Curso: Engenharias
Cálculo III 6
Turma: 01
Integral Dupla
Data: 23/09/2013
Semestre: 2013.1
Profa. : Edmary
Integral Dupla
Definição: Consideremos uma função z  f ( x, y) definida numa região fechada e
limitada R do plano xy. Sejam Rk os retângulos que estão totalmente contidos em R. Em
n
cada retângulo Rk , escolhemos um ponto ( xk , yk ) e formamos a soma
 f ( x , y )A ,
k
k
k
k 1
onde Ak  xk .yk é a área do retângulo Rk .
n
Se lim  f ( xk , yk )Ak existe, ele é chamado integral dupla de f ( x, y) sobre a região R.
n 
k 1
Denotamos
 f ( x, y)dA
ou
R
 f ( x, y )dxdy .
R
Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Suponhamos que z  f ( x, y )  0 sobre R. O produto f ( xk , yk ) Ak representa o volume
de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e altura é f ( xk , yk ) . A soma de Riemann
n
 f ( x , y )A
k
k
k
representa uma aproximação do volume da porção do espaço
k 1
compreendida abaixo do gráfico de z  f ( x, y ) e acima da região R do plano xy.
Propriedades da Integral dupla
Supondo que a fronteira da região de integração R é formada por um número finito de
arcos de curvas suaves e as funções f ( x, y) e g ( x, y) são contínuas sobre a região R.
I)
 kf ( x, y)dA  k  f ( x, y )dA , para todo k real.
R
II)
  f ( x, y )  g ( x, y ) dA   f ( x, y)dA   g ( x, y)dA .
R
III)
R
R
R
Se f ( x, y )  g ( x, y) , para todo ( x, y)  R , então
 f ( x, y)dA   g ( x, y)dA.
R
R
Se f ( x, y)  0 para todo ( x, y)  R , então
IV)
 f ( x, y )dA  0.
R
Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R1 que não tem pontos
em comum, exceto possivelmente os pontos de suas fronteiras, então
 f ( x, y )dA   f ( x, y )dA   f ( x, y )dA .
V)
R
R1
R2
Cálculo das integrais duplas
 f ( x)  y  f 2 ( x)
Tipo I:  1
, com f1 ( x) e f 2 ( x) contínuas em [a, b].
axb

 g ( y)  x  g 2 ( y )
Tipo II:  1
, com g1 ( x ) e g 2 ( x) contínuas em [a, b].
c yd

1º Caso: R é do Tipo I
Nesse caso a integral dupla
 f ( x, y )dxdy é calculada através da seguinte integral
R
 f2 ( x )

f
(
x
,
y
)
dy

dx .
a  f ( x)
1

b
2º Caso: R é do Tipo II
Nesse caso a integral dupla
 f ( x, y)dxdy é calculada através da seguinte integral
R
d

g2 ( y )
  
c
 g1 ( y )

f ( x, y )dx dy.

Exemplos.
1) Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de
z  2  x  y . Inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e
1
1
y  x .
4
2
2) Calcular a integral  ( x  y )dA onde R é a região limitada por y = x2 e y = 2x.
R
3) Calcular I=  ysen ( xy )dxdy , onde R é o retângulo de vértices
R


(0, ), (1, ), (1,  ) e (0,  ).
2
2