Ficha de Trabalho n.º2
1.
Geometria no Plano e no Espaço I
Os quadrados das figuras seguintes são geometricamente iguais, com 8 cm de lado.
Em qual da figuras a área da parte sombreada é maior?
2.
Duas bolas estão lado a lado num recipiente cilíndrico de vidro. O diâmetro
da base é 18 cm e o raio da bola menor é 3 cm.
Calcula, com aproximação às décimas, o raio da bola maior.
3.
A figura representa o primeiro esboço de um logótipo que o João
está a construir para o Clube de Matemática da sua escola.
Dentro do quadrado [ABCD] estão representados, a sombreado, um
círculo e um quadrado [DGFE], nos quais vão ser colocados
desenhos alusivos a jogos matemáticos.
Na região branca, ou seja, não sombreada, vão ser colocados
símbolos matemáticos e texto.
Sabe-se que:
• AB = 1 ;
• O círculo está inscrito no quadrado [FHBI].
3.1. Supondo que a área do círculo é igual a
9
π , determina a área do quadrado [DGFE].
64
3.2. Seja x o lado do quadrado [DGFE] e f a função que a cada valor de x faz corresponder a área da
região branca.
Mostra que f ( x) =
3.3. Se DG =
4 − 4 x 2 − π (1 − 2 x + x 2 )
4
.
1
, qual é a área da região branca da figura?
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4.
Na figura ao lado, dentro do quadrado [ABCD], estão
representados, a sombreado, um círculo e um quadrado [DEFG].
Sabe-se que:
AB = 2
• FB = d
•
Mostra que a área sombreada é dada por
 4 +π
4 − 2 2d + 
 8
 2
d

Sugestão: Começa por determinar BI em função de d.
5.
[ABCD]
Na figura está representado um retângulo
e seis
círculos iguais de raio r, tangentes uns aos outros como a figura
sugere.
5.1.
Mostra que:
5.1.1. a área do trapézio [AEFD] é dada por 3r 2 .
(
)
5.1.2. O perímetro do trapézio [AEFD] é dado por 6 + 2 2 r .
5.2.
Admite que a área do retângulo [ABCD] é igual a 864.
Determina a área da região sombreada (mais escura).
6.
Na figura, está representado um projeto de uma escultura em cimento para o
jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo.
Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros.
Apresentam-se, a seguir, as vistas de frente de três possíveis concretizações desse
projeto.
Designemos por x o raio da esfera (em metros).
6.1.
Indica, na forma de intervalo de números reais, o conjunto dos valores que a variável x pode
assumir.
6.2.
Mostra que o volume total, V, em metros cúbicos, da escultura é dado, em função de x, por
V ( x) =
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4π − 24 3
x + 24 x 2 − 24 x + 8
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7.
Pretende-se fazer um canteiro, no jardim de uma escola, com a forma de um quadrado de 7 metros de
lado.
A figura representa um projeto desse canteiro, designado por [ ABCD ] , em que a região sombreada
representa a zona que se pretende relvar, e o quadrado [ EFGH ] representa o local destinado a
plantar roseiras.
Tem-se, em metros:
AE = FB = GC = HD = x .
7.1.
Admite que x = 3 . Pretende-se plantar 700 roseiras na zona reservada para esse efeito. Cada
roseira necessita de uma área quadrangular com 20 centímetros de lado.
Será possível plantar as 700 roseiras nessa zona? Justifica.
7.1.
Mostra que a área, a, da região relvada, em metros quadrados, é dada, em função de x, por
a ( x) = 14 x − 2 x 2
Calcula a (0) e interpreta o valor obtido no contexto da situação descrita.
8.
Na figura estão representados um cilindro e uma esfera.
O diâmetro do cilindro é igual ao diâmetro da esfera e a altura do cilindro é igual ao
diâmetro da esfera.
Calcula a razão entre o volume do cilindro e o volume da esfera.
9.
Uma cafeteira tem a forma de um tronco de um cone, como se mostra na
figura.
Na sua construção, efetuou-se um corte num cone com altura de 22 cm, como
se mostra na figura ao lado.
Seja r1 o raio da abertura da cafeteira e r o raio da base.
11
r1 .
6
9.1.
Mostra que r =
9.2.
Sabendo que r1 = 2 cm , determina a capacidade (com aproximação às
milésimas) da cafeteira.
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10. Na figura está representado um cubo em papel quadriculado.
Desenha a secção produzida no cubo pelo plano FQD e, em seguida, assinala com um X a opção
correta quanto à secção.
11. Na figura está representado um cubo de aresta 4 cm.
O ponto M é o ponto médio da aresta [DH] e PF = 1 cm .
Constrói a secção produzida no cubo considerando AMP o plano de corte.
Que tipo de polígono se obtém?
• P
12. Na figura está representado um cubo de aresta 4 cm.
O ponto M é o ponto médio da aresta [DH] e PG = 1 cm .
• P
Constrói a secção produzida no cubo considerando BMP o plano de corte.
Que tipo de polígono se obtém?
13. Considera o cubo da figura ao lado. O ponto R pertence à face [DCGH], o
ponto Q à face [FGCB] e o ponto P à aresta [FB].
13.1. Desenha a secção do cubo segundo um plano que contenha os
pontos P, Q e R.
13.2. Calcula o volume da pirâmide triangular de base [EFG] e vértice F,
sabendo que BE = 2 cm .
Matemática A – 10º ano
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