Questão 1
Uma prova consta de 10 testes de múltipla
escolha, cada um com 5 alternativas e apenas uma correta. Se um aluno “chutar” todas
as respostas:
a) Qual a probabilidade dele acertar todos os
testes?
b) Qual a probabilidade dele acertar exatamente 2 testes?
Resposta
a) Como a probabilidade de um aluno acertar um
1
teste é , a probabilidade de ele acertar todas as
5
10
1 
respostas é   .
5 
b) A probabilidade de um aluno acertar exatamen10 − 2
10   1  2 
1
te 2 testes é   ⋅   ⋅ 1 − 
=
2  5  
5
=
A receita diária é dada por ( −5x + 150) ⋅ x =
= −5x 2 + 150x , que atinge valor máximo para
b
−150
x = −
=
= R$ 15,00 .
2a
2 ⋅ ( −5)
b) Para y = −4x + 160 , o lucro diário é dado por
( −4x + 160) ⋅ (x − 8) = −4 ⋅ (x − 40) ⋅ (x − 8),
40 + 8
que tem valor máximo para x =
=
2
= R$ 24,00.
Questão 3
a) Obtenha os valores de x e y que satisfazem
o sistema abaixo:
 x + y = 15

1

log4 x − log4 y = 2
b) Qual o conjunto solução da equação exponencial 52 x − 5x + 1 + 4 = 0?
Resposta
48
9 ⋅ 216
10 ⋅ 9
1
.
⋅ 2 ⋅ 8 =
2 ⋅1 5
5
59
x + y = 15
⇔
x
1 ⇔
1
log 4
=
log 4 x − log 4 y =
y
2
2
x + y = 15
a)
Questão 2
x + y = 15
Quando uma pizzaria cobra R$ 14,00 por
pizza, 80 unidades são vendidas por dia. Quando o preço é R$ 12,00 por pizza, 90 unidades
são vendidas.
a) Admitindo que a quantidade vendida (y)
seja função do 1º grau do preço (x), qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita diária?
b) Se a relação entre y e x fosse y = − 4 x + 160,
e o custo de cada pizza R$ 8,00, qual o preço
que deveria ser cobrado para maximizar o lucro?
Resposta
a) Como para y = 80 temos x = 14 e para y = 90
temos x = 12 , a quantidade vendida y em função
80 − 90
do preço x é y − 80 =
⋅ (x − 14) ⇔
14 − 12
⇔ y = −5x + 150.
⇔
1
x
= 42
y
⇔
x + y = 15
x = 10
⇔
x = 2y
y =5
V = {(10, 5)}
b) 5 2x − 5 x + 1 + 4 = 0 ⇔
⇔ (5 x ) 2 − 5 ⋅ (5 x ) + 4 = 0 ⇔
5x = 1
x =0
ou
⇔
⇔ ou
x = log 5 4
5x = 4
V = {0, log 5 4}
Questão 4
a) O 1º termo de uma progressão geométrica
é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o número de termos n desta progressão,
em função de A, B e q.
matemática 2
b) Um empréstimo de R$ 27.500,00 deve ser
pago sem juros em parcelas mensais. A 1ª
parcela vale R$ 500,00 e cada parcela a partir da 2ª é R$ 50,00 superior à anterior.
Quantas parcelas são necessárias para pagar a dívida?
Resposta
a) Se A = 0 , a PG é (0; 0; ...; 0) e não é possível
determinar o número de termos n a partir de A, B
e q.
Se q = 0 , a PG é (A; 0; ...; 0) e não é possível
determinar o número de termos.
Se q = 1, a PG é (A; A; ...; A) e não é possível determinar o número de termos.
Se q = −1, a PG é (A; −A; ...; A ⋅ ( −1) n −1 ) e não é
possível determinar o número de termos.
Assim, supondo que seja possível determinar o
número de termos n a partir de A, B e q, então
A ≠ 0 , q ≠ 0 , q ≠ 1, q ≠ −1 e B = A ⋅ q n −1 , para
um certo n ∈ Z +∗ .
B
Logo B = A ⋅ q n −1 ⇔ q n −1 =
⇔
A
B
B
⇔ |q |n −1 =
⇔ n − 1 = log |q |
⇔
A
A
⇔ n = 1 + log |q |
B
.
A
b) Como cada parcela a partir da 2ª é R$ 50,00
superior à anterior, as parcelas formam uma PA
com 1º termo igual a 500 e último termo igual a
500 + (n − 1) ⋅ 50 = 450 + 50n, sendo n o número de parcelas. Uma vez que o empréstimo foi de
R$ 27.500,00, temos
(500 + 450 + 50n) ⋅ n
= 27 500 ⇔
2
⇔ n 2 + 19n − 1 100 = 0 ⇔ n = 25 parcelas.
Questão 5
a) No plano cartesiano, para que valores de
m as retas de equações (r) mx + 2y + 4 = 0 e
(s) mx − 4y + 5 = 0 são perpendiculares?
b) Qual a distância entre as retas (t) 3x + 4y =
= 0 e (v) 3x + 4y + 5 = 0?
Resposta
a) Como mx + 2y + 4 = 0 ⇔ y = −
m
x −2e
2
m
5
, os coeficientes
mx − 4y + 5 = 0 ⇔ y =
x +
4
4
m m
angulares de r e s são −
, respectivamene
4
2
te. Logo r e s são perpendiculares se, e somente
m m
se, −
⋅
= −1 ⇔ m = 2 2 ou m = −2 2 .
2 4
b) As retas t e v são paralelas. A distância entre t
e v é igual à distância de um ponto de t a v. Um
ponto de t é (0; 0), logo a distância entre t e v é
|3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 0 + 5 |
= 1.
3 2 + 42
Questão 6
Um conjunto de 10 valores numéricos x1 , x2 ,
x3 , ..., x10 , tem média aritmética igual a 100
e variância igual a 20. Se adicionarmos 5 a
cada valor, isto é, se obtivermos o conjunto
( x1 + 5), ( x2 + 5), ( x3 + 5), ..., ( x10 + 5),
a) Qual a média do novo conjunto de valores?
(Justifique).
b) Qual a variância do novo conjunto de valores? (Justifique).
Resposta
Temos que a média aritmética x é igual a 100,
x + x 2 + . . . + x10
ou seja, x = 1
= 100 ; e a
10
variância
é
igual
a
20,
ou
seja,
(x1 − x) 2 + (x 2 − x) 2 + . . . + (x10 − x) 2
= 20 .
10
a) A média aritmética do novo conjunto de
(x1 + 5) + (x 2 + 5) + . . . + (x10 + 5)
valores é
=
10
x + x 2 + . . . + x10
5 ⋅ 10
= 1
+
= x + 5 = 105 .
10
10
b) A variância do novo conjunto de valores é
(x1 + 5 − (x + 5)) 2 + (x 2 + 5 − (x + 5)) 2 + . . . + (x10 + 5 − (x + 5)) 2
=
10
=
(x1 − x) 2 + (x 2 − x) 2 + . . . + (x10 − x) 2
= 20 .
10
Questão 7
a) A medida da diagonal de uma face de um
cubo mede 6 5 cm. Quanto mede a diagonal
desse cubo?
b) Sabendo-se que cos x = k, obtenha em função de k o valor de cos4x.
matemática 3
Resposta
a) Seja a a medida da aresta do cubo, em cm. A
diagonal de uma face do cubo mede a 2 , logo
a 2 = 6 5 ⇔ a = 3 10 cm.
Conseqüentemente, a diagonal desse cubo mede
a 3 = 3 10 ⋅ 3 = 3 30 cm.
b) cos 4x = cos(2 ⋅ 2x) = 2cos 2 (2x) − 1 =
= 2(2cos 2 x − 1) 2 − 1 = 2(2k 2 − 1) 2 − 1 =
= 8k 4 − 8k 2 + 1.
Questão 8
a) Discuta, em função de m, o sistema nas incógnitas x e y:
mx + y = 4

 x + my = 6
2 0
b) Dadas as matrizes A = 
 e
1 3
k 0
B = m 1  , para que valores de k e m, a

3 
matriz A é a inversa de B?
Resposta
m
1
a) Para
≠ 0 ⇔ m2 − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 e
1
m
m ≠ −1, o sistema é possível e determinado (SPD).
x +y =4
Para m = 1, o sistema é equivalente a
,
x +y =6
que é impossível (SI), e para m = −1, temos
−x + y = 4
, que também é impossível.
x −y =6
Logo para m ≠ 1 e m ≠ −1 temos um SPD, e para
m = 1 ou m = −1, um SI.
b) A matriz A é a inversa de B se, e somente se,
B ⋅ A = I . Assim
k

m
0   2 0  1 0 
1⋅
=
⇔
1 3  0 1 
3  
 2k
1
⇔
 2m + 3
0  1 0 
1
1
1  = 0 1  ⇔ k = 2 e m = − 6 .

Questão 9
a) Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$ 500.000,00 para pagamento em 3
parcelas anuais, sendo a 1ª daqui a 1 ano. O
banco combinou cobrar juros compostos a uma
taxa de 20% ao ano. Sabendo-se que a 1ª parcela foi de R$ 180.000,00 e a 2ª de R$ 200.000,00
qual o valor da 3ª?
b) Durante quantos meses um capital deve
ser aplicado a juros compostos e à taxa de 8%
ao ano para que o montante seja o triplo do
capital aplicado? (você pode deixar a resposta
indicada, sem fazer os cálculos).
Resposta
a) Após o pagamento da primeira parcela, um ano
após o empréstimo, o saldo devedor é
500 000 ⋅ 1,20 − 180 000 = 420 000 reais.
Após o pagamento da segunda parcela, um ano
após o pagamento da primeira, o saldo devedor é
420 000 ⋅ 1,20 − 200 000 = 304 000 reais.
Portanto a terceira parcela, que deve liquidar a dívida, é 304 000 ⋅ 1,20 = 364 800 reais.
b) Seja C o capital. Após n anos, o montante é
C ⋅ 1,08 n . Assim, C ⋅ 1,08 n = 3 ⋅ C ⇔
⇔ log 1,08 n = log 3 ⇔ n ⋅ log 1,08 = log 3 ⇔
log 3
log 3
anos = 12 ⋅
meses ≅
⇔ n =
log 1,08
log 1,08
≅ 171 meses.
Questão 10
a) A função polinomial P( x ) = x 3 + x + 5 é
crescente. Mostre que ela possui uma raiz
real negativa.
b) Sejam a, b e c as raízes da equação
x 3 − 4 x2 + 2 x + 1 = 0. Qual o valor de
a2 + b2 + c2 ?
Resposta
a) Como P( −2) = ( −2) 3 + ( −2) + 5 = −5 < 0 e
P( −1) = ( −1) 3 + ( −1) + 5 = 3 > 0 , pelo Teorema de Bolzano, P(x) possui uma raiz real negativa, pertencente ao intervalo ] − 2; −1[ .
Dado que P(x) é crescente, essa é a sua única
raiz real.
b) Como a, b e c são as raízes de
x 3 − 4x 2 + 2x + 1 = 0 , pelas relações de Girard:
−( −4)
a +b +c =
= 4;
1
2
ab + ac + bc =
= 2e
1
1
abc = − = −1.
1
Assim,
a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c ) 2 − 2(ab + ac + bc) =
= 4 2 − 2 ⋅ 2 = 12 .