INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA APLICADA
Exercı́cios sobre Integrais Múltiplos
1. Calcule os seguintes integrais duplos e identifique geometricamente os volumes calculados
desta forma:
∫ ∫
(a)
3 dxdy, R = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 6} ;
R
∫ ∫
(5 − x) dxdy, R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 3} ;
(b)
R
∫ ∫
(4 − 2y) dxdy, R = [0, 1] × [0, 1] .
(c)
R
2. Calcule os seguintes integrais:
∫
1
∫
2
(a)
(x + 2y) dxdy;
−1
∫
1
y2
∫ √1−y2
(x + y) dxdy;
(b)
0
∫ ∫
0
∫ ∫
D
(c)
{
1
dxdy em que D =
x+y+1
0<x<1
0 < y < x;
(x + 2y) dxdy em que D é a região de R2 limitada pelas curvas y = 2x2 e y = 1+x2 .
(d)
D
3. Calcule os seguintes integrais iterados:
∫
∫
3
∫
2
dx
x ydy e
0
1
∫
2
2
x2 ydx.
dy
1
3
0
4. Determine o volume do sólido S, do primeiro octante, limitado pela superfı́cie x2 +2y 2 +z = 16
e pelos planos x = 2 e y = 2.
5. Determine a região de integração D e inverta a respectiva ordem:
∫ ∫
∫ 1 ∫ 2y
∫ 3 ∫ 3−y
f (x, y) dxdy =
dy
f (x, y) dx +
dy
f (x, y) dx.
D
0
0
1
1
0
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6. Calcule o valor dos integrais duplos:
∫ 1
∫ 1
(a)
dx
f (x, y) dy, com
−1
−1
{
f (x, y) =
xy,
x≥0∧y ≥0
1 − x − y, x < 0 ∨ y < 0.
∫ ∫
f (x, y) dxdy em que f (x, y) = |y − x2 | e D = [−1, 1] × [0, 2].
(b)
D
∫ ∫
7. Considere o integral
f (x, y) dxdy onde D é região limitada pelas linhas y = 1, y = x + 4
∫ ∫
e y = 6 − x. Defina os limites de integração do integral
f (x, y) dxdy e do integral
D
∫ ∫
f (x, y) dydx.
D
D
8. Calcule
∫ 1∫
(a)
y
2
0
∫
√
1
2
π
∫
e−x dxdy ;
2
√
π
sen(y 2 )dydx .
(b)
0
x
∫ ∫
∫
9. Considere o integral
1
∫
dxdy =
D
√
2− y
√
0
dxdy.
y
(a) Interprete-o geometricamente e represente D;
∫ ∫
(b) Calcule
dxdy.
D
10. Utilize o integral duplo para calcular a área dos domı́nios do plano limitados por:
(a) x = y 3 , x + y = 2 e y = 0;
(b) xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x, x > 0 e y > 0.
11. Calcule o volume do sólido definido pelas seguintes condições:
x2 + y 2 6 16 , |z| 6 y e y > 0.
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12. Calcule a massa da lâmina cujas dimensões são definidas pelas condições
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 3 e 0 6 x 6 4}
e em que a sua massa especı́fica é dada por ρ(x, y) = xy.
13. Calcule a massa da lâmina cujas dimensões são definidas pelas condições
D = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 9 − x2 e 0 6 x 6 3}
e em que a sua massa especı́fica é dada por ρ(x, y) = xy.
14. Uma lâmina delgada tem a forma da região do plano limitada pelo arco da parábola
y = 2x − x2 e pelo intervalo 0 6 x 6 2. Calcule a massa desta lâmina dado que a massa
1−y
.
especı́fica da lâmina é definida por ρ (x, y) =
1+x
15. Uma lâmina triangular com vértices nos pontos (0, 0), (0, 3) e (2, 3) apresenta massa especı́fica
dada pela expressão ρ(x, y) = 2x + y. Calcule a sua massa e as coordenadas do seu centro de
massa.
16. Utilize uma mudança de variáveis adequada para calcular os seguintes integrais
∫ ∫
(a)
(x + y)3 (x − y) dxdy onde D é o quadrado limitado por x + y = 1, x − y = 1,
D
x + y = 3 e x − y = 0;
∫ ∫
(b)
(x + y)2 dxdy em que D é a região limitada pelas linhas
D
x + y = 2, x + y = 4, x2 − y 2 = 4 e x = y;
∫ ∫
1dxdy em que D é a região limitada pelas linhas
(c)
D
xy = 1, xy = 2, y = x, y = 4x, x > 0 e y > 0.
17. Considere o conjunto
{
}
A = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 2x 6 0 ∧ x2 + y 2 − 2y > 0 .
∫ ∫
Efectue em
f (x, y) dxdy uma mudança de variável para coordenadas polares.
D
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18. Calcule as áreas dos domı́nios definidos por
(a) x2 + y 2 6 1, x > 0 e y > −x;
(b) (x − 1)2 + y 2 6 1, y 6 0 e y > −x.
19. Calcule os volumes dos sólidos definidos pelas seguintes condições:
(a) |x| 6 1, |y| 6 1 e x2 + y 2 6 z 6 1;
(b) |x| 6 1, |y| 6 1 e 1 6 z 6 x2 + y 2 .
20. Calcule em coordenadas polares
∫ ∫
D
x2
y
dxdy,
+ y2
{
}
√
D = (x, y) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > x 3 ∧ 1 6 x2 + y 2 6 4 .
onde
∫ ∫
21. Calcule
(
)
4 − x2 − y 2 dxdy
D
em que o domı́nio de integração D é a coroa circular limitada pelas circunferências x2 + y 2 = 1
e x2 + y 2 = 4.
∫ ∫
22. Calcule
(
)
x2 + y 2 dxdy
D
em que o domı́nio de integração D é
{
}
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 − x ≤ 0, x2 + y 2 − y ≥ 0, y ≥ 0 .
.
23. Calcule os seguintes integrais triplos
∫
2
∫
z2
∫
z
(a)
(x + y) dydxdz;
0
∫
(b)
0
0
2
∫
x
1 ∫ y
√
y
xy 2 z 3 dxdzdy.
z2
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24. Determine o volume dos sólidos limitados pelas seguintes superfı́cies
(a) z = 2, z = y 2 , x = 0 e x = 4;
(b) y 2 + z 2 = 4x e x = 2;
(c) z = 2x2 + y 2 e z = 4 − y 2 .
25. Através de um integral triplo, calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfı́cie
esférica x2 + y 2 + z 2 = 4 e inferiormente pela superfı́cie cónica z 2 = x2 + y 2 , em que z > 0.
26. Para cada um dos seguintes integrais, interprete geometricamente a região de integração e
determine o seu valor:
∫
∫
1
(a)
dx
−1
∫
3
√
− 9−x2
−3
∫
1−x2
√
− 1−x2
∫ √9−x2
dx
(b)
√
2−x2 −y 2
dy
(
x2 + y 2
) 32
dz;
x2 +y 2
∫ √9−x2 −y2 ( √
)
z x2 + y 2 + z 2 dz.
dy
0
27. Considere S uma semi-esfera homogénea de raio a.
(a) Determine o centróide de S ;
(b) Determine momento de inércia de S relativamente a um diâmetro da sua base.
Exercı́cios suplementares
1. Seja f uma função integrável em [1, 3]. Prove que
∫
3
∫
∫
x
(x − y) f (y) dydx =
n
1
1
1
3
(3 − y)n+1
f (y) dy.
n+1
2. Seja f : D ⊆ R2 → R uma função contı́nua. Inverta a ordem de integração:
)
∫ (∫ √
1
x
(a)
f (x, y) dy dx;
x3
0
∫
1
(∫
1+x2
)
f (x, y) dy dx.
(b)
−1
0
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3. Considere o integral:
∫ ∫
∫
f (x, y) dxdy =
D
∫
4
dx
0
2
√
( )
sin y 3 dy
x
(a) Represente geometricamente a região D;
(b) Inverta a ordem de integração do integral duplo;
(c) Calcule o integral dado.
4. Após representar graficamente as regiões de integração, calcule os seguintes integrais:
∫
∫
2
1
dy
(a)
0
∫
(b)
∫
1
y
2
4
dx
0
( )
cos x2 dx;
e−y dy.
2
4x
5. Calcule o seguinte integral:
∫
∫
1
π
2
sec2 (cos x) dx.
dy
arcsen y
0
6. Considere uma placa rectangular cujas dimensões são definidas pelas condições
{(x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 h e 0 6 x 6 b}
em que h e b são constantes positivas. Determine IX e IY dado que a massa especı́fica é
ρ(x, y) = 1.
7. Considere a região
{
}
A = (x, y) ∈ R2 : y ≤ x + 1 ∧ y ≤ x2 − 2x + 1 ∧ y ≥ 0 ∧ x ≥ −1 ∧ x ≤ 1 .
∫ ∫
|x| dxdy;
(a) Esboce a região de integração e calcule
A
(b) Inverta a ordem de integração que utilizou na alı́nea anterior;
(c) Supondo que a região A representa uma lâmina fina, determine as coordenadas (x̄, ȳ) do
seu centro de massa supondo que esta tem uma massa especı́fica α (x, y) = |x| .
.
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8. Utilize uma mudança de variável conveniente e prove que
∫ ∫
∫ 2
f (xy) dxdy = ln 2
f (u) du
R
1
onde R é a região do 1o quadrante de x0y limitada pelas curvas dadas por
y
y
= 1 e = 4.
x
x
xy = 1, xy = 2,
9. Utilizando uma mudança de variáveis conveniente, mostre que
)
(
∫ 1 ∫ 1−y
1
x−y
dxdy = sin 1.
cos
x+y
2
0
0
10. Determine o centro de massa de uma lâmina com a forma da região
{
}
(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
e em que a massa especı́fica em cada ponto é directamente proporcional à distância desse
ponto ao eixo dos xx.
11. Calcule a área da região D delimitada pelas inequações
x2 + y 2 − 2x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 4, y ≥
12. Calcule o integral duplo
√
3x.
∫ ∫
xydxdy
D
com
{
}
D = (x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, (x − 2)2 + y 2 ≤ 1 .
13. Uma lâmina ocupa a região dentro do cı́rculo de equação x2 + y 2 = 2y e fora do cı́rculo de
equação x2 + y 2 = 1. Determine o seu centro de massa sabendo que a massa especı́fica em
cada ponto é inversamente proporcional à sua distância à origem.
14. O volume de um sólido está expresso pelo integral
∫ ∫ √
∫ √
0
4−x2 −y 2
2x−x2
2
−
0
√
dzdydx.
4−x2 −y 2
(a) Descreva o sólido mediante as equações das superfı́cies que o limitam;
(b) Calcule o volume do referido sólido.
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15. Considere a região S limitada pela superfı́cie cilı́ndrica de equação x2 + y 2 = 1, superiormente
pela superfı́cie cónica de equação z 2 = 4x2 + 4y 2 e inferiormente pela superfı́cie parabólica de
equação z = x2 + y 2 .
(a) Represente geometricamente a região S;
∫∫∫
(b) Sendo I =
x2 dxdydz,represente I por meio de integrais iterados em coordenadas
cartesianas;
S
(c) Determine o valor de I.
16. Considere E a região limitada pelas superfı́cies esféricas x2 + y 2 + z 2 = 1 e x2 + y 2 + z 2 = 4.
∫∫∫
(a) Determine
xdxdydz;
E
∫∫∫
(b) Determine
xdxdydz, onde F é a parte da região E que se encontra no 1o octante
F
√
e é limitada inferiormente pela superfı́cie de equação 3z = x2 + y 2 .
17. Seja R a região definida por
{
}
R = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, −x2 − y 2 + z 2 ≥ 0, z ≤ −1 .
(a) Represente geometricamente a região R;
(b) Determine o volume de um sólido com a forma desta região;
(c) Supondo que o sólido referido na alı́nea anterior é homogéneo, determine o seu centro de
massa.
2
2
2
18. Considere R a região limitada superiormente
∫ ∫pela
∫ superfı́cie x + y + z = 7 e inferiormente
pela superfı́cie x2 + y 2 − z 2 = 1, determine
zdxdydz.
R
19. Determine o volume da região limitada pelas superfcies y = x2 + z 2 e y = 36 − 3x2 − 3z 2 .
Fim da Ficha
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