2
−2
2
−
+
−2
2
−2
2
2
+
−1
,
5.82
2
+
−1
,
(5.83)
Relativos à matriz dada na equação (5.09), complexos. Portanto, nas expressões 5.82 e
(5.83) o termo dentro da raiz quadrada deve ser necessariamente negativo.
Uma vez que determinarmos valores para as constantes ,
e , presentes nas raízes
das expressões dos autovalores, observamos que também teremos que nos preocupar com o
termo fora das raízes.
−2 .
.
2
(5.84)
Ao analisarmos este termo, presente na expressão dos autovalores
e
, diagnosticamos a
necessidade de criar um termo que amortize o impacto do termo (5.84). De fato, o modelo
proposto nesta pesquisa trata o elemento dinheiro e quantidade de ações como sendo fatores
infinitos. Diante dessa característica, uma alternativa para controlar as transações é determinar
68
um termo que chamamos de termo de saturação14, que será definido por uma nova constante
. Assim, em cada passo de tempo, à medida que o agente faz novas aquisições, imaginamos
que o mesmo detém uma condição monetária ou quantidade de ações menor para
transacionar, ou seja, não conseguirá manter uma propensão de compra ou venda
indefinidamente. Esta limitação é o que é modelada pelo termo de saturação, que será
incorporado ao modelo na forma de uma autoantimitação dos agentes. Podemos definir o
tempo de saturação como
=−
onde
que
+
−2 .
2
(5.85)
será um coeficiente que garantirá que o termo de saturação seja, em módulo, maior
−2 .
2
, que impactará os autovalores, transformando a parte real dos mesmos em partes
reais negativas. A matriz
será impactada por esse termo de saturação da seguinte forma:
0
0
0
�
onde
,
�
=
0
⋱
0
+ 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ,
⋱
(5.86)
representa a nova matriz de constantes. De acordo com o significado atribuído ao
termo de saturação, o elemento da última linha e da última coluna da matriz
�
deveria ser
nulo (o preço não tem impacto direto sobre ele mesmo). Entretanto, escolhemos a forma dada
na equação (5.86) devido ao fato de que isto simplifica o cálculo dos autovalores, com
impacto pequeno na dinâmica, impacto este que se torna cada vez menor com o aumento da
ordem das matrizes envolvidas. Logo, ao diagonalizar a nova Matriz
seguintes expressões para os autovalores
=− −
=− +
e
:
−2 .
2
2
−2 .
2
2
+
−1 . .
+
−1 . .
�
encontraremos as
(5.87)
.
(5.88)
14
Usamos esta terminologia para passar a idéia de que as posições de compra ou venda não podem crescer
indefinidamente, pois existe a limitação do dinheiro disponível, isto é, a variável que descreve tais posições
deve saturar.
69
Este último caso é bem parecido com o quarto caso, a alteração na nossa análise
encontra-se na presença do termo de saturação . A constante
será uma constante positiva
igual a 1, caracterizando a composição de imitadores. A constante , continuará sendo igual a
10, e impactando o preço em igual proporção pelos agentes. A última coluna será preenchida
igual a −10, pressupondo que o preço impacta a decisão dos agentes. E o
pela constante
coeficiente
presente no termo de saturação terá valor 1. Agora, a diagonal da matriz será
preenchida pelo termo , sendo este igual a
=−
11
.
2
(5.89)
Ao realizar a simulação neste caso a matriz
−11
�
=
1
1
1
−11
1
10
1
10
2
1
1
1
2 −11
será substituída pela matriz
−10
−10
−10
2
⋱
1
10
,
−10
−11
2
�:
(5.90)
11×11
De acordo com as expressões definidas para os autovalores nas equações
5.10 , 5.11 e (5.12) os autovalores serão:
= −1 −
3919
2
= −1 +
=−
→
3919
2
13
→
2
�1 ;
→
(5.91)
�2 ;
�3 , �4 , … , � .
(5.92)
(5.93)
A última linha da matriz � � , para as condições iniciais descritas, será:
11
� =
−1− 3919 .
2
.�
.
10. 3919.
.
3919
1
0 +
10. 3919.
.
3919
2 (0)
+
−1+ 3919 .
2
.�
.
−10. 3919.
.
3919
1
0 +
−10. 3919.
.
3919
(5.94)
�3 (0).
A seguir vamos analisar os resultados para as três condições inicias �1 0 , �2 0 e
70
2 (0)
5.2.6.1. Condição inicial �1 (0): Imitadores atentos à variação no preço, o dinheiro é
finito, com um único agente comprando e os demais estáticos.
Analisando o desvio do preço pela condição �1 (0) temos
11
� =
−1−
3919
. .�
2
.
10.
3919.
3919
+
−1+
3919
. .�
2
.
−10. 3919.
.
3919
(5.95)
Simplificando a expressão acima encontramos
11
� =
20 3919
3919
−�
sin
3919
.
2
(5.96)
Figura 5.13. Sexto caso: desvio do preço , com alta volatilidade, para a evolução do sistema, com único agente
inicialmente comprando e os demais estáticos.
Neste último caso, os agentes continuam a tomar suas decisões baseados no desvio do
preço e no comportamento dos demais. Como o agente um inicia o processo comprando, uma
vez que os agentes são imitadores, eles imitaram inicialmente a posição de compra do
primeiro agente, o que será repassado aos demais, que imitaram mutuamente essa posição.
Essa atitude deveria provocar um excesso de demanda gerando um efeito de manada entre os
mesmos, entretanto os fatores que garantirão que a dinâmica não crescerá exponencialmente
serão a presença do termo de saturação e do termo relacionado ao desvio do preço. Tais
termos garantem que os agentes não comprarão indefinidamente, estes termos têm o papel de
saturar a série. Assim, devido a essa característica, teremos uma tendência do desvio do preço
71
a zero no longo prazo, ocorrendo novamente uma aproximação do preço justo (vide figura
5.13).
5.2.6.2. Condição inicial �2 (0): Imitadores atentos à variação no preço, o dinheiro é
finito, com um único agente comprando e os demais estáticos.
Agora analisando o desvio do preço para a condição �2 (0) temos
11
� =
−1−
3919
. .�
2
−10. 3919.
.
3919
+
−1+
3919
. .�
2
.
10.
3919.
.
3919
(5.97)
Simplificando a expressão anterior encontramos
11
� =
−20 3919
3919
−�
sin
3919
.
2
(5.98)
Figura 5.14. Sexto caso: desvio do preço , com alta volatilidade, para a evolução do sistema, com único agente
inicialmente vendendo e os demais estáticos.
A condição inicial tratada aqui é análoga à condição inicial �1 (0), a diferença consiste
no fato de que o agente que inicia a dinâmica começará vendendo, provocando um excesso de
oferta. Assim, novamente encontramos o desvio no preço tendendo a zero, aproximando o
preço do preço justo com o passar do tempo (vide figura 5.14).
72
5.2.6.3. Condição inicial �3 (0): Imitadores atentos à variação no preço, o dinheiro é
finito, com um único agente comprando e os demais estáticos.
Conforme observamos nos casos anteriores, neste último caso o desvio no preço
continuará sendo nulo, desta forma
11
� = 0. Assim como nos demais casos, como teremos
a atuação inicial de dois agentes em posições opostas, entretanto em proporções iguais, o
desvio no preço será nulo, pois os demais agentes continuarão estáticos.
5.3. Balanço dos casos estudados.
Através do estudo de casos efetuado na seção 5.2, podemos observar que a presença
de imitadores leva o sistema à instabilidade, a presença de antimitadores, e o termo de
saturação levam à estabilidade e a influência do desvio do preço provoca oscilações. Os casos
de instabilidade poderiam ser associados a mercados reais apenas por curtos espaços de
tempo, portanto, nos parecem mais adequados à modelagem de sistemas reais os casos em que
os preços rumam para a estabilidade. Ficamos, assim, com os casos relativos à antimitação e à
saturação. Como nos parece mais plausível que haja mais imitação do que antimitação em
mercados reais, consideraremos o caso com imitação e saturação o mais adequado para
continuarmos nossas investigações no capítulo 6.
73
6.
RESULTADOS DA EVOLUÇÃO DO MODELO
No capítulo 5, analisamos diversas dinâmicas produzidas pelo modelo fixados alguns
parâmetros. Tais dinâmicas são guiadas pelas forças de imitação ou antimitação, pela
tendência do preço de não afastar-se demais do preço considerado justo pelos agentes e pela
finitude do dinheiro. Estes elementos podem ser considerados endógenos ao modelo. A
dinâmica produzida por eles só depende do estado dos agentes e do preço. Entretanto o desvio
do preço dado pela expressão (5.27) também sofrerá oscilações com elementos exógenos ao
modelo, que terão neste contexto características aleatórias. Algumas dessas características
estão ligadas ao fato dos mercados absorverem e refletirem, nos desvios dos preços dos
ativos, eventos inesperados, como catástrofes naturais e decisões políticas de cunho
econômico. Outra parte dessas aleatoriedades é promovida pelas escolhas dos agentes
econômicos, que na maioria das vezes são justificadas por condutas individuais destes.
Para entender melhor é necessário esclarecer alguns conceitos. Os agentes analisados
no modelo podem ser compreendidos também como consumidores deste mercado.
Economicamente, todo consumidor é pautado por duas questões, a primeira refere-se à
composição de sua cesta de consumo, e a segunda à sua restrição orçamentária. A cesta de
consumo é determinada por todos os bens presentes no mercado, disponíveis para o consumo
dos agentes, desta forma, existem inúmeras possibilidades de um agente montar sua cesta de
consumo. Entretanto, esse mesmo agente terá o seu poder de compra limitado, pois ele não
pode gastar além do que é determinado pela sua restrição orçamentária, que é determinada
pela quantidade total de dinheiro que um consumidor detém para gastar. Sendo assim, cada
agente fará suas escolhas de forma individual, elaborando uma cesta de consumo que seja
ótima, do ponto de vista individual, maximizando sempre sua utilidade15 e condicionada à sua
restrição orçamentária.
15
Utilidade é um conceito econômico para mensurar a satisfação pelo consumo de bens ou serviços. Na
prática, é muito complexa a idéia de quantificar a utilidade, ou seja, determinar valores para a utilidade de um
determinado bem, entretanto economistas acreditam que é possível ordenar as preferências do consumidor.
Os indivíduos detêm preferências diferentes, logo, imputam utilidades diferentes para a diversidade de bens
presentes na economia. Bens ou serviços que geram grande satisfação para dado consumidor podem não gerar
para outro indivíduo, mesmo que esses consumidores tenham rendas equivalentes, pois ambos possuem
desejos e preferências distintas.
74
Neste sentido, o modelo proposto apresenta apenas um único bem consumido por
esses agentes, que é o ativo em questão, entretanto, como os agentes possuem desejos e fazem
suas escolhas de forma imprevisível, podemos incluir no modelo uma componente que
justificará as escolhas dos agentes em consumir outro bem, diferente do ativo em questão.
Como a cesta de consumo de cada agente está condicionada à sua restrição orçamentária, o
agente pode preferir abrir mão de alguns ativos, para consumir mais de outro bem, ou incluir
um novo bem a sua cesta de consumo. O que fazemos aqui é análogo ao que é efetuado na
Física, quando tratamos o ambiente composto pelos graus de liberdade que influenciam no
sistema, mas aos quais não temos acesso. Uma vez que as escolhas são imprevisíveis,
determinaremos essa componente por uma variável aleatória, que apresentará uma
característica endógena do modelo, e a denotaremos por componente microeconômica. Essa
componente será representada pela variável
, que será determinada para cada agente . A
forma específica como esta variável impactará a dinâmica será, tratada posteriormente ainda
nessa seção.
Eventos naturais ou econômicos de grande escala também impactam o mercado,
fazendo com que este sofra oscilações abruptas em momentos imprevisíveis. Podemos citar
como exemplos para essas variações a catástrofe do dia 11 de setembro do ano de 2001,
ocorrida por um ataque terrorista nos EUA, ou o Tsunami, ocorrido no oceano Índico
devastando principalmente as províncias da Indonésia em 2004, dentre outros eventos de
ordem econômica, como políticas fiscais de retenção ou ampliação de gastos do governo que
impactam diretamente o cenário econômico. Um exemplo seria o PAC (Programa de
Crescimento Econômico) criado em 2007 pelo governo brasileiro, com o intuito de promover
o planejamento e a construção de grandes obras públicas no país. Esses eventos são
imprevisíveis, e geram um impacto inesperado no mercado. Para representar esses fenômenos
imprevisíveis no modelo, utilizaremos outra variável aleatória
em diferentes intervalos de tempo ∆
, que impactará o mercado
também aleatórios, e será denotada como componente
macroeconômica.
Para desenvolver o modelo com as variáveis aleatórias apresentadas precisaremos
reformular nossa solução, para que as componentes, microeconômica e macroeconômica,
possam ser adicionadas na solução final. Como vimos no capítulo 3 o modelo apresenta sua
evolução descrita pelo seguinte sistema de equações diferenciais
�′ � = � � .
(6.01)
75
O primeiro membro dessa expressão refere-se a um vetor composto por derivadas, desta
forma, utilizando a definição de derivadas, podemos trocar essa expressão pela seguinte
aproximação:
� � + ∆� − � �
= � � .
∆�
Logo,
(6.02)
� � + ∆� = � � + ∆�. � � .
(6.03)
Para introduzir a componente microeconômica na simulação, acrescentaremos à
equação (6.03) o vetor
com a sua última posição preenchida de forma aleatória de acordo
com a seguinte estrutura:
=
.
0
0
0
∆� .
0
Aqui, o coeficiente
(6.04)
será ajustado para um valor específico que definirá o impacto da
componente microeconômica. A variável
assumirá valores dentro do intervalo de limites
−0,5 a 0,5 distribuídos uniformemente de forma aleatória e independentes entre si, tendo ∆�
como um fator de escala16. A solução final será dada por
� � + ∆� = � � + ∆� � � +
.
(6.05)
Já a componente macroeconômica será representada pela variável aleatória
, que
irá impactar o modelo em diferentes intervalos de tempo ∆ , justificando, assim, as oscilações
abruptas que o mercado sofre. Tais oscilações são provenientes de grandes acontecimentos
que impactam a economia, e mudam a percepção do preço justo do ativo, o que é incorporado
no nosso modelo através da seguinte mudança no valor de
←
+
,
no instante
:
(6.06)
16
Num passeio aleatório, as variáveis são identicamente distribuídas, ocorrendo de forma independente, e o
valor esperado é zero
= 0. Entretanto o desvio padrão cresce linearmente com o número de passos ,
2
assim
= ² (ver, por exemplo, Stanley e Mantegna, 2004). Desta forma, para que a variância não
dependa da escolha do passo de tempo ∆�, devemos ponderá-la pela raiz do tamanho do passo de tempo ∆�.
76
onde o coeficiente
também será ajustado para um valor específico que definirá o impacto
da componente macroeconômica, e a variável
irá assumir um valor aleatório, distribuído
de maneira uniforme dentro do intervalo de −0,5 a 0,5. O valor de cada
calculado a partir de
somando-se a este a variável aleatória
−1
constante a ser ajustada no modelo e ∆
∆
1) é
(
. ∆ , onde
∆
é uma
está distribuído de maneira uniforme dentro do
intervalo de 0 a 1. Para consistência, definimos
0
A variação proposta pelo termo
= 0.
na expressão (6.06), na maioria dos casos,
irá gerar uma oscilação positiva ou negativa, na variação do preço do ativo. Uma oscilação no
desvio do preço positiva, significa que houve um impacto negativo no preço justo do ativo.
Mas se a oscilação no desvio do preço for negativa, o preço justo do ativo aumentou. Para
relembrar esse comportamento no desvio do preço observe a expressão a seguir, coincidente
com a equação (4.03) do capítulo 4.
onde os
�
,
=
�
(�) +
=1
são constantes, os
agente considera justo e
,
( (�) −
),
(6.07)
são constantes negativas, (�) é o preço,
é o preço que o
representa a decisão de cada agente .
Quando ocorre elevação no desvio do preço do ativo, os agentes verificam que aquele
ativo não é uma boa opção de investimento ao longo prazo, e diminuem sua propensão de
compra gradativamente, ou aumentam sua propensão de venda, dependendo da sua posição
anterior. Em caso contrário, quando ocorre uma queda no desvio do preço do ativo, os agentes
verificam que aquele ativo é uma boa opção de investimento ao longo prazo, e aumentam sua
propensão de compra gradativamente, ou diminuem sua propensão de venda, dependendo,
também, da sua posição anterior. Nos dois casos os agentes estão almejando ganhos.
Para
compreender
o
comportamento
das componentes,
microeconômica
macroeconômica, iremos incorporá-las na dinâmica através de seus coeficientes
Por meio das diversas análises para a variação do preço
e
e
.
(�) desenvolvidas no capítulo
anterior, verificamos que a composição da dinâmica mais adequada para descrever o mercado
de ativos será composta pelas condições determinadas no sexto caso, presente na seção 5.2.6.
do capítulo 5. Desta forma iremos considerar os agentes imitadores, sensíveis à variação no
preço, e com a presença do termo de saturação.
77
6.1. Dinâmica
1:
Comportamento
da
componente
microeconômica
Ao desenvolvermos a simulação apenas com a componente microeconômica,
anularemos o comportamento endógeno da própria dinâmica 17. Assim, para quantificar a
característica endógena do modelo, com o propósito de anulá-la, iremos criar o coeficiente
que irá impactar o comportamento endógeno da dinâmica da seguinte forma:
� � + ∆� = � � +
Aqui o coeficiente
. ∆�
� � +
será igual a zero e o coeficiente
.
(6.08)
será igual a 1. Ao desenvolver
essa estrutura na dinâmica, encontramos a distribuição de uma série que descreve um passeio
aleatório (random walk), desta forma, de acordo com estudos de expoentes característicos de
séries estatísticas que descrevem passeios aleatórios, devemos encontrar o expoente de Hurst
próximo de 0,5 (vide figura 6.01).
Figura 6.01. À esquerda temos uma das amostras das dinâmicas desenvolvidas seguindo o comportamento de um
caminhante aleatório, onde os coeficientes descritos, nesta seção, são
= 0,
=1e
= 0. À direita
temos o histograma de 100 barras (Eixo vertical - frequência) com a distribuição de 10.000 expoentes de Hurst,
sendo cada um deles calculado com a dinâmica relativa a um passeio aleatório (Eixo horizontal – valor do
expoente de Hurst).
17
Estamos chamando de comportamento endógeno da dinâmica a evolução descrita pelo processo realizado
pelas equações diferenciais desenvolvidas no capítulo 6, que dizem respeito às intenções dos agentes do
mercado, ou seja, à dinâmica endógena independente dos novos fatos externos ao mercado e que o impactam.
78
Figura 6.02. Ajuste dos pontos máximos das barras do histograma presente na figura 6.01, para uma distribuição
gaussiana dado pelo programa Matlab.
Na figura 6.02, ajustamos o histograma de frequência presente na figura 6.01 para uma
distribuição Gaussiana. Verificamos que as 10.000 amostras, de expoentes característicos para
um caminhante aleatório, apresentam, com 95% de confiança, valor esperado em torno de 0,5.
A qualidade do ajuste da distribuição, comparada à distribuição gaussiana, gira em torno de
92%.
79
6.2. Dinâmica 2: Comportamento endógeno do modelo.
Quando consideramos somente o comportamento endógeno da dinâmica, estamos
assumindo que o coeficiente
será igual a 1 e o coeficiente
será igual a zero. Na
dinâmica 2 estamos analisando o contrário do que foi proposto na dinâmica 1, pois agora
anularemos o comportamento aleatório da componente microeconômica e iremos considerar
apenas o comportamento endógeno do modelo.
Figura 6.03. À esquerda temos uma amostra da dinâmica simulada que representa o desvio do preço para uma
matriz de coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido
para essa figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0,
=1e
= 0. Nestas condições o Expoente de
Hurst é 0,9993 calculado a partir da inclinação da reta de regressão apresentada à direita.
Na figura 6.03 podemos observar que a série apresenta o expoente característico bem
próximo de 1, diagnosticando, através da teoria de expoentes característicos, que a série
apresenta grande persistência. Uma vez que a componente microeconômica não participa da
dinâmica, o grau de aleatoriedade é nulo, desta forma, o expoente de Hurst calculado para a
dinâmica será sempre 0,9993. Esse comportamento, altamente persistente, deve-se ao fato de
que o passo de tempo escolhido ser bem menor do que o período típico em que não se altera o
sentido do movimento, que é da ordem de 1.
80
6.3. Dinâmica 3: Comportamento endógeno do modelo com
a
participação
gradativa
da
componente
microeconômica.
É relevante ressaltar a característica da componente microeconômica ao incorporá-la
no modelo: ela é explicada pelas escolhas individuais dos agentes, justificadas pelo fato do
mesmo abrir mão dos ativos com o propósito de diversificar sua cesta de consumo.
Para cada evolução da dinâmica que será apresentada a seguir, ao passo que
aumentamos o coeficiente da componente microeconômica
componente endógena
, diminuímos o coeficiente da
.
Figura 6.04: (A) O gráfico de uma dinâmica simulada que representa o desvio do preço
para uma matriz de
coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido para essa
figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0.25,
= 0.75 e
= 0. (B) O ajuste de uma reta de regressão
linear da amostra apresentada em (A). A inclinação da reta determina o expoente de Hurst da amostra. (C) O
histograma com 100 colunas para 4000 amostras de expoentes característicos encontrados de acordo com as
condições estabelecidas em (A).
81
Figura 6.05. Ajuste dos pontos máximos das barras do histograma presente na figura 6.04, para uma distribuição
gaussiana dado pelo programa Matlab.
Figura 6.06: (A) O gráfico de uma dinâmica simulada que representa o desvio do preço
para uma matriz de
coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido para essa
figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0.50,
= 0.50 e
= 0. (B) O ajuste de uma reta de regressão
linear da amostra apresentada em (A). A inclinação da reta determina o expoente de Hurst da amostra. (C) O
histograma com 100 colunas para 4000 amostras de expoentes característicos encontrados de acordo com as
condições estabelecidas em (A).
82
Figura 6.07. Ajuste dos pontos máximos das barras do histograma presente na figura 6.06, para uma distribuição
gaussiana dado pelo programa Matlab.
Figura 6.08: (A) O gráfico de uma dinâmica simulada que representa o desvio do preço
para uma matriz de
coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido para essa
figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0.75,
= 0.25 e
= 0. (B) O ajuste de uma reta de regressão
linear da amostra apresentada em (A). A inclinação da reta determina o expoente de Hurst da amostra. (C) O
histograma com 100 colunas para 4000 amostras de expoentes característicos encontrados de acordo com as
condições estabelecidas em (A).
83
Figura 6.09. Ajuste dos pontos máximos das barras do histograma presente na figura 6.08, para uma distribuição
gaussiana dado pelo programa Matlab.
De acordo com a evolução das figuras: 6.04 auxiliada pela figura 6.05, 6.06 auxiliada
pela figura 6.07 e 6.08 auxiliada pela figura 6.09, é possível perceber que o expoente de Hurst
apresenta-se primeiramente bem próximo de 1 e à medida que incrementamos a dinâmica
com a componente microeconômica ele aproxima-se de 0,5. Sem a presença da componente
microeconômica, ou seja,
=0e
= 1 (vide figura 6.03) podemos diagnosticar que a
série apresenta memória de longo prazo persistente, ou seja, as escolhas futuras do agente
seguem na mesma direção das escolhas do passado. Isto é plausível visto que os agentes são
essencialmente imitadores e sensíveis à variação no preço do ativo, suas escolhas são
pautadas apenas no comportamento dos demais e na oscilação do preço, sendo assim, não
abrem mão do ativo em questão para diversificar sua cesta de consumo. Já ao passo que
aumentamos a participação da componente microeconômica, e diminuímos a característica
endógena da dinâmica, observamos que os agentes estão mudando suas escolhas por motivos
alheios à dinâmica de preços e dos seus vizinhos, analogamente a um movimento aleatório,
logo o expoente de Hurst aproxima-se de 0,5 (vide figuras 6.08 e 6.09). Quando a
componente microeconômica é totalmente incorporada na dinâmica, a característica endógena
é nula, temos então a distribuição de um caminhante aleatório, sendo as escolhas dos agentes
totalmente imprevisíveis (vide figuras 6.01 e 6.02).
84
6.4. Dinâmica 4: Comportamento endógeno do modelo com
a participação da componente macroeconômica.
A componente macroeconômica é definida por impactos inesperados e abruptos na
economia, desta forma, ao incorporá-la gradativamente na dinâmica iremos observar apenas o
deslocamento abrupto da variação do preço, mantendo na série as características de memória
de longo prazo, uma vez que os agentes permanecem imitadores e sensíveis a variação no
preço do ativo. Logo a série se mantém persistente.
Primeiramente definimos em quais intervalos de tempo ocorrerá o impacto da
componente macroeconômica. Na figura 6.10, consideramos os intervalos de tempo de
tamanho fixo, para melhor visualização dos impactos da componente macroeconômica.
Entretanto, pela definição do modelo, sabemos que o impacto da componente
macroeconômica ocorre em intervalos de tempo diferentes, de forma inesperada e abrupta,
mudando bruscamente a percepção do preço justo do ativo em questão. Desta forma, para
manter a característica inesperada do impacto da componente macroeconômica, iremos definir
esse intervalo de tempo por uma variável aleatória. A figura 6.11 mostra o impacto da
componente macroeconômica nesta condição.
Figura 6.10. À esquerda temos uma amostra da dinâmica simulada que representa o preço para uma matriz de
coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido para essa
figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0,
=1e
= 1. O impacto da componente macroeconômica
será no intervalo de tempo fixo igual a 10 e ∆ = 1. Nestas condições o Expoente de Hurst é 0,9240 calculado a
partir da inclinação da reta de regressão apresentada à direita.
85
Figura 6.11. À esquerda temos uma amostra da dinâmica simulada que representa o preço para uma matriz de
coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido para essa
figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0,
=1e
= 1. O impacto da componente macroeconômica
será no intervalo de tempo aleatórios e ∆ = 1. Nestas condições o Expoente de Hurst é 0,9819 calculado a
partir da inclinação da reta de regressão apresentada à direita.
Como o expoente de Hurst encontra-se muito além do esperado para mercados reais,
optamos por não comparar os resultados relacionados às figuras 6.10 e 6.11 com as de
Cajueiro (2004). Portanto não construímos distribuições de expoentes para esses dados.
86
6.5. Dinâmica 5:
Comportamento endógeno do modelo
com a participação das componentes microeconômica e
macroeconômica.
Para que a dinâmica proposta pelo modelo se aproxime ainda mais da dinâmica
encontrada em séries reais de ativos financeiros, é interessante incorporar as duas
componentes, microeconômica e macroeconômica, atuando em conjunto, sem perder a
característica endógena do próprio modelo. A seguir temos a evolução do modelo ao
incorporar as duas componentes, sendo a componente macroeconômica no mesmo valor
apresentado na seção anterior, e a componente microeconômica ajustada para encontrar
expoente característico que mais se aproxime de uma série real de um ativo financeiro. Na
figura 6.12 pressupomos que os coeficientes serão
1.
= 0.7,
= 0.3,
=1 e
∆
=
Figura 6.12: (A) O gráfico de uma dinâmica simulada que representa o desvio do preço
para uma matriz de
coeficientes com ordem 101 com = 1, = 10, = −10
= −11/2. O passo de tempo escolhido para essa
figura foi 0,01, os coeficientes são
= 0,7,
= 0,3 e
= 1. O impacto da componente macroeconômica
será no intervalo de tempo aleatórios e ∆ = 1. (B) O ajuste de uma reta de regressão linear da amostra
apresentada em (A). A inclinação da reta determina o expoente de Hurst da amostra. (C) O histograma com 100
colunas para 4000 amostras de expoentes característicos encontrados de acordo com as condições estabelecidas
em (A).
87
Figura 6.13. Ajuste dos pontos máximos das barras do histograma presente na figura 6.12, para uma distribuição
gaussiana dado pelo programa Matlab.
Para essa construção do modelo, encontramos para as 4.000 amostras de expoentes de
característicos das séries simuladas, com 95% de confiança, valor esperado próximo de 0,55.
Sendo a qualidade do ajuste da distribuição dos expoentes característicos encontrados,
confrontada com a distribuição gaussiana, em torno de 98%.
88
6.6. Considerações Gerais
Cajueiro e Tabak (2004) verificaram a hipótese dos mercados emergentes, ao passar
dos anos, ficarem cada vez mais eficientes. Para tanto, foram analisados os expoentes
característicos das séries no período de quatro anos de vários mercados, sendo esta uma
medida estatística da eficiência dos mercados. Os autores estudaram mercados emergentes da
Ásia, da America Latina e América Central, e incluíram também os mercados do Japão e dos
Estados Unidos da América, com o intuito de utilizar o resultado destes dois últimos como
uma medida de comparação entre mercados emergentes e mercados desenvolvidos. No
decorrer do trabalho, verificaram que os histogramas criados para as diversas amostras dos
expoentes de Hurst do Japão e dos EUA convergiram satisfatoriamente a uma curva gaussiana
com média bem próxima de 0,5, diagnosticando, assim, que mercados eficientes apresentam
em suas séries expoente característico próximo de 0,5, ou seja, as duas séries se aproximam
fortemente de um random walk, e validam a hipótese de Mercado Eficiente, enquanto
mercados emergentes, como os dos países latino-americanos (Brasil, Chile, Argentina,
México) e também alguns países asiáticos e da oceania (Indonésia, Malásia, Coréia do Sul,
Filipinas, Índia, Tailândia, Taiwan) apresentaram expoente de Hurst que oscila dentro do
intervalo de 0,5 a 0,7, destacando na extremidade inferior do intervalo a Índia, e na
extremidade superior a Indonésia. Desta forma, podemos inferir que mercados emergentes
apresentam uma menor eficiência, comparados a países com mercados desenvolvidos. Diante
desses resultados podemos lançar dúvidas sobre a hipótese de mercado eficiente para estes
mercados.
O trabalho de Cajueiro e Tabak é extremamente relevante na avaliação de mercados
eficientes através do expoente característico de suas séries. Por esta importância, utilizamos
na estrutura de análise das nossas dinâmicas simuladas o cálculo de expoente de Hurst como
medida para avaliar se os mercados simulados, construídos através da quantificação da
componente endógena, da componente microeconômica e da componente macroeconômica,
são eficientes ou não. Verificamos que ao empregar em maior proporção a componente
microeconômica, tornando nulo o valor da componente endógena, conseguimos modelar
mercados mais eficientes – com expoente de Hurst próximo de 0,5 – e ao diminuirmos a
proporção da componente microeconômica, em contrapartida aumentando a proporção da
componente endógena, conseguimos modelar mercados menos eficientes – com expoente de
Hurst variando no intervalo de 0,5 a 0,7 − conforme ilustra a figura 6.11 para uma simulação
89
com coeficientes
= 0,3,
= 0,7,
=1 e
∆
= 1. Desta forma, podemos concluir
que para encontrarmos expoente característico de mercados menos eficientes, como mercados
emergentes, foi preciso incorporar na dinâmica da variação do preço o processo endógeno do
nosso modelo. Quanto à componente macroeconômica, esta não é necessária para atingirmos
expoentes de Hurst satisfatórios. Entretanto, acreditamos que a participação desta componente
na dinâmica pode ser importante para que a distribuição de retornos se aproxime das
observadas em mercados reais, que apresentam caudas pesadas. Este estudo deve ser tema de
trabalhos futuros.
90
7.
DISCUSSÕES FINAIS E PERSPECTIVAS
A pesquisa aqui desenvolvida procura descrever por meio de um modelo matemático
de equações diferenciais lineares homogêneas as interações que possivelmente acontecem
entre os agentes no mercado de capitais, a fim de contribuir para o esforço amplamente
empreendido para interpretá-lo. Desta forma, foi possível vincular duas grandes questões
tratadas atualmente em pesquisas econômicas, descritas a seguir.
A primeira refere-se à discussão da hipótese do mercado eficiente (HME), tratada
inicialmente através da óptica da metáfora da mão invisível do mercado, que leva todos os
fatores ao equilíbrio, explicitada por Adam Smith em 1776, e defendida há séculos por
economistas clássicos. Em 1994 a metáfora ganhou vida ao ser apresentada como um
resultado experimental por Vernon Smith, que criou em laboratório um mercado simulado,
onde estudantes faziam o papel de consumidores e de empresas, mostrando que o preço
funciona com um elemento de autocorreção, e rapidamente ajusta-se ao valor de equilíbrio
quando satisfeitas as condições de competição perfeita, racionalidade dos agentes e simetria
perfeita de informações (SMITH, 1994). Essa experiência levou Smith a ganhar o Prêmio
Nobel de Economia em 2002. Neste contexto, podemos também ressaltar o economista
Eugene Fama, conhecido como o pai da HME. Em sua tese de doutorado publicada em 1970
“Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work”, Fama apresenta três
tipos de eficiência de mercado (forte, semi-forte e fraca) e demonstra que ao rejeitar a
eficiência do mercado rejeitamos também um modelo de equilíbrio de mercado (hipótese
conjunta) (FAMA, 1970). Este trabalho o levou a ganhar o atual Prêmio Nobel de Economia
(2013), dividido com os economistas americanos Lars Peter Hansen e Robert Shiller, por suas
contribuições na análise empírica do preço de ativos financeiros.
A segunda refere-se à discussão dos estudiosos das finanças comportamentais, que
acreditam que a hipótese da racionalidade dos agentes financeiros – hipótese defendida na
HME – é questionável. Pelas suas perspectivas, os agentes costumam tomar decisões de
compra, venda ou neutralidade, com relação aos ativos que detém, fortemente vinculadas aos
seus hábitos financeiros ou circunstâncias emocionais às quais estão submetidos. Daniel
Kahneman e Amos Tversky foram precursores em estudos da psicologia do investidor,
apresentando um trabalho que critica a idéia da maximização da utilidade esperada através das
91
expectativas racionais dos agentes 18. As crises financeiras provocadas nos últimos anos
ajudaram estudiosos das finanças comportamentais a questionar a racionalidade dos agentes,
contradizendo a HME. Em um de seus trabalhos, Kahneman e Tversky criticaram a teoria
econômica que refere-se à utilidade, montando um modelo alternativo chamado teoria do
prospecto (do inglês “prospect theory”). Segundo os autores as pessoas geralmente descartam
escolhas que são compartilhadas holisticamente, esse comportamento é dito como efeito de
isolamento, e leva os agentes a fazerem escolhas inconsistentes. O modelo alternativo criado
pelos autores, ao invés de concentrar-se nos bens finais, atenta-se para a possibilidade de
ganhos e perdas através da decisão dos agentes (KAHNEMAN e TVERSKY, 1979). Os
autores atribuem diferentes pesos à probabilidade de ganhos e perdas dos agentes, na tentativa
de quantificar as tendências irracionais provocadas pelas decisões dos investidores. Os
agentes em sua maioria sofrem de um otimismo exagerado, sendo relutantes em abrir mão dos
ativos quando dão prejuízos, e abrem mão rapidamente dos ativos que evidenciam lucros, e a
pesquisa desenvolvida por Kahneman, ao introduzir a Psicologia na Economia,
principalmente no que tange à tomada de decisão no ambiente de risco e incerteza, levou o
mesmo a também ganhar o Prêmio Nobel de Economia em 2002, dividido, por incrível que
pareça, com Vernon Smith, que defende idéias opostas.
Em uma pesquisa recente particularmente interessante, desenvolvida em laboratório,
Gunduz Caginalp e Vladimira Ilieva (2007) analisam o mercado através da distinção de dois
grupos de agentes, os fundamentalistas e os especuladores. O grupo dos fundamentalistas está
concentrado no valor real do ativo, concentrando suas ações baseados na arbritagem19, já o
grupo dos especuladores tem como parâmetro a tendência do preço. Constatou-se que as
bolhas são formadas por especuladores que geram grande oferta de dinheiro. Estas bolhas
explodem quando o dinheiro dos especuladores não é mais suficiente para manter a tendência
de alta do preço. Os autores modelaram os dados empíricos com equações diferenciais para os
dois grupos. Em outra pesquisa, a partir das observações das outras evidências que desafiam a
hipótese de mercado eficiente, Caginalp desenvolveu uma nova pesquisa com DeSantis que
procura quantificar os impactos que as atitudes dos agentes provocam no mercado, tão
ressaltadas pelas finanças comportamentais (CAGINALP e DESANTIS, 2011). O trabalho
18
Se pressupormos que os agentes sejam racionais, sua racionalidade os permite ordenar de forma lógica suas
preferências, e assim maximizar a utilidade de suas escolhas, mesmo em ambientes de incertezas.
19
É uma operação, de compra ou venda de ativos financeiros, em que o objetivo baseia-se em auferir ganhos
na diferença entre o preço atual do ativo e seu preço considerado justo, ou seja, é a possibilidade de lucro,
durante um intervalo de tempo, encontrado na variação do preço do ativo, em que o mesmo ainda não ajustou
seu preço ao preço monetário real.
92
apresentado em nossa pesquisa, assim como as recentes pesquisas de Caginalp e
colaboradores, procurou, de maneira distinta à deles, vincular as idéias dos dois grandes
grupos de discussão citados acima, considerando a idéia de Fama para a hipótese de mercado
eficiente, entrelaçada com a idéia dos estudiosos de Finanças comportamentais.
Em nosso modelo estamos tratando estas duas discussões apresentadas anteriormente,
ao incorporarmos a componente microeconômica e a componente endógena. A participação
apenas da componente microeconômica levará a evolução da dinâmica a apresentar expoente
de Hurst próximo de 0,5, resultado este encontrado em mercados ditos altamente eficientes
(CAJUEIRO e TABAK, 2004), isto é, nosso modelo está de acordo com a HME quando
consideramos alto o impacto da componente microeconômica. Entretanto, Cajueiro e Tabak
também argumentam que muitos mercados apresentam expoente de Hurst diferente de 0,5,
principalmente os mercados emergentes. Desta forma, a participação endógena da dinâmica é
relevante para encontrarmos expoentes de Hurst próximos a expoentes característicos de
mercados emergentes reais. Neste sentido, a parte endógena da dinâmica leva em
consideração a escolha dos agentes, que considera a discussão em finanças comportamentais,
onde questionam-se as decisões dos agentes baseadas apenas em racionalidade, quando
contrapostas com decisões de cunho emocional, como momentos reais de euforia e desespero
vividos em mercados financeiros.
No modelo há outra aleatoriedade que é dada pela componente macroeconômica. Esta
componente trata as elevações e quedas abruptas, com impacto significativo, que ocorrem por
diversos motivos nos mercados. Nesses moldes, a componente macroeconômica no nosso
trabalho faz o papel de criar impactos de escala considerável, entretanto de tamanhos
diferentes, em momentos aleatórios. Afinal, estes tipos de eventos, como catástrofes
ambientais, políticas públicas inesperadas, dentre outros, são altamente imprevisíveis. No que
diz respeito ao expoente de Hurst, a componente macroeconômica atua no sentido oposto ao
da componente microeconômica, pois, para corrigir o preço, a dinâmica fica persistente por
um tempo. Apesar de não ser necessária para encontrarmos expoentes característicos
próximos de 0,5, acreditamos que tal componente possivelmente será necessária para
encontrarmos distribuições de retornos com caudas pesadas, como as observadas em
mercados reais (MANTEGNA e STANLEY, 1995).
Para trabalhos futuros pretendemos mudar a escala dos impactos de cada agente
econômico, pois, em mercados reais, temos agentes que influenciam mais o mercado,
comparados a outros, principalmente pelo volume de ativos que transacionam e pela forma
93
que impactam o comportamento dos demais agentes (OLTRAMARY e TOMASELLI, 2007).
Também podemos incluir um termo não homogêneo no modelo, que poderia dar conta de
sazonalidades ou de impactos advindos de outros mercados. Outra idéia, que também poderá
ser tratada tomando como base este trabalho, é quantificar o dinheiro disponível, eliminando o
termo de saturação e incrementando o modelo com um elemento novo que satisfaça essa
condição.
94
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98
APÊNDICE
Programa desenvolvido no software Matlab, para a construção do modelo de sistema de
equações diferencias lineares para a dinâmica de preços de um ativo financeiro.
%--------------------------------------------------------------------clear all
clc
%--------------------------------------------------------------------for contador=1:4000;
vetortempo(contador)=contador;
%--------------------------------------------------------------------% Parâmetro que determina a ordem da Matriz A
k=101;
%--------------------------------------------------------------------% Valor do limite superior do intervalo de tempo
intervalo=50;
%--------------------------------------------------------------------% Variação do intervalo
varant=0.01;
%--------------------------------------------------------------------% Valor de N
N=intervalo/varant;
%--------------------------------------------------------------------%Para a Posicao dos agentes Antiimitadores(-1) ou Imitadores(+1);
posicao=1;
%--------------------------------------------------------------------% Definição dos coeficientes da Matriz A
termoC=1;
coeftermoC=1/(k-2);
termoB=10;
coeftermoB=1/(k-1)^0.5;
termoD=-1;
coeftermoD=1/(k-1)^0.5;
termosatur=((k-2)*(coeftermoC*termoC)/2);
coefsatur=1;
%--------------------------------------------------------------------% tamanho dos coeficientes c da matriz A
c=0.001;
%--------------------------------------------------------------------% Matriz A
A=(posicao*coeftermoC*termoC)*ones(k);
% Última Linha da Matriz A
for n=1:k;
A(k,n)=coeftermoB*termoB;
end
% Última Coluna da Matriz A
for n=1:k;
A(n,k)=coeftermoD*termoD;
end
%Diagonal da Matriz A
for n=1:k;
99
A(n,n)=-(coefsatur+termosatur);
end
%A(k,k)=0;
%--------------------------------------------------------------------% Diagonalização da Matriz A
[P,D]=eig(A);
%--------------------------------------------------------------------% Vetor Inicial Xo
Xo=zeros(k,1);
Xo(k,1)=1;
%--------------------------------------------------------------------% NOVA Solução -> Xf1
varnov=0.001;
a=1;
b=1;
Xf1=Xo;
coefPASSO=1;
coefMI=0.9;
coefMA=1;
coefend=1-coefMI;
deslocamento=coefPASSO*(rand-0.5);
Pj=100;
somaEE=0;
somaMIMI=0;
for t=0:varnov:intervalo;
x1(a)=t;
Pr=Pj+Xf1(k);
y1(a)=Pr;
deltaT=varnov;
for j=1:k-1;
R(j,1)=0;
end
Aleatorio=rand;
if Aleatorio>0.5;
Ra=1;
else
Ra=-1;
end
R(k,1)=Ra;
EE = coefend*(A*Xf1*deltaT);
MIMI= R*coefMI*(deltaT^0.5);
somaEE=somaEE+abs(EE(k));
somaMIMI=somaMIMI+abs(MIMI(k));
100
deltaX=coefend*(A*Xf1*deltaT)+R*coefMI*(deltaT^0.5);
Xf1=Xf1+deltaX;
if t>deslocamento;
VariavelMA=(rand-0.5);
VariavelPASSO=(rand-0.5);
Pj=Pj+coefMA*VariavelMA;
Xf1(k)=Xf1(k)-coefMA*VariavelMA;
deslocamento=deslocamento+coefPASSO*VariavelPASSO;
end
a=a+1;
end
%--------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------% GRÁFICOS DA DINÂMICA
% NOVA Solução -> Xf1
subplot(2,2,1);
plot(x1,y1);
title('Dinâmica Nova');
xlabel('tempo')
ylabel('Xn')
%--------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------% CÁLCULO DO EXPOENTE DE HURST
%--------------------------------------------------------------------Preco=500;
for n=1:N+1;
Pr(n)=y1(n)+Preco;
Tempo(n)=n;
end
% Taxa de Retorno Logarítmico Rt
for n=2:N+1;
%RtN(n-1)=log(y1(n)/y1(n-1));
RtN(n-1)=log(Pr(n)/Pr(n-1));
end
for jj=(N+1):(2*N)
RtN(jj)=RtN(jj-N);
end
%--------------------------------------------------------------------cont=0;
contN=N;
%Quantidade de Intervalos = I
for w=2:N;
% Elementos = Quantidade de elementos no Intervalo I
elementos=w;
% I = quantidade de Intervalos
101
I=floor(N/elementos);
%-----------------------------------------------------------------% Condição para a divisão de N/elementos seja sempre nº inteiro
%-----------------------------------------------------------------cont=cont+1;
%-----------------------------------------------------------------% R/S Rescaled Range Analisis
%-----------------------------------------------------------------% SomaRtN = Matriz que contém a soma dos retornos por Intervalo I
% RtNMedio = Matriz que contém o retorno médio de cada Intervalo I
f=1;
g=elementos;
for j=1:I;
Soma=0;
for n=f:g;
Soma=Soma+(RtN(n));
end
RtNmedio(j)=Soma/elementos;
f=f+elementos;
g=g+elementos;
end
%--------------------------------------------------% desvio padrão
%--------------------------------------------------f=1;
g=elementos;
for j=1:I;
SomaVar=0;
for n=f:g;
SomaVar=SomaVar+(RtN(n)-RtNmedio(j))^2;
end
dpI(j)=sqrt(SomaVar/elementos);
f=f+elementos;
g=g+elementos;
end
%--------------------------------------------------% Estatística R/S para cada Intervalo
%--------------------------------------------------% Amplitude: Diferença Max e Min
f=1;
g=elementos;
for j=1:I;
% para n=f
n=f;
Dif=(RtN(n)-RtNmedio(j));
SomaDif=Dif;
SomaDifMaior=Dif;
102
SomaDifMenor=Dif;
% para os outro valores de n
for n=f+1:g;
Dif=(RtN(n)-RtNmedio(j));
SomaDif=SomaDif+Dif;
if SomaDif>SomaDifMaior;
SomaDifMaior=SomaDif;
end
if SomaDif<SomaDifMenor;
SomaDifMenor=SomaDif;
end
end
RS(j)=(SomaDifMaior-SomaDifMenor)/dpI(j);
f=f+elementos;
g=g+elementos;
end
%--------------------------------------------------% Média da Estatística R/S por Intervalo
%--------------------------------------------------SomaRS=0;
for j=1:I;
SomaRS=SomaRS+RS(j);
end
EstatisticaRS(cont)=SomaRS/I;
TamanhoI(cont)=elementos;
QuantidadeI(cont)=I;
%--------------------------------------------------N=contN;
end
TAMI=log10(TamanhoI);
ERSI=log10(EstatisticaRS);
for jj=1:10
xx(jj)=TAMI(jj);
yy(jj)=ERSI(jj);
end
%--------------------------------------------------------------------% REGRESSAO LINEAR (Minimos Quadrados Ordinarios)
%--------------------------------------------------------------------SomaXi=0;
SomaYi=0;
SomaXiYi=0;
SomaXi2=0;
SomaYi2=0;
for j=1:cont;
Xi(1,j)=TAMI(1,j);
Yi(1,j)=ERSI(1,j);
Yi(1,1)=0;
XiYi(1,j)=(Xi(1,j)*Yi(1,j));
Xi2(1,j)=(Xi(1,j)^2);
103
Yi2(1,j)=(Yi(1,j)^2);
SomaXi=SomaXi+Xi(1,j);
SomaYi=SomaYi+Yi(1,j);
SomaXiYi=SomaXiYi+XiYi(1,j);
SomaXi2=SomaXi2+Xi2(1,j);
SomaYi2=SomaYi2+Yi2(1,j);
end
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Correlacao=((cont*SomaXiYi)-(SomaXi*SomaYi))/((((cont*SomaXi2)((SomaXi)^2))*((cont*SomaYi2)-((SomaYi)^2)))^0.5);
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hurst=((cont*SomaXiYi)-((SomaXi)*(SomaYi)))/((cont*(SomaXi2))-((SomaXi)^2))
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Constante=((SomaYi)/cont)-(Hurst*((SomaXi)/cont));
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------vetorhurst(contador)=Hurst;
end
%--------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------%GRÁFICO Expoente de Hurst
for j=1:cont;
Yregr(j)=Hurst*Xi(j)+Constante;
end
subplot(2,2,2);
subplot(1,2,2);
plot(Xi,Yi,'.',Xi,Yregr,'k-');
title('Expoente de Hurst');
xlabel('LOG-Tamanho do bloco');
ylabel('LOG-Estatística R/S');
% HISTOGRA
Barras=100;
subplot(2,2,3);
hist(vetorhurst,Barras);
EixoY=hist(vetorhurst,Barras);
minimo=min(vetorhurst);
maximo=max(vetorhurst);
variacao=((maximo-minimo)/Barras);
EixoX=minimo:variacao:(maximo-variacao);
cftool(EixoX,EixoY);
save('saida01.dat','vetorhurst','-ascii');
%---------------------------------------------------------------------
104