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Universidade de Évora
Notas para a disciplina
Análise Matemática III
Leccionada às licenciaturas em Engenharia: Civil, Informática, Geológica,
Mecatrónica, Quimica e Recursos Hídricos
Luís Manuel Ferreira da Silva
Outubro de 2006
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• Programa de referência
1. Elementos de Geometria Diferencial em R3
2. Integrais de Linha e de Superfície
3. Números Complexos
4. Séries de Fourier
5. Sistemas de Equações Diferenciais
6. Séries de Fourier
Estas notas foram compiladas para servirem de apoio bibliográfico à disciplina de Análise Matemática III, das licenciaturas em Engenharia Civil, Engenharia Informática, Engenharia Geológica, Engenharia Mecatrónica, Engenharia Química e Engenharia de Recursos Hídricos da Universidade de
Évora. A necessidade da sua realização surgiu com o programa de referência,
concebido pelo Departamento de Matemática em conjunto com as comissões
de curso respectivas, no contexto das reestruturações das licenciaturas, levadas a cabo no ano lectivo de 2002/2003, nesta Universidade. O autor não
teve qualquer pretensão de originalidade na exposição, nem de exaustão dos
temas. Teve sim como única intensão, a de organizar um texto coerente,
focando os diferentes tópicos constantes do programa, com o grau de profundidade possível, tendo em conta as limitações temporais impostas pelo
calendário escolar. Assim, o leitor interessado em aprofundar os seus conhecimentos sobre qualquer um dos temas abordados, encontrará nas obras
citadas na bibliografia, as quais foram intensamente utilizadas na preparação
do texto, material adequado.
Índice
1 Elementos de Geometria Diferencial em R3
1.1 Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tangente e plano normal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Fórmulas de Frenet-Serret, curvatura e torção . . . . . .
1.5 Representações paramétricas de uma porção de superfície
1.6 Plano tangente e normal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Integrais de linha e de superfície
2.1 Campos vectoriais . . . . . . . . . . .
2.2 Integrais de linha . . . . . . . . . . .
2.3 Independência das curvas . . . . . . .
2.4 Teorema de Green . . . . . . . . . .
2.5 Circulação e o Teorema de Stokes . .
2.6 O Fluxo e o Teorema da Divergência
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Números Complexos
3.1 Funções de uma variável complexa . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Funções harmónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Os problemas de Dirichlet e de Neumann . . . . . . . . . . .
3.4 Aplicações conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Aplicação das aplicações conformes à equação do calor, à electrostática e à hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Representação em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Cálculo de integrais impróprios . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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6
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57
69
72
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93
4
ÍNDICE
3.9
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Sistemas de Equações Diferenciais
4.1 Funções matriciais . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exponencial de uma matriz . . . . . . . . . .
4.3 A equação diferencial matricial F 0 (t) = AF (t)
4.4 Métodos para calcular etA . . . . . . . . . . .
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Séries de Fourier
5.1 Formulação matemática do problema da condução
5.2 Funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Convergência uniforme . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Séries de Fourier de funções pares e ímpares . . .
5.7 Cálculo de algumas séries de Fourier . . . . . . .
5.8 Forma complexa das séries de Fourier . . . . . . .
5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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103
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. 105
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do calor
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130
132
133
Capítulo 1
Elementos de Geometria
Diferencial em R3
1.1
Curvas em R3
Chamemos trajectória ou caminho a uma aplicação contínua
F : [a, b] ⊂ R → R3 (a < b)
aplicação esta que pode ser representada por

x = f (t)
y = g(t) , a ≤ t ≤ b.

z = h(t)
ou, mais simplesmente,
r = F (t), (a ≤ t ≤ b).
Chamamos linha de R3 (ou curva ou arco) à imagem C = F ([a, b]),
considerando:
A orientação, considera-se a linha descrita no sentido dado pela variação
de t de a até b, assim diz-se que F (a) e F (b) são os extremos da curva, F (a)
a origem e F (b) a extremidade. A curva diz-se fechada se F (a) = F (b).
A multiplicidade, dizemos que um ponto tem multiplicidade k se corresponder à imagem de k valores distintos de t ∈ [a, b], intuitivamente um
ponto tem multiplicidade k se a curva passar por ele k vezes. Os pontos com
5
6CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
multiplicidade 1 dizem-se simples e uma curva diz-se simples se todos os seus
pontos forem pontos simples.
Note-se que diferentes trajectórias podem conduzir à mesma curva, por
exemplo F (t) = (1, 1, t), t ∈ [0, 4], G(t) = (1, 1, t2 ), t ∈ [0, 2] e H(t) =
(1, 1, 1 + 2t), t ∈ [−1/2, 3/2], todas têm a mesma imagem, orientação e
multiplicidades, nesse caso diz-se que as trajectórias são equivalentes, mais
especificamente diz-se que duas trajectórias F : [a, b] → R3 e G : [c, d] → R3
são equivalentes se existir uma aplicação bijectiva e crescente Φ : [a, b] → [c, d]
tal que F (t) = G(Φ(t)) para todos os t ∈ [a, b].
Chamamos representação paramétrica ou parametrizaçãode uma curva,
a qualquer trajectória que a defina (sendo assim uma curva admite diversas
representações paramétricas).
Dada a curva C com parametrização r = F (t), t ∈ [a, b], chamamos curva
inversa de C, à curva −C com parametrização r0 = F (a + b − t) (a curva
correspondente é descrita em sentido inverso).
Dadas duas curvas C1 e C2 , com parametrizações r1 = F1 (t), t ∈ [a, b] e
r2 = F2 (t), t ∈ [c, d] tais que F1 (b) = F2 (c), chama-se soma ou justaposição
de C1 e C2 à nova curva C1 + C2 , parametrizada por
½
F1 (t)
se a ≤ t ≤ b
r = F (t) =
F2 (t − b + c) se b ≤ t ≤ d + b − c
(Ver Figura 1.1).
1.2
Comprimento de arco
Consideremos uma curva de classe C 1 dada por uma parametrização
r = r(t), t ∈ [a, b].
Definição 1 Chama-se comprimento de arco da curva r entre os pontos r(a)
e r(b), ao integral
Z b
s=
||r0 (t)||dt.
a
Nota 2 Consideremos uma partição a = t1 < t2 < · · · < tn = b do intervalo
[a, b], chama-se diâmetro da partição ao maior dos valores ti+1 − ti . Podemos
1.2. COMPRIMENTO DE ARCO
7
Figura 1.1: Soma ou justaposição de duas curvas r1 e r2
então considerar a linha poligonal inscrita na curva r, formada pelos segmentos que ligam os pontos r(ti ) a r(ti+1 ), i = 1, · · · n − 1, obviamente esta linha
poligonal tem comprimento
L∆ =
n−1
X
||r(ti+1 ) − r(ti )||,
i=1
verifica-se então que s é igual ao limite, quando o diâmetro da partição converge para 0, dos comprimentos L∆ .
Nota 3 Na definição de comprimento de arco de uma curva, utilizámos uma
parametrização da curva. Então, para que este conceito esteja bem definido,
necessitamos demonstrar que ela não depende da parametrização escolhida:
Sejam F1 : [a, b] → R3 e F2 : [c, d] → R3 duas parametrizações da mesma
curva, a que nos referiremos como r1 e r2 conforme a parametrização considerada. Temos então uma bijecção crescente Φ : [a, b] → [c, d] que verifica
F1 (t) = F2 (Φ(t)) (isto é, r1 (t) = r2 (Φ(t))), daí integrando por substituição e
usando o facto de Φ0 (t) > 0, obtemos
Rb
Rd
s2 = c ||r20 (t)||dt = a ||r20 (Φ(t)||Φ0 (t)dt
Rb
Rb
= a ||(r2 (Φ(t))0 ||dt = a ||r10 (t)||dt = s1 .
8CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
Concluímos assim que o comprimento de arco não depende da parametrização
escolhida.
Nota 4R No caso em que ||r0 (t)|| 6= 0, podemos considerar a aplicação Φ(t) =
t
s(t) = a ||r0 (τ )||dτ , obtendo assim uma aplicação Φ : [a, b] → [0, s(b)], estritamente crescente (logo bijectiva) e de classe C 1 sempre que r(t) é de classe
C 1 . Podemos então utilizar esta aplicação para obter uma representação
paramétrica
r = r(Φ−1 (s)),
equivalente à primeira, na qual o parâmetro é o comprimento de arco.
A esta parametrização chama-se parametrização pelo comprimento de
arco e possui a notável propriedade
° °
° dr °
° ° = 1,
° ds °
o que a torna de extrema importância para a Geometria Diferencial.
Exemplo 5 Consideremos a hélice circular
r = (a cos t, a sin t, bt), (−∞ < t < ∞),
com a > 0 e b constantes. Temos então, tomando o ponto r(0) = (a, 0, 0)
para origem dos arcos, que
s(t) =
Z t√
a2 + b2 dτ =
√
a2 + b2 t.
0
√
Logo Φ−1 (s) = s/ a2 + b2 e obtemos assim a parametrização pelo comprimento de arco
r = (a cos √
s
bs
s
, a sin √
,√
).
a2 + b2
a 2 + b2
a2 + b2
(Verifique como exercício, que || dr
|| = 1).
ds
1.3. TANGENTE E PLANO NORMAL
9
Figura 1.2: A direcção da tangente é dada pelo limite das direcções das
secantes.
1.3
Tangente e plano normal
Consideremos uma curva r = r(t), a ≤ t ≤ b e seja P0 = r(t0 ), a < t0 < b.
É claro que o vector (r(t) − r(t0 )/(t − t0 ) tem a direcção da recta que passa
por P0 e pelo ponto genérico r(t) da curva, daí conclui-se facilmente que
r(t) − r(t0 )
t→t0
t − t0
r0 (t0 ) = lim
nos define a tangente à curva no ponto P0 , caso o limite exista e seja diferente
de zero (ver Figura 1.2).
Nota 6 Se pensarmos numa curva r = r(t) como o movimento de uma
partícula ao longo do tempo t, é imediato interpretar a velocidade como a
taxa de variação do comprimento de arco em função do tempo. Temos então
que v = ds/dt = ||r0 ||, e o vector v = r0 (t0 ) dá-nos a direcção do deslocamento
no momento t0 , daí chamamos vector velocidade no momento t0 ao vector
v = r0 (t0 ) e velocidade no momento t0 a v = ||r0 (t0 )||, assim, o comprimento
de arco é o integral da velocidade em relação ao tempo, ou seja, representa a
distância total percorrida pela partícula. Na mesma linha chamamos vector
aceleração no momento t0 ao vector a = r00 (t0 ) e aceleração no momento t0
a a = ||r00 (t0 )||.
Uma trajectória r = r(t), a ≤ t ≤ b de classe C 1 diz-se regular se r0 (t)
nunca se anula no intervalo [a, b]. Por sua vez uma curva diz-se regular se
admitir uma parametrização regular. De agora em diante, salvo indicação
10CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
em contrário, todas as curvas consideradas, e respectivas parametrizações,
serão regulares.
Temos então a equação vectorial da recta tangente à curva r, no ponto
P0 , dada por
T = P0 + λr0 (t0 ).
Conclui-se imediatamente que o plano que passa por P0 e é perpendicular
à tangente, é definido pela equação
hr0 (t0 ), (N − P0 )i = 0,
a este plano chamamos plano normal a r em P0 .
Chama-se recta normal a r em P0 , a qualquer recta no plano normal a r
em P0 , que passe por P0 . A qualquer plano que contenha a tangente a r em
P0 , chama-se plano tangente a r em P0 .
Temos pois que uma curva regular simples, tem em cada ponto uma tangente e um plano normal bem determinados e por outro lado tem infinitos
planos tangentes e infinitas rectas normais. De entre os planos tangentes individualizaremos um, a que chamaremos plano osculador e individualizaremos
com o nome de normal principal a normal que nele existe e com o nome de
binormal a normal que lhe é perpendicular. Obteremos assim um sistema de
referenciais ortonormados que se desloca ao longo da curva (tangente, normal
principal e binormal), a que chamaremos triedro de Frenet-Serret, que nos
permitirá extraír bastante informação sobre a curva.
Finalmente, chamaremos plano rectificante ao plano tangente que é perpendicular à normal principal (e que contém, portanto, a tangente e a binormal).
De agora em diante, vamos utilizar sempre parametrizações pelo comprimento de arco, as quais vimos atrás (Nota 4) que existem desde que a curva
seja regular.
Tomemos então
r = r(s); α ≤ s ≤ β
e seja P0 = r(s0 ).
O plano πQ definido por r0 (s0 ) (tangente à curva em P0 ) e por um ponto
Q = r(s) 6= P0 terá por equação
hO − P0 , r0 (s0 ) × (Q − P0 )i = 0.
1.3. TANGENTE E PLANO NORMAL
11
Variando Q, variará (em geral) πQ ; e é à sua posição limite quando Q →
P0 (desde que este limite exista) que chamaremos plano osculador da curva
no ponto P0 .
Vamos agora deduzir a equação do plano osculador. Suponhamos que r
é de classe C 2 , então:
Q − P0 = r(s) − r(s0 ) = (s − s0 )r0 (s0 ) +
(s − s0 )2 00
r (s0 ) + o((s − s0 )2 ),
2!
daí πQ define-se pela equação
hO − P0 , r0 (s0 ) × ((s − s0 )r0 (s0 ) +
(s − s0 )2 00
r (s0 ) + o((s − s0 )2 ))i. = 0
2!
Mas r0 (s0 ) × sr0 (s0 ) = 0 e, quando Q → P0 , s → s0 e o((s − s0 )2 ) → 0, logo
o plano osculador πosculador é dado pela equação
hO − P0 , r0 (s0 ) × r00 (s0 )i = 0.
desde que esta igualdade represente efectivamente um plano, o que acontece
desde que r0 (s0 ) × r00 (s0 ) 6= 0.
Mas ||r0 (s)|| = 1∀s , logo hr0 , r0 i = 1 e (hr0 , r0 i)0 = 2hr0 , r00 i = 0, o que
significa que r0 e r00 são ortogonais, daí o seu produto externo só se pode anular
se r00 (0) = 0, caso em que chamamos ao ponto P0 , ponto de inflexão. Podemos
finalmente afirmar que, para uma curva de classe C 2 , o plano osculador existe
em cada ponto P = r(s) que não seja de inflexão e é dado pela equação
hO − P, r0 (s) × r00 (s)i = 0.
Se P0 é um ponto de inflexão, mas r(s) admite o desenvolvimento de
Taylor
r(s) = r(s0 ) + (s − s0 )r0 (s0 ) +
(s − s0 )k (k)
r (s0 ) + o(sk )
k!
para algum k > 2, podemos repetir o raciocínio anterior e obter
hO − P0 , r0 (s0 ) × r(k) (s0 )i = 0,
para equação do plano osculador.
12CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
Se tivermos uma parametrização r = r(t) que não seja pelo comprimento
de arco, basta observar que
dr
dr dt
=
ds
dt ds
e
µ ¶2
d2 r dt
d2 r
dr d2 t
=
+
ds2
dt2 ds
dt ds2
para concluír que a equação do plano osculador, neste caso é dada por
hO − P0 , r0 (t0 ) × r00 (t0 )i = 0
ou, se o ponto for de inflexão,
hO − P0 , r0 (t0 ) × r(k) (t0 )i = 0.
Determinado o plano osculador, estamos em condições de determinar
todos os elementos do referencial ortonormado atrás referido. Com efeito,
T = r0 dirige-se segundo a tangente; a binormal terá a direcção do vector
B = r0 × r00 (ou r0 × r(k) se o ponto for de inflexão), o qual é perpendicular
ao plano osculador; e a normal principal terá a direcção do produto externo
N = B × T que é perpendicular a ambos.
Temos então que os vectores T, N, B são perpendiculares dois a dois.
Para obtermos um referencial ortonormado basta-nos então tomar os versores
destes vectores t = 1/||T ||T , n = 1/||N ||N e b = 1/||B||B. Para efeitos de
cálculo, das fórmulas do produto externo é imediato concluír que n = b × t.
Temos então, em cada ponto de uma curva regular, um referencial ortonormado directo (triedro de vectores unitários, ortogonais dois a dois e que
obedecem a uma propriedade de orientação). A este triedro chamamos triedro
de Frenet-Serret (ver Figura 1.3).
1.4
Fórmulas de Frenet-Serret, curvatura e torção
A propriedade fundamental do triedro de Frenet Serret t,n,b é que as suas
derivadas em ordem ao comprimento de arco se exprimem em função dos
próprios elementos do triedro, através das chamadas fórmulas de FrenetSerret que vamos deduzir em seguida.
Em primeiro lugar, derivando a igualdade ht,ti = 1, obtemos ht0 , ti = 0,
o que mostra que t0 é perpendicular à tangente, mas por outro lado t0 = r00 ,
1.4. FÓRMULAS DE FRENET-SERRET, CURVATURA E TORÇÃO 13
Figura 1.3: Triedro de Frenet-Serret, plano rectificante e plano osculador.
então t0 jaz no plano osculador e estes dois factos em conjunto implicam que
t0 se dirige segundo a normal principal. Podemos então escrever
t0 = kn
com k escalar, a que chamamos curvatura. Esta igualdade constitui a primeira
fórmula de Frenet-Serret.
Para a binormal também temos que b0 é ortogonal a b (hb, bi = 1 implica que (hb, bi)0 = 2hb, b0 i = 0); por outro lado, derivando a igualdade
hb, ti = 0, obtemos 0 = hb0 , ti+hb, t0 i = hb0 , ti+hb, kni = hb0 , ti. Concluise que b0 é simultaneamente perpendicular a t e a b, o que nos permite
escrever
b0 = −τ n
com τ escalar a que chamamos torção. Esta igualdade é a segunda fórmula
de Frenet-Serret (o sinal "-" é apenas uma convenção).
Para obter a expressão de n0 , atendendo a que na sucessão t,n,b,t,n,...
cada vector é o produto externo dos anteriores, temos que n0 = (b × t)0 =
b0 × t + b × t0 = (−τ n) × t + b × (kn) = τ b − kt.
Obtemos então as expressões
 0
 t = kn
n0 = −kt + τ b
 0
b = −τ n
que constituem as fórmulas de Frenet-Serret.
14CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
2
Nota 7 A expressão r(s) = sr0 (0) + s2! r00 (0) + o(s2 ) permite interpretar geometricamente a curvatura: |k| = ||t0 || = ||r00 || é tanto maior (em P0 ) quanto
mais a linha se afasta da tangente na vizinhança do ponto de contacto; a
curvatura mede, pois, a rapidez com que a tangente varia de direcção à medida que o ponto de contacto se desloca sobre a curva. Da mesma forma,
a torção dá-nos indicações sobre a variação de b e, portanto, sobre a forma
como roda o plano osculador (que lhe é perpendicular) ao longo da curva.
Em conformidade com estas interpretações podemos demonstrar o seguinte.
Proposição 8
pontos.
1. Uma curva é uma recta sse k = 0 em todos os seus
2. Uma curva (que não seja uma recta) é plana sse τ = 0 em todos os
seus pontos.
Dem. Para a primeira propriedade, tomemos a equação vectorial de uma
recta r = u + sv, com u e v vectores constantes, e, portanto, t0 = r00 = v 0 = 0
qualquer que seja o ponto da recta. Reciprocamente, k = 0 ⇒ t0 = 0 ⇒ t =
r0 = v(constante)⇒ r = u + sv com u e v constantes.
Quanto à segunda propriedade, se a curva é plana, então existem dois
vectores u e v 6= 0 constantes tais que hr −u, vi = 0 qualquer que seja o ponto
da curva r. Derivando esta igualdade obtemos hr0 , vi = ht, vi = 0, derivando
de novo obtemos ht0 , vi = khn, vi = 0 e, como k 6= 0, hn, vi = 0, logo v é
simultaneamente perpendicular a t e a n, daí v = αb. Finalmente, derivando
a igualdade hn, vi = 0, obtemos h−kt+τ b, vi = τ hb, vi = τ α = 0, logo τ = 0.
Reciprocamente, τ = 0 ⇒ b =constante⇒ (hb, ri)0 = hb, r0 i = hb,ti = 0 daí
temos hb, ri =constante, que é a equação de um plano onde deve existir a
curva.
Exemplo 9 Se analisarmos o vector aceleração d2 r/dt2 de uma curva r(t),
obtemos
µ
¶
d dr ds
d2 r
=
= v2 t0 + tv0 = kv2 n + v0 t.
2
dt
dt ds dt
Interpetando a curva como a trajectória de um corpo ao longo do tempo
(pensemos por exemplo num percurso de automóvel), concluímos que a aceleração tem uma componente directamente proporcional à curvatura e ao
quadrado da velocidade na direcção da normal e uma componente directamente proporcional à derivada da velocidade na direcção da tangente (se
1.5. REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA PORÇÃO DE SUPERFÍCIE15
pensarmos no percurso de automóvel é fácil compreender a razão de muitos
acidentes quando se abordam curvas demasiado fechadas, ou seja, de curvatura elevada, com demasiada velocidade).
Exercício 1 Verifique que as equações k = 1, τ = 0, caracterizam todas as
circunferências de raio 1.
Nota 10 Recordemos que usámos uma parametrização pelo comprimento de
arco (com velocidade unitária) para deduzir as fórmulas de Frenet-Serret, as
quais se deveriam escrever
 dt
 ds = kn
dn
= −kt + τ b
ds
 db
= −τ n
ds
Se a parametrização não tiver velocidade unitária, temos então
dt
dt ds
=
= vkn.
dt
ds dt
Analogamente,
e
dn
dn ds
=
= −vkt + vτ b
dt
ds dt
db
db ds
=
= −vτ n.
dt
ds dt
Concluímos então que, caso a curva não tenha velocidade unitária, as
fórmulas de Frenet-Serret são
 0
 t = kvn
n0 = −kvt + τ vb
 0
b = −τ vn
1.5
Representações paramétricas de uma porção
de superfície
Chamaremos porção de superfície de classe C m (m ≥ 1) à imagem r(D) de
um aberto D de R2 por uma aplicação
r : D ⊂ R2 → R3 ,
16CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
r = r(u, v), (u, v) ∈ D que verifica a propriedade
∂r
∂r
×
6= 0.
∂u ∂v
Uma superfície é normalmente composta pela "colagem" (respeitando certas regras) de porções de superfície e a técnica seguida para se fazer o estudo
global de uma superfície é verificar as propriedades localmente e seguidamente utilizar as regras de colagem para ver que as propriedades se verificam
globalmente.
Para simplificar, vamos restringir o nosso estudo às porções de superfície.
Tal como para as linhas, chamaremos a r = r(u, v), (u, v) ∈ D, uma representação paramétrica da porção de superfície e dadas duas representações
r1 = r1 (u, v), (u, v) ∈ D1
e
r2 = r2 (u, v), (u, v) ∈ D2 ,
de classe C m , diremos que elas são equivalentes sempre que exista uma aplicação biunívoca, Φ de D1 sobre D2 , de classe C m e jacobiano positivo (a razão
desta restrição tem a ver com a preservação de propriedades de orientação)
e tal que
r1 (u, v) = r2 (Φ1 (u, v), Φ2 (u, v))
Consideremos a superfície r(D) ⊂ R3 . Se em D considerarmos o subconjunto γ = {(u, v) : u = ξ(t), v = η(t)} com α ≤ t ≤ β e ξ e η de classe C m
(pelo menos), a sua imagem por r será uma curva Γ de classe C m , pertencente
à superfície, e de representação paramétrica r = r (ξ(t), η(t))), α ≤ t ≤ β.
Às curvas que se obtêm fixando uma das coordenadas e variando a outra,
chamamos curvas coordenadas; estas curvas serão parametrizadas por
r = r(u, v0 )
com v0 constante (só varia o parâmetro u)
r = r(u0 , v)
com u0 constante (só varia o parâmetro v.)
Aos parâmetros u e v também se dá o nome de coordenadas curvilíneas
sobre a superfície.
1.5. REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMA PORÇÃO DE SUPERFÍCIE17
Figura 1.4: Curvas coordenadas.
Exemplo 11 Consideremos a porção de superfície parametrizada por

 x = r sin u cos v
y = r sin u sin v (0 < u0 ≤ u ≤ u1 < π e 0 ≤ v < 2π),

z = r cos u
Trata-se de uma porção da superfície esférica de raio r e centro (0, 0, 0).
As curvas coordenadas u = constante são circunferências que existem em
planos de nível (paralelos da superfície) e as linhas v = constante obtêm-se
intersectando a esfera com semiplanos passando pelo eixo Oz (são, portanto
semimeridianos da superfície)(ver Figura 1.5).
As coordenadas curvilíneas são, portanto, a colatitude e a longitude sobre
a esfera considerada.
Exemplo 12 Consideremos a porção de superfície parametrizada por

 x = r cos u
y = r sin u (0 ≤ u < 2π),

z=z
trata-se de uma superfície cilíndrica de raio r, centrada no eixo Oz. As
curvas coordenadas u = constante obtêm-se intersectando o cilindro com
semiplanos passando pelo eixo Oz (são, portanto meridianos da superfície)
e as curvas coordenadas z = constante são circunferências que existem em
planos de nível (paralelos da superfície)(ver Figura 1.5).
18CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
Figura 1.5: Porção de superfície esférica, as curvas u = u0 são os paralelos e
as curvas v = v0 são os meridianos
1.6
Plano tangente e normal
Consideremos uma porção de superfície r = r(u, v) (u, v) ∈ D, e seja P0 =
r(u0 , v0 ) um dos seus pontos.
Se considerarmos uma curva regular parametrizada por r = r(u(t), v(t))
traçada sobre a superfície e passando por P0 (P0 = r(u(t0 ), v(t0 )), temos
µ ¶
µ ¶ µ ¶
µ ¶ µ ¶
dr
∂r
du
∂r
dv
=
+
(1.1)
dt t0
∂u P0 dt t0
∂v P0 dt t0
e este vector é, como vimos atrás, tangente em P0 à curva considerada.
Assim, se considerarmos
as¢ curvas coordenadas rv0 = r(u, v0 ) e ru0 =
¡ ∂r ¢
¡ ∂r
r(u0 , v), temos que ∂u
e
dirigem-se segundo as tangentes às curvas
∂v P0
P0
coordenadas u = u0 e v = v0 , respectivamente.
Concluímos então da equação 1.1, que todos os vectores tangentes em
P0 , a todas as curvas regulares da superfície que¡passam
por
¢
¡ ∂r ¢P0 , se escrevem
∂r
como combinação linear dos dois vectores fixos ∂u P0 e ∂v P0 .
É então razoável definir o plano tangente à superfície r = r(u, v), no
1.6. PLANO TANGENTE E NORMAL
19
Figura 1.6: Porção de superfície cilindrica, as curvas z = z0 são os paralelos
e as curvas u = u0 são os meridianos
ponto P0 , como o conjunto
µ
M = P0 + λ
∂r
∂u
¶
µ
+µ
P0
∂r
∂v
¶
(1.2)
P0
Nota 13 Temos assim que um plano tangente é um espaço ¡afim¢ de dimen¡ ∂r ¢
∂r
são dois. Para que isso aconteça é necessário que os vectores ∂u
e
∂v P0
P0
¡ ∂r ¢
¡ ∂r ¢
×
=
6
0
tal
como
sejam linearmente independentes, ou seja, que ∂u
∂v P0
P0
tínhamos exigido na definição de porção de superfície. Esta questão está directamente relacionada com a ideia intuitiva que temos de superfície, como
um objecto "bidimensional" (tal como uma curva é um objecto "unidimensional"), ou seja, que em torno de cada ponto pode ser aproximado por um
plano (tal como uma curva pode ser aproximada por uma recta na vizinhança
de cada ponto).
¡ ∂r ¢
¡ ∂r ¢
Uma vez que o plano tangente é gerado pelos vectores ∂u
e
,
∂v P0
P
0
¡ ∂r ¢
¡ ∂r ¢
então o vector ∂u P0 × ∂v P0 será perpendicular a este, dizemos então que
o versor deste vector é a normal à superfície no ponto P0 .
20CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
Temos ainda que a equação 1.2 do plano tangente pode assumir a forma
µ ¶
µ ¶
∂r
∂r
hM − P0 ,
×
i = 0.
∂u P0
∂v P0
Exemplo 14 Consideremos uma região D no plano xy e uma função f , de
classe C 1 em D. A equação z = f (x, y) define uma superfície com parametrização r = (x, y, f (x, y)). Logo o plano tangente será gerado pelos vectores
∂r
∂f
∂r
∂f
= (1, 0,
)e
= (0, 1,
)
∂x
∂x
∂y
∂y
e a normal será o versor do vector
(1, 0,
∂f
∂f
∂f
∂f
) × (0, 1,
) = (− , − , 1).
∂x
∂y
∂x ∂y
Recordemos o seguinte teorema fundamental da análise:
Teorema 15 (das funções implícitas) Se P0 = (x0 , y0 , z0 ) fôr uma solução
da equação
F (x, y, z) = 0
com F de classe C 1 num aberto D de R3 contendo P0 , e se ∂F/∂z(x0 , y0 , z0 ) 6=
0, então existe uma vizinhança V (x0 , y0 ) ⊂ R2 e uma função f de classe C 1
em V (x0 , y0 ), tal que f (x0 , y0 ) = z0 e F (x, y, f (x, y)) = 0 em V (x0 , y0 ).
Além disso,
∂F
∂F
∂f
∂f
∂y
∂x
e
= − ∂F
= − ∂F .
∂x
∂y
∂z
∂z
Consideremos então a equação F (x, y, z) = c. Aplicando o Teorema das
funções implícitas a F (x, y, z)−c = 0, podemos tomar r(x, y) = (x, y, f (x, y)),
temos então
∂r
∂f
∂r
∂f
= (1, 0,
)e
= (0, 1,
),
∂x
∂x ∂y
∂y
logo ∂r/∂x × ∂r/∂y 6= 0 e, como (x, y, f (x, y) é de classe C 1 em V (x0 , y0 ),
temos que r(x, y); (x, y) ∈ V (x0 , y0 ) define uma porção de superfície. Dizemos
que as superfícies definidas desta forma, são definidas implicitamente.
1.7. EXERCÍCIOS
21
Utilizando o exemplo anterior, observamos que a direcção da normal será
dada por
µ
¶ Ã ∂F ∂F !
µ
¶
∂f
∂f
1 ∂F ∂F ∂F
∂x ∂y
− , − , 1 = ∂F , ∂F , 1 = ∂F
,
,
∂x ∂y
∂x ∂y ∂z
∂z
∂z
∂z
ou seja,
µ
∇F =
∂F ∂F ∂F
,
,
∂x ∂y ∂z
¶
é normal à superfície.
Da mesma forma concluímos que o espaço tangente é gerado pelos vectores
µ
¶ µ
¶
∂F
∂F
∂F
∂F
e 0,
, 0, −
,−
∂z
∂x
∂z
∂y
e a sua equação é dada por
hM − P0 , ∇FP0 i = 0.
1.7
Exercícios
Exercício 2 Quais das seguintes trajectórias são equivalentes?

 x = cos 2t
y = sin 2t , (0 ≤ t ≤ π)
T1 ≡

z=0

 x = cos τ
y = sin τ , (0 ≤ τ ≤ 2π)
T2 ≡

z=0

 x = cos 2θ
y = sin 2θ , (0 ≤ θ ≤ 2π)
T3 ≡

z=0
Exercício 3 Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
1. (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ π.
2. (1, 3t2 , t3 ), 0 ≤ t ≤ 1.
22CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
√
3. (t + 1, 2 3 2 t3/2 , 12 t2 ), 1 ≤ t ≤ 2:
Exercício 4 Para a curva α(t) = (2t, t2 , t3 /3), determine:
1. o vector velocidade, a velocidade e a aceleração, para t arbitrário e para
t = 1.
2. a função comprimento de arco s = s(t) baseada em t = 0, e determine
o comprimento de α entre t = −1 e t = 1.
Exercício 5 Considere a curva α(t) = (2t, t2 , log t) em I : t > 0. Mostre
que esta curva passa pelos pontos p = (2, 1, 0) e q = (4, 4, log 2) e determine
o seu comprimento de arco entre estes pontos.
Exercício 6 Mostre que uma curva tem velocidade constante se e só se o
seu vector velocidade é ortogonal ao seu vector aceleração.
Exercício 7 Considerando um corpo de massa m em movimento no espaço,
a força total F actuando sobre o corpo em cada instante está relacionada
com a aceleração através da segunda lei de Newton
F = ma.
Determine a aceleração e a força total a actuar sobre um corpo de massa
m a mover-se sobre uma curva plana circular de raio r0 e com velocidade
constante v.
Se considerarmos o movimento de um planeta em torno do Sol, considerado como origem, temos a lei da gravitação de Newton
F =−
GmM
r,
krk3
onde r(t) é o vector que vai do Sol para a posição do planeta no instante t,
M é a massa do Sol, m a massa do planeta e G a constante de gravitação
universal (G = 6.67 × 10−11 newton/m2 /kg 2 ).
Supondo um satélite a mover-se com velocidade v numa órbita circular r
em torno de um planeta com massa M , a força calculada no exercício anterior
deve igualar a obtida através da lei de Newton, logo
GM
GM
v2
r = 3 r ⇔ v2 =
.
2
r0
r0
r0
1.7. EXERCÍCIOS
23
Se T fôr o período de revolução, ou seja, o tempo que o satélite demora a
dar uma volta completa, então
v=
2πr0
T
(distância/tempo=velocidade), substituindo na equação anterior obtemos
T 2 = r03
(2π)2
6M
(o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio), que é uma das três
leis descobertas empiricamente por Kepler antes de terem sido formuladas
as leis de Newton. Esta lei permite-nos determinar o período de um satélite
dada a velocidade ou vice-versa.
Exercício 8 Consideremos um satélite em órbita circular em torno da Terra,
de forma a que se mantenha fixo no céu sobre um ponto no equador. Qual
deve ser o raio dessa órbita? (a massa da Terra é de 5.98 × 1024 kg).
Exercício 9 Para cada uma das curvas, determine os vectores velocidade
e aceleração, e as equações da recta tangente e do plano normal no ponto
especificado.
1. (6t, 3t2 , t3 ); t = 0.
2. (sin 3t, cos 3t, 2t3/2 ); t = 1.
3. (cos2 t, 3t − t3 , t); t = 0.
√
4. (t sin t, t cos t, 3t; t = 0.
√
5. ( 2t, et , e−t ); t = 0.
6. (2 cos t, 3 sin t, t); t = π.
Exercício 10 Determine o triedro de Frenet-Serret relativamente às curvas
do exercício anterior.
Exercício 11 Determine t, n, b, k, τ referentes à curva de velocidade unitária,
β(s) = (4/5 cos s, 1 − sin s, −3/5 cos s). Mostre que esta curva é uma circunferência e determine o seu centro e o seu raio.
24CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
Exercício 12 Considere a curva
µ
¶
(1 + s)3/2 (1 − s)3/2 s
β(s) =
,
,√
3
3
2
definida em I : −1 < s < 1. Mostre que β tem velocidade unitária e determine as entidades de Frenet-Serret correspondentes.
Exercício 13 Suponhamos que uma partícula segue a trajectória (et , e−t , cos t)
até que, em t = 1, salta da curva para a sua tangente. Qual é a posição da
partícula em t = 2?
Exercício 14 Determine a curvatura, a torção e o triedro de Frenet-Serret
da seguinte curva:
1
√ (cos t, sin t, t).
2
Exercício 15 Se uma curva estiver definida por r = r(t); α ≤ t ≤ β e não
tiver velocidade unitária, demonstra-se que a curvatura e a torção são dadas
respectivamente pelas fórmulas
k=
kr0 × r00 k
hr0 × r00 , r000 i
e
τ
=
.
kr0 k3
kr0 × r00 k2
Determine a curvatura e a torção das curvas do Exercício 9.
Exercício 16 Verifique que o vector d = τ t + kb é perpendicular a n e
satisfaz as igualdades
t0 = d × t, n0 = d × n e b0 = d × b.
Exercício 17 Uma partícula move-se na circunferência unitária do plano
xy segundo a trajectória (x, y, z) = (cos(t2 ), sin(t2 ), 0); t ≥ 0.
1. Determine o vector velocidade e a velocidade da partícula como funções
de t.
2. Em que ponto da circunferência devemos libertar a partícula para esta
atingir um alvo no ponto (2, 0, 0)?
3. Qual o primeiro momento t em que devemos libertar a partícula?
1.7. EXERCÍCIOS
25
4. Qual o momento da intersecção com o alvo?
Exercício 18 Seja σ = σ(t) uma curva no espaço e n a sua normal principal. Considere a curva paralela µ(t) = σ(t) + n(t).
1. Sob que condições, poderá µ(t) ter velocidade nula para algum t0 ?
2. Determine uma representação paramétrica para a curva paralela à elipse
(1/4 cos t, 4 sin t, 0).
Exercício 19 Deduza uma fórmula para a curvatura do gráfico y = f (x),
em função de f e das suas derivadas.
Exercício 20 Uma parametrização com velocidade unitária de uma circunferência é dada por
γ(s) = C + r cos(s/r)e1 + r sin(s/r)e2
com hei , ej i = δij .
Se β é uma curva com velocidade unitária e k(0) > 0, mostre que existe
uma e só uma circunferência γ que aproxima β em torno de β(0), no sentido
em que
γ(0) = β(0), γ 0 (0) = β 0 (0) e γ 00 (0) = β 00 (0).
Mostre que γ jaz no plano osculador de β em β(0) e determine o seu
centro C e raio r. A circunferência chama-se circunferência osculadora
e C o centro de curvatura de β em β(0).
Exercício 21 Determine a equação do plano tangente à superfície 3xy+z 2 =
4 no ponto (1, 1, 1).
Exercício 22 Determine a equação do plano tangente e uma normal unitária
da superfície no ponto indicado.
1. xyz = 8; (1, 1, 8).
2. x2 y 2 + y − z + 1 = 0; (0, 0, 1).
3. cos(xy) = ez − 2; (1, π, 0).
4. exyz = e; (1, 1, 1).
26CAPÍTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3
√
5. x2 + 2y 2 + 3z 2 = 10; (1, 3, 1).
6. xyz 2 = 1; (1, 1, 1).
7. x2 + 2y 2 + 3xz = 10; (1, 2, 1/3).
8. y 2 − x2 = 3; (1, 2, 8).
9. xyz = 1; (1, 1, 1).
2 +y 2 +z 2 )
10. e−(x
= e−3 ; (1, 1, 1).
Exercício 23 Suponha que uma√partícula é ejectada a partir da superfície
x2 + y 2 − z 2 = −1 no ponto (1, 1, 3), segundo uma direcção normal à superfície nesse ponto, a uma velocidade constante de 10 unidades por segundo.
Onde e quando intersecta a partícula o plano xy?
Capítulo 2
Integrais de linha e de superfície
2.1
Campos vectoriais
Chama-se campo vectorial a uma aplicação F : D ⊂ Rn → Rn que a cada
ponto x ∈ D faz corresponder um vector F (x) ∈ Rn (normalmente considerase o vector F (x) com origem em x).
Sendo f : D ⊂ R3 → R uma³função de´classe C 1 num domínio D ⊂ R3 ,
então o gradiente ∇f (x, y, z) = ∂f
, ∂f , ∂f determina um campo vectorial.
∂x ∂y ∂z
Por outro lado, se para um campo vectorial F de Rn existir uma função
f : Rn → R tal que F = ∇f , diz-se que f é um potencial de F e que F é um
campo potencial. Sendo F = (F1 , F2 , · · · , Fn ), temos que f é um potencial
de F sse Fi = ∂f /∂xi , i = 1 · · · n.
Na teoria dos campos vectoriais, são de particular importância as noções
de divergência e rotacional.
A divergência de um campo vectorial F = (F1 , · · · , Fn ) define-se como
∂Fn
∂F1
+ ··· +
.
∂x1
∂xn
O operador divergência tem um significado físico importante: considerando
uma trajectória r = r(t), então a função que a cada ponto r(t) da trajectória
associa o seu vector velocidade v = r0 (t), é um campo vectorial sobre a curva
r (campo de velocidades). Supondo que r(t) representa a trajectória de um
fluido ao longo da curva r, então div v fornece uma medida da expansão do
fluido, em particular no caso de um fluido incompressível temos div v = 0,
Se mergulharmos um pequeno corpo permeável num fluido de velocidade
v, a condição div v > 0 significa que o excesso de fluido que saíu do corpo,
divF = h∇, F i =
27
28
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
relativamente ao que entrou, é positivo, neste caso diz-se que v é um campo
com fontes. Se se verificar div v < 0, diz-se que é um poço.
Exemplo 16 Seja f uma função escalar em R3 , calculemos então div(∇f ).
Temos então
µ
¶
∂f ∂f ∂f
∂2f
∂ 2f
∂ 2f
div(∇f ) = div
=
+
+
= 4f.
,
,
∂x ∂y ∂z
∂x2
∂y 2
∂z 2
A este operador 4f (ou ∇2 f ), chama-se laplaciano da função f e às funções
que verificam 4f = 0, chamamos funções harmónicas.
Sendo F = (F1 , F2 , F3 ) um campo vectorial em R3 , definimos o rotacional
de F como
¯
¯
¯ i j k ¯ µ
¶ µ
¶ µ
¶
¯ ∂ ∂ ∂ ¯
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
∂F
3
2
3
2
1
1
rotF = ∇×F = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ =
−
i−
−
j+
−
k.
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
¯ F1 F2 F3 ¯
1
2
− ∂F
.
Se F = (F1 , F2 ) é um campo vectorial em R2 , então rot F = ∂F
∂x
∂y
Um campo vectorial F para o qual se verifica rotF ≡ 0, diz-se irrotacional.
Exemplo 17 Sendo f uma função escalar de classe C 2 em R3 , calculemos
rot ∇f :
³
´
∂f ∂f
Temos que ∇f = ∂f
,
,
, logo
∂x ∂y ∂z
³
rot ∇f =
=
³
∂ ∂f
∂y ∂z
∂2f
∂z∂y
−
∂ ∂f
∂z ∂y
∂2f
´
´
i−
− ( ∂y∂z i −
¡∂
³
∂f
∂x ∂z
∂2f
∂z∂x
−
∂ ∂f
∂z ∂x
∂2f
¢
´
³
j+
− ( ∂x∂z j +
³
∂ ∂f
∂x ∂y
∂2f
∂y∂x
−
∂ ∂f
∂y ∂x
−
∂2f
∂x∂y
´
´
k
k = 0.
Temos então que ∇ f é um campo irrotacional.
2.2
Integrais de linha
A integração de campos vectoriais ao longo de curvas é de fundamental importância, quer para a matemática quer para a física.
Vimos atrás que podemos descrever o movimento de um objecto através
da parametrização de uma curva r = r(t), e nesse caso temos:
= r0 (t) =vector velocidade no instante t.
v = dr
dt
2.2. INTEGRAIS DE LINHA
29
v = ||v|| = ||r0 (t)|| =velocidade no instante t.
= r00 (t) =vector aceleração no instante t.
a = dv
dt
De acordo com a segunda lei de Newton, temos que F = ma, onde F é a
força total que actua sobre o objecto e m a sua massa. Além disso, define-se
a energia cinética como K = 1/2mv2 = 1/2mhv, vi.
Para estudar a relação entre a força e a energia cinética, diferenciamos K
em ordem a t, obtendo assim
µ
¶
1
dv
dv
dv
dK
= m h , vi + hv, i = mh , vi = hma, vi = hF, vi.
dt
2
dt
dt
dt
A variação total da energia cinética entre o instante t1 e o instante t2 é o
integral de dK/dt, assim
Z t2
Z t2
Z t2
dK
dr
4K =
dt =
hF, vidt =
hF, idt.
dt
dt
t1
t1
t1
Ao integral
Z
t2
W =
hF,
t1
dr
idt,
dt
chamamos trabalho efectuado pela força F ao longo da curva r entre os
instantes t1 e t2 .
Suponhamos agora que a força F no instante t depende apenas da posição
r(t). Ou seja, assumimos que existe um campo vectorial Φ tal que F =
Φ(r(t)). Podemos então escrever o integral anterior como
Z t2
W =
hΦ(r(t)), r0 (t)idt.
t1
Exemplo 18 Determinemos o trabalho efectuado pelo campo de forças Φ(x, y, z) =
(y, −x, 1), conforme uma partícula se desloca entre os pontos (1, 0, 0) e (1, 0, 1)
ao longo da curva r(t) = (cos t, sin t, t/2π); 0 ≤ t ≤ 2π.
Temos que (1, 0, 0) = r(0) e (1, 0, 1) = r(2π), logo t1 = 0 e t2 = 2π, daí
R 2π
1
)idt
W = 0 h(sin t, − cos t, 1), (− sin t, cos t, 2π
R 2π
2
1
2
.
= 0 − sin t − cos t + 2π dt
= 1 − 2π
Podemos então definir o integral de linha, usando a fórmula anterior,
abstraída da sua interpretação física.
30
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Definição 19 Seja Φ um campo vectorial definido numa região de R3 , e seja
r = r(t), t ∈ [t1 , t2 ] uma curva com imagem nessa região.
Chamamos integral de linha do campo Φ ao longo da curva r, ao integral
Z t2
hΦ(r(t)), r0 (t)idt.
t1
Podemos então dizer que o trabalho efectuado por um campo de forças
sobre uma partícula em movimento é igual ao integral de linha do campo ao
longo da curva percorrida pela partícula.
O próximo teorema estabelece que o integral de linha não depende da
parametrização da curva.
Teorema 20 Dados um campo vectorial Φ e uma curva r = r(t); t1 ≤ t ≤ t2
com imagem contida no domínio de definição de Φ, sendo f (u) = t uma
função diferenciável no intervalo [u1 , u2 ], tal que f (u1 ) = t1 e f (u2 ) = t2 .
Então, tomando a parametrização equivalente r1 (u) = r(f (u)), temos que
Z
u2
u1
Z
hΦ(r1 (u)), r10 (u)idu
t2
=
hΦ(r(t)), r0 (t)idt.
t1
O Teorema anterior mostra-nos que o integral de linha de um campo
vectorial ao longo de uma curva fica bem definido (não depende da parametrização mas apenas da imagem da curva). Considerando então uma curva
C, podemos representar o integral de linha de um campo vectorial Φ ao longo
da curva C, por
Z
Z
t2
Φ=
C
hΦ(r(t)), r0 (t)idt
t1
onde r = r(t); t1 ≤ t ≤ t2 é uma parametrização qualquer de C.
Temos a seguinte versão das propriedades usuais do cálculo integral:
Proposição 21 Seja Φ um campo vectorial e sejam C, C1 e C2 , curvas no
domínio de Φ tais que a extremidade de C1 coincide com a origem de C2 ,
então:
R
R
1. −C Φ = − C Φ
R
R
R
2. C1 +C2 Φ = C1 Φ + C2 Φ
2.3. INDEPENDÊNCIA DAS CURVAS
2.3
31
Independência das curvas
Vimos que um integral de linha de um campo vectorial ao longo de uma curva
entre um ponto A e um ponto B não depende apenas dos pontos A e B mas
também da curva que os une. No entanto existe uma classe importante de
campos vectoriais, para os quais os integrais de linha são independentes das
curvas.
Um campo vectorial Φ diz-se conservativo se, para quaisquer duas curvas
C1 e C2 no domínio de Φ,R que tenham
a mesma origem e a mesma extremiR
dade, se der a igualdade C1 Φ = C2 Φ.
Observemos em primeiro lugar que, um campo vectorial é conservativo
se e só se o seu integral de linha ao longo de qualquer curva fechada no seu
domínio é sempre nulo.
A justificação desta observação prende-se com o facto de a Figura 2.1
se poder interpretar de duas formas diferentes. Por um lado, se C1 e C2
forem duas curvas ligando o ponto P ao ponto Q, então consideramos a
curva C = C1 + (−C2 ), que é fechada, logo se o integral do campo Φ for
nuloRao longo
temos
anterior que
R de qualquer Rcurva fechada,
R
R pela proposição
R
0 = C Φ = C1 +(−C2 ) Φ = C1 Φ − C2 Φ e daí C1 Φ = C2 Φ.
Por outro lado, sendo C uma curva fechada, podemos tomar em C dois
pontos P eRQ tais que
se oRcampo for conservativo,
R C = C1 + (−C
R 2 ) e então,
R
R
temos que C1 Φ = C2 Φ, logo 0 = C1 Φ − C2 Φ = C1 +(−C2 ) Φ = C Φ.
Figura 2.1: C1 e C2 têm os mesmos extremos quando C = C1 + (−C2 ) é
fechada.
32
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Exemplo 22 Seja Φ um campo conservativo, e consideremos o quadrado de
vértices (−1, −1), (1, −1), (1, 1), (−1, 1), orientado pela ordem dos vértices.
Suponhamos que o integral de linha de Φ ao longo da diagonal (−1, −1), (1, 1)
é igual a 3, o que podemos dizer sobre os integrais de linha de Φ ao longo das
linhas quebradas: (a) (−1, −1), (−1, 1), (1, 1), (b) (1, 1), (1, −1), (−1, −1),
(c) (−1, −1), (1, −1), (1, 1), (−1, 1).
(a) Como as linhas (−1, −1), (1, 1) e (−1, −1), (−1, 1), (1, 1) têm a mesma
origem e a mesma extremidade, então este integral é igual a 3.
(b) Como a linha tem os mesmos extremos que (−1, −1), (1, 1) mas com
orientação inversa, temos que o integral será igual a −3.
(c) Como a linha é fechada este integral será nulo.
Os campos conservativos tornam-se assim fáceis de integrar, uma vez que
podemos substituír curvas complicadas por curvas simples, mas continuamos
a não saber como reconhecer se um campo é ou não conservativo. O próximo
teorema é um passo nesta direcção.
Teorema 23 Se Φ é um campo potencial, isto é, Φ = ∇f para algum f ,
então para qualquer curva C com origem no ponto P e extremidade no ponto
Q,
Z
Φ = f (Q) − f (P ).
C
Dem. Seja r = r(t); t1 ≤ t ≤ t2 uma parametrização de C, então
Z
Z
t2
Φ=
C
Z
0
t2
hΦ(r(t)), r (t)idt =
t1
h∇f (r(t)), r0 (t)idt.
t1
Pela regra da cadeia, h∇f (r(t)), r0 (t)i = (d/dt)(f (r(t)), logo, uma vez que
f (r(t)) é uma função real de variável real, podemos usar o Teorema fundamental do cálculo, para obter
Z
Z
t2
Φ=
C
t1
d
(f (r(t))dt = f (r(t2 )) − f (r(t1 )) = f (Q) − f (P ).
dt
É consequência imediata deste teorema que todo o campo potencial é
conservativo.
2.3. INDEPENDÊNCIA DAS CURVAS
33
R
Exemplo 24 Calculemos C Φ, onde Φ(x, y) = (y, x) e C é parametrizada
por r(t) = (t9 , sin9 (πt/2)); 0 ≤ t ≤ 1.
Temos que Φ(x, y) = ∇f com f (x, y) = xy, a curva vai do ponto (0, 0)
ao ponto (1, 1), logo, pelo teorema anterior,
Z
Φ = f (1, 1) − f (0, 0) = 1.
C
Notemos que a fórmula
Z
∇f = f (Q) − f (P )
C
é o análogo, neste contexto, ao Teorema fundamental do cálculo. Por analogia
com o caso unidimensional, é usual chamar à função f tal que ∇f = Φ, a
primitiva ou antiderivada de Φ. Uma diferença fundamental entre o caso de
dimensão superior a 1 e o caso de dimensão 1 é que, enquanto em dimensão
1 qualquer função contínua é primitivável, em dimensão superior apenas os
campos conservativos o são. De facto, o próximo teorema diz-nos que todos
os campos conservativos são primitiváveis.
Teorema 25 Se Φ é um campo conservativo definido numa região D, então
existe uma função f definida em D tal que Φ = ∇f.
Exemplo 26 Determinemos o trabalho realizado ao mover uma massa m
de uma distância r1 para uma distância r2 da origem, no campo gravitacional de massa M que produz o campo de forças F = −(GM m/(x2 + y 2 +
z 2 )3/2 )(x, y, z) estando a massa M localizada na origem.
Seja V = −GM m/||(x, y, z)||, é imediato verificar que F = −∇V . Tomemos
então uma curva C que una os pontos P e Q a distâncias r1 e r2 da origem,
respectivamente. O trabalho efectuado por F é então determinado por
Z
Z
1
1
W =
F = − ∇V = −(V (Q) − V (P )) = GM m( − ).
r2 r1
C
C
Continuamos a não saber como dizer directamente se um campo vectorial
é ou não conservativo, nem ter um método eficiente para encontrar primitivas.
O Teorema seguinte fornece-nos esse método.
34
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Teorema 27 Um campo vectorial F (x, y, z) = (f1 (x, y, z), f2 (x, y, z), f3 (x, y, z))
é conservativo se e só se
∂f3
∂f2 ∂f3
∂f1
∂f1
∂f2
=
,
=
e
=
.
∂y
∂z ∂x
∂z
∂y
∂x
No caso bidimensional Φ(x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y)), a condição equivalente ao campo ser conservativo, é
∂f1
∂f2
=
.
∂y
∂x
Exemplo 28 Tomemos o campo vectorial F (x, y) = (2x + 3y 3 , 9xy 2 + 2y).
∂f1
∂f2
= 9y =
,
∂y
∂x
logo o campo é conservativo, podemos ainda calcular a sua primitiva f : Como
f1 (x, y) = 2x + 3y 3 = ∂f /∂x, então f (x, y) = x2 + 3xy 3 + g(y). por outro
lado f2 (x, y) = 9xy 2 + 2y = ∂f /∂y = 9xy 2 + g 0 (y) o que permite concluír que
g 0 (y) = 2y, isto é, g(y) = y 2 + c e, finalmente, f (x, y) = x2 + y 2 + 3xy 3 + c.
2.4
Teorema de Green
O teorema de Green relaciona o integral de linha de um campo vectorial ao
longo de uma curva fechada, com o integral duplo de uma certa função sobre
a região delimitada pela curva.
Entre as múltiplas aplicações deste teorema, destaca-se uma fórmula para
o cálculo da área de uma região, através de um integral de linha ao longo da
sua fronteira.
Teorema 29 (Green) Sejam Φ(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) um campo vectorial sobre o plano, com as derivadas parciais de P e Q contínuas, D uma
região sobre o plano delimitada pela curva C, então
¶
Z
Z Z µ
∂Q ∂P
−
Φ=
dxdy,
∂x
∂y
C
D
onde C é percorrida no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio.
2.4. TEOREMA DE GREEN
35
Vamos demonstrar este teorema apenas para certas regiões (que são simultâneamente do tipo 1 e do tipo 2). A demonstração no caso geral, prendese com o facto de que qualquer região do plano, delimitada por uma curva,
poder ser decomposta em regiões deste tipo.
Consideremos uma região do tipo 1, caracterizada pela figura 2.4:
Figura 2.2: Região do tipo 1: D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)}.
A fronteira desta região é a curva fechada C = C1 + C2 + C3 + C4 ,
orientada no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio. Temos que C1 e
C3 , são porções das rectas verticais l1 (x = a) e l2 (x = b) e que C2 e C4 são
porções dos gráficos de y = φ1 (x) e y = φ2 (x). O próximo lema é uma versão
preliminar do Teorema de Green:
Lema 30 Seja D uma região do tipo 1 e C a curva que constitui a sua
fronteira. Seja Φ = (P (x, y), 0) um campoSvectorial em que P (x, y) tem
ambas as derivadas parciais contínuas em D C, então
Z
Z Z
Φ=−
C
D
∂P
dxdy.
∂y
Dem. Temos que
RR
∂P
dxdy
D ∂y
=
=
R b R φ2 (x)
Rab
a
∂P
dydx
φ1 (x) ∂y
P (x, φ2 (x)) − P (x, φ1 (x))dx.
36
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Para determinar o integral de linha, parametrizemos cada um dos segmentos
de C:
C1 : (x, y) = (a, −t); t ∈ [−φ2 (a), −φ1 (a)].
C2 : (x, y) = (t, φ1 (t)); t ∈ [a, b].
C3 : (x, y) = (b, t); t ∈ [φ1 (b), φ2 (b)].
C4 : (x, y) = (−t, φ2 (−t)); t ∈ [−b, −a].
R
Agora, C Φ é a soma dos integrais sobre os Ci ’s. Como sobre C1 e C3 , temos
dx/dt = 0, então os integrias sobre estas curvas são nulos. Os integrais sobre
C2 e C4 são dados por
Z
Z b
Z b
0
Φ=
hΦ(t, φ1 (t)), (1, φ1 (t))idt =
P (t, φ1 (t))dt.
C2
e
R
a
a
R −a
Φ
=
hΦ(−t, φ2 (−t)), (−1, −φ02 (−t))idt
C4
−b
R −a
Rb
= − −b P (−t, φ2 (−t))dt = − a P (t, φ2 (t))dt.
Temos então que
R
Φ
C
Rb
Rb
= a P (t, φ1 (t))dt − a P (t, φ2 (t))dt
Rb
= − a (P (t, φ2R(t))dt
− P (t, φ1 (t))) dt
R
dxdy.
= − D ∂P
∂y
De forma totalmente análoga, podemos demonstrar que, se D é uma
região do tipo 2 (figura 2.4), tendo como fronteira uma curva C, então para
Φ = (0, Q(x, y)), com as derivadas parciais de Q contínuas, temos
Z
Z Z
∂Q
Φ=
dxdy.
C
D ∂x
Uma vez que (P, Q) = (P, 0)+(0, Q), obtivémos assim uma demonstração
do Teorema de Green para regiões que sejam simultâneamente do tipo 1 e
do tipo 2.
Exemplo 31 Seja Φ(x, y) = (y, −x) e seja C a circunferência de raio r,
percorrida
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Vamos escrever
R
Φ como um integral duplo, usando o Teorema de Green.
C
Temos que ∂Q
− ∂P
= −2 e que D é o círculo de raio r, logo
∂x
∂y
Z
Z Z
Φ=
−2dxdy = −2(área D) = −2πr2 .
C
D
2.4. TEOREMA DE GREEN
37
Figura 2.3: Região do tipo 2: D = {(x, y) : a ≤ y ≤ b, φ1 (y) ≤ x ≤ φ2 (y)}.
Exemplo 32 Seja C a fronteira do quadrado [0, 1] × [0, 1] orientada no sentido dos ponteiros do relógio.
Calculemos
Z
(y 4 + x3 , 2x6 ) :
C
Temos então que D é o quadrado unitário. limitado pelas linhas x = 0, y =
0, x = 1, y = 1, então pelo Teorema de Green temos
R 4
R
4
3
6
(y + x3 , 2x6 ) = − R−C
C
R (y∂ + x6 , 2x∂ ) 4
= − D ∂x 2x − ∂y (y + x3 )dxdy
RR
= − D 12x5 − 4y 3 dxdy
R1R1
= − 0 0 12x5 − 4y 3 dxdy
R1
= − 0 2 − 4y 3 dy = −1.
Corollário 33 (Área de uma região) Seja C uma curva plana fechada,
então a área da região D, delimitada por C, é dada por
Z
1
A=
(−y, x).
2 C
Dem. Seja Φ = (−y, x), então pelo Teorema de Green temos que
Z
Z Z
Z Z
1
∂x ∂(−y)
1
(−y, x) =
−
dxdy =
dxdy
2 C
2
∂y
D ∂x
D
que é a área de D.
38
2.5
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Circulação e o Teorema de Stokes
Sendo Φ um campo vectorial definido numa região do plano e C uma curva
com imagem nessa região, a expressão "circulação
de Φ em torno de C" é
R
vulgarmente usada para designar o número C Φ. Esta terminologia teve
origem nas aplicações do Teorema de Green à dinâmica de fluxos. Vamos em
seguida discutir de forma breve essas aplicações.
Imaginemos um fluxo em movimento sobre um plano. Cada partícula do
fluido (ou partícula de poeira em suspensão no fluido) tem uma velocidade
bem definida. Se num dado momento associarmos a casa ponto (x, y) do
plano, a velocidade V (x, y) da partícula do fluido que passa em (x,
R y) nesse
momento, obtemos um campo vectorial V no plano. O integral C V , de V
em torno de uma curva fechada C, representa, intuitivamente, a soma das
componentes tangenciais de V em torno de C. Então, supondo
R que C é
orientada no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio,R se C V > 0, o
fluxo na vizinhança de C circula com esta orientação e se C V > 0 o fluxo
circula no sentido dos ponteiros do relógio. Isto explica a origem do termo
circulação e é ilustrado na figura 2.5.
Figura 2.4: Circulação de um campo em torno de uma curva
Interpretámos atrás, o conceito de integral de linha de um campo de
forças ao longo de uma curva, como o trabalho efectuado pela força sobre
uma partícula percorrendo a curva. Notemos que o conceito matemático
de integral de linha está sujeito a diferentes interpretações, dependendo da
quantidade física representada pelo campo vectorial.
2.5. CIRCULAÇÃO E O TEOREMA DE STOKES
39
O integrando do lado direito do Teorema de Green,
∂Q ∂P
−
,
∂x
∂y
é importante porque, quando integrado sobre uma região cuja fronteira é C,
produz a circulação de Φ em torno de C.
Recordemos que, sendo Φ = (P, Q) um campo vectorial sobre o plano,
chamámos à expressão anterior, o rotacional de Φ, temos então que o Teorema de Green se pode escrever como
Z
Z Z
Φ=
rot Φdxdy,
C
D
onde C é a fronteira de D. Tomemos agora um ponto P0 do plano e sejam
Dρ e Cρ , respectivamente, o círculo e a circunferência de raio ρ em torno de
P0 . Pelo Teorema do valor médio,
Z Z
rot Φdxdy = [rot Φ(Pρ )][área Dρ ]
Dρ
para algum ponto Pρ em Dρ . Dividindo por área Dρ e fazendo ρ → 0,
obtemos
Ã
!
Z
1
rot Φ(P0 ) = lim
Φ ,
ρ→0
área Dρ Cρ
isto é, o rotacional pode ser interpretado como a circulação por unidade de
área.
Um fluido em movimento no espaço representa-se através de um campo
vectorial Φ(x, y, z) em três variáveis. A generalização do Teorema de Green a
este caso chama-se Teorema de Stokes. Vamos em primeiro lugar demonstrar
um caso particular deste Teorema.
Consideremos uma região D no pano xy e uma função f , de classe C 1 ,
definida em D. Sabemos do Exemplo 14 que a equação z = f (x, y) define
uma superfície sobre D e que o vector (− ∂f
, − ∂f
, 1) é normal à superfície,
∂x
∂y
logo a normal unitária é dada por
(− ∂f
, − ∂f
, 1)
∂x
∂y
n= r
.
¡ ∂f ¢2 ³ ∂f ´2
1 + ∂x + ∂y
40
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
À expressão
s
dA =
µ
1+
∂f
∂x
¶2
µ
+
∂f
∂y
¶2
dxdy,
chamamos elemento de área na superfície. Temos então
ndA = (−
∂f
∂f
, − , 1)dxdy
∂x ∂y
e definimos o integral de superfície da seguinte forma:
Definição 34 Sejam Φ = (P, Q, R) um campo vectorial sobre o espaço R3
e S uma superfície definida pela equação z = f (x, y), então o integral de
superfície de Φ sobre S é o integral da componente normal de Φ sobre S:
Z Z
Z Z
∂f
∂f
hΦ, nidA =
−P
−Q
+ Rdxdy
∂x
∂y
S
D
onde D é a projecção de S sobre o plano xy.
RR
Exemplo 35 Seja Φ = (x2 , y 2 , z). Determinemos
hΦ, nidA, onde S é o
S
gráfico da função z = x + y + 1 sobre o rectângulo [0, 1] × [0, 1]:
Pela definição de integral de superfície temos
RR
RR
hΦ, nidA =
−x2 − y 2 + (x + y + 1)dxdy
S
R 1 RD1
= 0 0 x + y + 1 − x2 − y 2 dxdy = 34 .
Recordemos que, sendo Φ = (P, Q, R) um campo vectorial em R3 , definimos
o rotacional de Φ como
¯
¯
¯ i j k ¯ µ
¶ µ
¶ µ
¶
¯ ∂ ∂ ∂ ¯
∂R ∂Q
∂R ∂P
∂Q ∂P
¯
¯
rotΦ = ∇×Φ = ¯ ∂x ∂y ∂z ¯ =
−
i−
−
j+
−
k.
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
¯ P Q R ¯
Estamos agora em condições de enunciar o Teorema de Stokes que, tal
como o Teorena de Green, relaciona um integral sobre uma superfície com
um integral em torno de uma curva.
Teorema 36 (Stokes) Seja D uma região do plano (à qual se aplica o Teorema de Green) e S a superfície definida pela equação z = f (x, y), com f
de classe C 2 . Sejam ∂D a fronteira de D percorrida no sentido contrário ao
2.5. CIRCULAÇÃO E O TEOREMA DE STOKES
41
Figura 2.5: Quando percorremos ∂S no sentido contrário ao dos ponteiros
do relógio, a superfície situa-se à nossa esquerda
dos ponteiros do relógio e ∂S o correspondente bordo de S (ver Figura 2.5).
Se Φ é um campo vectorial continuamente diferenciável no espaço, então
Z
Z Z
Φ=
hrot Φ, nidA
∂S
S
´
³
¡
∂Q
−
i − ∂R
−
Dem. Sejam Φ = (P, Q, R) e rot Φ = ∂R
∂y
∂z
∂x
³
´
∂Q
− ∂P
k. Temos então, da definição de integral de superfície,
∂x
∂y
RR
hrot Φ, nidA =
S
∂P
∂z
¢
j+
R R h³ ∂R
D
+
¡ ∂P
∂z
´¡
¢
∂Q
∂z
−
− ∂x
∂y
∂z
¢ ³ ∂z ´ ³ ∂Q
∂R
− ∂x − ∂y + ∂x −
∂P
∂y
´i
dxdy.
(2.1)
Por outro lado, tomando σ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] uma parametrização
de D, então η(t) = (x(t), y(t), f (x(t)), f (y(t))) é uma parametrização de ∂S
que preserva a orientação, logo
Z
Z b
dx
dy
dz
Φ=
P
+ Q + R dt;
dt
dt
dt
∂S
a
mas, pela regra da cadeia,
∂z dx ∂z dy
dz
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
42
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Substituindo esta expressão na igualdade anterior, obtemos
³
´
¢
Rb¡
R
dy
∂z dx
∂z
Φ
=
P
+
R
+
Q
+
R
dt
∂x dt
∂y
dt
∂S
a
³
´
R
∂z
∂z
= ∂D P + R ∂x
, Q + R ∂y
.
Aplicando o Teorema de Green temos então
¶
Z
Z Z µ
∂(Q + R∂z/∂y) ∂(P + R∂z/∂x)
dxdy.
−
Φ=
∂x
∂y
∂S
D
Finalmente, uma vez que P, Q, R são funções de x, y, x e z é função de
x, y, usamos a regra da cadeia para obter
´
R
R R h³ ∂Q ∂Q ∂z ∂R ∂z ∂R ∂z ∂z
∂2z
+ ∂z ∂x + ∂x ∂y + ∂z ∂x ∂y + R ∂x∂y
Φ =
∂S
³ D ∂x
´i
∂P ∂z
∂R ∂z
∂R ∂z ∂z
∂2z
− ∂P
+
+
+
+
R
dxdy.
∂y
∂z ∂y
∂y ∂x
∂z ∂y ∂x
∂y∂x
Os últimos dois termos em cada um dos parênteses anulam-se mutuamente e os restantes podem ser rearrajados de forma a obter o integral do
lado direito da igualdade 2.1
Tal como o Teorema de Green, o Teorema de Stokes é válido para uma
classe muito mais geral de superfícies para além dos gráficos de funções de
R2 em R, mas por uma questão de simplicidade apenas aqui tratámos esse
caso.
Exemplo 37 Seja Φ = (yez , xez , xyez ). Vejamos que o integral de Φ em
torno de uma curva simples fechada C que seja o bordo de uma superfície S
(que seja o gráfico de uma função) é 0:
Pelo Teorema de Stokes temos
Z
Z Z
Φ=
hrot Φ, nidA.
∂S
S
Mas rot Φ = 0, logo obtemos imediatamente o resultado.
Tal como para o rotacional de um campo sobre o plano, podemos mostrar
que hrot Φ(P0 ), ni corresponde à circulação por unidade de área em torno de
P0 no plano que passa por P0 e é ortogonal a n.
2.5. CIRCULAÇÃO E O TEOREMA DE STOKES
43
De facto, seja Dρ o disco com raio ρ centrado em P0 , que jaz no plano
ortogonal a n e seja ∂Dρ a sua fronteira. Pelo Teorema de Stokes temos
Z Z
Z
hrot Φ, nidA =
Φ.
Dρ
∂Dρ
Pelo Teorema do valor médio, existe então um ponto Pρ em Dρ tal que
Z Z
hrot Φ, nidA = hrot Φ(Pρ ), ni(área Dρ ),
Dρ
logo
1
hrot Φ(Pρ ), ni = 2
πρ
e daí
Z
1
hrot Φ(P0 ), ni = lim 2
ρ→0 πρ
Φ
∂Dρ
Z
Φ
∂Dρ
como queríamos demonstrar.
Exemplo 38 Sejam E um campo eléctrico e H um campo magnético no
espaço, ambos dependentes do tempo. Seja S uma superfície com bordo C.
Define-se:
Z
E = voltagem em torno de C,
C
Z Z
hH, nidA = fluxo magnético através de S.
S
A lei de Faraday estabelece que a voltagem em torno de C é igual a menos
a taxa de mudança do fluxo magnético através de S. Vejamos que a lei de
Faraday se pode deduzir da equação diferencial
rot E = −
∂H
∂t
(uma das equações de Maxwell).
R
RR
Simbolicamente, a lei de Faraday pode escrever-se C E = −(∂/∂t) S hH, nidA.
Pelo Teorema de Stokes, e assumindo que podemos passar ∂/∂t para fora do
sinal de integração, obtemos
Z Z
Z
Z Z
Z Z
∂
∂H
, nidA = −
hH, nidA.
E=
hrot E, nidA =
h−
∂t
∂t
S
C
S
S
44
2.6
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
O Fluxo e o Teorema da Divergência
Seja V um campo de velocidades de um fluxo em movimento sobre um plano.
Na secção anterior explicámos a razão pela qual o integral de linha de V em
torno de uma curva fechada C se chama circulação de V em torno de C. O
integral de linha é o integral da componente tangencial de V . O integral em
torno de C da componente normal de V também se reveste de significado
físico.
Imaginemos primeiro que V é constante e que C é um segmento de recta
(ver Figura 2.6).
Figura 2.6: A quantidade de fluido que atravessa C por unidade de tempo é
o produto entre a componente normal de V e o comprimento de C. Note-se
que d cos θ = 1
Consideremos um paralelogramo consistindo numa unidade de área do
fluido, a área sombreada na Figura 2.6. A base do paralelogramo consiste
numa unidade de comprimento ao longo de C e no outro lado paralelo a V .
Como a área é 1, o outro lado tem comprimento d = 1/ cos θ, onde θ é o
ângulo entre n e V . Este paralelogramo demora t = d/||V || = 1/(cos θ||V ||)
unidades de tempo para atravessar C. Então o fluido é atravessado por
cos θ||V || unidades quadradas do fluido em cada unidade de tempo. Como n
tem comprimento unitário, esta taxa iguala hV, ni.
Se imaginarmos agora C constituída por segmentos de recta, sendo V
constante ao atravessar cada um deles, podemos interpretar o integral
2.6. O FLUXO E O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
45
da componente normal de V ao longo de C,
Z
hV, nids,
C
como a quantidade de fluxo que atravessa C por unidade de tempo.
Este integral é o fluxo de V atravessando C.
Seja C parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t)). Então um vector tangente
unitário é dado por
x0 + y 0
,
t= p
x02 + y 02
O elemento de comprimento é
p
ds = x02 + y 02 dt
e uma normal unitária é
(y 0 , −x0 )
n= p
.
x02 + y 02
Escolhemos n de forma a que, se C fôr uma curva fechada percorrida no
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, n será a normal unitária que
aponta para a parte exterior da curva. Se V = (P, Q) então usando as
fórmulas anteriores para n e ds, obtemos
hV, nids = (P y 0 − Qx0 )dt.
Isto leva-nos à seguinte definição:
Definição 39 O fluxo de um campo V = (P, Q) atravessando uma curva C
parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t)) t ∈ [a, b], define-se como sendo
Z
Z
Z b
dy
dx
hV, nids =
P dy − Qdx =
P (x(t), y(t)) − Q(x(t), y(t)) dt.
dt
dt
a
C
C
O Teorema da divergência relaciona o fluxo de um campo vectorial atravessando uma curva fechada C que limita uma região D, com a divergência
de V sobre D.
Relembremos que definimos atrás a divergência div V de um campo vectorial V = (P, Q) como
div V = h∇, V i =
∂Q
∂P
+
.
∂x
∂y
Temos então o Teorema de Gauss da divergência no plano.
46
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Teorema 40 (Gauss) Seja D uma região do plano à qual se aplica o Teorema de Green e seja C a sua fronteira percorrida no sentido contrário ao
dos ponteiros do relógio, então
Z
Z Z
hV, nids =
div V dxdy.
C
D
Dem. Temos que, sendo V = (P, Q),
Z
Z
Z
hV, nids =
P dy − Qdx = (−Q, P )
C
C
C
que, pelo Teorema de Green é igual a
Z Z
Z Z
∂P
∂(−Q)
−
dxdy =
div V dxdy.
∂y
D ∂x
D
Exemplo 41 Calculemos o fluxo do campo V = (x cos y, − sin y) ao atravessar a fronteira do quadrado unitário com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
A divergência de V é
∂
∂
(x cos y) +
(− sin y) = cos y − cos y = 0,
∂x
∂y
logo, pelo Teorema da divergência, o fluxo ao cruzar qualquer curva fechada
é zero.
Como vimos atrás, diz-se que um campo vectorial é incompressível se
divV = 0. Esta terminologia provém do Teorema da divergência e do exemplo
em que V é a velocidade de um fluido. De facto, o Teorema da divergência
implica que o fluxo ao cruzar curvas fechadas, é zero, ou seja, a diferença
entre a área de fluido que entra e que sai da região limitada por C é nula.
Para um fluido compressível, pode acontecer que o fluxo dentro de C seja
comprimido, de forma a que a área de fluxo que sai seja inferior à que entra,
neste caso div V será negativo. Analogamente, se o fluxo fôr expansivo,
teremos div V > 0.
Exemplo 42 A Figura 2.6 mostra-nos algumas das linhas de fluxo de um
fluido em movimento sobre um plano com campo de velocidades V . O que
será que podemos especular sobre o sinal de div V nos pontos A, B, C, D?
2.6. O FLUXO E O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
47
O fluido parece expandir-se a partir de pequenas regiões em torno de A, B
e C, logo é razoável esperar que, nestes pontos, div V > 0. Por outro lado,
na vizinhança do ponto D as linhas de fluxo parecem convergir, o que parece
indicar que o fluxo se comprime, daí é razoável esperar que, em D, div V < 0.
Figura 2.7: Determinar o sinal de div V .
Vimos atrás que o Teorema de Green se pode generalizar ao espaço, generalização esta que consiste no Teorema de Stokes e se baseia na ideia de
circulação. É natural esperar que também o Teorema da divergência se possa
generalizar à dimensão três.
Seja V um campo vectorial definido em R3 . Raciocinando como fizémos
no plano, vemos que, se V representar o campo de velocidades
de um fluido
RR
e S fôr uma superfície, então o integral de superfície
hV, nidA é o volume
S
de fluido atravessando
R RS na direcção da normal n, por unidade de tempo.
Denominamos então
hV, nidA como f luxo de V atravessando S.
S
Se V = (P, Q, R), lembremos que
div V =
∂P
∂Q ∂R
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Vamos agora enunciar, sem demonstrar, o Teorema de Gauss, da Divergência no espaço.
Teorema 43 (Gauss) Seja W uma região no espaço, limitada por uma superfície ∂W . Consideremos a normal unitária n que aponta para o exterior
de W . Então, sendo V um campo vectorial definido em W , temos que
Z Z Z
Z Z
div V dxdydz =
hV, nidA.
W
∂W
48
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Textualmente, o teorema diz-nos que o fluxo total atravessando a fronteira
de W é igual à divergência em W .
Exemplo 44 Calculemos
Z Z
hF, nidA, onde F (x, y, z) = (xy 2 , x2 y, y)
S
e S é a superfície que limita o cilindro W definido por x2 + y 2 ≤ 1, −1 ≤
z ≤ 1.
Este integral pode ser calculado directamente, mas é bastante mais fácil
se utilizarmos o Teorema da Divergência.
Como S limita a região W , pelo Teorema da Divergência temos que
Z Z
Z Z Z
div F dxdydz,
hF, nidA =
W
S
mas
div F =
∂
∂ 2
∂
(xy 2 ) +
(x y) + (y) = x2 + y 2 ,
∂x
∂y
∂z
logo
RRR
W
RRR
(x2 + y 2 )dxdydz
´
RR
R 1 ³W
2
2
(x
+
y
)dxdy
dz
= −1
2
2
x +y ≤1
RR
2
2
= 2 x2 +y2 ≤1 (x + y )dxdy.
div F dxdydz =
Mudando as variáveis para coordenadas polares, obtemos
x = r cos θ, y = r sin θ, x2 + y 2 = r2 , dxdy = rdrdθ, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π,
o que faz com que
Z Z
Z
2
2π
2
Z
1
(x + y )dxdy =
x2 +y 2 ≤1
0
0
1
r3 drdθ = π.
2
Temos então finalmente,
Z Z
Z Z Z
hF, nidA =
div F dxdydz = π.
S
W
2.7. EXERCÍCIOS
49
Exemplo 45 Uma lei fundamental da electrostática, diz-nos que um campo
eléctrico E no espaço, satisfaz div E = ρ, onde ρ é a densidade de carga.
Vejamos que o fluxo de E ao atravessar uma superfície fechada, é igual à
carga total na região delimitada pela superfície.
Seja então W uma região do espaço, delimitada pela superfície S. Pelo
Teorema da divergência,
RR
fluxo de E ao atravessar S = R RSRhE, nidA
= R R RW div Edxdydz
=
ρ(x, y, z)dxdydz,
W
como ρ é a carga por unidade de volume,
Z Z Z
ρ(x, y, z)dxdydz
Q=
W
é a carga total em W .
2.7
Exercícios
Exercício 24 Calcule o trabalho efectuado pelo campo de forças Φ(x, y, z) =
(x, y, 0) quando uma partícula é movida ao longo da trajectória (3t2 , t, 1); 0 ≤
t ≤ 1.
Exercício 25 Calcule o trabalho efectuado pelo campo de forças do exercício
anterior quando a partícula é movida ao longo do segmento de recta que liga
o ponto (0, 0, 1) ao ponto (3, 1, 1).
Exercício 26 Considere o campo gravitacional definido por
Φ(x, y, z) =
(x2
−1
(x, y, z), (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
+ y 2 + z 2 )3/2
Mostre que o trabalho efectuado pela força gravitacional para uma partícula
p
se moverpde (x1 , y1 , z1 ) para (x2 , y2 , z2 ) depende apenas dos raios R1 = x21 + y12 + z12
e R2 = x22 + y22 + z22 .
Exercício 27 Mostre que, se uma partícula é movida ao longo de uma curva
fechada, então o trabalho sobre ela efectuado pelo campo gravitacional é nulo.
50
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Exercício 28 Considere o campo de forças Φ(x, y) = 1/(x2 + y 2 )(−y, x), a
actuar no plano (sem a origem). Calcule o trabalho efectuado por esta força
ao longo de cada uma das trajectórias:
1. (cos t, sin t); 0 ≤ t ≤ π.
2. (cos t, − sin t); 0 ≤ t ≤ π.
3. (cos t, sin t); 0 ≤ t ≤ 2π.
4. (− cos t, sin t); 0 ≤ t ≤ π.
Exercício 29 Seja Φ(x, y, z) = (x2 , −xy, 1). Calcule o integral de linha de
Φ ao longo de cada uma das seguintes curvas:
1. O segmento de recta que vai de (0, 0, 0) para (1, 1, 1).
2. A circunferência de raio 1 centrada na origem que jaz no plano yz,
percorrida no sentido inverso ao dos ponteiros do relógio, se observada
a partir da parte positiva do eixo dos x.
3. A parábola z = x2 , y = 0, entre os pontos (−1, 0, 1) e (1, 0, 1).
Exercício 30 Calcule
Z
(x, xy, 1),
C
sendo C parametrizada por σ(t) = (t, t2 , 1), 0 ≤ t ≤ 1.
Exercício 31 Seja Φ um campo vectorial conservativo no plano. Considere
a Figura 2.7 e suponha que o integral de Φ ao longo de AOF é 3, ao longo
de OF é 2 e ao longo de AB é −5. Calcule os integrais de Φ ao longo das
seguintes curvas:
1. AODEF .
2. F EDO.
3. BOEF .
4. BAODEF .
2.7. EXERCÍCIOS
51
Figura 2.8:
Exercício 32 Calcule os seguintes integrais ao longo das respectivas curvas
fechadas para concluír que os campos dados não são conservativos.
1. Φ = (y, y, 1), C é a curva composta pelos segmentos de recta que ligam
os pontos (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) e (0, 0, 0).
2. Φ = (3, x), C é a circunferência unitária.
3. Φ = (y, −xy), C é a circunferência unitária.
Exercício 33 Interprete os seguintes campos vectoriais como gradientes e
use essa expressão para calcular os integrais.
R
1. C (2xy, x2 ), C a curva parametrizada por x = cos 8t y = 5 sin 16t, 0 ≤
t ≤ π/4.
R
2. C (yexy , xexy ), C a curva parametrizada por x = 5t3 y = −t3 , −1 ≤
t ≤ 1.
R
3. C (3x2 y 2 , 2x3 y), C a curva parametrizada por x = 3t2 + 1 y = 2t, 0 ≤
t ≤ 1.
Exercício 34 Um certo campo de forças exercido sobre uma massa m é dado
por F = −(JM m/krk5 )r. Determine o trabalho efectuado ao mover a massa
m de uma distância r1 para uma distância r2 > r1 .
52
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Exercício 35 Verifique se os seguintes campos são conservativos e em caso
afirmativo determine uma antiderivada.
1. (2xy, x2 + cos y).
2. (x2 y, 21 x3 + yey ).
3. (2xy sin(x2 y), ey + x2 sin(x2 y)).
4. (4x cos2 (y/2), −x2 sin y).
Exercício 36 Verifique a validade do Teorema de Green para as seguintes
regiões e os seguintes campos vectoriais:
1. A região entre as curvas y = x2 e y = x, entre x = 0 e x = 1, com
− ∗ xy e Q = x.
2. D é o disco de raio r e centro em (0, 0), P = xy 2 e Q = −yx2 .
R
Exercício 37 Usando o Teorema de Green, escreva C Φ como um integral
duplo e calcule-o:
1. C é a elipse x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 e Φ = (xy 2 , −yx2 ).
2. C é a circunferência de raio 1 e Φ = (2y + ex , x + sin(y 2 )).
Exercício 38 Seja C a fronteira do rectângulo com lados x = 1, y = 2, x =
3, y = 3. Calcule os seguintes integrais:
R
1. C (2y 2 + x5 , 3y 6 ).
R
2. C (xy 2 − y 3 , −5x2 + y 3 ).
´
R ³
x x+ey
,
.
3. C 2y+sin
2
2
1+x
1+y
Exercício 39 Determine o rotacional dos seguintes campos vectoriais planos.
1. V (x, y) = (y, −x).
2. V (x, y) = (xy, −exy ).
´
³
y
x
,
.
3. V (x, y) = x2 +y
2 x2 +y 2
2.7. EXERCÍCIOS
53
Exercício 40 Calcule os integrais de superfície dos campos vectoriais seguintes,
sobre as superfícies indicadas.
1. Φ = (3x2 , −2yx, 8) e S é o gráfico de z = 2x − y sobre o rectângulo
[0, 2] × [0, 2].
2. Φ = (x, −2y, xz) e S é o gráfico de z = −x − y − 1 sobre o rectângulo
[0, 1] × [0, 1].
3. Φ = (0, 0, x) e S é o círculo x2 + y 2 ≤ 1 no plano xy.
Exercício 41 Calcule o rotacional dos seguintes campos vectoriais:
1. F (x, y, z) = (ez , − cos(xy), z 3 y).
2. Φ(x, y, z) = (xz cos x, −yz sin x, −xy tan y).
³
´
3. Φ(x, y, z) = x2 +yyz2 +z2 , x2 +yxz2 +z2 , x2 +yxy2 +z2 .
4. F (x, y, z) = (∇ × Φ)(x, y, z), onde Φ é o campo vectorial da alínea 2.
Exercício 42 Demonstre a identidade rot (f Φ) = f rot Φ + ∇f × Φ.
Exercício 43 Calculando cada um dos lados da equação separadamente,
mostre que, no caso Φ = ∇f o Teorema de Stokes se reduz a 0 = 0.
Exercício 44 Demonstre a identidade
Z Z
Z
h∇f × ∇g, nidA =
S
Z
f ∇g = −
∂S
g∇f.
∂S
Exercício 45 Seja Φ = (yzex + xyzex , xzex , xyex ). Mostre que o integral de
Φ em torno de qualquer curva simples orientada C que seja o bordo de uma
superfície S é zero.
Exercício 46 Calcule os seguintes integrais de linha, usando o Teorema de
Stokes.
1. Φ = (2x, −y, x + z), C é a curva que consiste nos segmentos que unem
os pontos (1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
54
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
2. Φ = (xy, yz, xz), C é a curva que consiste nos segmentos que unem os
pontos (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3).
Exercício 47 Seja Φ um campo vectorial perpendicular ao campo vectorial
tangente do bordo ∂S de uma superfície S, mostre que
Z Z
hrot Φ, nidA = 0.
S
Exercício 48 A lei de Ampere diz-nos que, se a densidade da corrente eléctrica fôr descrita por um campo vectorial J e o campo magnético induzido fôr
H, então a circulação de H em torno do bordo C da superfície S é igual ao
integral de J sobre S. Mostre que este resultado é consequência da equação
de Maxwell, rot H = J.
Exercício 49 Demonstre as seguintes igualdades vectoriais.
1. div (f Φ) = h∇f, Φi + f divΦ.
2. div (rot Φ) = 0.
Exercício 50 Calcule o fluxo dos seguintes campos vectoriais ao atravessarem as curvas indicadas.
1. Φ(x, y) = (x2 , −y 3 ), ao cruzar o perímetro do quadrado de vértices
(−1, −1), (1, −1), (1, 1), (−1, 1).
2. Φ(x, y) = (3xy 2 , 3x2 y), ao cruzar a circunferência unitária.
3. Φ(x, y) = (y, ex ), ao cruzar o perímetro do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1
Exercício 51 Calcule o fluxo dos seguintes campos vectoriais ao atravessarem as superfícies indicadas.
1. Φ(x, y, z) = (3xy 2 , 3x2 y, z 3 ), ao cruzar a esfera unitária
2. Φ(x, y, z) = (x, y, z), ao cruzar a esfera unitária.
3. Φ(x, y, z) = (1, 1, z(x2 + y 2 )2 ), ao cruzar a superfície que delimita o
cilindro x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
2.7. EXERCÍCIOS
55
Exercício 52 Suponha que um campo vectorial V é tangente ao bordo de
uma região W no espaço. Mostre que, nesse caso,
Z Z Z
div V dxdydz = 0.
W
Exercício 53 Demonstre a igualdade
div (F × Φ) = hΦ, rot F i − hF, rot Φi.
Exercício 54 Usando o Exercício 49, demonstre que
Z Z Z
Z Z
Z Z Z
h∇f, Φidxdydz =
hf Φ, nidA −
f div Φdxdydz.
W
∂W
W
56
CAPÍTULO 2. INTEGRAIS DE LINHA E DE SUPERFÍCIE
Capítulo 3
Números Complexos
3.1
Funções de uma variável complexa
O sistema dos números reais,R, surgiu a partir da busca de um sistema (um
conjunto abstracto sujeito a certas regras), que incluísse os números racionais,
Q, mas que fornecesse soluções para certas equações polinomiais, tais como
x2 − 2 = 0.
Historicamente, uma consideração análoga deu origem a uma extensão
dos números reais. No Século XVI, Gerónimo Cardano considerou equações
polinomiais do tipo x2 +2x+2 = 0, que não
√ são satisfeitas por nenhum número
real x. A fórmula resolvente x = −b ± b2 − 4ac fornece expressões formais
para as soluções, mas estas podem envolver raízes quadradas de números
√
negativos, por exemplo, para a equação anterior obtemos x = −1 ± −1.
Cardano notou que, se estes "números complexos"
√ √ fossem encarados como
números normais, com o acrescento da regra −1 −1 = −1, eles forneciam
soluções para todas as equações deste tipo (e mais).
√
Convencionou-se então designar a expressão −1 por unidade imaginária
e representá-la pelo símbolo i (a regra anterior expressa-se então i2 =
√
( −1)2 = −1). Temos então:
Definição 46 O sistema dos números complexos, denotado por C, é o conjunto de todos os números da forma z = x+iy, onde x e y são números reais,
com as habituais regras de adição e multiplicação escalar por um número real
a:
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 );
a(x + iy) = ax + iay
57
58
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
e a operação de multiplicação complexa, definida por
(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Nota 47 A regra da multiplicação complexa, pode facilmente ser deduzida
da expressão i2 = −1, juntamente com as propriedades dos números reais:
(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 (x2 + iy2 ) + iy1 (x2 + iy2 )
= x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Dado um número complexo z = x + iy, dizemos que x é a componente
real e representamos pr x = Re z; e que y é a componente imaginária de z
e representamos por y = Im z. Ao número complexo z = x − iy, chamamos
conjugado de z.
Podemos representar os números complexos por meio de pontos no plano
complexo ou plano de Argand, associando a z = x + iy, o ponto (x, y) do
plano. Com esta interpretação, a soma complexa e a multiplicação escalar,
não são mais que a soma vectorial e a multiplicação escalar em R2 .
É fácil verificar que o sistema C dos números complexos, obedece a todas as regras algébricas do sistema dos números reais, por exemplo, é fácil
verificar que, dado z = x + iy 6= 0, então
z −1 =
x
y
−
i
x2 + y 2
x2 + y 2
é o inverso multiplicativo de z, isto é, que zz −1 = z −1 z = 1. Podemos então,
dado w 6= 0, escrever z/w e referir-nos ao quociente de z por w para representar zw−1 . Mais ainda, identificando cada número real x com o número
complexo x + i0, observamos que o sistema dos números complexos contém o
sistema dos números reais (no plano de Argand, os números reais correspondem ao eixo dos x).
Com o auxílio de coordenadas polares, costruímos a representação trigonométrica
dos números complexos(ver Figura 3.1):
z = x + iy = |z|(cos θ + i sin θ),
p
√
onde |z| = x2 + y 2 = zz se designa por módulo de z e θ = arg z =
arccos(x/|z|) = arcsin(y/|z|) se designa por argumento de z. Devido à periodicidade das funções trigonométricas, os valores θ e θ + 2nπ, com n inteiro,
3.1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
59
Figura 3.1: Representação trigonométrica dos números complexos
definem o mesmo número complexo. Para simplificar, convencionamos que
−π < θ < π.
As seguintes propriedades são de fácil verificação que deixamos como
exercício:
Teorema 48 Sejam z, z1 e z2 números complexos, então:
1. z1 + z2 = z1 + z2 .
2. z1 z2 = z1 z2 .
3. Se z2 6= 0, então z1 /z2 = z1 /z2 .
4. zz = |z|2 , daí se z 6= 0 temos z −1 = z/|z|2 .
5. z = z se e só se z ∈ R.
6. Re z =
z+z
2
e Im z =
z−z
.
2
7. z = z.
Teorema 49 Sejam z, z1 e z2 números complexos, então:
1. |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
60
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
2. arg (z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 .
3. Se z2 6= 0, então |z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |.
4. −|z| ≤ Re z ≤ |z| e −|z| ≤ Im z ≤ |z|.
5. |z| = |z|.
6. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
7. |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 ||.
A partir dos dois primeiros itens do teorema anterior, concluímos imediatamente que, dado dois números complexos z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) e
z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ), então a representação trigonométrica do seu produto, obedecerá à fórmula
z1 z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )r2 (cos θ2 + i sin θ1 )
= r1 r2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )),
(3.1)
que nos permitirá demonstrar o seguinte resultado fundamental:
Teorema 50 (Fórmula de de Moivre) Se z = r(cos θ + i sin θ) e n é um
inteiro positivo, então
z n = rn (cos nθ + i sin nθ).
Dem. Pela fórmula 3.1, temos que z 2 = r2 (cos 2θ + i sin 2θ). Multiplicando de novo por z obtemos z 3 = r3 (cos 3θ + i sin 3θ). Aplicando o
Método de indução a este procedimento, obtemos o resultado desejado, z n =
rn (cos nθ + i sin nθ).
Seja w um número complexo, usando a Fórmula de de Moivre vamos
resolver a equação z n = w, em ordem a z. Supondo que w = r(cos θ +
i sin θ) e z = ρ(cos ψ + i sin ψ), temos z n = ρn (cos nψ + i sin nψ). Concluímos
imediatamente que ρn = r = |w| e que nψ = θ+2kπ, com k inteiro. Podemos
então enunciar o seguinte teorema, que nos dá a fórmula geral das raízes
índice-n de qualquer número complexo:
Teorema 51 Seja w 6= 0 um número complexo com representação trigonométrica
w = r(cos θ + i sin θ), então as raízes índice-n de w são dadas pela fórmula
µ µ
¶
µ
¶¶
√
θ 2kπ
θ 2kπ
n
+
+
+ i sin
, k = 0, 1, · · · , n − 1.
zk = r cos
n
n
n
n
3.1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
61
Como caso especial desta fórmula, note-se que as n raízes índice-n de 1
(ou seja, as n raízes índice-n da unidade) são 1 e n − 1 pontos equidistantes
sobre a circunferência unitária.
Sabemos da Análise Real, que as funções trigonométricas, seno e coseno,
se podem definir através das suas séries de potências:
sin x = x −
x3 x5
x2 x4
+
− · · · , cos x = 1 −
+
− ··· .
3!
5!
2!
4!
Analogamente, a função exponencial, ex , pode ser definida como
ex = 1 + x +
x2 x 3
+
+ ··· .
2!
3!
Vamos em seguida extender estas funções ao plano complexo, ou seja,
vamos definir estas funções em C de forma a que as suas restrições à recta
real coincidam com as usuais sin x, cos x e ex .
Vamos começar pela exponencial. Tomando um número real x, sabemos
que
x2 x 3
ex = 1 + x +
+
+ ··· .
2!
3!
Parece então natural definir eiy , para y ∈ R, como
eiy = 1 + iy +
(iy)2 (iy)3
+
+ ··· .
2!
3!
Notando que i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1 e i4n+3 = −i para qualquer
natural n (exercício), é fácil rearranjar a série anterior na forma
µ
¶
µ
¶
y2 y4
y3 y5
iy
e = 1−
+
− ··· + i y −
+
− ··· .
2!
4!
3!
5!
Mas esta expressão é simplesmente cos y + i sin y, daí definimos
eiy = cos y + i sin y.
Nesta altura já definimos ex no eixo real e no eixo imaginário, para extender esta definição a todo o C, recordemos que pretendemos que esta extensão
preserve o máximo possível de propriedades da exponencial usual, como por
exemplo ea+b = ea eb , daí é natural a seguinte definição:
62
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Definição 52 Seja z = x + iy um número complexo, definimos então a
exponencial de z, ez , como
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y).
Note-se que, na forma exponencial, a representação trigonométrica de um
número complexo fica
z = |z|eiarg z ,
que se pode abreviar como
z = reiθ ,
a que damos o nome de representação exponencial do número complexo z.
As propriedades fundamentais da função exponencial encontram-se resumidas no próximo teorema, cuja demonstração (fácil) deixamos como exercício.
Teorema 53
1. ez+w = ez ew , para quaisquer z, w ∈ C.
2. ez 6= 0, ∀z∈C .
3. Se x ∈ R, então ex < 1 se x < 0 e ex > 1 se x > 0.
4. |ex+iy | = ex .
5. eiπ/2 = i, eiπ = −1, e3iπ/2 = −i, e2iπ = 1.
6. ez é periódica com período 2iπ.
7. ez = 1 sse z = 2niπ para algum número inteiro n.
A extensão da exponencial ao plano complexo, sugere-nos uma forma de
extender as definições do seno e do coseno. Como eiy = cos y + i sin y, então
sin y =
eiy − e−iy
eiy + e−iy
e cos y =
.
2i
2
Mas, como eiz está agora definida para qualquer número complexo z, somos
levados a formular a seguinte definição:
Definição 54
sin z =
eiz + e−iz
eiz − e−iz
e cos z =
.
2i
2
3.1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
63
De novo estas definições coincidem com as definições usuais de seno e
coseno reais. O próximo teorema, (cuja demonstração deixamos como exercício), resume algumas das propriedades destas funções que agora estão
definidas em todo o C e não apenas em R.
Teorema 55
1. sin2 z + cos2 z = 1.
2. sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w.
3. cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w.
Gostaríamos agora de definir o logaritmo de forma a que a nossa definição
coincida com a definição usual de log x, quando x pertence ao semi-eixo
positivo do eixo real. Neste caso, o logaritmo pode ser definido como a
inversa da exponencial, ou seja, log x = y é a solução de ey = x. Quando
tomamos z a variar sobre todo o C temos que ter cuidado, pois como vimos
atrás, a exponencial é periódica, logo não é injectiva e não tem inversa. Além
disso, a exponencial nunca se anula logo não podemos esperar poder definir
o logaritmo na origem. Temos então que ser cuidadosos com a escolha do
domínio em C, onde iremos definir o logaritmo. O próximo teorema indicanos como fazê-lo.
Teorema 56 Seja y0 ∈ C e tomemos o conjunto
Ay0 = {x + iy|x ∈ R e y0 ≤ y < y0 + 2π}.
Então ex transforma Ay0 , de forma bijectiva, em C\{0}.
Dem. Se ez1 = ez2 , então ez1 −z2 = 1, logo z1 − z2 = 2inπ para algum
inteiro n. Mas, uma vez que tanto z1 como z2 , pertencem ambos a Ay0 , onde
a diferença entre as partes imaginárias de quaisquer dois pontos é menor que
2π, temos necessariamente z1 = z2 , logo ez restringida a Ay0 é injectiva.
Para demonstrar a sobrejectividade, basta-nos verificar que, tomando
qualquer w ∈ C\{0}, a equação ez = w tem solução em Ay0 . Tomando
z = x + iy, a equação ex+iy = w é equivalente às duas equações ex = |w|
e eiy = w/|w|. A solução da primeira é x = log |w|, onde log é o logaritmo
real. A segunda equação tem infinitas soluções y, diferindo por múltiplos
inteiros de 2π, mas uma e apenas uma se encontra no intervalo [y0 , y0 + 2π].
Este y é simplesmente arg w com o domínio da função argumento fixado em
[y0 , y0 + 2π].
64
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Figura 3.2: ex transforma Ay0 de forma bijectiva em C\{0}.
Na demonstração do teorema anterior, obtivémos uma expressão para a
inversa de ez , restringida à faixa y0 ≤ Im z < y0 + 2π e esta expressão será
estabelecida formalmente na seguinte definição.
Definição 57 A função log : C\{0} → C, com contradomínio y0 ≤ Im log z <
y0 + 2π, define-se como log z = log |z| + iarg z, onde arg z toma valores em
[y0 , y0 + 2π[ e log |z| é o logaritmo real de |z|.
Esta função é normalmente referida como o ramo do logaritmo em {x +
iy|y0 ≤ y < y0 + 2π}. Realçamos que o logaritmo só fica bem definido
quando fixamos um ramo, isto é, quando fixamos um intervalo de
comprimento 2π onde arg z toma valores.
Por exemplo, suponhamos
√
fixado o ramo [0, 2π[, então log(1
√ + i) = log 2 + iπ/4. Se o ramo fixado fôr
[π, 3π[, então log(1 + i) = log 2 + i9π/4.
A função log z é a inversa de ez no seguinte sentido:
Teorema 58 Para qualquer ramo do logaritmo, temos elog z = z. Reciprocamente, se escolhermos o ramo [y0 , y0 + 2π[, então se z = x + iy com
y ∈ [y0 , y0 + 2π[, temos log(ez ) = z.
Dem. Como log z = log |z| + iarg z, então
elog z = elog |z| eiarg z = |z|eiarg z = z.
Reciprocamente, seja z = x + iy com y ∈ [y0 , y0 + 2π[. Por definição
log ez = log |ez | + iarg ez , mas |ez | = ex e, pela nossa escolha do ramo,
arg ez = y, logo log ez = log ex + iy = x + iy.
3.1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
65
O logaritmo definido em C\{0}, comporta-se da mesma maneira em relação aos produtos, que o logaritmo real, como veremos no próximo teorema,
cuja demonstração deixamos como exercício.
Teorema 59 Sejam z1 , z2 ∈ C\{0}, então log(z1 z2 ) = log z1 + log z2 (a
menos da adição de múltiplos inteiros de 2iπ).
Exemplo 60 Vamos determinar log[(−1−i)(1−i)] com o contradomínio do
argumento fixado em [0, 2π[. Então√log[(−1−i)(1−i)] = log(−2) √
= log 2+iπ.
Por outro lado, log(−1 − i) = log √ 2 + i5π/4 e log(1
−
i)
=
log
2 + i7π/4,
√
logo log(−1 − i) + log(1 − i) = log 2 + i5π/4 + log 2 + i7π/4 = log 2 + 3iπ,
o que faz com que neste caso o logaritmo do produto tenha uma diferença de
2iπ para a soma dos logaritmos.
Da mesma forma que para as variáveis reais, dado A um subconjunto
de C, uma função f : A → C pode ser entendida como uma regra que
associa a cada número complexo z = x + iy ∈ A um outro número complexo
w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Temos então que u(x, y) = Re f (z) e v(x, y) =
Im f (z).
Nota 61 Identificando C com R2 , sendo z = x + iy, então |z| = ||(x, y)|| o
em C
em R2
que faz com que a métrica em C coincida com a métrica em R2 , por isso, de
agora em diante, os conceitos topológicos em C, tais como aberto, fechado,
vizinhança, etc. coincidem com os respectivos conceitos em R2 , fazendo a
respectiva identificação.
Definição 62 Seja f definida numa vizinhança de z0 , que pode não conter
z0 . A expressão
lim f (z) = a
z→z0
significa que, para qualquer ² > 0, existe um δ > 0 tal que, se |z − z0 | < δ
então |f (z) − a| < ².
Tal como em R, os limites em C verificam as seguintes propriedades:
Proposição 63 Se lim f (z) = a e lim g(z) = b, então
z→z0
1. lim (f (z) + g(z)) = a + b.
z→z0
z→z0
66
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
2. lim (f (z)g(z)) = ab.
z→z0
3. Se b 6= 0, lim (f (z)/g(z)) = a/b.
z→z0
Definição 64 Sejam A ⊂ C um aberto e f : A → C uma função. Dizemos
que f é contínua em z0 ∈ A se e só se
lim f (z) = f (z0 )
z→z0
e f é contínua em A se fôr contínua em todos os pontos de A.
Definição 65 Seja f : A → C, onde A é um aberto de C. Então f diz-se
diferenciável em z0 ∈ A se existe o limite
f (z) − f (z0 )
.
z→z0
z − z0
lim
A este limite chamamos derivada de f em z0 e denotamo-lo por f 0 (z0 ) ou por
df /dz(z0 ). Dizemos que f é analítica ou holomorfa em A se fôr diferenciável
em todos os pontos de A. Dizemos que f é uma função inteira, se fôr analítica
em C.
Notemos que, apesar da definição ser similar ao caso real, o caso da
derivação complexa é bastante mais rico. Por exemplo, veremos à frente que,
se uma função é diferenciável na vizinhança de um ponto, então ela será
infinitamente diferenciável, sendo esta a razão por que chamamos analítica
a uma função diferenciável no sentido complexo. De qualquer forma, as
propriedades elementares da diferenciação real mantêm-se, como veremos
nos próximos resultados, cuja demonstração deixamos como exercício.
Teorema 66 Se f é diferenciável em z0 , então é contínua em z0 .
Teorema 67 Sejam f e g analíticas no aberto A de C, então
1. Para quaisquer complexos a e b, af + bg é analítica em A e (af + bg)0 =
af 0 + bg 0 .
2. f g é analítica em A e (f g)0 = f 0 g + f g 0 .
3.1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA
67
3. Se g(z) 6= 0 para todos os z ∈ A, então f /g é analítica em A e
µ ¶0
f
f 0 g − gf 0
=
.
g
g2
4. Qualquer polinómio a0 +a1 z+· · ·+an z n é analítico em C e tem derivada
a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 .
5. Qualquer função racional
a0 + a1 z + · · · + an z n
b0 + b1 z + · · · + bm z m
é analítica no aberto A que consiste em C exceptuando os pontos (no
máximo m) onde o denominador se anula.
Teorema 68 (Regra da Cadeia) Sejam A e B abertos de C, f : A → C
e g : B → C funções analíticas tais que f (A) ⊂ B, então g ◦ f : A → C é
analítica e
(g ◦ f )0 (z) = g 0 (f (z))f 0 (z).
Tomemos uma função f : A → C definida por f (x + iy) = u(x, y) +
iv(x, y). Identificando C com R2 , temos que f ≡ f (x, y) = (u(x, y), v(x, y))
pode ser encarada como uma função de R2 em R2 , daí faz sentido questionarmonos sobre a relação entre a diferenciabilidade de f como função de R2 e a
diferenciabilidade de f no sentido complexo. Essa relação é estabelecida no
próximo teorema, cuja demonstração pode ser consultada, por exemplo em
[4].
Teorema 69 (Equações de Cauchy-Riemann) Seja f : A → C uma
função, onde A é um aberto de C. Então f é diferenciável em z0 = x0 +iy0 ∈
A no sentido complexo, se e só se f é diferenciável em (x0 , y0 ) no sentido
real e neste ponto são verificadas as chamadas equações de Cauchy-Riemann:
∂v ∂u
∂v
∂u
=
e
=− .
∂x
∂y ∂y
∂x
∂u ∂u ∂v
∂v
Logo, se ∂x , ∂y , ∂x e ∂y existirem , forem contínuas em A e satisfizerem as
equações de Cauchy-Riemann, então f é analítica em A.
Se f fôr diferenciável em z0 , então
f 0 (z0 ) =
=
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
+ i ∂x
∂u
− i ∂y .
68
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Podemos concluír imediatamente o seguinte resultado fundamental.
Corollário 70 Se f 0 (z) fôr constante igual a zero, então f é constante.
São agora de fácil verificação os seguintes resultados:
Teorema 71 A função f : C → C, z 7→ ez é uma função inteira e
dez
= ez .
dz
Dem. Por definição, f (z) = ex (cos y + i sin y), então u(x, y) = ex cos y e
v(x, y) = ex sin y. Como estas funções são infinitamente diferenciáveis, f é
diferenciável no sentido real. Para demonstrar que f é analítica, basta-nos
então verificar as equações de Cauchy-Riemann. Mas
∂u
∂x
∂v
∂x
= ex cos y,
= ex sin y,
∂u
∂y
∂v
∂y
= −ex sin y
= ex cos y.
Temos que as equações de Cauchy-Riemann são verificadas, logo f é analítica
em C e
df
∂u
∂v
=
+i
= ex (cos y + i sin y) = ez .
dz
∂x
∂x
Recordemos que log z é inversa de ez quando ez é restringida a uma faixa
{x + iy|y0 ≤ y < y0 + 2π}. No entanto, quanto à diferenciabilidade, o
domínio de log z terá que ser mais pequeno que C\{0}. A razão é simples,
log z = log |z| + iarg z, para 0 ≤ arg z < 2π, mas a função arg é descontínua,
dá um salto de 2π de cada vez que cruzamos o semi-eixo dos reais positivos.
Se removêsse-mos o eixo dos reais, estaríamos a excluír os reais positivos,
onde nos interessa ter definido o logaritmo. É então conveniente usar o ramo
−π < arg z < π e um conjunto apropriado onde log z é analítica será dado
em seguida.
Teorema 72 Consideremos o aberto A = C\{x + iy|x ≤ 0, e y = 0}, ou
seja, C exceptuando o semi-eixo real negativo com o zero. Definimos o ramo
do logaritmo em A por
log z = log |z| + iarg z, −π < arg z < π,
chamado o ramo principal do logaritmo, então log z é analítica em A com
d
1
log z = .
dz
z
3.2. FUNÇÕES HARMÓNICAS
69
A demonstração envolve a expressão em coordenadas polares das equações
de Cauchy-Riemann, que se obtém facilmente. Tomando (x, y) = (r cos θ, r sin θ),
temos ∂x/∂r = cos θ, ∂x/∂θ = −r sin θ, ∂y/∂r = sin θ e ∂y/∂θ = r cos θ
temos imediatamente as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares:
∂u
1 ∂v ∂v
−1 ∂u
=
,
=
.
∂r
r ∂θ ∂r
r ∂θ
Usando esta versão das equações de Cauchy-Riemann a demonstração
reduz-se a uma verificação análoga à do anterior teorema, que deixamos ao
cuidado do leitor.
Quando log z aparecer em composições, temos que ter cuidado para nos
mantermos no seu domínio. Por exemplo, consideremos g(z) = log(z 2 ), usando o ramo principal do logaritmo.
Esta função é analítica em A = {z|z 6= 0 e arg z 6= ±π/2} pelo seguinte.
Sabemos que z 2 é analítica em todo o C. A imagem de A através da aplicação
z 7→ z 2 é precisamente C\{x + iy|x ≤ 0, y = 0}, que é o conjunto onde está
definido e é analítico, o ramo principal do logaritmo. Logo, pela regra da
cadeia, z 7→ z 2 é analítica em A.
Com a fórmula da diferenciação da exponencial e com a regra da cadeia,
é agora fácil derivar as funções trigonométricas.
Teorema 73 As funções sin z e cos z são funções inteiras, com derivadas
d
d
sin z = cos z e
cos z = − sin z.
dz
dz
Dem. Vamos apenas deduzir a fórmula para o seno, uma vez que a
fórmula para o coseno é análoga.
d
d eiz − e−iz
ieiz + ie−iz
eiz + e−iz
sin z =
=
=
= cos z.
dz
dz
2i
2i
2
3.2
Funções harmónicas
Uma função u : A ⊂ C → R diz-se harmónica se é duas vezes continuamente
diferenciável e o seu Laplaciano verifica
∇2 u =
∂ 2u ∂2u
+
= 0.
∂x2 ∂y 2
70
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
As funções harmónicas desempenham um papel fundamental nos exemplos
físicos que apresentaremos mais à frente, mas, por agora, limitemo-nos a
determinar algumas das suas propriedades do ponto de vista matemático.
Teorema 74 Seja A ⊂ C e u : A → R uma função duas vezes continuamente diferenciável, então u é harmónica em A se e só se é a parte real de
alguma função f , analítica em A.
Dem. Seja f = u + iv uma função analítica em A, então sabemos que
u e v são infinitamente diferenciáveis. Por outro lado, pelas equações de
Cauchy-Riemann temos
∂2u
∂ ∂u
∂ ∂v
∂ 2v
=
=
=
∂x2
∂x ∂x
∂x ∂y
∂x∂y
e
∂ 2u
∂ ∂u
∂
=
=
2
∂y
∂y ∂y
∂y
µ
∂v
−
∂x
¶
=−
∂2v
,
∂y∂x
logo
∇2 u =
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
e u é harmónica. Note-se que analogamente se verifica que v é harmónica.
A demonstração da recíproca utiliza resultados directamente relacionados
com a fórmula integral de Cauchy, que saem do âmbito destas notas, portanto
vamos omiti-la.
Quando existe uma função analítica f tal que f = u + iv, dizemos que u
e v são conjugados harmónicos. Como if também é analítica, então −v e u
também são conjugados harmónicos.
Podemos concluír do Teorema anterior que qualquer função harmónica
numa dada região de C, tem um conjugado harmónico nessa região, o qual é
facilmente determinado utilizando as equações de Cauchy-Riemann.
Exemplo 75 Seja u(x, y) = x2 − y 2 , vamos verificar que u é harmónica e
determinar o seu conjugado harmónico.
2
2
Temos imediatamente que ∂∂xu2 = 1 e ∂∂yu2 = −1, logo ∇2 u = 0 e u é
harmónica.
3.2. FUNÇÕES HARMÓNICAS
71
Para determinar o conjugado harmónico, observemos que
∂u
∂v
= 2x =
,
∂x
∂y
logo, integrando v em ordem a y, temos que v = 2xy + g(x). Por outro lado,
∂v
∂u
= 2y + g 0 (x) = −
= 2y
∂x
∂y
logo g 0 (x) = 0 e v(x, y) = 2xy + c.
O teorema seguinte descreve uma propriedade dos conjugados harmónicos, que terá mais à frente uma interpretação física importante.
Teorema 76 Sejam u e v conjugados harmónicos numa região A. Suponhamos que as equações
u(x, y) = constante = c1
e
u(x, y) = constante = c2
definem curvas suaves. Então as intersecções entre estas duas curvas, são
ortogonais.
Dem. Sabemos de trás que basta verificar que grad u e grad v são perpendiculares. O seu produto interno é
hu, vi =
∂u ∂v ∂u ∂v
+
,
∂x ∂x ∂y ∂y
que é zero pelas equações de Cauchy-Riemann.
Terminamos esta secção com o enunciado do seguinte resultado fundamental sobre as funções harmónicas.
Teorema 77 (Princípio do máximo para funções harmónicas) Seja A
um subconjunto aberto, conexo e limitado de C e seja u : A → R uma função
contínua e harmónica em A. Seja M o máximo de u em f r(A), então
• u(x, y) ≤ M para todos os (x, y) ∈ A.
72
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
• se u(x, y) = M para algum (x, y) ∈ A, então u é constante em A.
Uma vez que, se u é harmónica então −u também é harmónica e max u =
min −u, também é verdadeiro o princípio correspondente para o mínimo:
Seja m o mínimo de u em f r(A), então
• u(x, y) ≤ m para todos os (x, y) ∈ A.
• se u(x, y) = m para algum (x, y) ∈ A, então u é constante em A.
3.3
Os problemas de Dirichlet e de Neumann
O problema de Dirichlet e o problema de Neumann, são dois problemas
extremamente importantes, quer em matemática quer em física.
Seja A uma região aberta e limitada de C e seja u0 uma dada função real
contínua sobre f r(A). O problema de Dirichlet consiste em determinar uma
função real u em A, que seja contínua em A, harmónica em A e que seja igual
a u0 em f r(A).
Existem teoremas que estabelecem que, se f r(A) fôr suficientemente regular, então existe sempre uma solução. Estes Teoremas são muito difíceis,
contudo é muito fácil demonstrar que a solução, quando existe é sempre
única.
Teorema 78 A solução do problema de Dirichlet é única (assumindo que
existe solução).
Dem. Sejam u e v duas soluções. Então φ = u − v é harmónica e φ = 0
em f r(A), então pelo princípio do máximo φ ≤ 0 em A, mas, analogamente,
pelo princípio do mínimo, φ ≥ 0 em A , logo φ = 0.
O problema de Neumann consiste em determinar uma função harmónica
u sobre uma região aberta e limitada A, com ∂u/∂n especificado sobre f r(A),
onde n é a normal exterior a f r(A), isto é, a normal unitária a f r(A) que
"aponta para o exterior" de A e ∂u/∂n = hgrad u, ni.
Note-se que o problema de Neumann não faz sentido para uma função
qualquer ϕ = ∂u/∂n, pois se tal função existe teremos necessariamente que
Z
∂u
= 0.
f r(A) ∂n
3.4. APLICAÇÕES CONFORMES
73
Para demonstrar isto, basta observar que, pelo Teorema de Gauss da
divergência, temos
Z
Z
Z Z
Z Z
∂u
=
hgrad u, ni =
div grad u =
∇2 u = 0.
∂n
f r(A)
f r(A)
A
A
Dada uma condição de fronteira ϕ sobre f r(A) com
então.
R
f r(A)
ϕ = 0, temos
Teorema 79 Numa região limitada simplesmente conexa, o problema de
Neumann tem solução e esta é única a menos da adição de uma constante.
É conveniente reforçar que, para ambos os problemas, em regiões não
limitadas não temos unicidade. Por exemplo se considerarmos A sendo o
semi-plano superior, então u1 (x, y) = x e u2 (x, y) = x + y têm o mesmo valor
em f r(A) (y = 0), são ambas harmónicas e não são iguais.
Os problemas de Dirichlet e de Neumann também podem surgir de forma
combinada, ou seja, u pode ser especificada sobre uma parte da fronteira e
∂u/∂n sobre outra.
Os métodos usuais para resolver os problemas de Dirichlet e de Neumann
sobre uma dada região A passam por transformar a região A numa região
mais simples B onde o problema possa ser resolvido e em seguida transportar
os resultados para A. O "meio de transporte" utilizado são as aplicações
conformes, que estudaremos de seguida.
3.4
Aplicações conformes
Em termos genéricos, uma aplicação conforme é uma aplicação que preserva
os ângulos entre as curvas que se intersectam, ou seja, que simplesmente roda
e estica os vectores tangentes às curvas.
Definição 80 Uma aplicação f : A → C diz-se conforme em z0 se existir
um ângulo θ ∈ [0, 2π[ e r > 0 tais que, para qualquer curva diferenciável
c(t) contida em A com c(0) = z0 e v = c0 (0) 6= 0 (v é o vector tangente a
c no ponto z0 ), temos que a curva d(t) = f (c(t)) é diferenciável e, fazendo
u = d0 (0), temos |u| = r|v| e arg u = arg v + θ( mod 2π).
Temos que esta é uma das propriedades das funções analíticas.
74
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Teorema 81 Se f : A → C é analítica e se f 0 (z0 ) 6= 0, então f é conforme
em z0 com θ = arg f 0 (z0 ) e r = |f 0 (z0 )|.
Dem. Usando a notação da definição anterior e a regra da cadeia, temos
que u = d0 (0) = f 0 (z0 )c0 (0) = f 0 (z0 )v. Então arg u = arg f 0 (z0 ) + arg v(
mod 2π) e |u| = |f 0 (z0 ||v|, como queríamos.
Podemos então pensar em aplicações conformes, como aplicações analíticas com derivada diferente de zero. Os pontos z tais que f 0 (z) = 0 para uma
função analítica f , chamam-se pontos singulares de f .
Teorema 82
1. Se f : A → B é conforme e bijectiva, então f −1 : B → A
também é conforme.
2. Se f : A → B e g : B → C são conformes e bijectivas, então
g ◦ f : A → C é conforme e bijectiva.
Dem.
1. Como f é bijectiva, existe f −1 . Pelo Teorema da função inversa f −1
é analítica com df −1 (w)/dw = (1/df (z))/dz onde w = f (z), logo
df −1 (w)/dw 6= 0 e f −1 é conforme.
2. Como g e f são analíticas e bijectivas, também g ◦ f o é, além disso a
derivada de g ◦ f (z) é dada por g 0 (f (z))f 0 (z) 6= 0, logo g ◦ f é conforme.
A propriedade (1) do teorema anterior é de extrema importância no estudo dos problemas de Dirichlet e de Neumann para uma dada região A. O
método consiste em encontrar uma aplicação conforme bijectiva f : A → B,
onde B é uma região mais simples onde o problema poderá ser resolvido.
Para obter a resposta em A, em seguida transportamos a resposta obtida em
B para A através de f −1 .
Necessitamos então que funções harmónicas permaneçam harmónicas quando
compostas com aplicações conformes.
Teorema 83 Sejam u harmónica numa região B e f : B → A analítica.
Então u ◦ f é harmónica em A.
3.4. APLICAÇÕES CONFORMES
75
Dem. Se u é harmónica, então existe uma função analítica f tal que
u = Re(g), então u ◦ f = Re(g ◦ f ) mas, se g e f são analíticas, então g ◦ f
também é analítica, logo u ◦ f é harmónica.
Vamos agora apresentar formas de obter aplicações conformes entre duas
regiões. Não existe uma metodologia geral para a obtenção destas aplicações,
contudo, após adquirir alguma prática, é suposto o estudante ser capaz de
combinar aplicações bilineares (que estudaremos em seguida) com outras
aplicações com as quais já se encontra familiarizado (como z 2 , ez ou sin z),
de forma a poder lidar com um leque razoável de situações.
Uma transformação linear fraccionária (também conhecidas como aplicações bilineares ou de Möbius) é uma aplicação da forma
T (z) =
az + b
cz + d
onde a, b, c, d são números complexos fixos. Precisamos assumir que ad−bc 6=
0, porque de outra forma T seria uma constante (porquê?).
As propriedades destas aplicações serão resumidas nos proximos quatro
teoremas.
Teorema 84 Uma aplicação linear fraccionária T é bijectiva e conforme de
¾
½
n
ao
−d
em B = w : w 6=
.
A = z : z 6=
c
c
De facto, a inversa de T também é linear fraccionária e é dada por
T −1 (w) =
−dw + b
.
cw − a
Dem. É óbvio que T é analítica em A e que S(w) = (−dw + b)/(cw − a)
é analítica em B. Para demonstrarmos que T é bijectiva basta demonstrar
que T ◦ S = S ◦ T = Id, calculemos então:
T (S(w)) =
=
=
a( −dw+b
+b
cw−a )
+d
c( −dw+b
cw−a )
−adw+ab+bcw−ab
−cdw+bc+dcw−da
(bc−ad)w
= w.
bc−ad
Analogamente, ST (z) = z. Finalmente, T 0 (z) 6= 0 porque
d
d
S(T (z)) = z = 1
dz
dz
76
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
logo
S 0 (T (z))T 0 (z) = 1
e daí T 0 (z) 6= 0.
As transformações fraccionais lineares são de grande utilidade, devido às
suas propriedades geométricas, isto é ilustrado no próximo teorema, o qual
não demonstraremos.
Teorema 85 Qualquer aplicação conforme do disco D = {z : |z| < 1} em si
próprio, é uma aplicação linear fraccionária da forma
T (z) = eiθ
(z − z0
1 − z0z
para algum z0 ∈ D fixo e θ ∈ [0, 2π[, por outro lado, qualquer T com esta
forma é uma aplicação conforme de D em si próprio.
Então a única forma de aplicar um disco em si próprio através de uma
aplicação conforme, é utilizando uma aplicação linear fraccionária. Mas esta
aplicações têm ainda duas propriedads adicionais, como veremos nos dois
teoremas que se seguem.
Teorema 86 Seja T uma transformação linear fraccionária. Se L ⊂ C fôr
uma recta e S ⊂ C uma circunferência, então T (L) é uma recta ou uma
circunferência, tal como T (S).
Dem.
Podemos escrever T na forma T4 ◦ T3 ◦ T2 ◦ T1 , onde T1 (z) = z + d/c,
T2 (z) = 1/z, T3 (z) = (bc − ad)z/c2 e T4 (z) = z + a/c (Se c = 0, fica
simplesmente T (z) = (a/d)z + b/d). É óbvio que T1 , T3 e T4 transformam
rectas em rectas e circunferências em circunferências, logo basta-nos verificar
a proposição para T2 (z) = 1/z. Sabemos da geometria analítica que uma
recta ou uma circunferência, são determinadas pela equação
Ax + By + C(x2 + y 2 ) = D,
para constantes A, B, C, D, não todas nulas. Sejam z = x + iy 6= 0 e 1/z =
u + iv onde u = x/(x2 + y 2 ) e v = −y/(x2 + y 2 ), temos então que a equação
anterior é equivalente a
Au − Bv − D(u2 + v 2 ) = −C
que representa igualmente uma recta ou uma circunferência.
3.4. APLICAÇÕES CONFORMES
77
Teorema 87 Dados dois conjuntos de pontos distintos, z1 , z2 , z3 e w1 , w2 , w3
(isto é, tais que z1 6= z2 , z1 6= z2 , z2 6= z3 , w1 6= w2 , w1 6= w3 e w2 6= w3 , mas
podemos ter z1 = w1 e por aí adiante), existe uma única transformação linear
fraccionária T que transforma zi 7→ wi , i = 1, 2, 3. De facto, se T (z) = w,
então
z − z1 z3 − z2
w − w1 w3 − w2
=
.
w − w2 w3 − w1
z − z2 z3 − z1
Dem. A fórmula anterior define uma transformação linear fraccionária
w = T (z) e por substituição directa vemos que tem as propriedades desejadas
(T (zi ) = wi ). Vejamos que é única. Seja
S(z) =
z − z1 z3 − z2
.
z − z2 z3 − z1
Então S é uma transformação linear fraccionária que transforma z1 em 0, z3
em 1 e z2 em ∞ (z2 é a singularidade de S). Seja R outra transformação
linear fraccionária, R(z) = (az + b)/(cz + d) com R(z1 = 0, R(z3 ) = 1
e R(z2 ) = ∞ (isto é, cz2 + d = 0). Então az1 + b = 0, cz2 + d = 0 e
(az3 + b)/(cz3 + d) = 1. Obtemos então a = −b/z1 e c = −d/z2 , daí a última
condição dá b(z1 − z3 )/z1 = d(z2 − z3 )/z2 . Substituindo em R, concluímos
após simplificação que R = S.
Vamos usar este resultado para demonstrar que T é única. Seja T uma
qualquer transformação linear fraccionária que transforma zi em wi , i =
1, 2, 3. A transformação linear fraccionária ST −1 transforma w1 = T z1 em
0, w3 = T z3 em 1 e w2 = T z2 em ∞. Então, como vimos atrás, ST −1
é unicamente determinado e logo T é unicamente determinado, pois T =
(ST −1 )−1 S.
Podemos então transformar quaisquer três pontos distintos em quaisquer
outros três ponstos distintos. Três pontos distintos jazem, ou numa recta
ou numa circunferência, então, pelo teorema anterior a transformação transforma a recta ou a circunferência que passa por z1 , z2 , z3 na recta ou circunferência que passa por w1 , w2 , w3 .
Tal como foi anteriormente mencionado, as transformações linares fraccionárias podem ser combinadas com outras transformações de forma a obter
uma vasta classe de aplicações conformes, as quais permitem transformar
uma vasta classe de conjuntos, noutros. A figura seguinte contém uma pequena lista de aplicações conformes, bem como os seus efeitos geométricos,
que será suficiente para lidar com um número razoável de situações.
FIGURA
78
3.5
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Aplicação das aplicações conformes à equação
do calor, à electrostática e à hidrodinâmica
O método básico para resolver o problema de Dirichlet e o de Neumann numa
região A é como se segue. Toma-se a região A dada e transforma-se através de
uma aplicação conforme numa região B mais simples, onde o problema pode
ser resolvido. Este procedimento é justificado pelo facto de que, através
de uma aplicação conforme, as funções harmónicas são transformadas de
novo em funções harmónicas. Após resolvermos o problema em B, podemos
transformas a resposta de novo para A.
Em relação ao problema de Dririchlet são fornecidos os valores de fronteira
sobre f r(A). Estes valores obviamente são aplicados nos correspondentes
valores de fronteira em B (assumimos que a aplicação conforme está definida
na fronteira). A especificação de ∂u/∂n é mais complicada, contudo, é fácil
em alguns casos. Seja u ◦ f = u0 a solução procurada, ou seja, u0 (x, y) =
u(f (x, y)). Vamos ver que ∂u0 /∂n = 0 se e só se ∂u/∂n = 0 nas regiões
correspondentes. Isto é verdade porque ∂u0 /∂n = 0 e ∂u/∂n = 0 significa
que os conjugados são constantes nestas regiões, e se v é o conjugado de u
então v ◦ f = v0 é o conjugado de u0 . Estes são os únicos tipos de condições
de fronteira para ∂u/∂n com que lidaremos neste texto.
Para usar este método, precisamos então de ser capazes de resolver o
problema numa região B mais simples.
A seguinte situação é utilizada para ilustrar o método e será utilizada nos
exemplos seguintes. Consideramos o semi-plano superior H e o problema de
encontrar uma função harmónica que tome os valores de fronteira constantes
c0 em ] − ∞, x1 [, c1 em ]x1 , x2 [, ..., cn em ]xn , ∞[ onde x1 < x2 < · · · xn são
pontos do eixo real. Vamos ver que uma solução será dada por
u(x, y) = cn +
1
[(cn−1 − cn )θn + · · · + (c0 − c1 )θ1 ]
π
(3.2)
onde θ1 , · · · , θn são os ângulos indicados na proxima figura, 0 ≤ θi ≤ π.
Isto é fácil de ver. Primeiro, como u é a parte real de
cn +
1
[(cn−1 − cn ) log(z − xn ) + · · · + (c0 − c1 ) log(z − x1 )],
πi
então é harmónica e, por outro lado, é fácil verificar (exercício) que u é
constante igual a ci nos intervalos ]xi , xi+1 [.
3.5. APLICAÇÃO DAS APLICAÇÕES CONFORMES À EQUAÇÃO DO CALOR, À ELECTROST
Figura 3.3: Problema de Dirichlet no semi-plano superior.
Como já foi mencionado, a solução do problema de Dirichlet não é necessariamente única, neste caso, por exemplo, se adicionássemos y à solução
dada, continuaríamos a ter uma solução. A questão então é: porque é que
escolhemos esta solução?
A resposta é que esta solução é limitada e isso é bastante relevante do
ponto de vista físico.
Condução do calor
Dizem-nos as leis da física que, se uma região bidimensional fôr mantida
a uma temperatura estável T (ou seja, a temperatura não varia com o tempo
e é fixa nas paredes), então T é uma função harmónica.
O simétrico do gradiente de T representa a direcção em que o calor flui.
Podemos então, usando o Teorema 76, interpretar as curvas de nível do conjugado harmónico ϕ de T , como sendo as curvas ao longo das quais o calor
flui e a temperatura diminui e são chamadas linhas de fluxo. As linhas de T
constante são chamadas isotérmicas.
Então, dizer que T é dado numa porção da fronteira, significa que essa
porção é mantida a uma temperatura fixa (por exemplo com um dispositivo
80
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Figura 3.4: Condução do calor.
de aquecimento) . A condição ∂T /∂n = 0 significa que a linha de fluxo (ou
−grad T ) é paralela à fronteira (não há fluxo de calor a cruzar a fronteira).
Exemplo 88 Consideremos como A, o primeiro quadrante, o eixo dos xx é
mantido com T = 0 enquanto que o eixo dos yy é mantido com T = 100. Determinemos a distribuição da temperatura em todo o quadrante (fisicamente,
podemos pensar nesta região como uma folha de metal muito fina).
Solução: Vamos transformar o primeiro quadrante no semi-plano superior através de z 7→ z 2 (ver figura??).
É fisicamente razoável que a temperatura seja uma função limitada, pois
de outra forma obteríamos temperaturas arbitrariamente elevadas ou arbitrariamente baixas. Então, no semi-plano superior a solução será dada pela
fórmula 3.2:
³y´
100
1
tan−1
.
u(x, y) = (100 arg z) =
π
π
x
Então a solução que procuramos é
u0 (x, y) = u(f (x, y)),
3.5. APLICAÇÃO DAS APLICAÇÕES CONFORMES À EQUAÇÃO DO CALOR, À ELECTROST
Figura 3.5:
onde f (x, y) = z 2 = x2 − y 2 + 2ixy = (x2 − y 2 , 2xy)., logo
µ
¶
2xy
100
−1
u0 (x, y) =
tan
π
x2 − y 2
é a resposta desejada, tomando tan−1 no intervalo [0, π]. Outra forma da
resposta é
³y´
100
200
200
u0 (x, y) = u(z 2 ) =
arg(z 2 ) =
arg z =
tan−1
.
π
π
π
x
As linhas de fluxo e as isotérmicas são representadas na figura ???.
Exemplo 89 Seja A a metade superior do círculo unitário. Determinemos
a temperatura dentro de A, sabendo que a porção de circunferência verifica
∂T /∂n = 0 e no eixo real a temperatura é mantida a T = 0 para x > 0 e
T = 10 para x < 0.
Solução: Para este tipo de problema, onde existe uma porção da fronteira
onde ∂T /∂n = 0, é conveniente transformar a região em meia faixa. Isto
pode ser feito para A através de log z usando o ramo principal, veja as figuras
???. Na semi-faixa B obtemos, através de observação directa, a solução
T0 (x, y) =
(Note que ∂T0 /∂n = ∂t0 /∂x = 0)
10y
.
π
82
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Figura 3.6:
Então a nossa resposta será
³ ´
10
−1 y
T (x, y) = T0 (log(x + iy)) =
tan
.
π
x
FIGURAS
Potencial eléctrico
Em física aprendemos que, se um potencial elétrico ϕ fôr determinado por
cargas eléctricas estáticas, então ϕ tem que satisfazer a equação de Laplace,
ou seja, tem que ser harmónica. A função conjugada Φ de ϕ interpreta-se da
seguinte forma: As curvas ao longo das quais Φ é constante são as curvas ao
longo das quais viaja uma pequena carga de teste, e são chamadas linhas de
fluxo. Os vectores tangentes a estas curvas são dados por −grad ϕ = E e são
designados como campo eléctrico.
Então as linhas de fluxo e as curvas equipotenciais (linhas para as quais
ϕ é constante) intersectam-se transversalmente.
O problema de Dirichlet surge de forma natural na electrostática, uma vez
que a fronteira é normalmente mantida com um dado potencial (por exemplo
através do uso de uma bateria ou de uma ligação à terra).
Exemplo 90 Consideremos a circunferência unitária. O potencial eléctrico
é mantido em ϕ = 0 na semi-circunferência inferior e em ϕ = 1 na semicircunferência superior, determinemos ϕ no interior do círculo.
3.5. APLICAÇÃO DAS APLICAÇÕES CONFORMES À EQUAÇÃO DO CALOR, À ELECTROST
Solução: vamos usar o procedimento geral para resolver o problema de
Drichlet, de transformar a região dada no semi-plano superior. Neste caso
podemos utilizar uma transformação linear fraccionária.
Tal como em relação à temperatura, é fisicamente razoável que o potencial
eléctrico seja limitado. Então, pela fórmula 3.2, a solução no semi-plano
superior será dada por
³y´
1
,
ϕ0 (x, y) = 1 − tan−1
π
x
então a solução no círculo unitário é
ϕ(x, y) = ϕ0 (f (x, y)),
onde f (z) = (z − 1)/i(z + 1) = u + iv, com
u=
2y
x2 + y 2 + 2x + 1
e
x2 + y 2 − 1
.
x2 + y 2 + 2x + 1
Temos finalmente que a solução é
µ
¶
1
1 − x2 − y 2
−1
ϕ(x, y) = 1 − tan
.
π
2y
v=−
As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são exibidas na figura???
FIGURAS
Hidrodinâmica
Se tivermos um fluxo incompressível e não viscoso, interessa-nos determinar o seu campo de velocidades, V (x, y). Sabemos de trás que "incompressível" significa que a divergência div V = 0 (dizemos que V é livre de
divergência). Vamos também assumir que V é livre de circulação, ou seja,
que V = gradϕ para algum ϕ a que chamaremos potencial de velocidade. Obviamente ϕ é harmónica, pois ∇2 V = div grad ϕ = 0. Então, se resolvermos
o problema em relação a ϕ obtemos imediatamente V através de V = grad ϕ.
Considerando o conjugado harmónico ψ de ϕ, à função analítica F =
ϕ + iψ chamamos potencial complexo. As curvas de ψ constante, têm V
84
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
como tangente (porquê?), então estas linhas podem ser interpretadas como
as linhas ao longo da quais se movem as partículas do fluido (ver figura ???).
A condição de fronteira natural é que V deve ser paralelo à fronteira (o
fluido flui paralelo às paredes). Isto significa que ∂ϕ/∂n = 0, temos então o
problema de Neumann em relação a ϕ.
Consideremos de novo o semi-plano superior. Um movimento fisicamente
aceitável obtém-se fixando V (x, y) = α = (α, 0) ou ϕ(x, y) = αx = Re(αz),
com α real. O fluxo correspondente a a V é paralelo ao eixo real, com
velocidade α. Note-se que neste caso ϕ não é limitado, pois o comportamento
no infinito para fluxos, temperaturas e potencial eléctrico, é distinto devido
às suas características físicas.
Então para determinar o fluxo numa região devemos transformar a região
so semi-plano superior e usar a solução ϕ(x, y) = αx, sendo α especificado
como a velocidade no infinito. É claro que, se f é uma aplicação conforme da
região dada no semi-plano superior, então o potencial complexo pretendido
é dado por F (z) = αf (z).
Exemplo 91 Determinemos o fluxo em torno da metade superior do cťrculo unitário, considerando a velocidade paralela ao eixo real e igual a α no
infinito.
solution Vamos primeiro transformar a região considerada, no semiplano superior, através da aplicação conforme z 7→ z + 1/z (Figura???).
Então Fα (z) = αz, é o potencial complexo no semi-plano superior, então o
potencial complexo pretendido é
1
F (z) = α(z + .
z
É conveniente usar coordenadas polares r e θ para expressar ϕ e ψ. Temos
então
µ
¶
1
cos θ
ϕ(r, θ) = α r +
r
e
µ
1
ψ(r, θ) = α r −
r
(Ver figura???)
¶
sin θ.
3.6. REPRESENTAÇÃO EM SÉRIE
3.6
85
Representação em série
Existe uma forma alternativa muito importante de definir função analítica.
Uma função f é analítica sse se pode representar, localmente, como uma
série de potências convergente. A esta série chamamos série de Taylor de f .
Também nos interessa investigar a representação em série de uma função que
é analítica numa vizinhança de um ponto excepto nesse ponto, dizemos então
que a função tem uma singularidade isolada nesse ponto. A série resultante,
chamada série de Laurent, fornece informações muito importantes sobre o
comportamento das funções perto das suas singularidades e este comportamento é a chave para o estudo dos resíduos e das suas aplicações. De agora
em diante, até final deste capítulo, remetemos todas as demonstrações que
não efectuarmos aqui para a referência [4], Caps. 3 e 4.
Definição 92 Diz-se que uma sequência zn de números complexos converge
para um número complexo z0 e denota-se zn → z0 se, para qualquer ² > 0,
existe um
| < ². Uma série
Pinteiro N tal que n > N implica que |zn − z0P
∞
infinita ∞
a
diz-se
convergente
para
S
e
escreve-se
k=1 k
k=1 ak = S se a
Pn
sequência dasPsomas parciais sn = k=1 ak convergir para S. Diz-se ainda
∞
que
k=1 ak é absolutamente convergente se a série dos módulos
P∞ a série
|a
|
fôr
convergente.
k=1 k
Definição 93 Seja fn : A → C uma sucessão de funções, todas definidas no
aberto A de C.
Diz-se que fn converge pontualmente para uma função f e escreve-se fn →
f pontualmente se, para cada z ∈ A, fn (z) → f (z).
Diz-se que fn converge uniformemente para uma função f e escreve-se
fn → f unif ormemente se, para qualquer ² > 0 existir N tal que n > N
implica que |fn (z) − f (z)|P
< ² para qualquer z ∈ A.
Uma série de funções ∞
pontualmente se a corresponk=1 gk (z) convergeP
n
dente sucessão das somas parciais sn (z) =
k=1 gk (z) convergir pontualmente e convergePuniformemente se a correspondente sucessão das somas
parciais sn (z) = nk=1 gk (z) convergir uniformemente.
P
n
Uma série de potências é uma série do tipo ∞
n=0 an (z − z0 ) , onde an
e z0 são números complexos fixos. Estas séries são de extrema importância,
pois, como vimos atrás no caso das funções elementares, representam funções
analíticas.
86
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
P
n
Teorema 94 Seja ∞
n=0 an (z−z0 ) uma série de potências. Existe um único
número 0 ≤ R ≤ +∞, chamado o raio de convergência da série, tal que se
|z − z0 | < R a série converge, e se |z − z0 | > R a série diverge. Mais
ainda, a convergência é uniforme e absoluta em cada disco fechado contido
em A = {z ∈ C||z − z0 | < R}. Não existe nenhum resultado geral sobre o
caso |z − z0 | = R.
Ao círculo A = {z ∈ C||z − z0 | < R} chamamos círculo de convergência
da série.
Temos
P∞ então que, npara cada z no interior do círculo de convergência, a
série n=1 an (z − z0 ) converge para um número complexo f (z), definindo
assim uma função f : A → C.
P
n
Teorema 95 Uma série de potências f (z) = ∞
n=0 an (z −z0 ) é uma função
analítica noP
interior do seu círculo de convergência, a sua derivada é dada
n−1
por f 0 (z) = ∞
e esta série tem exactamente o mesmo raio
n=1 nan (z − z0 )
de convergência que a inicial. Mais ainda, os coeficientes an são dados por
an = f (n) (z0 )/n!.
Vamos agora indicar alguns métodos muito simples para determinar o
raio de convergência R.
Teorema 96 Consideremos a série de potências
1. Se existir o limite
P∞
n=0
an (z − z0 )n .
|an |
,
n→∞ |an+1 |
lim
ele é igual a R, o raio de convergência da série.
2. Se existir o limite
ρ = lim
n→∞
p
n
|an |,
então R = 1/ρ. (Se ρ = 0 então R = ∞ e se ρ = ∞ então R = 0).
Temos então que qualquer série de potências define uma função analítica
no interior do seu círculo de convergência, mas será que qualquer função
analítica pode ser representada por uma série de potências? O próximo
teorema dá uma resposta positiva a esta questão.
3.6. REPRESENTAÇÃO EM SÉRIE
87
Teorema 97 (Teorema de Taylor) Seja f uma função analítica numa região
A. Seja z0 ∈ A e seja Ar = {z||z − z0 | < r} o maior disco possível centrado
em z0 e contido em A (se r = ∞, Ar = A = C) (ver Figura 3.6). Então,
para cada z ∈ Ar ),
∞
X
f (n) (z0 )
(z − z0 )n
n!
n=0
converge em Ar (ou seja, tem raio de convergência ≥ r), e temos
f (z) =
∞
X
f (n) (z0 )
n=0
n!
(z − z0 )n .
Chamamos a esta série, série de Taylor de f em torno de z0 .
Figura 3.7: Teorema de Taylor
Por exemplo, consideremos f (z) = ez . Sabemos que f é inteira e que
f (n) (z) = ez para qualquer n, logo f é analítica em 0 e f (n) (0) = 1 para
qualquer n. Temos então que
z
e =
∞
X
zn
n=0
n!
,
que é válida para qualquer z ∈ C, uma vez que f é inteira.
A série de Taylor em torno do ponto z0 = 0 é conhecida como série de
Mac-Laurin. Na tabela seguinte encontraremos as expansões de Mac-Laurin
de algumas funções elementares.
88
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Função
ez
sin z
cos z
log(1 + z)
(ramo principal)
Série
Mac-Laurin
P∞ de
zn
n!
Pn=0
∞
n+1 z 2n−1
(−1)
n=1
(2n−1)!
P∞
n z 2n
(−1)
(2n)!
Pn=0
∞
n−1 z n
(−1)
n=1
n!
Validade
C
C
C
|z| < 1
Quando f é analítica em torno de z0 , a série de Taylor permite-nos obter
para f (z) em torno de z0 , uma expansão em série de potências convergente.
Mas a série de Taylor não se aplica a funções tais como f (z) = 1/z ou
ez /z 2 , em torno de z0 = 0, pois elas não são analíticas nesse ponto. Para
tais funções existe outra expansão, a expansão de Laurent, que usa potências
inversas de z em vez de potências de z. Esta expansão é particularmente
importante no estudo dos pontos singulares das funções e leva-nos a outro
resultado fundamental da Análise Complexa, o Teorema dos Resíduos, que
enunciaremos mais à frente.
Seja h : [a, b] ⊂ R → C uma função, portanto podemos escrever h(t) =
u(t) + iv(t), definimos então
Z b
Z b
Z b
h(t)dt =
u(t)dt + i
v(t)dt.
a
a
a
Queremos extender esta definição a integrais de funções ao longo de curvas
em C, sendo que uma curva em C é, por definição, uma aplicação de classe
C 1 , γ : [a, b] → C.
Definição 98 Seja f : A ⊂ C → C contínua e seja γ : [a, b] → C uma
curva, com γ([a, b]) ⊂ A, definimos o integral de f ao longo de γ como
Z
Z b
f=
f (γ(t))γ 0 (t)dt.
γ
a
Temos então
Teorema 99 (Teorema de Laurent) Sejam r2 > r1 ≥ 0 e z0 ∈ C. Consideremos a região A = {z ∈ C|r1 < |z − z0 | < r2 } (veja a Figura 3.6).
São permitidos r1 = 0 ou r2 = ∞ ou ambos. Seja f analítica em A, então
podemos escrever
f (z) =
∞
X
n=0
n
an (z − z0 ) +
∞
X
n=1
bn
(z − z0 )n
3.6. REPRESENTAÇÃO EM SÉRIE
89
(a expansão de Laurent de f ), onde ambas as séries no lado direito da equação
convergem absolutamente em A. Os coeficientes são dados por
Z
1
f (τ )
an =
dτ, n = 0, 1, 2, · · ·
2iπ γ (τ − z0 )n+1
e
1
bn =
2iπ
Z
f (τ )(τ − z0 )n−1 dτ, n = 1, 2, · · ·
γ
onde γ é uma qualquer circunferência com centro em z0 e raio r, r1 < r < r2 .
Figura 3.8: Região de aplicação do Teorema de Laurent com z0 = 0.
Interessa-nos especialmente o caso em que r1 = 0. Nesse caso, f é
analítica em {z|0 < |z − z0 | < r2 }, ou seja, no círculo de centro em z0 e
raio r2 , excluindo o ponto z0 . Chamamos a este tipo de vizinhança, vizinhança apagada de z0 . Neste caso dizemos que z0 é uma singularidade isolada
de f . Podemos então expandir f em série de Laurent
f (z) = · · ·
bn
+ (z−z
n + ···
0)
b1
+ z−z0 + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · ,
válida para 0 < |z − z0 | < r2 .
Definição 100 Se f é analítica numa região A que não contém z0 mas que
contém uma vizinhança apagada de z0 , diz-se que z0 é uma singularidade
isolada de f .
90
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Se z0 é uma singularidade isolada de f , tal que apenas um número finito
de coeficientes bn na expansão de Laurent de f em torno de z0 são não nulos,
então z0 é um polo de f . Se k é o maior inteiro tal que bk 6= 0, diz-se que
z0 é um polo de ordem k. Aos polos de primeira ordem, chamamos polos
simples. Se um número infinito de bk ’s fôr não nulo, z0 é uma singularidade
essencial.
Chamamos a b1 , o resíduo de f em z0 .
Se todos os bk ’s forem nulos, dizemos que z0 é uma singularidade removível.
Uma função que é analítica em A excepto nos polos em A, diz-se meromorfa em A, e diz-se meromorfa se fôr meromorfa em C.
Então f tem um polo de ordem k em z0 se e só se a sua expansão de
Laurent em torno de z0 fôr da forma
bk
b1
+ ··· +
+ a0 + a1 (z − z0 ) + · · · .
k
(z − z0 )
z − z0
bk
b1
A parte (z−z
k + · · · + z−z , chamada parte principal de f em z0 , diz-nos o
0
0)
"quão singular" é f em z0 .
Se f tiver uma singularidade removível em z0 , então
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n
n=0
é uma série de potências convergente. Daí, se fizermos f (z0 ) = a0 , f fica
analítica em z0 . Por outras palavras, f tem uma singularidade removível em
z0 se e só se puder ser definida em z0 de forma a ficar analítica nesse ponto.
3.7
Resíduos
Seja f analítica numa região A e seja z0 ∈ A. Dizemos que f tem um zero
de ordem k em z0 se e só se f (z0 ) = · · · = f (k−1) (z0 ) = 0 e f (k) (z0 ) 6= 0.
Como veremos mais à frente, determinar a expansão de Laurent não é
tão importante como calcular o resíduo b1 e este cálculo pode ser feito sem
determinar a série de Laurent, usando as técnicas do teorema seguinte.
3.7. RESÍDUOS
91
Teorema 101 Seja f meromorfa numa região A com um polo em z0 ∈ A,
então podemos determinar a ordem do polo e o resíduo de f em z0 , através
da seguinte tabela:
Fórmula para o
Tipo de
resíduo em z0
Função
Teste
Singularidade
Res(f, z0 ) =
1-f (z)
lim (z − z0 )f (z) = 0
removível
0
z→z0
2-f (z) =
g(z)
h(z)
3-f (z)
z→z0
4-f (z) =
g(z)
h(z)
5-f (z) =
g(z)
h(z)
6-f (z) =
g(z)
h(z)
7-f (z) =
g(z)
(z−z0 )2
8-f (z) =
g e h têm zeros
da mesma ordem
lim (z − z0 )f (z)
g(z)
h(z)
9-f (z)
10-f (z) =
existe e é 6= 0
g(z0 ) 6= 0, h(z0 ) = 0,
h0 (z0 ) 6= 0
g tem um zero
de ordem k
e h de ordem k + 1
g(z0 ) 6= 0
h(z0 ) = 0 = h0 (z0 )
h00 (z0 ) 6= 0
g(z0 ) 6= 0
g(z0 ) = 0, g 0 (z0 ) 6= 0,
h(z0 ) = 0 = h0 (z0 )
= h00 (z0 ), h000 (z0 ) 6= 0
k é o menor inteiro
tal que ∃ lim ϕ(z)
z→z0
onde
ϕ(z) = f (z)(z − z0 )k
g(z)
h(z)
g tem um zero
de ordem l
e h de ordem l + k
removível
polo
simples
polo
simples
0
lim (z − z0 )f (z)
z→z0
g(z0 )
h0 (z0 )
polo
simples
(z0 )
(k + 1) hg(k+1)
(z0
polo de
ordem 2
2 hg00(z(z00)) −
polo de
ordem 2
g 0 (z0 )
polo de
ordem 2
3 hg000(z(z00)) −
polo de
ordem k
lim ϕ(k−1)!(z)
(k)
0
2 g(z0 )h000 (z0 )
3 [h00 (z0 )]2
00
3 g 0 (z0 )h(iv) (z0 )
2 [h000 (z0 )]2
(k−1)
z→z0
(k−1)
polo de
ordem k
lim ϕ(k−1)!(z)
z→z0
onde
ϕ(z) = (z − z0 )k f (z)
O Teorema dos resíduos, que enunciaremos em seguida, é um dos resultados mais importantes da análise complexa e leva-nos rapidamente a aplicações importantes, algumas das quais apresentaremos na próxima secção.
Teorema 102 (Teorema dos resíduos) Seja A uma região com z1 , · · · , zn ∈
92
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
A. Seja f analítica em C\{z1 , · · · , zn } (portanto z1 , · · · , zn ∈ A são as singularidades isoladas de f em A). Seja γ uma curva fechada, que se pode
deformar continuamente num ponto em A e tal que nemhum dos zi lhe pertence. Então
Z
n
X
f = 2iπ Res(f, zi )I(γ, zi ),
γ
i=1
onde I(γ, zi ) é o número de voltas dado pela curva γ em torno do ponto zi ,
multiplicado pelo sinal + caso sejam efectuadas no sentido anti-horário e pelo
sinal − caso sejam efectuadas no sentido horário (ver Figura 3.7).
Figura 3.9: Índice de uma curva em relação a um ponto.
R
Exemplo 103 Consideremos γ dz/(z 2 − 1), onde γ é a circunferência com
centro em 0 e raio 2 percorrida no sentido anti-horário. A função 1/(z 2 −1) =
1/[(z − 1)(z + 1)] tem singularidades nos pontos −1 e 1. Aplicando 3 do
Teorema 101, temos que são ambos polos simples e que
Res(f, −1) = lim
z+1
1
=− ,
−1
2
z→−1 z 2
da mesma forma temos Res(f, 1) = 1/2. Por outro lado, I(γ, −1) = I(γ, 1) =
1, logo
µ
¶
Z
1 1
1
dz = 2iπ − +
= 0.
2
2 2
γ z −1
3.8. CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIOS
3.8
93
Cálculo de integrais impróprios
Nesta secção vamos descrever alguns métodos, baseados no Teorema dos
resíduos, para calcular integrais impróprios de funções reais de variável real.
Parte destes métodos encontram-se resumidos na tabela contida no teorema
seguinte.
Teorema 104 São válidos os resultados resumidos na tabela seguinte.
Tipo de integral
1-
2-
R∞
−∞
f (x)dx
R∞
P (x)
dx
−∞ Q(x)
3a-
R∞
−∞
eiax f (x)dx
R∞
cos(ax)f (x)dx
b- R−∞
∞
sin(ax)f (x)dx
−∞
4-
R 2π
0
R(cos θ, sin θ)dθ
Condições
f tem um número finito
de polos em C, nenhum
dos quais no eixo real e
|f (z)| ≤ M/|z|2
para |z| suf. grande
P e Q polinómios;
grau Q ≥ grau P + 2
Q não tem zeros reais
a > 0; |f (z)| ≤ M/|z|
para |z| suf. gde. e f
não tem
polos no eixo real;
ou f (z) = P (z)/Q(z)
com grau
Q ≥ 1+grau P e
Q não tem zeros reais
f real no eixo real
R racional e
R(cos θ, sin θ)
contínua em θ
Fórmula
R∞
f (x)dx
=
−∞


resíduos
de
f
P
2iπ  no semi-plano 
superior
R ∞ P (x)
dx =
−∞ Q(x)


resíduos
de
P/Q
P

2iπ  no semi-plano
R ∞ iax superior
e f (x)dx = I =
−∞

iaz
res.
de
e
f
(z)
P
2iπ  no semi-plano 
superior
Se a < 0,I =

res. de eiaz f (z)
P
−2iπ  no semi-plano 
inferior
R∞
cos(ax)f (x)dx = Re I
R−∞
∞
sin(ax)f (x)dx = Im I
R−∞
2π
R(cos θ, sin θ)dθ = 2iπ×
0 µ
¶
P res. de f "dentro"
do círculo unitário
f (z)¡=¡
¢
¡
¢¢
1
R 21 z + z1 , 2i1 z − z1 .
iz
94
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
5-
6-
R∞
0
xa−1 f (x)dx
R∞
−∞
f (x)dx
a > 0 e f tem um número
finito de polos, nenhum
dos quais no eixo real
positivo; |f (z)| ≤ M/|z|b
para |z| suf. grande, e
|f (z)| ≤ M/|z|d , d < a,
para |z| → 0 ou
f = P/Q e Q não tem
zeros
no eixo real positivo;
0 < a < deg Q − deg P
e nQ − nP < a onde nQ
é a ordem do zero de Q
em 0 e nP a ordem do
zero de P em 0
R ∞ a−1
−πai
x f (x)dx = −πe
×
sin(πa) 
0 
a−1
res. de z f (z)
P

 nos polos de f
excluíndo 0
usando o ramo
0 < arg z < 2π
O mesmo que em (1)
excepto que são permitidos
polos simples no eixo real
f (x)dx
=


res.
de
f
no
P

2πi  semi-plano
P superior
+πi (res. no eixo real)
R∞
−∞
R∞
7-
R∞
P (x)
dx
−∞ Q(x)
8a-
R∞
−∞
eiax f (x)dx
bR∞
cos(ax)f (x)dx
R−∞
∞
sin(ax)f (x)dx
−∞
P (x)
dx
−∞ Q(x)

O mesmo que em (2)
excepto que são
permitidos polos
simples no eixo real
=

res.
de
P/Q
P
2πi  no semi-plano 
P superior
+πi (res. no eixo real)
O mesmo que em (3)
excepto que são
permitidos polos
simples no eixo real
R∞
i. a > 0. −∞ eiax f (x)dx =
I =µ2πi×
¶
P res. de eiaz f (z) no
Psemiplano superior
+πi (res. no eixo real)
ii. µ
a < 0. I = −2πi×
¶
P res. de eiaz f (z) no
Psemiplano inferior
+πi (res. no eixo real)
f real no eixo real;
são permitidos polos
simples no eixo real
R∞
cos(ax)f (x)dx = Re I
R−∞
∞
sin(ax)f (x)dx = Im I
−∞
Se a < 0, usa-se o
semiplano inferior
3.9. EXERCÍCIOS
3.9
95
Exercícios
Exercício 55 Escreva os seguintes números complexos na forma a + bi:
1. (2 + 3i) + (4 + i).
2. (2 + 3i)(4 + i).
3.
2+3i
.
4+i
4. (8 + 6i)2 .
5.
1
i
+
3
.
1+i
Exercício 56 Considerando z = x + iy, determine a parte real e a parte
imaginária dos seguintes números complexos:
1.
1
.
z2
2.
1
.
3z+2
3.
z+1
.
2z+5
4. z 3 .
Exercício 57 Mostre que, para qualquer k ∈ Z, temos
i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i.
Exercício 58 Resolva as seguintes equações:
1. z 5 − 2 = 0.
2. z 4 + i = 0.
Exercício 59 Determine o conjugado complexo de
(3 + 8i)4
.
(1 + i)10
Exercício 60 Escreva cos 5z e sin 5z em função de sin z e cos z.
Exercício 61 Calcule todos os valores de: log 1, log i, log −i, log(1 + i).
96
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Exercício 62 Para que valores de z temos que (eiz ) = ei z ?
Exercício 63 Usando a representação trigonométrica, demonstre que a aplicação z 7→ z + 1/z transforma a circunferência |z| = 1 no intervalo [−2, 2]
do eixo real.
Exercício 64 Determine os conjuntos onde as seguintes funções são analíticas e calcule as suas derivadas.
1. (z + 1)3 .
2. z + z1 .
3.
4.
¡
¢10
1
z−1
.
1
.
(z 3 −1)(z 2 +2)
Exercício 65 Demonstre que, se f = u + iv é inteira e ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0,
então f 0 é constante.
Exercício 66 Derive e indique o domínio de analiticidade das seguintes
funções:
1. z 2 + z.
2. 1/z.
3. sin z/ cos z.
z 3 +1
4. e z−1 .
Exercício 67 Determine se existem os seguintes limites complexos e, em
caso afirmativo, determine o seu valor.
z
1. lim e z−1 .
z→0
2. lim sinz|z| .
z→0
Exercício 68 Será verdade que | sin z| ≤ 1 ∀z ∈ C?
3.9. EXERCÍCIOS
97
Exercício 69 Determine os conjugados harmónicos de cada uma das seguintes
funções:
p
1. u(x, y) = log x2 + y 2 .
2. u(x, y) = ex cos y.
Exercício 70 Verifique directamente que as curvas de nível de Reez e Imez
se intersectam ortogonalmente.
Exercício 71 Considere f = u+iv, onde u(x, y) = 2x2 +y 2 e v(x, y) = y 2 /x.
Mostre que as curvas de nível de u e v se intersectam ortogonalmente, mas
que f não é analítica.
Exercício 72 Considere a função harmónica u(x, y) = 1 − y + x(x2 + y 2 )
no semi-plano superior (y > 0). Qual é a função harmónica correspondente
no primeiro quadrante (x > 0, y > 0), através da transformação z 7→ z 2 ?
Exercício 73 Prove que, se T1 e T2 forem ambas transformações lineares
fraccionárias, então T1 ◦T2 também é uma transformação linear fraccionária.
Exercício 74 Sendo a, b, c, d números reais tais que ad > bc, mostre que
T (z) = (az + b)/(cz + d) deixa invariante o semi-plano superior.
Exercício 75 Encontre uma aplicação conforme que transforme:
1. {z : 0 < arg z < π/8} no círculo unitário.
2. C\{x + iy : x ≤ 0, y = 0} em {z : −π < Im z < π}.
3. A = {z : Re z < 0, 0 < Im z < π} no primeiro quadrante.
4. A = {z : |z − 1| < 1} em B = {z : Re z > 1}.
Exercício 76 Considere uma transformação linear fraccionária da forma
µ
¶
z−b
f (z) = a
.
z−d
Demonstre que
1. As circunferências pelos pontos b e d são transformadas em rectas que
passam pela origem.
98
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
2. As circunferências de Apolónio, com equação |z − b|/|z − d| = r/|a| são
tranformadas em circunferências de raio r, centradas na origem.
Exercício 77 Obtenha uma fórmula para determinar a temperatura na região
{z : 0 ≤ arg z ≤ π/4} sujeita aos valores de fronteira T = 0 no semi-eixo
real positivo e T = 1 na semi-recta {z : arg z = π/4}.
Exercício 78 Determine o potencial eléctrico no primeiro quadrante, sujeito
às condições de fronteira: ϕ = 1 no eixo imaginário, ϕ = 0 no eixo real à
esquerda de 1 e ϕ = 1 no eixo real à direita de 1.
Exercício 79 Determine o potencial eléctrico na meia faixa {x+iy : −π/2 <
x < π/2, y > 0}, sujeito às condições de fronteira: ϕ = 1 nas semi-rectas
x = ±π/2 e ϕ = 0 no eixo real, entre −π/2 e π/2.
Exercício 80 Determine o fluxo em torno do círculo unitário, se o fluxo
fizer um ângulo θ com o eixo real e tiver velocidade α no infinito.
Exercício 81 Obtenha uma fórmula para determinar o fluxo ilustrado na
próxima figura, com velocidade α no infinito.
Exercício 82 Determine o raio de convergência de cada uma das seguintes
séries de potências:
1.
∞
P
nz n .
n=0
2.
∞ n
P
z
n=0
3.
∞
P
en
.
n
n! nz n .
n=0
4.
∞ n
P
z
n=0
n
.
Exercício 83 Determine a série de Taylor das seguintes funções em torno
dos pontos indicados (indique apenas os primeiros termos quando apropriado).
1. sin z 2 , z0 = 0.
3.9. EXERCÍCIOS
99
2. e2z , z0 = 0.
3.
sin z
,
z
z0 = 1.
4. z 2 ez , z0 = 0.
5. ez sin z, z0 = 0.
Exercício 84 Derive a expansão de Taylor de 1/(1 − z) para obter as expansões de
1
1
e de
2
(1 − z)
(1 − z)3
Exercício 85 Determine a expansão de Laurent das seguintes funções em
torno de z0 = 0:
¡ ¢
1. sin z1 .
2.
1
.
z(z+1)
3.
z
.
z+1
4.
ez
.
z2
Exercício 86 Determine a expansão de Laurent de
regiões:
1
z(z−1)(z−2)
nas seguintes
1. 0 < |z| < 1.
2. 1 < |z| < 2.
Exercício 87 Determine os resíduos das seguintes funções nos pontos indicados:
1.
1
;
z 2 −1
z = 1.
2.
z
;
z 2 −1
z = 1.
3.
ez −1
;
z2
z = 0.
4.
ez −1
;
z
z = 0.
5.
ez
;
z−1
2
z = 1.
100
6.
7.
8.
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
2
ez
;
(z−1)2
z = 0.
¡ cos z−1 ¢2
z
z2
;
z 4 −1
; z = 0.
iπ
z=e2.
Exercício 88 Determine todas as singularidades das seguintes funções e calcule os resíduos nesses pontos:
1.
1
.
ez −1
2. sin
¡1¢
z
.
3.
1
.
z 3 (z+4)
4.
1
.
z 2 +2z+1
5.
1
.
z 3 −3
Exercício 89 Se f1 e f2 tiverem polos simples em z0 , mostre que f1 f2 tem
um polo de segunda ordem em z0 . Determine uma fórmula para o resíduo.
Exercício 90 Calcule os seguintes integrais:
1.
Z
γ
dz
,
(z + 1)3
onde (a) γ é o quadrado com vértices 0, 1, 1 + i, i; (b) γ é a circunferência de raio 2 centrada em 0.
2.
Z
γ
z2
z
dz,
+ 2z + 5
onde γ é a circunferência unitária.
3.
Z
γ
dz
,
−1
ez
onde γ é a circunferência de raio 9 centrada em 0.
3.9. EXERCÍCIOS
4.
101
Z
γ
5z − 2
dz,
z(z − 1)
onde γ é qualquer circunferência de centro em 0 e raio maior que 1.
5.
Z
2
γ
e−z
dz,
z2
onde γ é o quadrado com vértices −1 − i, 1 − i, −1 + i, 1 + i.
Exercício 91 Calcule os seguintes integrais:
R
dz
1.
.
(1−z)3
|z|=1/2
R
2.
|z+1|=1/2
R
3.
|z−1|=1/2
R
4.
|z|=1/2
dz
.
(1−z)3
ez
dz.
(1−z)3
dz
.
z(1−z)3
Exercício 92 Calcule os seguintes integrais impróprios:
1.
+∞
R
−∞
2.
+∞
R
0
3.
+∞
R
0
4.
+∞
R
0
5.
+∞
R
0
dx
.
x2 −2x+4
dx
.
1+x6
cos mx
dx.
1+x4
x sin x
dx.
1+x2
xa−1
dx,
1+x3
0 < a < 3.
102
CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Capítulo 4
Sistemas de Equações Diferenciais
O estudo de equações diferenciais de ordem superior pode ser reduzido ao caso
de ordem 1, através da introdução de sistemas de equações. Por exemplo, a
equação de segunda ordem
y 00 + 2ty 0 − y = et
pode transformar-se num sistema de duas equações de primeira ordem introduzindo duas funções incógnitas y1 e y2 , onde
y1 = y e y2 = y10 .
Ficamos com y20 = y100 = y 00 e a equação anterior pode escrever-se como o
sistema de duas equações de primeira ordem:
½ 0
y1 = y2
y20 = y1 − 2ty2 + et .
As equações não podem ser resolvidas separadamente pelos métodos das
equações de primeira ordem, pois cada uma envolve duas funções incógnitas.
Neste capítulo vamos considerar siatemas de n equações diferenciais de
primeira ordem envolvendo n funções incógnitas y1 , · · · , yn . Estes sistemas
têm a forma

0

 y1 = p11 (t)y1 + p12 (t)y2 + · · · + p1n (t)yn + q1 (t)
..
(4.1)
.

 y 0 = p (t)y + p (t)y + · · · + p (t)y + q (t).
n1
1
n2
2
nn
n
n
n
103
104
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
As funções pik e qi são funções dadas, definidas num intervalo J e as funções
y1 , · · · yn são as funções incógnitas a determinar. Os sistemas deste tipo
chamam-se sistemas lineares de primeira ordem.
Uma equação diferencial linear de ordem n pode sempre ser transformada
num sistema linear de primeira ordem. Consideremos a equação
y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = R(t),
onde os coeficientes ai são funções dadas. Para transformar esta equação
num sistema basta-nos fazer
0
y1 = y, y2 = y10 , · · · , yn = yn−1
e reescrever a equação como o sistema


y10 = y2


 y 0 = y3
2
..

.


 y 0 = y y 0 = −a (t)y − a y − · · · − a (t)y + R(t).
n n
n
1
n−1 2
1
n
n−1
O estudo dos sistemas pode ser consideravelmente simplificado pelo uso
de notação matricial. Consideremos o sistema geral 4.1 e as funções
Y (t) = (y1 (t), · · · , yn (t)), Q(t) = (q1 (t), · · · , qn (t)), P (t) = [pij (t)].
Identificando os vectores com matrizes coluna do tipo n×1, podemos escrever
o sistema 4.1 como
Y 0 = P (t)Y + Q(t).
Um problema de valor inicial para este sistema corresponde a determinar
uma função vectorial Y que o satsifaça e que satisfaça uma condição inicial
do tipo Y (a) = B onde a ∈ J e B = (b1 , · · · , bn ) é um vector n-dimensional.
No caso n = 1 sabemos da Análise II que, se P e Q forem contínuas em
J, todas as soluções são dadas explicitamente pela fórmula
Z x
A(x)
A(x)
e−A(t) Q(t)dt,
(4.2)
T (x) = e
Y (a) + e
Rx
a
onde A(x) = a P (t)dt, e a é um ponto qualquer de J. Vamos mais à frente
verificar que esta fórmula pode ser generalizada aos sistemas, ou seja, quando
P (t) é uma função matricial do tipo n × n e Q(t) é uma função vectorial ndimensional. Para fazer isto, temos primeiro que dar significado a integrais
de matrizes e exponenciais de matrizes.
4.1. FUNÇÕES MATRICIAIS
4.1
105
Funções matriciais
A generalização dos conceitos de integral e de derivada para
R b funções matriciais é imediato. Se P (t) = [pij (t)], definimos o integral a P (t)dt através
de
·Z
¸
Z
b
b
P (t)dt =
a
pij (t)dt .
a
Ou seja, o integral da matriz P (t) é a matriz dos integrais das entradas de
P (t). É fácil verificar (exercício) que as propriedades de linearidade dos
integrais se mantêm para as funções matriciais.
Analogamente, dizemos que uma função matricial P = [pij ] é contínua
em t se cada entrada pij fôr contínua em t. Da mesma forma, uma função
matricial é diferenciável se todas as suas entradas o forem e a derivada P 0
define-se derivando cada uma das entradas,
P 0 (t) = [p0ij (t)].
É fácil verificar (exercício) que se mantêm as regras de derivação para somas
e produtos, ou seja,
(aP + bQ)0 = aP 0 + bQ0 e (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 ,
sempre que as operações estejam definidas. A regra da cadeia também persiste, ou seja, se F (t) = P (g(t)), onde P é uma função matricial e g uma
função escalar, ambas diferenciáveis, então
F 0 (t) = g 0 (t)P 0 (g(t)).
4.2
Exponencial de uma matriz
Seja A = [aij ] uma matriz do tipo n × n com entradas reais ou complexas.
Queremos definir a exponencial eA , de forma a que se mantenham as propriedades fundamentais das exponenciais real e complexa usuais, em particular, que
etA esA = e(t+s)A para quaisquer reais t e s
e que
e0 = I,
106
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
onde 0 e I são respectivamente a matriz nula e a matriz identidade do tipo
n × n. Poderia parecer natural definir eA como sendo a matriz [eaij ], mas tal
definição é inaceitável, pois não satisfaz nenhuma das propriedades anteriores.
Em vez disso, vamos definir eA através da expansão em série de potências.
Definição 105 Sendo A uma matriz do tipo n × n com entradas reais ou
complexas, definimos a exponencial eA como sendo a matriz n × n dada pela
série de potências
∞
X
Ak
A
e =
.
k!
k=0
Para que esta definição faça sentido, é necessário que a série de potências
defina realmente ume matriz, isto é dado pelo seguinte teorema, o qual não
demonstraremos aqui.
Teorema 106 Seja A uma matriz do tipo n × n com entradas reais ou complexas,então a série de potências
∞
X
Ak
k=0
k!
é convergente, no sentido em que cada uma das suas entradas é uma série
numérica convergente.
Note-se que esta definição implica que e0 = I, onde 0 é a matriz nula e
I a matriz identidade. Mais propriedades da exponencial de matrizes serão
em seguida desenvolvidas com a ajuda de equações diferenciais.
4.3
A equação diferencial matricial F 0(t) = AF (t)
Seja t um número real e A uma matriz do tipo n × n, e seja E(t) a matriz
dada por
E(t) = etA .
Note-se que A é uma matriz constante, portanto E é uma função de t.
Teorema 107 Para qualquer número real t a função matricial E definida
por E(t) = etA satisfaz a equação diferencial matricial
E 0 (t) = E(t)A = AE(t).
4.3. A EQUAÇÃO DIFERENCIAL MATRICIAL F 0 (T ) = AF (T )
107
Dem. Da definição de exponencial de uma matriz, temos que
E(t) =
∞
X
(tA)k
k=0
k!
=
∞ k k
X
t A
k!
k=0
.
(k)
Seja cij a entrada ij de Ak . Temos então que
"∞
#
∞ k k
k (k)
X
X
t
c
t A
ij
=
.
k!
k!
k=0
k=0
Cada entrada desta matriz é uma série de potências de t convergente para
todos os t, logo a sua derivada existe para todos os t e é dada pela série
∞
X
ktk−1
k=1
k!
(k)
cij
=
∞
X
tk
k=0
k!
(k+1)
cij
.
Isto mostra que a derivada E 0 (t) existe e é dada pela série de potências
̰
!
∞
k
k
X
X
t k+1
t k
E 0 (t) =
A
=
A A = E(t)A.
k!
k!
k=0
k=0
Na última equação usámos a propriedade Ak+1 = Ak A, mas como A comuta
com Ak , podíamos ter escrito Ak+1 = AAk para obter E 0 (t) = AE(t).
Para demonstrarmos o Teorema de Unicidade que caracteriza todas as
soluções da equação diferencial F 0 (t) = AF (t) necessitamos do seguinte resultado que não vamos aqui demonstrar.
Lema 108 Para qualquer matriz A do tipo n × n e qualquer escalar t, temos
que
etA e−tA = I.
Daí etA é invertível e a sua inversa é dada por e−tA .
Teorema 109 (da Unicidade) Sejam A e B matrizes constantes do tipo
n × n. Então a única matriz do tipo n × n que satisfaz o problema de valor
inicial
F 0 (t) = AF (t), F (0) = B
para −∞ < t < +∞ é
F (t) = etA B.
108
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Dem. É imediato verificar que etA B é solução. Seja agora F uma solução
qualquer e consideremos a função matricial
G(t) = e−tA F (t).
Derivando este produto obtemos
G0 (t) = e−tA F 0 (t) − Ae−tA F (t) = e−tA AF (t) − e−tA AF (t) = 0.
Logo G(t) é uma matriz constante e
G(t) = G(0) = F (0) = B.
Ou seja, e−tA F (t) = B. Multiplicando por etA obtemos o resultado desejado.
A equação diferencial vectorial Y 0 (t) = AY (t) onde A é uma matriz constante do tipo n × n e Y é uma função vectorial n-dimensional (identificada
com uma matriz coluna n×1) diz-se um sistema linear e homogéneo com coeficientes constantes.Estamos agora em condições de demonstrar um teorema
de existência e unicidade de solução para sistemas deste tipo.
Teorema 110 Seja A uma matriz constante do tipo n×n e seja B um vector
de dimensão n. Então o problema de valor inicial
Y 0 (t) = AY (t), Y (0) = B,
tem uma solução única no intervalo −∞ < t < +∞. Esta solução é dada
pela fórmula
Y (t) = etA B.
Mais geralmente, a única solução do problema de valor inicial
Y 0 (t) = AY (t), Y (a) = B,
é dada por
Y (t) = e(t−a)A B.
Dem. Derivando a igualdade Y (t) = etA B obtemos Y 0 (t) = AetA B =
AY (t). Como Y (0) = B esta função é solução da equação.
Para demonstrarmos que é a única solução, tomemos Z(t) outra função
vectorial que satisfaça Z 0 (t) = AZ(t) com Z(0) = B, e seja G(t) = e−tA Z(t).
4.3. A EQUAÇÃO DIFERENCIAL MATRICIAL F 0 (T ) = AF (T )
109
É fácil verificar que G0 (t) = 0, logo G(t) = G(0) = Z(0) = B, ou seja,
e−tA Z(t) = B e Z(t) = etA B = Y (t). A demonstração do caso geral com
valor inicial Y (a) = B processa-se exactamente da mesma forma.
A lei
dos expoentes eA+B = eA eB nem sempre se verifica para exponenciais de
matrizes. No entanto não é difícil demonstrar que se verifica no caso em que
as matrizes A e B comutam.
Teorema 111 Sejam A e B duas matrizes do tipo n × n que comutam,
AB = BA. Então
eA+B = eA eB .
Dem. Da equação AB = BA deduzimos que
A2 B = A(BA) = (AB)A = (BA)A = BA2 ,
ou seja, B comuta com A2 . Por indução, B comuta com qualquer potência de
A. Escrevendo etA como uma série de potências concluímos que B também
comuta com etA para qualquer real t.
Seja então F a função matricial definida pela equação
F (t) = et(A+B) − etA etB .
Derivando F (t) e usando o facto de que B comuta com etA temos que
F 0 (t) = (A+B)et(A+B −AetA etB −BetA etB = (A+B)(et(A+B −etA etB ) = (A+B)F (t).
Pelo Teorema da unicidade temos que
F (t) = et(A+B) F (0).
Mas F (0) = 0, logo F (t) = 0 para todos os t, ou seja, et(A+B) = etA etB e com
t = 1 concluímos o resultado.
Exemplo 112 Como as matrizes sA e tA comutam para quaisquer escalares
s e t, temos que
esA etA = e(s+t)A .
110
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
4.4
Métodos para calcular etA
O Teorema 110 fornece uma fórmula explícita para as soluções de sistemas
homogéneos com coeficientes constantes, contudo mantém-se o problema de
calcular a matriz exponencial etA . Para calcular directamente etA a partir
k
da definição teríamos que calcular todas as potências
A para k =
P∞ A k de
(k)
(k)
0, 1, 2, · · · e depois determinar a soma de cada série k=0 t cij /k!, onde cij
é a entrada ij da matriz Ak . Geralmente isto é uma missão impossível, a
não ser que A seja uma matriz cujas potências sejam fáceis de calcular. Por
exemplo, se A fôr uma matriz diagonal, digamos
A = diag(λ1 , · · · , λn ),
então cada potência Ak de A é a matriz diagonal
Ak = diag(λk1 , · · · , λkn ).
Daí, neste caso etA é a matriz diagonal dada por
̰
!
∞
k
X tk
X
t
etA = diag
λk1 , · · · ,
λkn = diag(etλ1 , · · · , etλn ).
k!
k!
k=0
k=0
Outro caso fácil de lidar é quando A é uma matriz diagonalizável, ou seja,
se existir uma matriz invertível C tal que C −1 AC é uma matriz diagonal,
digamos C −1 AC = D, temos então que A = CDC −1 , de onde se deduz que
A2 = CDC −1 CDC −1 = CD2 C −1
e, mais geralmente,
Ak = CDk C −1 .
Temos então que, neste caso,
etA =
∞
X
tk
k=0
k!
Ak =
∞
X
tk
k=0
k!
Ã
CDk C −1 = C
∞
X
tk
k=0
k!
!
Dk
C −1 = CetD C −1 .
Aqui a dificuldade está em determinar C e a sua inversa, pois uma vez
que estas matrizes sejam conhecidas, é fácil calcular etA . Infelizmente nem
todas as matrizes são diagonalizáveis.
4.4. MÉTODOS PARA CALCULAR E T A
111
Exemplo 113 Vamos determinar a solução do sistema linear
½
y10 = 5y1 + 4y2
y20 = y1 + 2y2
sujeito às condições iniciais y1 (0) = 2, y2 (0) = 3. Em forma matricial o
sistema fica
·
0
Y (y) = AY (t), Y (0) =
2
3
¸
·
, onde A =
5 4
1 2
¸
.
Pelo Teorema 110 a solução é Y (t) = etA B, daí temos que calcular etA .
Esta matriz ·tem valores
¸ próprios λ1 = 6, λ2 = 1, existe então uma matriz
a b
invertível C =
tal que C −1 AC = D, onde D = diag(λ1 , λ2 ).Para
c d
determinar C escrevemos AC = CD, o que dá
·
5 4
1 2
¸·
a b
c d
¸
·
=
a b
c d
¸·
6 0
0 1
¸
.
Multiplicando as matrizes, vemos que esta equação é satisfeita por quaisquer
escalares a, b, c, d que satisfaçam a = 4c e b = −d. Tomando b = d = 1
ficamos com
·
¸
·
¸
1 1
4 −1
1
−1
C=
eC =
.
1 1
5 −1 4
Daí
·
e
tA
tD
= Ce C
−1
¸ · 6t
¸·
¸
4 −1
e 0
1
1
=
t
· 1 6t1 t 0 6t e t ¸−1 4
4e + e 4e − 4e
= 15
.
e6t − et e6t + 4et
1
5
Concluímos finalmente que a solução do sistema é dada por
·
y1
y2
¸
1
=
5
·
4e6t + et 4e6t − 4et
e6t − et e6t + 4et
¸·
isto é,
y1 = 4e6t − 2et , y2 = e6t + 2et .
2
3
¸
,
112
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Existe um método geral para calcular etA , chamado Método de Putzer.
Contudo este método é um pouco complicado, existindo métodos mais simples em alguns casos específicos. No resto desta secção vamos apresentar
métodos expeditos para calcular etA nos seguintes casos especiais. (a) Quando
todos os valores próprios de A são iguais; (b) quando todos os valores próprios
de A são distintos; (b) Quando A tem exactamente dois valores próprios, um
dos quais com multiplicidade 1.
Teorema 114 Seja A uma matriz do tipo n × n com todos os seus valores
próprios iguais a λ, então
etA = eλt
n−1 k
X
t
k!
k=0
(A − λI)k .
Teorema 115 Seja A uma matriz do tipo n × n com n valores próprios
distintos λ1 , λ2 , · · · , λn , então
tA
e
n
X
etλk Lk (A),
=
k=1
onde
Lk (A) =
n
Y
j=1
j 6= k
A − λj I
para k = 1, 2, · · · , n.
λk − λj
Estes polinómios têm o nome de coeficientes de interpolação de Lagrange.
Teorema 116 Seja A uma matriz do tipo n × n (n ≥ 3) com dois valores
próprios distintos λ e µ, tais que λ tem multiplicidade n − 1 e µ tem multiplicidade 1. Temos então que
(
)
n−2 k
n−2 k
µt
λt
X
X
e
e
t
t
(A−λI)k +
−
(µ − λ)k (A−λI)n−1 .
etA = eλt
n−1
n−1
k!
(µ
−
λ)
(µ
−
λ)
k!
k=0
k=0
Com base nestes resultados, vamos em seguida enunciar as fórmulas explícitas para o cálculo de etA quando A é uma matriz quadrada de dimensão
n ≤ 3.
4.5. EXERCÍCIOS
113
Caso 1 (A do tipo 2 × 2, com ambos os valores próprios iguais a λ)
etA = eλt (1 − λt)I + teλt A.
Caso 2 (A do tipo 2 × 2, com dois valores próprios distintos, λ e µ)
λeµt − µeλt
eλt − eµt
I+
A.
λ−µ
λ−µ
Se λ e µ forem complexos conjugados,
etA =
λ = α + iβ e µ = α − iβ, β 6= 0,
a fórmula anterior fica
etA =
eαt
((β cos βt − α sin βt)I + sin βtA) .
β
Caso 3 (A do tipo 3 × 3 com todos os valores próprios iguais a λ)
1
etA = eλt (I + t(A − λI) + t2 (A − λI)2 ).
2
Caso 4 (A do tipo 3 × 3 com três valores próprios distintos λ, µ, ν)
etA = eλt
(A − µI)(A − νI)
(A − λI)(A − νI)
(A − λI)(A − µI)
+ eµt
+ eνt
.
(λ − µ)(λ − ν)
(µ − λ)(µ − ν)
(ν − λ)(ν − µ)
Caso 5 (A do tipo 3 × 3 com valores próprios λ, λ, µ, λ 6= µ)
etA = eλt (I + t(A − λI)) +
4.5
eµt − eλt
teλt
2
(A
−
λI)
−
(A − λI)2 .
(µ − λ)2
µ−λ
Exercícios
Exercício 93 Verifique que a propriedade de linearidade dos integrais, se
mantém para integrais de funções matriciais.
Exercício 94 Verifique as seguintes regras de diferenciação de funções matriciais, assumindo que P e Q são diferenciáveis e que os tipos das matrizes
são de forma a que as operações em causa tenham significado. Além disso,
em (3) e (4) assumimos que a matriz Q é invertível.
114
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1. (P + Q)0 = P 0 + Q0 .
2. (P Q)0 = P Q0 + P 0 Q.
3. (Q−1 )0 = −Q−1 Q0 Q−1 .
4. (P Q−1 )0 = −P Q−1 Q0 Q−1 + P 0 Q−1 .
Exercício 95 Sejam P uma função matricial e g uma função escalar, ambas
diferenciáveis. Defina a função composta F (t) = P (g(t)) e demonstre a regra
da cadeia, F 0 (t) = g 0 (t)P 0 (g(t)).
Exercício 96 Seja D uma matriz diagonal do tipo
P∞n × kn, digamos D =
diag(λ1 , · · · , λn ). Demonstre que a série matricial k=0 D /k! é convergente
e a sua soma é a matriz diagonal,
∞
X
Dk
k=0
k!
= diag(eλ1 , · · · , eλn ).
Exercício 97 Em cada uma das seguintes alíneas resolva o sistema Y 0 = AY
sujeito às condições iniciais indicadas.
1.
·
A=
2.
·
A=
3.
4.
1 2
2 −1
−5 3
−15 7
¸
·
, Y (0) =
¸
·
, Y (0) =
c1
c2
1
1
¸
.
¸
.




3 −1 1
1
A =  2 0 1  , Y (0) =  −1  .
1 −1 2
2




2 0 0
c1
A =  0 1 0  , Y (0) =  c2  .
c3
0 1 1
4.5. EXERCÍCIOS
115
5.

 
0
1
0
1



0
0
1
A=
, Y (0) = 0  .
−6 −11 −6
0
6.
 

8
−2 2 −3



2
1 −6 , Y (0) = 0  .
A=
0
−1 −2 0


116
CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Capítulo 5
Séries de Fourier
5.1
Formulação matemática do problema da condução do calor
Sejam L > 0, R a semi-faixa do plano (x, t), determinada por 0 < x < L
e t > 0 e R o fecho de R. A fronteira de R é formada pelas semi-rectas
{(0, t) : t > 0}, {(L, t) : t > 0} e pelo segmento {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ L}.
O problema da condução do calor consiste em determinar uma função real
u(x, t) definida em R que satisfaça a equação do calor
∂u
∂ 2u
=K 2
∂t
∂x
em R (K é a difusibilidade térmica), com a condição inicial
u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L,
(5.1)
(5.2)
onde f : [0, L] → R, e, finalmente, que satisfaça às condições de fronteira
dadas.
Comecemos com o caso em que as temperaturas nas extremidades da
barra constantes iguais a zero, isto é,
u(0, t) = u(L, t) = 0.
(5.3)
Estamos então perante um problema de valores inicial e de fronteira.
O denominado Método de Fourier consiste em, primeiramente, usar separação de variáveis e procurar soluções do problema, com a forma
u(x, t) = F (x)G(t).
117
(5.4)
118
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
A ideia, neste momento, é procurar, de forma informal, uma ou mais
funções que se constituam candidatos razoáveis à resolução do problema.
Uma vez encontrado o candidato, tentaremos demonstrar de forma rigorosa
que este constitui a solução do problema.
Substituindo 5.4 na equação do calor, obtemos
ou
F (x)G0 (t) = KF 00 (x)G(t)
(5.5)
F 00 (x)
1 G0 (t)
=
.
K G(t)
F (x)
(5.6)
(Notemos que, para passar de 5.5 para 5.6 devemos supôr G(t) e F (x) nunca
se anulam, mas de momento não nos preocuparemos com isso.)
Mas, enquanto o lado esquerdo de 5.6 é apenas função de t, o lado direito
depende apenas de x, logo ambos os lados da equação serão independentes
tanto de x como de t, ou seja, existirá um parâmetro σ, independente de x e
de t, tal que
F 00 (x)
1 G0 (t)
=σ e
= σ,
(5.7)
F (x)
K G(t)
Da primeira equação em 5.7 obtemos que F deve satisfazer a equação
diferencial ordinária
F 00 (x) − σF (x) = 0 para 0 < x < L,
(5.8)
e, como u(0, t) = u(L, t) = 0, deve também satisfazer as condições iniciais
F (0) = F (L) = 0,
(5.9)
pois, caso contrário, como u(0, t) = F (0)G(t), teríamos necessariamente G ≡
0 o que implicaria que u ≡ 0 e a função nula, apesar de staisfazer a equação
do calor, não satisfaz a condição inicial u(x, 0) = f (x), a menos que f ≡ 0.
Vejamos agora as soluções de 5.8:
Se σ > 0, a solução geral de 5.8 é da forma
√
σx
F (x) = c1 e
√
+ c2 e−
σx
.
Portanto, para uma tal F satisfazer as condições iniciais 5.9, o par (c1 , c2 )
deve ser solução do sistema
½
c1 +
c =0 √
√ 2
,
c1 e σL + c2 e− σL = 0
5.1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DA CONDUÇÃO DO CALOR119
mas a única solução deste sistema é c1 = c2 = 0, o que implica que F ≡ 0 e
logo u ≡ 0, o que não nos interessa.
Se σ = 0, a solução gereal de 5.8 é da forma
F (x) = c1 x + c2 ,
e, para satisfazer às condições iniciais, devemos ter
c2 = 0 e c1 L + c2 = 0,
0 que implica c1 = c2 = 0 e, portanto, F ≡ 0.
Se σ < 0, fazemos σ = −λ2 , e a solução geral de 5.8 é da forma
F (x) = c1 cos λx + c2 sin λx.
Para que uma tal F satisfaça as condiçoes iniciais, devemos ter
c1 = 0 e c2 sin λL = 0.
Como não queremos c2 = 0, teremos então
sin λL = 0,
o que implica que λL = nπ, com n = ±1, ±2, · · · ). Aos valores de −σ = λ2 :
λ2n
n2 π 2
= 2 ,
L
(5.10)
chamamos autovalores do problema dado em 5.8 e 5.9, e às funções
Fn (x) = sin
nπx
,
L
(5.11)
chamamos autofunções. Não há necessidade de considerar os valores negativos de λn , pois estes conduziriam apenas a autofunções diferindo apenas no
sinal em relação às outras obtidas com os λn positivos.
Vejamos agora a segunda equação diferencial ordinária em 5.7. A sua
solução geral é da forma
G(t) = eσKt .
(5.12)
Logo, para cada n = 1, 2, 3 · · · , temos uma função
un (x, t) = e−n
2 π 2 Kt/L2
sin
nπx
,
L
(5.13)
120
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
a qual satisfaz a Equação 5.1 e as condições de fronteira 5.3.
O único problema é que, sendo
un (x, 0) = sin
nπx
,
L
un (x, t) só será solução de 5.1, 5.2 e 5.3 se a função dada f (x) tiver a forma
f (x) = sin
nπx
.
L
Assim, a solução de 5.1, 5.2 e 5.3 com f (x) = sin 5πx/L é a função
u5 (x, t) = e−25π
2 Kt/L2
sin
5πx
.
L
Suponhamos agora que f (x) = 3 sin 5πx/L. Um bom candidato a solução
do nosso problema, será
u(x, t) = 3e−25π
2 Kt/L2
sin
5πx
L
(5.14)
e, de facto, é trivial verificar que o é.
Se suposermos agora que
f (x) = 4 sin
2πx
5πx
+ 3 sin
,
L
L
é natural considerarmos o candidato
u(x, t) = 4e−4π
2 Kt/L2
sin
2πx
5πx
2
2
+ 3e−25π Kt/L sin
L
L
(5.15)
e, de facto, como no caso anterior, podemos verificar que todas as condições
são satisfeitas.
É fácil verificar que a Equação 5.1 é linear, ou seja, que, se u(x, t) e v(x, t)
forem soluções de 5.1, então também o será qualquer solução da forma
au(x, t) + bv(x, t),
com a e b constantes.
Portanto, qualquer expressão da forma
N
X
cn un (x, t),
n=1
5.1. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DA CONDUÇÃO DO CALOR121
onde os cn são constantes e os un são as funções definidas em 5.13, é solução
de 5.1 e 5.3. Consequentemente, se a condição inicial fôr da forma
N
X
nπx
cn sin
L
n=1
então, nesse caso, a solução de 5.1, 5.2 e 5.3 será
u(x, t) =
N
X
nπx
2 2
2
cn e−n π Kt/L sin
.
L
n=1
A questão natural que se põe agora é: "E se f não tiver a forma acima?"
É nesta questão que está a motivação para estudarmos as Séries de
Fourier. A ideia é: se não pudéssemos escrever f como uma soma finita,
mas mesmo assim a pudéssemos escrever como uma série infinita do tipo
∞
X
nπx
f (x) =
cn sin
,
(5.16)
L
n=1
então teríamos um bom candidato a solução de 5.1, 5.2 e 5.3, em
∞
X
nπx
2 2
2
cn e−n π Kt/L sin
u(x, t) =
.
L
n=1
(5.17)
Se, em vez do problema dado por 5.1, 5.2 e 5.3, considerarmos agora o
problema dado por
ut = Kuxx ,
ux (0, t) = ux (L, t) = 0,
u(x, 0) = f (x),
em R,
para t > 0,
para 0 < x < L,
e procedermos como anteriormente, obtemos que é conveniente que f (x)
possa ser expressa como
∞
X
nπx
.
f (x) =
cn cos
L
n=0
É, pois, importante considerar a questão geral seguinte: "quais as funções
f : R → R que podem ser expressas na forma
∞ ³
X
1
nπx
nπx ´
f (x) = a0 +
an cos
+ bn sin
?”
2
L
L
n=1
A justificação para
cálculos.
1
a
2 0
em vez de a0 , deve-se apenas a simplificações de
122
5.2
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
Funções periódicas
Diz-se que uma função f : R → R é periódica de período T , se f (x+T ) = f (x)
para todo o x.
Por exemplo, a função sin x é periódica de período 2π.
Se f fôr periódica de período T , então também é periódica de período
2T , pois
f (x + 2T ) = f (x + T + T ) = f (x + T ) = f (x),
e da mesma forma é periódica de período kT , onde k é um inteiro não nulo.
Ao menor período positivo, chamamos período fundamental.
Exemplo 117 Consideremos f (x) = sin nπx/L. Então,
sin
nπ(x + T )
nπx
= sin
∀x∈R ,
L
L
equivale a
sin
nπx
nπT
nπx
nπT
nπx
cos
+ cos
sin
= sin
.
L
L
L
L
L
Para x = L/2n, obtemos
sin
π
nπT
π
cos
= sin ,
2
L
2
o que implica
cos
nπT
=1
L
e, daí, usando a fórmula fundamental da trigonometria, obtemos
sin
nπT
= 0.
L
O período fundamental será então o menor T que satisfaça simultaneamente as duas últimas igualdades, obtemos então nπT /L = 2π Ou seja,
T = 2L/n.
5.3. CONVERGÊNCIA UNIFORME
5.3
123
Convergência uniforme
P
Recordemos que uma série de funções ∞
n=1 un (x), onde un : I → R são
funções reais definidas num subconjunto
I de R, converge pontualmente se,
P
para cada x0 ∈ I fixado, a série ∞
u
(x
n=1 n 0 ) convergir. Isso equivale a dizer
que, dados ² > 0 e x0 ∈ I, existe um inteiro N , que depende de ² e de x0 , tal
que
¯
¯ m
¯
¯X
¯
¯
¯ uj (x0 )¯ < ²,
¯
¯
j=n
para todos os n < m tais P
que n ≥ N .
Uma série de funções ∞
n=1 un (x) converge pontualmente, se, dado ² > 0,
existir um inteiro N , dependendo apenas de ² (e não de x), tal que
¯
¯
m
¯X
¯
¯
¯
¯ uj (x)¯ < ²,
¯
¯
j=n
para todos os x ∈ I e m > n ≥ N .
O seguinte critério é extremamente útil, pois reduz o problema de verificar
a convergência uniforme de uma série de funções, ao da convergência de uma
série numérica.
P
Teorema 118 (Teste M de Weierstrass) Seja ∞
n=1 un (x) uma série de
funções un : I → R definida num subconjunto I de R. Então, se existirem
constantes
P∞Mn ≥ 0 tais que |un (x)| ≤ Mn para todo o x ∈ I, a série de
funções n=1 un (x) converge uniformemente em I.
Para a demonstração, pode ver, por exemplo, [1].
A razão do estudo da convergência uniforme, é que as séries que gozam
desta propriedade gozam de outras que são muito úteis. Vejamos algumas
delas, que enunciamos em seguida sem demonstração.
P
Proposição 119 Se as funções un (x) forem contínuasPe a série ∞
n=1 un (x)
∞
convergir uniformemente, então a sua soma u(x) = n=1 un (x) também é
contínua.
Proposição
120 Se as funções un (x) forem integráveis num intervalo I e a
P
u
série ∞
n=1 n (x) convergir uniformemente, então
!
Z ÃX
∞
∞ Z
X
un (x)dx =
un (x)dx.
I
n=1
n=1
I
124
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
Proposição 121 Suponhamos que as funções un (x),
num interP∞ definidas
0
valo I, são continuamente deriváveis e que a série n=1 un (x) das derivadas
converge
P uniformemente. Suponhamos ainda que, para um dado x0 ∈ R, a
série ∞
n=1 un (x0 ) converge, então
̰
!
∞
X
d X
un (x) =
u0n (x).
dx n=1
n=1
5.4
Coeficientes de Fourier
Se uma função f (x) fôr expressa na forma
∞ ³
X
1
nπx
nπx ´
,
f (x) = a0 +
an cos
+ bn sin
2
L
L
n=1
(5.18)
é de esperar que os coeficientes estejam intimamente ligados à função f .
Vamos em seguida estabelecer essa expressão. Para isso, vamos supôr que
a igualdade 5.18 se verifica e que, além disso, a série converge uniformemente.
Da Proposição 119 temos que f é contínua; além disso, como todas as funções
que constam da série são periódicas de período 2L, f deve ser periódica de
período 2L. Assim, usando a Proposição 120, podemos integrar ambos os
lados de 5.18, para obter
Z
L
1
f (x)dx = a0
2
−L
e, daí, como
temos
Z
Z
L
dx +
−L
∞ µ
X
Z
an
n=1
L
nπx
cos
dx =
L
−L
1
a0 =
L
Z
L
nπx
cos
dx + bn
L
−L
Z
L
sin
−L
Z
L
nπx
sin
dx
L
−L
¶
nπx
dx = 0,
L
L
f (x)dx.
(5.19)
−L
Para obter os demais coeficientes, exploramos a mesma ideia, e exploramos as relações de ortogonalidade:
Z L
nπx
mπx
cos
sin
dx = 0, se n, m ≥ 1;
(5.20)
L
L
−L
5.5. SÉRIE DE FOURIER
Z
125
½
mπx
nπx
L, se n = m ≥ 1
cos
dx =
cos
0, se n 6= m, n, m ≥ 1;
L
L
−L
½
Z L
nπx
mπx
L, se n = m ≥ 1
sin
sin
dx =
0, se n 6= m, n, m ≥ 1;
L
L
−L
L
(5.21)
(5.22)
Agora, multiplicando 5.18 por cos mπx/L, para m ≥ 1 fixado, e integrando, obtemos
Z L
mπx
f (x) cos
dx = am L.
(5.23)
L
−L
De modo semelhante, obtemos
Z L
mπx
f (x) sin
dx = bm L.
L
−L
Finalmente, de 5.20, 5.23 e 5.24, obtemos
Z
1 L
nπx
an =
f (x) cos
dx, n ≥ 0
L −L
L
e
1
bn =
L
Z
L
f (x) sin
−L
nπx
dx, n ≥ 1.
L
(5.24)
(5.25)
(5.26)
Note-se que, a introdução do 1/2 antes do a0 , nos permitiu obter uma
fórmula única para todos os an .
Seja então f : R → R uma função periódica de período 2L, integrável e
absolutamente integrável em cada intervalo limitado. Aos números an para
n ≥ 0 e bn para n ≥ 1 definidos em 5.25 e 5.26, chamamos coeficientes de
Fourier da função f .
5.5
Série de Fourier
Dada uma função f : R → R periódica de período 2L, integrável e absolutamente integrável, podemos então calcular os seus coeficientes de Fourier
através das expressões 5.25 e 5.26 e, assim, escrever
nπx
nπx ´
1 X³
an cos
+ bn sin
,
f (x)” = ” +
2 n=1
L
L
∞
(5.27)
126
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
e à expressão do lado direito, chamamos série de Fourier de f.
A questão que surge naturalmente, é sobre qual será a relação entre f e
a sua série de Fourier? O ideal seria que fosse igualdade. Infelizmente nem
sempre esse é o caso. Pode ainda acontecer algo mais grave, que é a série de
Fourier divergir. Vamos em seguida estudar condições suficientes para que
uma função seja igual à sua série de Fourier.
Uma função f : R → R diz-se seccionalmente contínua, se tiver apenas um
número finito de descontinuidades, todas de primeira espécie, em qualquer
intervalo limitado. Em outras palavras, se, dados quaisquer a < b, existirem
a ≤ a1 < a2 < · · · < an ≤ b, tais que f é contínua em qualquer intervalo
aberto ]aj , aj+1 [, j = 1, · · · , n − 1, e existem os limites laterais
f (x− ) = lim− f (x) e f (x+ ) = lim+ f (x).
x→aj
x→aj
É claro que todas as funções contínuas são seccionalmente contínuas. Por
outro lado, a função f (x) = 1/x não é seccionalmente contínua pois não
existem os limites laterais em x = 0.
Exercício 98 Diga, justificando, se as seguintes f são seccionalmente contínuas.
1.

 1, se x ≥ 1
1/n, se 1/(n + 1) ≤ x < 1/n, n = 1, 2, · · ·
f (x) =

−1, se x < 0.
2.

 +1, se x > 0
0, se x = 0
f (x) =

−1, se x < 0.
3.

 +1, se 0 ≤ x < π
0, se − π ≤ x < 0
f (x) =

e periódica de período 2π.
4.
½
f (x) =
|x|, se |x| ≤ 1
e periódica de período 2.
5.5. SÉRIE DE FOURIER
127
Uma função f : R → R será seccionalmente diferenciável, se tanto f
como como a sua derivada f 0 forem seccionalmente contínuas. Observe que
a drivada f 0 não está definida em todos os pontos: Com certeza f 0 (x) não
existe nos pontos de descontinidade de f , mas, para além disso, pode não
existir, mesmo em alguns pontos onde f é contínua.
A seguinte função é contínua, mas não é seccionalmente diferenciável:
½ √
1 − x2 , se |x| ≤ 1,
f (x) =
e periódica de período 2,
pois, nos pontos onde f 0 é descontínua, f 0 não possui limites laterais.
O seguinte resultado fornece-nos condições suficientes para a convergência
da série de Fourier de uma função f .
Teorema 122 (Teorema de Fourier) Seja f : R → R uma função seccionalmente diferenciável, de período 2L. Então a série d Fourier da função
f converge, em cada ponto x, para 12 (f (x+ ) + f (x− )), isto é,
∞ ³
X
1
1
nπx
nπx ´
+
−
(f (x ) + f (x )) = a0 +
an cos
+ bn sin
.
2
2
L
L
n=1
(5.28)
A demonstração deste teorema, pode ser consultada, por exemplo, no
Capítulo 3 de [3].
Exemplo 123 Vamos calcular a série de Fourier da função

 +1, se 0 ≤ x < π
0, se − π ≤ x < 0
f (x) =

e periódica de período 2π.
Temos que
1
a0 =
π
Z
π
1
f (x)dx =
π
−π
Z
π
dx = 1.
0
Para n 6= 0, temos
Z
1 π
f (x) cos nxdx =
cos nxdx = 0,
π 0
−π
Z
1
1 π
sin nxdx =
(1 − cos nπ,
bn =
π 0
nπ
1
an =
π
Z
π
128
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
então
b2k = 0 e b2k−1 =
2
, k = 1, 2, · · · .
(2k − 1)π
A série de Fourier será, então,
∞
f (x) =
1 X
2
+
sin(2k − 1)x.
2 n=1 (2k − 1)π
Podemos agora usar estes resultados para obter uma expressão em série
para o número π:
No ponto x = π/2, pelo Teorema de Fourier, a série de Fourier é igual a
1, logo
∞
³
1 X
2
π´
1= +
sin (2k − 1)
,
2 k=1 (2k − 1)π
2
ou seja,
³
1
π´
π X
=
sin (2k − 1)
,
4
(2k
−
1)
2
k=1
∞
finalmente, temos
∞
X (−1)k−1
π
1 1 1
= 1 − + − + −··· =
,
4
3 5 7
2k
−
1
k=1
que é conhecida como a série de Leibniz.
5.6
Séries de Fourier de funções pares e ímpares
Uma função f : R → R é par se f (−x) = f (x), para todos os x ∈ R.
Analogamente f é ímpar se f (−x) = −f (x) para todo os x ∈ R.
Exemplo 124 As funções f (x) = cos nπx/L e f (x) = x2n , para n =
1, 2, · · · , são funções pares.
As funções f (x) = sin nπx/L e f (x) = x2n−1 , para n = 1, 2, · · · , são
funções ímpares.
Temos as seguintes proposições sobre funções pares e ímpares, cujas
demonstrações são exercícios fáceis.
5.6. SÉRIES DE FOURIER DE FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Proposição 125
129
1. A soma de duas funções pares é uma função par.
2. A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.
3. O produto de duas funções pares é uma função par.
4. O produto de duas funções ímpares é uma função par.
5. O produto de uma função par por uma função ímpar é uma função
ímpar.
Proposição 126
1. Se f : R → R fôr uma função par, integrável em
qualquer intervalo limitado, então
Z
Z
L
L
f =2
−L
f.
0
2. Se f : R → R fôr uma função ímpar, integrável em qualquer intervalo
limitado, então
Z L
f = 0.
−L
Das duas proposições anteriores, concluímos então que, f fôr uma função
par, periódica de período 2L, integrável e absolutamente integrável, então
2
an =
L
Z
L
f (x) cos
0
nπx
dx e bn = 0,
L
portanto, a série de Fourier de uma função par é uma série de cosenos.
Por outro lado, se f fôr uma função ímpar, periódica de período 2L,
integrável e absolutamente integrável, então
2
a n = 0 e bn =
L
Z
L
f (x) cos
0
nπx
dx,
L
portanto, a série de Fourier de uma função ímpar é uma série de senos.
130
5.7
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
Cálculo de algumas séries de Fourier
- Seja f1 : R → R periódica de período 2L e definida por f1 (x) = x, para
−L ≤ x ≤ x. Como f1 é ímpar, temos uma série de senos cujos coeficientes
são
Z
2 L
nπx
bn =
x sin
dx.
L 0
L
Fazendo a mudança de variável y = nπx/L, obtemos
Z nπ
2L
bn = 2 2
y sin ydy.
nπ 0
Integrando por partes, temos
bn =
2L
(−1)n+1 .
nπ
Portanto, a série de Fourier da função f1 (x), é
∞
f1 (x) =
2L X (−1)n+1
nπx
sin
.
π n=1
n
L
Note-se que, em virtude da propriedade de convergência estabelecida no
Teorema de Fourier, no caso das funções f contínuas, podemos passar a
utilizar o sinal =, em vez de ” = ”.
- Seja f2 : R → R, periódica de período 2L e definida por
(
L − x se 0 ≤ x ≤ L;
L + x se − L ≤ x ≤ 0.
Como f2 é uma função par, temos uma série de cosenos, cujos coeficientes
são
Z
2 L
a0 =
(L − x)dx = L,
L 0
e
Z
2 L
nπx
an =
(L − x) cos
dx.
L 0
L
Fazendo uma mudança de variáveis como no exemplo anterior, e integrando
por partes, obtemos
2L
an = 2 2 (1 − (−1)n ),
nπ
5.7. CÁLCULO DE ALGUMAS SÉRIES DE FOURIER
ou seja,
a2k = 0, a2k−1 =
131
4L
, k = 1, 2, · · · .
(2k − 1)2 π 2
Portanto, a série de Fourier da função f2 é
∞
L 4L X
1
(2k − 1)πx
f2 (x) = + 2
cos
.
2
2
π k=1 (2k − 1)
L
- Deja f3 R → R periódica de período 2L e definida por f3 (x) = x2 , para
−L ≤ x ≤ L. Como f3 é par, teremos uma série de cosenos, cujos coeficientes
são:
Z
2 L 2
2L2
a0 =
x dx =
L 0
3
e
Z
2 L 2
nπx
an =
x cos
dx.
L 0
L
Fazendo a mudança de variável y = nπx/L e integrando por partes, obtemos
Z nπ
4L2
y sin ydy
an = − 3 3
nπ 0
e, usando o resultado obtido no primeiro exemplo,
an = −
4L2
(−1)n .
n2 π 2
Portanto, a série de Fourier da função f3 é
∞
L2 4L2 X (−1)n
nπx
f3 (x) =
+ 2
cos
.
2
3
π n=1 n
L
Nota 127 Em todas as séries de Fourier calculadas anteriormente, a função
foi dada em toda a recta, de facto, definimos f num intervalo fundamental
]−L, L] e estabelecemo-la periódica de período 2L. Se agora definirmos f num
intervalo [0, L] e não dissermos nada sobre o período, teremos a liberdade de
escolher um período qualquer T > L, e de definirmos a função da forma mais
conveniente no interval ]L, T [.
Vejamos um exemplo:
132
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
Exemplo 128 Dada f (x) = x, para 0 ≤ x ≤ π, vamos escrever f como
uma série de senos.
Para obter uma série de senos, devemos definir f para outros valores de
x, de modo a obter uma função ímpar. Portanto, tomemos f (x) = x para
−π < x ≤ π, e periódica de período 2π. A série de Fourier de uma tal f foi
calculada no primeiro exemplo, e é
∞
X
(−1)n+1
2
sin nx.
n
n=1
Consequentemente, pelo Teorema de Fourier, temos
x=2
∞
X
(−1)n+1
n
n=1
sin nx para 0 ≤ x < π.
De facto, a igualdade é verdadeira para −π < x < 0.
Exercício 99 Observe a igualdade anterior não é verdadeira para x = π.
Porque é que isto não contraria o Teorema de Fourier?
5.8
Forma complexa das séries de Fourier
Usando a representação exponencial dos números complexos,
eiθ = cos θ + i sin θ,
e as funções seno e coseno complexos,
cos θ =
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
e sin θ =
,
2
2
podemos escrever
nπx
nπx
an cos
+ bn sin
=
L
L
µ
an bn
+
2
2i
µ
¶
inπx/L
e
+
an bn
−
2
2i
¶
e−inπx/L
Logo, o coeficiente cn de einπx/L é dado por
Z L
³
1
1
nπx
nπx ´
an bn
+
= (an − ibn ) =
f (x) cos
− i sin
dx,
cn =
2
2i
2
2L −L
L
L
5.9. EXERCÍCIOS
133
ou seja,
1
cn =
2L
Z
L
f (x)e−inπx/L dx.
−L
Definimos também
Z L
a0
1
c0 =
=
f (x)dx.
2
2L −L
Resumindo, demonstrámos que, se f : R → R fôr periódica de período 2L,
integrável a absolutamente integrável, então a série de Fourier de f poderá
ser escrita na forma
∞
X
cn einπx/L ,
−∞
onde
5.9
1
cn =
2L
Z
L
f (x)e−inπx/L dx, para n = 0, ±1, ±2, · · · .
−L
Exercícios
1. Defina uma função periódica de período 2 e igual a x2 no intervalo
aberto ]0, 2[. Há mais do que uma resposta? E se a função pedida fosse
igual a x2 no intervalo [0, 2[?
2. Se f e g forem periódicas de período T , mostre que f + g e f g serão
também periódicas de período T .
3. Se f fôr periódica de período T , mostre que λf será periódica com o
mesmo período, onde λ é um número real dado.
4. Se f fôr uma função diferenciável, de período T , mostre que f também
é periódica com o mesmo período.
5. Mostre que sin ax + sin bx é periódica se e só se a/b é racional.
6. Calcule a série de Fourier da função f (x) = sin2 x.
7. Calcule a série de Fourier da função f (x) = cos5 x.
8. Calcule a série de Fourier da função
(
sin x se sin x ≥ 0
f (x) =
0
se sin x = 0.
134
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
9. Calcule a série de Fourier da função
(
ex se − π ≤ x < π,
f (x) =
periódica de período 2π.
10. Mostre que, se f é uma função par, e f (x) 6= 0 para todos os x, então
1/f é uma função par. Mesmo problema para funções ímpares.
11. Mostre que, se f fôr par e diferenciável, então f 0 será ímpar, e que, se
f fôr ímpar e diferenciável, então f 0 será par.
12. Determine a série de Fourier de f (x) = | sin ax|.
13. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função f (x),
periódica de período 2L, e da função g(x) = f (x + α), onde α é uma
constante?
14. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier da função f (x), e
da função g(x) = f (x) + α, onde α é uma constante?
15. Quais são as relações entre os coeficientes de Fourier das funções f, g e
αf + βg, onde α e β são constantes?
16. Qual é a relação entre os coeficientes de Fourier da função f (x), periódica de período 2L, e da função g(x) = f (kx), onde k é uma constante
positiva?
17. Escreva a série de Fourier da função
f (x) = 2x, −π ≤ x < π
e periódica de período 2π.
18. Escreva a série de Fourier da função
f (x) = x, 0 ≤ x < π
e periódica de período 2π.
5.9. EXERCÍCIOS
135
19. Se α não fôr inteiro, use a forma complexa para obter as séries de
Fourier das funções
f (x) = cos αx, −π ≤ x < π,
e periódica de período 2π; e
f (x) = sin αx, −π ≤ x < π,
e periódica de período 2π.
20. Use a forma complexa para obter a série de Fourier das função
f (x) = eαx , −π ≤ x < π,
e periódica de período 2π
21. Determine as ťfunções cujas séries de Fourier são as abaixo indicadas:
∞
∞
∞
∞
X
αn cos nx X αn sin nx X αn cos nx X αn sin nx
,
,
,
.
n
n
n!
n!
n=1
n=1
n=1
n=1
136
CAPÍTULO 5. SÉRIES DE FOURIER
Bibliografia
[1] Apostol, Tom M. Calculus, Vols I e II.
[2] Dias Agudo, Fernando, Análise Real, Vols I e II.
[3] Figueiredo, Djairo G., Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais.
[4] Marsden, Jerrold E., Basic Complex Analysis.
[5] Marsden, Jerrold E., Weinstein, Alan, Calculus, Vols I, II e III.
[6] O’Neill, Garrett, Elementary Diferential Geometry.
137