Cálculo Diferencial em IRn
(Cálculo diferencial em campos escalares)
José António Caldeira Duarte
DMAT
16 Maio 2001
Conteúdo
1 Cálculo Diferencial em Campos Escalares
1.1 Derivadas Parciais de 1a Ordem . . . . . . . . . .
1.2 Derivadas Parcias de Ordem Superior à Primeira
1.3 Diferenciabilidade de Campos Escalares . . . . . .
1.4 Derivada Dirigida . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 O vector Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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2
2
6
7
16
19
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1
Cálculo Diferencial em Campos Escalares
O conceito fundamental desta secção é o de derivada de um campo escalar.
Derivadas Parciais de 1a Ordem
1.1
Considere-se uma função z = f (x, y) definida num subconjunto D de IR2 e
seja (a, b) um ponto interior de D. Fixando y em b, está-se a restringir o
domínio da função aos pontos que pertencem a D e se encontram sobre a
recta y = b do plano XOY ; a correspondência
x → f(x, b)
define então uma função de uma única variável x.
z
c
z
c
O gráfico da função
z=f(x,y)
O gráfico
da função f(x,b)
O
b
y
O
a
b
y
a
x
x
Se esta função for derivável no ponto x = a, tem-se que a sua derivada
nesse ponto é dada por
f(a + h, b) − f (a, b)
.
h→0
h
lim
É a este limite (caso exista) que se dá o nome de derivada parcial
da função f (x, y) em ordem a x, no ponto (a, b). Simbolicamente é
representada por
fx (a, b) ,
∂f
(a, b) ou (Dx f) (a, b)
∂x
Podemos interpretar geometricamente este conceito da seguinte forma:
A função f (x, b) foi obtida fixando o valor da variável y em b na função
f(x, y); então o seu gráfico será obtido pela intersecção do gráfico da função
z = f(x, y) com o plano vertical y = b.
2
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A derivada parcial de f em ordem a x no ponto (a, b), sendo a derivada
da função real de variável real z = f(x, b), representará o declive da recta
tangente ao seu gráfico no ponto (a, b, c).
A recta tangente
ao gráfico da função
f(x,b) no ponto (a,b,c).
z
c
O gráfico
da função f(x,b)
b
O
y
a
x
De forma análoga define-se a derivada parcial de f (x, y) em ordem a y
no ponto (a, b). Fixando x em a, a transformação
y → f (a, y)
define uma função de uma só variável y;
z
c
O gráfico
da função f(a,y)
y
b
O
a
x
se esta função for derivável no ponto y = b, a sua derivada nesse ponto é
dada por
f(a, b + k) − f(a, b)
k→0
k
lim
que representa a derivada parcial de f (x, y) em ordem a y no ponto
(a, b).
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Simbolicamente esta derivada parcial é representada por
fy (a, b) ,
∂f
(a, b) ou (Dy f) (a, b) .
∂y
Geometricamente, fy (a, b) representa o declive da recta tangente ao gráfico de z = f (a, y) no ponto (a, b, c).
z
c
A recta tangente
ao gráfico da função
f(a,y) no ponto (a,b,c).
O
O gráfico da função
f(a,y)
y
b
a
x
As definições apresentadas mostram que as derivadas parciais, caso existam, obedecem às já conhecidas regras de derivação para as funções reais
de variável real; isto significa que para derivar em ordem a x uma função
das variáveis x e y, a variável y deve ser encarada como uma constante e,
reciprocamente, para obter a derivada em ordem a y, a variável x deve ser
tratada como constante.
Exemplo 1 No caso de função f (x, y) = y 2 + xy + 4x3 , ter-se-á
df 2
df 3
2
fx (0, 1) =
=
=1
1 + x1 + 4x
1 + 12x
dx
dx
x=0
x=0
fy
df 2
df
(0, 1) =
=
= 2.
y +0+0
(2y)
dy
dy
y=1
y=1
Exemplo 2 Calcular as derivadas parciais da função f (x, y) definida por
x+y x=0∨y =0
f (x, y) =
1
x = 0 ∧ y = 0
no ponto (0, 0).
Como em qualquer vizinhança de (0, 0) existem pontos onde a função
é definida por um dos ramos, e pontos onde é definida pelo outro ramo,
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(qualquer vizinhança de (0, 0) contém pontos que se encontram sobre os eixos
onde a função é definida pela expressão x + y, e pontos que não pertencem
aos eixos, onde a função assume o valor 1),
as derivadas parciais terão que ser calculadas utilizando a definição.
Tem-se então,
fx (0, 0) = lim
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)
h−0
= lim
=1
h→0
h
h
f (0, k) − f (0, 0)
k−0
= lim
= 1.
k→0
k→0 k
k
fy (0, 0) = lim
Repare-se que no exemplo anterior ambas as derivadas parciais de f
existem na origem, mas a função não é continua neste ponto; de facto
lim f(x, y) não existe.
(x,y)→(0,0)
Contrariamente ao que se verifica para as função reais de variável real,
em que a existência de derivada finita num ponto implica que a função seja
continua. nesse ponto, em campos escalares a existência de derivadas parciais
finitas não implica continuidade.
A definição de derivada parcial generaliza-se com facilidade a campos
escalares de IRn em IR.
Definição 1 Seja f : D ⊆ IRn → IR e (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ intD. Chamase derivada parcial de f em ordem à variável xi , 1 ≤ i ≤ n, no ponto
∂f
(a1 , a2 , . . . , an ), e representa-se por ∂x
(a1 , a2 , . . . , an ), ao limite
i
f (a1 , a2 , . . . , ai + h, . . . , an ) − f (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an )
.
h→0
h
lim
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1.2
Derivadas Parcias de Ordem Superior à Primeira
Considere-se agora uma função f : D ⊆ IR2 → IR que admite derivada parcial
em ordem a x, num conjunto de pontos E ⊆ D. A cada ponto de E podemos
pois associar um número real - a derivada parcial de f em ordem a x nesse
ponto. Obtém-se assim uma nova função de E em IR, que se chama a função
derivada parcial de f em ordem a x, e que se representa por ∂f
ou fx .
∂x
De uma forma análoga se poderia definir a função derivada parcial
em ordem a y, ∂f
ou fy .
∂y
Exemplo 3 A função f (x, y) = x3 y2 − 3xy admite como funções derivadas
parciais
fx = 3x2 y2 − 3y
fy = 2x3 y − 3x
Como novas funções fx e fy podem admitir por sua vez, derivadas parciais.
Assim, a derivada parcial de fx em ordem a x, num ponto (a, b) ∈ D será
fx (a + h, b) − fx (a, b)
h→0
h
lim
2
e representa-se por fx2 (a, b) ou ∂∂xf2 (a, b).
A derivada parcial de fx em ordem a y, no ponto (a, b) será calculada por
fx (a, b + k) − fx (a, b)
k→0
k
lim
2
∂ f
(a, b) ou ∂y∂x
(a, b).
que se representa por fxy
As derivadas parciais da função fy , em ordem a x e em ordem a y, são
respectivamente,
∂ 2f
∂ 2f
(a, b) = fyx
(a, b) e
(a, b) = fy2 (a, b)
∂x∂y
∂y2
Note que
∂2f
∂y∂x
(a, b) e
∂2f
∂x∂y
(a, b) são abreviaturas das notações
∂ 2f
∂ ∂f
(a, b) =
(a, b) ,
∂y∂x
∂y ∂x
∂ ∂f
∂ 2f
(a, b) =
(a, b) .
∂x∂y
∂x ∂y
, fy2 e fyx
chamam-se as derivadas parciais de 2a
Às derivadas fx2 , fxy
ordem da função f .
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Exemplo 4 No exemplo anterior,
fx2 = 6xy2
fxy
= 6x2 y − 3
= 6x2 y − 3
fyx
fy2 = 2x3
A partir das derivadas de 2a ordem podem ser definidas as derivadas de
3a ordem e assim sucessivamente.
As derivadas fxy
e fyx
costumam ser designadas por derivadas mistas e em
certas condições dá-se a igualdade entre elas, como acontece no exemplo anterior. O teorema que apresentamos a seguir, sem demonstração, estabelece
algumas condições em que se dá essa igualdade.
numa vizinhança de (a, b)
Teorema 1 (Schwarz) Se existirem fx , fy e fxy
e se fxy for contínua nesse ponto, então também existe fyx
(a, b) e
fxy
(a, b) = fyx
(a, b) .
Dem. Omitida.
1.3
Diferenciabilidade de Campos Escalares
Da mesma forma que a diferenciabilidade de uma função real de variável
real, num certo ponto a do seu domínio, está associada à existência de uma
recta tangente ao gráfico da função no ponto (a, f (a)), a diferenciabilidade
de um campo escalar de IR2 em IR, num ponto (a, b) do seu domínio, está
associada à existência do plano tangente ao gráfico desse campo escalar no
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1 6 / M a io / 2 0 0 1
ponto (a, b, f (a, b)).
z
c
O plano tangente
ao gráfico da função
z=f(x,y)
no ponto (a,b,c).
b
O
y
a
x
De acordo com a figura, é natural esperar que o plano tangente contenha as
rectas cujos declives são as derivadas parciais da função em ordem a x e em
ordem a y, no ponto (a, b). Sendo as equações cartesianas dessas rectas
y=b
z − f(a, b) = fx (a, b)(x − a)
e
x=a
,
z − f (a, b) = fy (a, b)(y − b)
a equação do plano que as contém é
fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) − (z − f (a, b)) = 0.
(1)
No entanto, a existência do plano tangente não depende apenas da existência das derivadas parciais como facilmente se pode concluir pelo exemplo
seguinte.
Exemplo 5 A função f (x, y) = |xy|, cujo gráfico pode ser visto na figura
seguinte, admite derivadas parciais finitas na origem,
fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0.
Apesar disso, intuitivamente percebe-se que não tem sentido falar da existência de plano tangente ao gráfico da função no ponto (0, 0, 0), donde esta
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1 6 / M a io / 2 0 0 1
função não é diferenciável na origem.
z
f(a,b)+hf’x(a,b)+kf’y(a,b)
c
f(a+h,b+k)
b b+k y
O
a+h
a
(h,k)
x
f(a+h,b+k)- f(a,b)-hf’x(a,b)-kf’y(a,b)
O plano tangente ao gráfico de uma função no ponto (a, b, f (a, b)) só será
definido se a diferença entre o valor da função num ponto (a + h, b + k) de
uma vizinhança de (a, b), e a cota nesse ponto, do plano definido pela equação
fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) − (z − f(a, b)) = 0, for um infinitésimo com
a distância entre os pontos (a, b) e (a + h, b + k), isto é, se
f (a + h, b + k) − f(a, b) + hfx (a, b) + kfy (a, b)
√
lim
= 0.
(h,k)−→(0,0)
h2 + k2
Concluindo, diremos que f é uma função diferenciável em (a, b),
ponto interior do domínio de f, se e só se existirem as derivadas parciais
fx (a, b) e fy (a, b), e além disso
f(a + h, b + k) − f (a, b) − hfx (a, b) − kfy (a, b)
√
lim
= 0.
(h,k)−→(0,0)
h2 + k2
9
(2)
1 6 / M a io / 2 0 0 1
Exemplo 6 Para provar que a função f (x, y) = x2 y2 é diferenciável em
(0, 0) comecemos por calcular fx (0, 0) e fy (0, 0):
fx (x, y) = 2xy2 e fy (x, y) = 2yx2 ⇒ fx (0, 0) = 0 e fy (0, 0) = 0.
Vamos agora demonstrar que
f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) − hfx (0, 0) − kfy (0, 0)
√
= 0.
(h,k)→(0,0)
h2 + k2
lim
Para isso vamos utilizar a definição de limite; neste caso,
f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) − hfx (0, 0) − kfy (0, 0)
√
=0⇔
lim
(h,k)→(0,0)
h2 + k2
h2 k2
lim √
=0⇔
(h,k)→(0,0) h2 + k 2
√
h2 k2 2
2
< δ.
∀δ > 0, ∃ε > 0 : h + k < ε ⇒ √
h2 + k2 Ora,
2
2 2
h2 k2 2
2
(h2 + k2 )
2 3
√
= √h k
√
=
h
+
k
;
≤
h2 + k 2 h2 + k2
h2 + k2
√
3
Então, fazendo ε = δ 2 fica provado que, quando h2 + k2 < ε,
2
h2 k2 2
2
≤ h + k2 3 < ε 23 = δ 32 3 = δ.
√
h2 + k2 Repare-se agora que da relação 2 podemos concluir que
lim
f (a + h, b + k) − f(a, b) − hfx (a, b) − kfy (a, b) = 0,
(h,k)−→(0,0)
ou, equivalentemente,
f(a + h, b + k) = f(a, b) + hfx (a, b) + kfy (a, b) + R (h, k) , com
lim
(3)
R (h, k) = 0.
(h,k)−→(0,0)
A igualdade 3 pode ainda ser expressa na forma
h
+ R (h, k) ;
f (a + h, b + k) = f(a, b) + fx (a, b) fy (a, b)
k
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fazendo
α = (a, b) , v = he1 + ke2
2
e designando por
linear de IR em IR representada matri Dfα a aplicação
cialmente por fx (a, b) fy (a, b) tem-se
f (α + v) = f (α) + Dfα (v) +R (v) ,
o que sugere a definição seguinte.
Definição 2 Seja f : D ⊆ IR2 → IR e α = (a, b) ∈ intD. f é diferenciável
em α se e só se existir uma bola aberta centrada em α e de raio r, Br (α) ⊆D,
e uma aplicação linear Dfα de IR2 → IR, tais que:
f (α + v) = f (α) + Dfα (v) + R (v) ,
(4)
R (v)
= 0,
v→0 v
com lim
para qualquer vector v ∈IR2 que satisfaça a condição v < r.
A aplicação linear Dfα referida na definição anterior diz-se o diferencial,
derivada ou derivada total de f em α e representa-se habitualmente por
f (α).
O teorema que enunciamos a seguir mostra que esta definição é equivalente à apresentada inicialmente.
Proposição 2 Seja f : D ⊆ IR2 → IR e α = (a, b) ∈ intD. Se f é diferenciável
em α, então a aplicação linear Dfα é representada matricialmente por
fx (a, b) fy (a, b) .
Dem. Seja Dfα = s1 s2 , α = (a, b) , v = he1 + ke2 . A relação 4
pode então ser escrita na forma
f (a + h, b + k) = f(a, b) + s1 h + s2 k + R (h, k) .
(5)
Fazendo h = 0 na relação anterior, tem-se
f (a, b + k) = f (a, b) + s2 k + R (0, k) ⇒
f (a, b + k) − f (a, b)
R(0, k)
= s2 +
.
k
k
11
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= 0, conclui-se que
Como lim R(0,k)
k
k→0
f(a, b + k) − f(a, b)
= s2 ⇒
k→0
k
s2 = fy (a, b).
lim
Fazendo agora k = 0 na relação 5, tem-se
f (a + h, b) = f (a, b) + s1 h + R (h, 0) ⇒
f (a + h, b) − f (a, b)
R(h, 0)
= s1 +
.
h
h
= 0, conclui-se que
Como também lim R(h,0)
h
h→0
f(a + h, b) − f(a, b)
= s1 ⇒
k→0
h
s1 = fx (a, b).
lim
A equação 4, válida para v < r, é chamada a fórmula de Taylor de
1a ordem para f (α + v) e fornece uma aproximação linear, Dfα (v) , para
a diferença f (α + v) − f (α) . Desprezando R (v) podemos escrever
f (α + v) − f (α) ≈ Dfα (v) .
O erro que se comete ao fazer esta aproximação é portanto igual a R (v) ,
que é um termo de ordem inferior a v quando v → 0.
Era isto, aliás, o que já acontecia com as funções reais de variável real.
Relembrando um pouco este assunto, dizer que uma função real de variável
real, f, pode ser aproximada linearmente em x = a, será poder escrevê-la na
fórmula de Taylor com resto de primeira ordem:
R1 (h)
=0
|h|→0
h
f (a + h) = f (a) + f (a) h + R1 (x) , com lim
Repare-se que na vizinhança de a, a aproximação linear de f (x) é a função
f(x) = f (a) + f (a) (x − a) = f (a) x + [f (a) − f (a) a]
que representa a equação de uma recta com declive f (a) e ordenada na
origem [f (a) − f (a) a].
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Exemplo 7 A função f (x) = ex , numa vizinhança do ponto 0, tem como
aproximação linear a função y = x + 1. Como df = f (x0 ) dx então
f ≈ f (x0 ) x.
Assim,
ex − e0 ≈ e0 (x − 0) ,
resultando
ex ≈ x + 1.
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
0
-0.5
0.5
x
1
Exemplo 8 A função do exemplo 6, f(x, y) = x2 y2 , tem como aproximação
linear numa vizinhança do ponto (0, 0), o plano tangente de equação z = 0.
Isto significa que numa vizinhança de (0, 0), x2 y 2 ≈ 0.
Vamos agora apresentar a generalização dos resultados anteriores, a campos escalares definidos em IRn .
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1 6 / M a io / 2 0 0 1
Definição 3 Seja f : D ⊆ IRn → IR e α = (α1 , . . . , αn ) ∈ intD. f é
diferenciável em α se e só se existir uma bola aberta centrada em α e de
raio r, Br (α), e uma aplicação linear Dfα de IRn → IR, tais que:
f (α + v) = f (α) + Dfα (v) + R (v) ,
(6)
R (v)
= 0,
v→0 v
com lim
para qualquer vector v ∈IRn que satisfaça a condição v < r.
Proposição 3 Seja f : D ⊆ IRn → IR e α = (α1 , . . . , αn ) ∈ intD. Se f é
diferenciável em α, então a aplicação linear Dfα é representada matricialmente por
fx1 (α) . . . fxn (α) .
Dem. Exercício.
Vimos anteriormente que a existência das derivadas parciais não garante
a diferenciabilidade de um campo escalar; mas o mesmo não se passa com a
derivada total.
Proposição 4 Seja: f : D ⊆ IRn → IR e α ∈ intD. Se f é diferenciável em
α então f é contínua neste ponto.
Dem. Pretende-se mostrar que lim f (x) = f (α) , ou de outro modo,
x→α
que lim f (α + v) = f (α)Como f é diferenciável em α, tem-se
v→0
f (α + v) = f (α) + Dfα (v) + R (v) ,
R (v)
= 0.
v→0 v
com lim
Fazendo v → 0, na expressão anterior, resulta
lim f (α + v) = lim f (α) + lim Dfα (v) + lim R (v) =
v→0
v→0
v→0
= f (α) .
v→0
pois por hipótese lim R (v) = 0 e qualquer aplicação linear é uma função
v→0
contínua.
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1 6 / M a io / 2 0 0 1
A afirmação recíproca não é verdadeira! Existem funções contínuas que
não são diferenciáveis como o exemplo 5 mostra!
Nem sempre é fácil verificar se uma função é diferenciável recorrendo à
definição. Tem interesse, por isso, conhecer condições suficientes que garantam a diferenciabilidade de uma função.
Proposição 5 Seja f um campo escalar definido num subconjunto D de
IRn e α ∈ intD; se todas as derivadas parciais de f são continuas numa
vizinhança de α então f é diferenciável nesse ponto.
Dem. Omite-se a demonstração deste resultado.
Exemplo 9 A função f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 é diferenciável em qualquer
ponto de IR2 , pois
fx = 2x + 2y e fy = 2x + 2y
são funções contínuas em qualquer ponto de IR2 .
Interessa agora apresentar a definição de um conceito que será frequentemente utilizado daqui em diante.
Definição 4 Quando uma função admite derivadas parciais continuas até
à ordem p em todos os pontos de um conjunto S, diz-se de classe C p em
S e representa-se por f ∈ C p (S). Se uma função tiver derivadas parciais
contínuas, de qualquer ordem em todos os pontos de um conjunto S, diz-se
de classe C ∞ , nesse conjunto. Uma função diz-se de classe C 0 no conjunto
S se for contínua em S.
Em face desta definição podemos pois afirmar que uma função de classe
C numa vizinhança de um ponto (a, b) é diferenciável nesse ponto.
1
Exemplo 10 Nas figuras seguintes representam-se campos escalares com
(desdiferentes comportamentos na vizinhança da origem: f (x, y) = x2xy
+y 2
contínuo), g (x, y) =
xy2
x2 +y 2
(prolongável por contínuidade mas com prolonga3
mento não diferenciável), h (x, y) = x2xy+y2 (com prolongamento por continuidade diferenciável). O campo escalar, w (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y,
constitui um exemplo de uma aplicação C ∞ (“suave”).
15
1 6 / M a io / 2 0 0 1
0.5
0
-0.5
-4
-4
4
2
0
0y
x0
f (x, y) =
2
4
4
-4
0y
-2
2
-2
-2
2
-2
xy
x2 +y 2
2
x0
g (x, y) =
-2
4
-4
xy 2
x2 +y2
500
10
-2
-10
4
-500
0y
2
x0
h (x, y) =
1.4
0
-4
0
2
-2
-4
4
-4
-2
4
2
0y
x0
-2
2
-4
4
w (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y
xy 3
x2 +y2
Derivada Dirigida
Neste parágrafo iremos apresentar o conceito de derivada segundo a direcção
de um vector. Tendo em atenção, que a derivada de uma função pode ser
encarada como a taxa de variação instantânea da função, o que se pretende
estudar é qual a variação do campo escalar quando passa de um ponto a para
um ponto x , de uma vizinhança de a.
Por exemplo, se f (a, b) representar a temperatura de um ponto (a, b)
numa sala com um aquecedor e uma janela aberta, é evidente que se nos
movermos do ponto (a, b) em direcção à janela a temperatura irá diminuir,
mas se nos movermos em direcção ao aquecedor, aumentará.
Duma forma geral, um campo escalar varia de acordo com a direcção
segundo a qual se passa de um ponto para outro.
Exemplo 11 Seja f(x, y) = x2 + 2y2 um campo escalar de duas variáveis
cuja representação gráfica é a superfície parabólica representada na figura
16
1 6 / M a io / 2 0 0 1
seguinte.
1
◊2
A função na origem assume o valor 0. Quando se passa do ponto (0, 0) para
o ponto (1, 1), (segundo a direcção da recta y = x), a função
√ nesse ponto
toma o valor 3. Mas, quando
√ de (0, 0) passamos ao ponto ( 2, 0), segundo
a direcção√do eixo OX, f( 2, 0) = 2. Repare-se que os pontos considerados,
(1, 1) e ( 2, 0), estão à mesma distância da origem; a função, no entanto,
“cresce mais rapidamente” na direcção da recta y = x, do que segundo o eixo
dos xx.
Sendo f : D ⊆ IR2 → IR, (a, b) um ponto interior de D, e v = (v1 , v2 )
um vector unitário1 qualquer de IR2 , define-se derivada da função f no
ponto (a, b), segundo a direcção do vector v, como
f ((a, b) + t (v1 , v2 )) − f (a, b)
t→0
t
lim
e representa-se por fv (a, b).
Em termos geométricos, esta derivada pode ser interpretada da seguinte
forma:
(x, y) = (a, b) + t (v1 , v2 ) , t ∈ IR,
é a equação vectorial de uma recta s que passa no ponto (a, b) e tem a direcção
do vector v = (v1 , v2 );
f ((a, b) + t (v1 , v2 ))
é a restrição da função f a esses pontos.
1
Diz-se que v é um vector unitário se e só se a sua norma é igual a 1(v = 1).
17
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O gráfico desta restrição pode ser obtido intersectando o gráfico de f(x, y)
com um plano que contenha o ponto (a, b), o vector v e seja paralelo ao eixo
OZ.
z
c
z
c
A recta tangente ao
gráfico da função
z=f(a,b)+t(v1 ,v2)
O gráfico da função
z=f(a,b)+t(v1 ,v2)
y
b
O
a
O
a
v
x
b
y
v
x
fv (a, b) representará o declive da recta tangente ao gráfico de
z = f ((a, b) + t (v1 , v2 ))
no ponto (a, b, f (a, b)) .
Por outras palavras, a derivada dirigida de uma função f , num ponto α
e segundo um vector v, representa a taxa de variação instantânea da função
f nesse ponto e segundo a direcção do vector v.
Exemplo 12 Calculemos a derivada da função f (x, y) = 3x2 + 2y, segundo
a direcção do vector v = (3, 5), no ponto (1, 1); o vector v não é um vector
unitário, pelo que vamos começar por definir um vector que tenha a mesma
direcção e o mesmo sentido de v mas com norma igual a 1; esse vector pode
ser o versor de v (representado por ev ):
5
3
.
ev = √ , √
34 34
fe v (1, 1) = lim
t→0
= lim
t→0
= lim
f (1, 1) + t √334 , √534 − f (1, 1)
f 1+
3 1+
t
√3 t, 1 + √5 t − f (1, 1)
34
34
2
√3 t
34
t→0
t
+2 1+
√5 t
34
=
=
− (3 + 2)
t
√ 14 √
1 √ = lim
34 952 + 27 34t =
34
t→0 1156
17
18
=
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A definição apresentada generaliza-se facilmente para uma função definida
num subconjunto de IRn .
Definição 5 Seja f : D ⊆ IRn → IR, α ∈ intD e v um vector qualquer
de IRn ; Chama-se derivada de f no ponto α, segundo o vector v, e
representa-se por fv (α), ao seguinte limite quando este existe:
lim
t→0
f (α + tv) − f (α)
t
Chama-se derivada de f no ponto α segundo a direcção do vector v a derivada
segundo o versor ev de v.
As derivadas parciais de um campo escalar constituem casos particulares
de derivadas direccionais; de facto, fazendo v = ei , i = 1, . . . , n, na definição
5 obtemos
fe i (α) =
1.5
∂f
(α) .
∂xi
O vector Gradiente
Neste parágrafo iremos admitir que a função f : D ⊆ IRn → IR é diferenciável
em α ∈ intD. Nestas condições define-se vector gradiente da função f
no ponto α e representa-se por
f (α) ou gradf (α) .
ao vector cujas componentes são as derivadas parciais de f no ponto α,
∂f
∂f
(α) , . . . ,
(α) .
∂x1
∂xn
Repare-se que, sendo (e1 , . . . , en ) a base canónica de IRn ,
f (α) =
∂f
∂f
(α) e1 + · · · +
(α) en .
∂x1
∂xn
Exemplo 13 Calculemos o gradiente da função f (x, y) = 3x2 +2y, no ponto
(1, 1);
fx (x, y) = 6x ⇒ fx (1, 1) = 6 e fy (x, y) = 2 ⇒ fy (1, 1) = 2.
Assim
gradf (1, 1) = f (1, 1) = (6, 2) = 6e1 + 2e2 .
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Vejamos agora algumas propriedades do vector gradiente.
Proposição 6 Se f : D ⊆ IRn → IR, for diferenciável em α, então:
fv (α) = f (α) |v .
Dem. Sendo f : D ⊂ IRn → IR diferenciável em α, tem-se
f (α + tv) = f (α) + Dfα (tv) + R (tv)
com
R (tv)
= 0.
t→0 tv
lim
Ora
f (α + tv) − f (α)
=
t→0
t
R (tv)
=
= lim Dfα (v) +
t→0
t
= Dfα (v) =
= f (α) |v.
fv (α) = lim
Em resumo, a derivada segundo um vector de uma função diferenciável pode
ser obtida pelo produto interno entre o vector gradiente e o vector em questão.
Proposição 7 Nas condições da proposição anterior,
fv (α) = f (α) |v = f (α) v cos θ,
(7)
em que θ é o ângulo entre os vectores f (α) e v.
Dem. Resulta imediatamente da caracterização de produto interno através
da noção de norma e ângulo entre dois vectores.
Proposição 8 A taxa de variação máxima de um campo escalar verifica-se
na direcção e do vector gradiente (se f (α) = 0) e o valor absoluto desta
taxa de variação é igual à norma do vector gradiente, isto é,
|fe (α)| = f (α) .
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Dem. Seja v um vector de norma 1; a igualdade 7 toma então a forma
fv (α) = f (α) |v = f (α) cos θ.
Assim, a derivada segundo a direcção de v, fv (α), é maxima quando
o vector v tiver a direcção e do vector f (α) , pois nestas circunstâncias
cos θ = 1. Mas a derivada segundo a direcção de e, fe (α), traduz precisamente a taxa de variação do campo escalar nesta direcção. Por outro lado,
nesta direcção, |fe (α)| = f (α) .
Exemplo 14 Qual a direcção de maior crescimento da função f (x, y) =
x2 − y2 , no ponto (0, 1)?
A direcção procurada é a direcção do vector gradiente de f em (0, 1),
f (0, 1) = (0, −2) .
2 4
x2 -y =-
z
2
2=
2
x -y
2
0
y 2=
x 2-
y
x
-1
1
4
y=
y 2=
2
O vector gradiente
“f(0,1).
x 2-
x-
1
1
A curva de nível que passa
no ponto (0,1).
-1
2
-1
Esta resposta é perfeitamente consistente com os gráficos apresentados
anteriormente; de facto, se as linhas de nível representam o lugar geométrico
dos pontos onde a função assume um valor constante, e o gradiente aponta
na direcção de maior crescimento, sendo f uma função “razoavelmente bem
comportada”, é natural esperar que o gradiente da função num determinado
ponto, e a curva de nível que passa nesse ponto sejam perpendiculares.
O teorema que apresentamos a seguir para n = 3, e cuja demonstração
será deixada como exercício, traduz esta importante propriedade do vector
gradiente.
Proposição 9 Seja f : D ⊆ IR3 → IR uma função diferenciável em (a, b, c) ∈
intD; então f (a, b, c) é perpendicular à superfície de nível da função f que
passa nesse ponto.
Dem. Exercício.
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Exemplo 15 Determinemos a equação do plano tangente à superfície esférica x2 + y2 + z 2 = 3 no ponto (1, 1, 1).
É de fácil verificação que o ponto referido pertence à superfície indicada.
Por outro lado, designando por f a função definida por
f (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 ,
sabemos que o vector gradiente de f no ponto (1, 1, 1) ,
∇f (1, 1, 1) = (2, 2, 2)
é normal à referida superfície no ponto em questão Assim a equação do plano
tangente será:
(x − 1) 2 + (y − 1) 2 + (z − 1) 2 = 0.
As equações normais da recta normal à superfície no ponto (1, 1, 1) serão:
y−1
z−1
x−1
=
=
2
2
2
Generalizando este exemplo, suponha-se, agora, que uma dada superfície
é caracterizada pela equação F (x, y, z) = C e que P = (a, b, c) é um ponto
da referida superfície. Nestas circunstâncias sabemos que v =gradF (a, b, c)
será um vector normal à superfície em P . Assim a equação do plano tangente
e as equações da recta normal à superfície serão, respectivamente:
1. Equação do Plano Tangente à superfície F (x, y, z) = C em P =
(a, b, c) :
(x − a)
∂F
∂F
∂F
(a, b, c) + (y − b)
(a, b, c) + (z − c)
(a, b, c) = 0
∂x
∂y
∂z
2. Equações da Recta Normal à superfície F (x, y, z) = C em P = (a, b, c):
∂F
∂x
x−a
=
(a, b, c)
∂F
∂y
y−b
=
(a, b, c)
∂F
∂z
z−c
.
(a, b, c)
Exemplo 16 Consideremos agora o campo escalar z = f (x, y). Determinemos a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (a, b, f (a, b))
bem como as equação cartesianas da recta perpendicular ao seu gráfico nesse
ponto.
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Nesta situação, os pontos do gráfico da função f são caracterizados pela
condição f (x, y) − z = 0. Fazendo F (x, y, z) = f(x, y) − z, tem-se
∂F
∂x
(a, b, f (a, b)) =
∂f
∂x
(a, b) ,
∂F
∂y
(a, b, f (a, b)) =
∂f
∂y
(a, b) ,
e
∂F
∂z
(a, b, f (a, b)) = −1.
1. Equação do plano tangente à superfície z = f (x, y) em (a, b, f (a, b)) :
z = (x − a)
∂f
∂f
(a, b) + (y − b)
(a, b) + f (a, b) .
∂x
∂y
2. Equações da recta normal à superfície z = f (x, y) em (a, b, f (a, b)) :
y−b
z − f (a, b)
x−a
=
=
∂f
∂f
−1
(a, b)
(a, b)
∂x
∂y
Referências
[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;
[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em IR e
IRn , McGraw-Hill, 1995;
[3] Lima, Elon Lages, Curso de Análise (Vol 1 e 2), IMPA, Projecto Euclides,
1995;
[4] Piskounov, N., Calcul Différentiel et Intégral, MIR, 1976;
[5] Taylor, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Massachusetts, 1972;
[6] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;
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