UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
2A LISTA DE EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA – MEDICINA VETERINÁRIA
Prof.: Ednaldo Carvalho Guimarães .
Probabilidades
1) A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de que B resolva é de 3/4. Se ambos
tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido?
O problema será resolvido se A ou B resolver
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (2/3) +(3/4) – [(2/3)x(3/4)] = 0,9167
2) De 100 pessoas que se candidataram ao emprego em uma empresa, 40 possuíam experiência anterior, 30 curso
superior , e 20 possuíam ambos.
a) Qual a probabilidade de um candidato aleatoriamente escolhido possuir curso superior ou experiência anterior?
P(CS∪EA) = 0,30 + 0,40 -0,20 = 0,50
b) Qual a probabilidade de um candidato aleatoriamente escolhido possuir curso superior e experiência anterior?
P(CS∩EA) = 0,20
3) Uma amostra aleatória de 10 firmas, que empregam ao todo 8000 pessoas, mostrou que ocorreram 400 acidentes de
trabalho no ano anterior. Calcule a probabilidade de ocorrência de acidentes de trabalho e expresse o resultado em
porcentagem.
P(A) = 400/8000 = 0,05 = 5%
4) A partir dos dados da tabela 1 calcule:
a) Qual a probabilidade de que uma família aleatoriamente escolhida possua renda menor que R$ 200,00
P(<200) = 60/500
b) entre R$ 200 e R$ 800
P(200 a 800) = 100/500
c) menor que R$ 1500
P(<1500) = 320/500
d) entre R$200 e R$ 2000
P(200 a 2000) = 400/500
TABELA1. Distribuição de renda e 500 famílias.
NÍVEL DE RENDA( R$)
Menos que 200
200 a 800
800 a 1500
1500 a 2000
Mais de 2000
Total
Nº DE FAMÍLIAS
60
100
160
140
40
500
5) Um pesquisador submete 100 animais a dois tipos de tratamentos e obtém os seguintes resultados:
Resultados
Tratamentos
A
B
Cura Total
24
16
Cura Parcial
24
16
Morte
12
8
a) Sorteando aleatoriamente um dos animais, determinar a probabilidade:
i)
ter sido submetido ao tratamento A
P(A) = 60/100
ii)
ter sido totalmente curado
P(cura) = 40/100
iii)
ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado
P(a∩cura) =24/100
iv)
ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado
P(A∪CP) = 0,6 + 0,40-0,24 =0,76
b) os eventos morte e tratamento são independentes? Justifique.
P(M) = 0,20 P(A) = 0,60 P(B) = 0,40 P(M∩A) = 0,12 = 0,6x0,2 P(M∩B) = 0,08 = 0,4x0,2 Î independentes
c) Sorteando dois animais , qual a probabilidade de que tenham recebido tratamento diferente?
P(A∩B) + P(B∩A) = 0,6x0,4 +0,4x0,6 = 0,48
d) Dado que o animal selecionado obteve cura total, qual a probabilidade que ele tenha recebido o tratamento A?
P(A/CT) = 0,6 = 24/40
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSINAIS (Não cai na prova)
1)
Uma VAD X que associa a cada empregado das empresas de certa localidade o número de
filhos do mesmo tem a seguinte distribuição de probabilidades
0
1
2
3
4
5
6
xi
P(xi)
0,08
0,16
0,20
0,40
a) Prove que P(X=x) é uma função de probabilidade
b) Faça o gráfico de P(X=x)
c) Encontre a função de distribuição
d) Faça o gráfico da função de distribuição
e) Calcule as seguintes probabilidades:
e.1) P(X=1)
e.2) P(x=4,5)
e.3)P(X<3)
e.4) P(1<X<3)
f) determinar número médio de filhos e o desvio padrão.
0,08
0,04
0,04
e.5)P(X>4)
2) Considere que o tempo t, em minutos, necessário para um operário processar certa peça, seja uma variável aleatória
discreta com a seguinte função de probabilidade:
.t
P(T=t)
2
0,1
3
0,1
4
0,3
5
0,2
6
0,2
7
0,1
a)
Calcule o tempo médio e a variância de processamento.
Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$2,00; mas se ele processa a peça em menos de 6
minutos ganha R$0,50 por cada minuto poupado.
b) Encontre a função de probabilidade, a média e a variância da variável aleatória G: quantia (em R$) ganha por
peça.
Distribuições de probabilidades (binomial, Poisson, Normal)
1) Num conjunto de animais a probabilidade de um indivíduo apresentar uma anomalia é de 20%. Em 5
animais escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de 2 animais não apresentarem esta anomalia.
P( X = 2) = C52 0,802 0, 23 = 0, 0512
2) A probabilidade de controle de uma doença causada por bactéria em frangos é de 25%. Considerando 8
animais submetidos a um tratamento, qual a probabilidade de controle de 5 animais?
P( X = 5) = C85 0, 2550, 753 = 0, 023
3) A probabilidade de uma cobaia se recuperar de uma doença é de 0,8. Observando 3 cobaias portadoras
da mesma doença, calcular a probabilidade de 2 cobaias se recuperarem.
P( X = 2) = C32 0,82 0, 21 = 0,384
4) A probabilidade de compra em uma revenda de um certo medicamento veterinário é igual a 30%.
Observando 8 compradores, qual a probabilidade de 4 deles comprarem este medicamento?
P ( X = 4) = C84 0,34 0, 7 4 = 0,1361
5) Chegam caminhões a um frigorífico, em média, 2 caminhões/hora. Determine a probabilidade de
chegarem 2 ou mais caminhões: (não será cobrado nesta prova)
a) Num período de 30 minutos
b) Num período de 1 hora
c) Num período de 2 horas
6) Numa determinada localidade a análise hidrológica dos últimos 150 anos forneceu um valor médio de
uma enchente por ano. Qual a probabilidade de ocorrer no próximo ano: (não será cobrado nesta prova)
a) Nenhuma enchente,
b) Duas enchentes
7) A incidência de animais com a doença X em zoológicos é de 0,5 por 100 animais. Numa amostra de 200 animais,
qual a probabilidade de que ela não inclua casos dessa doença? (não será cobrado nesta prova)
8) Determinar as probabilidades ou os valores de k nas seguintes situações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
P(0< Z < 1,53) = 0,4370
P(-0,68 <Z< 1,33) = 0,2517 + 0,4082 = 0,6599
P(Z> -1,20) = 0,5 + 0,3849 = 0,8849
P(Z< -1,75) = 0,5 – 0,4599 = 0,04
P(Z> 2,33) = 0,5 – 0,4901 = 0,01
P(Z< 1,19) = 0,5 + 0,3830 = 0,8830
P(-1,57<Z<-0,57) = 0,4418 – 0,2157 =
P(2,00 < Z < 2,58) = 0,4951 – 0,4772 =
P(Z = 2,33) = 0,00
P(1,96 < Z < 2,17) = 0,01
P(Z>2,0) =0,0228
P(Z>2,0) = 0,9772
P(Z< -1,28 ) = 0,1003
P(Z > -1,64) = 0,95
P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,95, com k1 e k2 simétricos
P(Z< 1,28) = 0,90
9) Uma máquina automática de encher garrafas de refrigerante está regulada para que o volume médio do
líquido em cada garrafa seja de 1000 cm3 com um desvio padrão de 10 cm3. Se a distribuição da variável é
normal, determine.
a) A probabilidade de que uma garrafa aleatoriamente escolhida apresente um volume do líquido menor
do que 990 cm3.
P(X< 990) = P(Z < -1,0) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587
b) A probabilidade de que uma garrafa aleatoriamente escolhida apresente um volume de líquido, que não
se desvie da média em mais de 2 desvios padrão.
P( 980 < X < 1020) = P(-2,00 < Z < 2,00) = 0,4772 + 0,4772 = 0,9544
10) A produção de leite de animais de uma fazenda tem distribuição normal com média de 15 kg e desvio
padrão de 3 kg. i) Qual a probabilidade de selecionarmos um animal e ele produzir: a) mais de 20 kg?
P(X>20) = P(Z > 1,67) = 0,5 – 0,4525 = 0,0475
b) entre 10 e 18 kg?
P(10 < X < 18) = P( -1,67 < Z < 1,00) = 0,4525 + 0,3413 = 0,7938
c) pelo menos 17 kg?
P(X > 17) = P(Z > 0,67) = 0,5 – 0,2486 = 0,2514
ii) O produtor decide utilizar o seguinte critério: 10% dos animais com as menores produções e 15% dos
animais com as maiores produções serão separados dos demais para tratamento especial. Utilizando as
informações da distribuição normal, qual serão os limtes para a separação?
P(Z < z1) = 0,10 Î z1 = -1,28 Î -1,28 = (X1- 15)/3 Î X1 = 11,16
P(Z> z2) = 0,15 Î z2 = 1,04 Î 1,04 = (X2 – 15)/3 Î X2 = 18,12
iii) Se selecionarmos 5 animais, qual a probabilidade que 3 produzam mais de 18 kg?
P(X>18) = P(Z> 1,0) = 0,5-0,3413 = 0,1587 = 0,16 portanto considerando a variável Y = número de
animais com prod maior que 18, temos Y como distribuição binomial, com p =0,16 e q = 0,84, daí:
P (Y = 3) = C53 0,1630,842 = 0, 029
11) Suponha que o tempo de florescimento de uma determinada orquídea seja normalmente distribuído com média 18
dias e variância de 9 dias2.
a) Qual a probabilidade de que uma planta selecionada aleatoriamente apresente:
a.1) tempo de florescimento inferior a 18 dias?
P(X>18) = P(Z>0) = 0,50
a.2) tempo de florescimento superior a 21 dias?
P(X>21) = P(Z> 1,0) = 0,1587
a.3) tempo de florescimento entre 15 e 22 dias?
P(15 < X < 22) = P( -1,00 < Z < 1,33) = 0,3413 + 0,4082 = 0,7495
b) Qual é o limite de tempo de florescimento acima do qual espera-se encontra-se 95% das plantas?
P(Z>z1) = 0,95 Î z1 = -1,65 Î -1,65 = (X- 18)/3 Î X = 13,05
c) Qual é o limite de tempo abaixo do qual espera-se encontrar apenas 10% da plantas?
P(Z<z) = 0,10 Î z = -1,28 Î X = 14,16