a
o
8 SÉRIE 9 ANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Volume 2
MATEMÁTICA
CADERNO DO PROFESSOR
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANO
VOLUME 2
Nova edição
2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretária-Adjunta
Cleide Bauab Eid Bochixio
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Dione Whitehurst Di Pietro
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colaboradores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abordagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orientações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avaliação constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
A NOVA EDIÇÃO
Os materiais de apoio à implementação
do Currículo do Estado de São Paulo
são oferecidos a gestores, professores e alunos
da rede estadual de ensino desde 2008, quando
foram originalmente editados os Cadernos
do Professor. Desde então, novos materiais
foram publicados, entre os quais os Cadernos
do Aluno, elaborados pela primeira vez
em 2009.
Na nova edição 2014-2017, os Cadernos do
Professor e do Aluno foram reestruturados para
atender às sugestões e demandas dos professores da rede estadual de ensino paulista, de modo
a ampliar as conexões entre as orientações oferecidas aos docentes e o conjunto de atividades
propostas aos estudantes. Agora organizados
em dois volumes semestrais para cada série/
ano do Ensino Fundamental – Anos Finais e
série do Ensino Médio, esses materiais foram revistos de modo a ampliar a autonomia docente
no planejamento do trabalho com os conteúdos
e habilidades propostos no Currículo Oficial
de São Paulo e contribuir ainda mais com as
ações em sala de aula, oferecendo novas orientações para o desenvolvimento das Situações de
Aprendizagem.
Para tanto, as diversas equipes curriculares da Coordenadoria de Gestão da Educação
Básica (CGEB) da Secretaria da Educação do
Estado de São Paulo reorganizaram os Cadernos do Professor, tendo em vista as seguintes
finalidades:
f incorporar todas as atividades presentes
nos Cadernos do Aluno, considerando
também os textos e imagens, sempre que
possível na mesma ordem;
f orientar possibilidades de extrapolação
dos conteúdos oferecidos nos Cadernos do
Aluno, inclusive com sugestão de novas atividades;
f apresentar as respostas ou expectativas
de aprendizagem para cada atividade presente nos Cadernos do Aluno – gabarito
que, nas demais edições, esteve disponível
somente na internet.
Esse processo de compatibilização buscou
respeitar as características e especificidades de
cada disciplina, a fim de preservar a identidade
de cada área do saber e o movimento metodológico proposto. Assim, além de reproduzir as
atividades conforme aparecem nos Cadernos
do Aluno, algumas disciplinas optaram por descrever a atividade e apresentar orientações mais
detalhadas para sua aplicação, como também incluir o ícone ou o nome da seção no Caderno do
Professor (uma estratégia editorial para facilitar
a identificação da orientação de cada atividade).
A incorporação das respostas também respeitou a natureza de cada disciplina. Por isso,
elas podem tanto ser apresentadas diretamente
após as atividades reproduzidas nos Cadernos
do Professor quanto ao final dos Cadernos, no
Gabarito. Quando incluídas junto das atividades, elas aparecem destacadas.
Além dessas alterações, os Cadernos do
Professor e do Aluno também foram analisados pelas equipes curriculares da CGEB
com o objetivo de atualizar dados, exemplos,
situações e imagens em todas as disciplinas,
possibilitando que os conteúdos do Currículo
continuem a ser abordados de maneira próxima ao cotidiano dos alunos e às necessidades
de aprendizagem colocadas pelo mundo contemporâneo.
Seções e ícones
Leitura e análise
Para começo de
conversa
Aprendendo a
aprender
Você aprendeu?
?
!
Lição de casa
Pesquisa individual
O que penso
sobre arte?
Situated learning
Pesquisa em grupo
Learn to learn
Homework
Roteiro de
experimentação
Ação expressiva
Pesquisa de
campo
Para saber mais
Apreciação
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
7
11
Situação de Aprendizagem 1 – Semelhança entre figuras planas
11
Situação de Aprendizagem 2 – Triângulos: um caso especial de semelhança
20
Situação de Aprendizagem 3 – Relações métricas nos triângulos retângulos;
teorema de Pitágoras 29
Situação de Aprendizagem 4 – Razões trigonométricas dos ângulos agudos
Situação de Aprendizagem 5 – A natureza do número Pi (π)
51
Situação de Aprendizagem 6 – A razão π no cálculo do perímetro e da área
do círculo 62
Situação de Aprendizagem 7 – Cilindros
79
Situação de Aprendizagem 8 – Probabilidade e Geometria
Orientações para Recuperação
88
96
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 98
Considerações finais
100
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais
101
39
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada volume não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se às abordagens sugeridas
ao longo deste Caderno. Em tal abordagem,
busca-se evidenciar os princípios norteadores
do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências
pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita matemática,
bem como os elementos culturais internos e
externos à Matemática.
Nos Cadernos, os conteúdos estão organizados em 16 unidades com extensões aproximadamente iguais, que podem corresponder a
16 semanas de trabalho letivo. De acordo com
o número de aulas disponíveis por semana, o
professor explorará cada assunto com mais ou
menos aprofundamento. A critério do professor, em cada situação específica, o tema correspondente a uma das unidades pode ser estendido para mais de uma semana, enquanto
o de outra unidade pode ser tratado de modo
mais simplificado. É desejável que o professor tente contemplar as 16 unidades, uma vez
que, juntas, elas compõem um panorama do
conteúdo deste volume, e, muitas vezes, uma
das unidades contribui para a compreensão
das outras. Insistimos, no entanto, no fato de
que somente o professor, em sua circunstância
particular, e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar adequadamente quanto
tempo dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo do Caderno são apresentadas,
além de uma visão panorâmica de seu conteúdo, oito Situações de Aprendizagem, que pretendem ilustrar a abordagem sugerida, instrumentalizando o professor para sua ação em
sala de aula. As Situações de Aprendizagem
são independentes e podem ser exploradas
com maior ou menor intensidade, segundo
seu interesse e o de sua turma. Naturalmente,
em razão das limitações no espaço do Caderno, nem todas as unidades foram contempladas com Situações de Aprendizagem, mas a
expectativa é de que a abordagem dos temas
seja explicitada nas atividades oferecidas.
Sempre que possível, também são apresentados no Caderno materiais disponíveis (textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em
sintonia com a forma de abordagem proposta,
que podem ser utilizados pelo professor para
o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
enunciadas no presente volume, em cada Situação de Aprendizagem apresentada.
7
Conteúdos básicos do volume
O tratamento dos conteúdos de Geometria
priorizados neste Caderno é relacionado, de
uma forma ou de outra, à ideia da semelhança e, portanto, à proporcionalidade. Em linhas
gerais, são estes os conteúdos destacados: semelhança de triângulos, razões trigonométricas de um ângulo agudo, relações métricas no
triângulo retângulo e teorema de Pitágoras.
São apresentados, também, os cálculos métricos envolvendo o círculo e o cilindro. A medida
do perímetro, da área e do volume de figuras
circulares está diretamente ligada ao número
pi, representado pela letra π do alfabeto grego.
Esse número já havia sido apresentado aos alunos na 6a série/7o ano do Ensino Fundamental,
dentro do estudo da proporcionalidade e das
razões geométricas. Naquela situação, bastava
aos alunos o conhecimento de que a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro era constante e valia aproximadamente
3,14. Agora, na 8a série/9o ano, o π adquire novos significados, e seu uso será ampliado para
a realização de cálculos de perímetros, áreas e
volumes de figuras circulares.
Na Situação de Aprendizagem 1, propomos
a exploração da ideia de semelhança entre figuras planas quando uma delas é obtida a partir
de ampliação ou de redução da outra. Apesar
de procedimentos semelhantes aos propostos
na Situação de Aprendizagem serem realizados
em séries/anos anteriores do Ensino Fundamental, julgamos importante retomá-los agora,
ampliando o rol de significados associados ao
conceito, com a inclusão de situações-problema
8
próprias desse segmento de ensino. Dessa forma, poderemos estabelecer, entre figuras semelhantes, relações de proporcionalidade que
demandem a realização de operações algébricas e a mobilização de estratégias de raciocínio
não exigidas anteriormente. Exploramos ainda, nesta Situação de Aprendizagem, a representação de prismas semelhantes em perspectiva na malha quadriculada, bem como a relação
entre o fator de ampliação linear, das medidas
das arestas, e o fator de ampliação na área e no
volume dos sólidos obtidos.
A importância de conhecer as propriedades
dos triângulos é fundamental para aqueles que
se dispõem a estudar Geometria, uma vez que,
entre outros motivos, um polígono de n lados
pode ser sempre visto como uma série de triângulos justapostos. Assim, de certa forma, os
triângulos são polígonos elementares, pois todos os demais polígonos podem ser estudados
por meio de sua decomposição em triângulos.
Entre as inúmeras propriedades geométricas
associadas aos triângulos, propomos, na Situação de Aprendizagem 2, analisar, especificamente, a semelhança entre triângulos, de forma
aplicada e em contextos variados.
Na Situação de Aprendizagem 3 propomos
a obtenção de algumas relações métricas dos
triângulos retângulos, incluído o teorema de
Pitágoras, com base em dois focos diferentes:
por composição de figuras e por semelhança
entre triângulos. As relações obtidas poderão,
em seguida, ser aplicadas na resolução de uma
série de situações-problema propostas especialmente para alcançar esse objetivo.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Na Situação de Aprendizagem 4 apresentamos uma proposta de tratamento das
razões trigonométricas que parte da fixação
da medida do ângulo agudo do triângulo retângulo e da obtenção dos valores de suas
razões (seno, cosseno e tangente). Trata-se,
portanto, de colocar o foco sobre a medida
do ângulo, destacando o fato de que as razões trigonométricas são, prioritariamente,
associadas ao ângulo, e não às medidas dos
lados do triângulo retângulo.
A Situação de Aprendizagem 5 trata justamente da ampliação do significado do número
π. Partindo de uma abordagem histórica que
mostra o desafio intelectual que representou
o cálculo dessa razão durante séculos, propomos uma reflexão abrangente sobre as características particulares desse que é um dos mais
famosos números da Matemática.
Nesta série/ano, os alunos analisam o fato
de π ser um número irracional, ou seja, que
apresenta infinitas casas decimais não periódicas. Ao final da Situação de Aprendizagem,
propomos uma atividade de investigação estatística envolvendo os dígitos decimais do
número π.
Na Situação de Aprendizagem 6, o foco se
desloca para o uso do número π no cálculo do
perímetro e da área do círculo. São propostas
diversas situações envolvendo atividades de
medida de objetos circulares, demonstrações,
aproximações do valor de π e problemas relacionados ao cálculo de áreas e perímetros
de figuras circulares. Vale destacar dois pro-
blemas exemplares abrangendo o uso do π.
O primeiro, de caráter mais prático, envolve
a determinação do diâmetro da roda de um
automóvel e a distância percorrida por ele. O
segundo, mais teórico, refere-se a um problema milenar envolvendo o cálculo de medidas
de figuras circulares, que ficaram conhecidas
como “lúnulas de Hipócrates”.
A Situação de Aprendizagem 7 aborda os
cálculos métricos relacionados ao cilindro, fazendo uma analogia com a fórmula do volume do prisma reto. A demonstração formal,
baseada no Princípio de Cavalieri, será feita
na 2a série do Ensino Médio.
Por fim, a Situação de Aprendizagem 8 trata da relação entre a Geometria e o cálculo
de probabilidade. Ampliando o conceito de
probabilidade para espaços amostrais contínuos, apresentamos algumas situações que
envolvem a determinação da probabilidade
por meio da comparação entre as áreas de figuras geométricas, em geral, circulares. Vale
destacar a menção a um dos problemas mais
curiosos da história da Matemática: a agulha
de Buffon. A discussão sobre esse problema
traz inúmeros elementos para se pensar a natureza do conhecimento matemático. Lembramos que as atividades propostas neste
Caderno têm como objetivo apoiar a prática
do professor. Dessa forma, elas podem e devem ser transformadas e aplicadas de acordo
com a necessidade e realidade de cada turma
e de cada professor. Deve ficar a critério do
professor a escolha de quais atividades explorar e de como integrá-las ao seu programa.
9
Acreditamos, contudo, que as sugestões aqui
apresentadas possam contribuir efetivamente
na direção de um ensino e de um aprendizado
mais significativo da Matemática.
Quadro geral de conteúdos do volume 2 da 8a série/9o ano do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Semelhança entre figuras planas: ampliação ou redução.
Unidade 2 – Semelhança de triângulos.
Unidade 3 – Semelhança de triângulos: contextos diferenciados.
Unidade 4 – Semelhança de triângulos retângulos: relações métricas.
Unidade 5 – Semelhança de triângulos retângulos: relações métricas.
Unidade 6 – Relações métricas e teorema de Pitágoras: aplicações.
Unidade 7 – Razões trigonométricas de um ângulo agudo.
Unidade 8 – Razões trigonométricas de um ângulo agudo: aplicações.
Unidade 9 – O significado da razão π.
Unidade 10 – Perímetro da circunferência.
Unidade 11 – Área do círculo.
Unidade 12 – Área de setores circulares.
Unidade 13 – Problemas métricos envolvendo perímetro e área de figuras circulares.
Unidade 14 – Área e volume do cilindro.
Unidade 15 – Problemas métricos envolvendo área e volume do cilindro.
Unidade 16 – Probabilidade e Geometria.
10
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS
Conteúdos e temas: condições de semelhança entre figuras planas.
Competências e habilidades: avaliar a existência ou não de semelhança entre duas figuras
planas; avaliar elementos que se alteram quando figuras planas são ampliadas ou reduzidas;
identificar a razão de semelhança entre duas figuras planas.
Sugestão de estratégias: resolução de sequência de exercícios exemplares, em alguns casos
representados sobre malhas quadriculadas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Nesta Situação de Aprendizagem, exploramos uma variável da concepção de semelhança de figuras planas, definida da seguinte
maneira: duas figuras planas são consideradas
semelhantes quando uma delas pode ser obtida
a partir de uma ampliação ou uma redução da
outra. Dessa forma, retomamos e ampliamos
alguns conteúdos anteriormente trabalhados.
Assim, estudar a semelhança entre figuras
implica retomar a ideia de escala e, por consequência, a ideia de razão entre duas medidas de mesma natureza. Poderemos também
estabelecer, entre figuras semelhantes, relações de proporcionalidade que exijam a realização de operações algébricas e a mobilização de estratégias de raciocínio não exigidas
anteriormente.
Ao pensarmos na razão 1:3, sabemos que
cada medida do contorno da figura ampliada é três vezes maior do que a medida correspondente na figura original. Essa ideia de
razão de semelhança, porém, não é o bastante
para compreender a representação de figuras
em escala. Dessa forma, a análise das diversas
situações de semelhança exige pensar não apenas na medida do contorno das figuras, mas
também em suas medidas angulares.
Assim, devemos sempre observar se os ângulos correspondentes de duas figuras semelhantes, a original e a ampliada, têm a mesma
medida, isto é, são congruentes. Em síntese,
para que duas figuras sejam semelhantes, é
preciso que sejam obedecidas duas condições:
as medidas angulares devem ser correspondentemente iguais e as medidas lineares correspondentes devem guardar uma proporcionalidade. No caso particular dos triângulos,
11
como veremos, uma dessas condições acarreta
automaticamente a outra e vice-versa.
Além disso, nesta Situação de Aprendizagem, contemplaremos a representação de
prismas semelhantes, em perspectiva, na malha quadriculada, bem como a relação entre
o fator de ampliação linear das medidas das
arestas e o fator de ampliação na área e no
volume dos sólidos.
Ampliação e redução: o que se altera
e o que não se altera?
Inicialmente, o professor poderá verificar o
conhecimento prévio dos alunos sobre o assunto aplicando alguns exercícios:
1. A Figura 2 foi obtida pela
ampliação da Figura 1:
2. Observe a estrela de seis pontas desenhada na malha quadriculada. Desenhe, ao
lado, duas outras estrelas de seis pontas, de
modo que uma delas seja uma redução e a
outra seja uma ampliação da estrela inicial,
ambas de um fator 2.
A
A”
B
F
E
F”
B”
E”
C”
C
D
A’
F’
B’
E’
C’
D’
D”
3. Observe nos desenhos que o retângulo (III)
tem o triplo da largura de (I), o retângulo
(II) tem o dobro da largura de (I) e os três
têm a mesma medida de altura.
C'
(I)
C
(II)
(III)
A
B
Figura 1
A’
B’
Figura 2
Assinale X ao lado do conjunto de medidas
iguais nas duas figuras:
( ) Segmento AB e segmento A’B’.
( ) Segmento BC e segmento B’C’.
( ) Perímetro da Figura 1 e perímetro da
Figura 2.
( ) Área da Figura 1 e área da Figura 2.
( X ) Medida do ângulo CAB e medida do
ângulo C’A’ B’.
12
a) É correto afirmar que os ângulos nos
três retângulos são correspondentemente congruentes? Por quê?
Sim, pois todos são retos.
b) Podemos dizer que uma dessas figuras
é redução ou ampliação da outra? Por
quê?
Não, porque as medidas dos lados não são proporcionais. As
medidas dos comprimentos são diferentes, mas as larguras
são iguais.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Dando continuidade ao trabalho, após
discutir as resoluções apresentadas pelos
alunos, o professor poderá solicitar que
construam figuras semelhantes, em determinada razão, utilizando régua e compasso, no processo conhecido por homotetia.
Nesse caso, propomos que sejam desenhadas e analisadas mais de uma situação em
que o centro de homotetia (ponto H ) se
apresenta em diferentes posições em relação às figuras.
4. Observe o pentágono FATOS. Por meio de
um processo de ampliação, desenhou-se
outro pentágono: F’A’T’O’S’. Para construir o segundo pentágono, desenhamos
linhas retas partindo de um ponto fixo que
chamamos de H. Essas linhas, como mostra o desenho, passam pelos vértices do
pentágono FATOS. Para desenhar o pentágono maior, foi preciso respeitar a regra
HA’ ,
de que as razões entre os segmentos
HA
HF’ , HT’ , e assim por diante, devem
HF HT
ser iguais.
E'
B
H
L'
A'
A
L
B'
E
A'
L
H
U
A
U'
L'
Podemos usar homotetia para, por
exemplo, ampliar uma figura por um fator 2, isto é, desenhar uma figura com
medidas de lados iguais ao dobro das
medidas dos lados da figura original.
Fazemos assim: desenhamos a figura
inicial, começamos o processo de homotetia e deixamos para você terminar.
Sobre a figura iniciada, desenhe uma figura que seja ampliação de fator 2 do
losango ABCD.
A’
A
F
H
S
T
F’
T’
A
O
S’
O’
B
D
O
C
Esse processo recebe o nome de “homotetia”, palavra que significa “mesma forma”.
Veja outros dois desenhos produzidos por
homotetia, com o ponto H colocado em
outros lugares em relação às figuras.
1o passo – Marcar os segmentos OA’, OB’, OC’ e OD’, de
comprimentos iguais ao dobro dos comprimentos de OA,
OB, OC e OD, respectivamente.
13
A'
b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são
semelhantes e a razão de semelhança é
um valor k, tal que FB’ = k · FB. Qual é
a razão de semelhança nesse caso?
A
D'
B'
B
D
O
3
FB’ = k · FB A 9 = k · 6 A k =
C
2
C'
2o passo – Unindo os pontos A’, B’, C’ e D’ por segmentos de reta,
teremos obtido uma ampliação de fator 2 do losango original.
A’
= 1,5
6. Considere que o triângulo ABC, na figura
original do problema anterior, seja equilátero e que AB = 2 cm. Nesse caso:
B
A
D’
A
B’
C
B
D
O
D
C
C’
E
Razão de semelhança
a) calcule a área de ABC;
Após a construção de algumas figuras, o
professor poderá propor aos alunos os seguintes problemas:
ℓ
ℓ
5. Observe a figura que representa a ampliação
do polígono ABCDE, realizada com base nas
linhas convergentes a um ponto F. Suponha
que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B’.
h
B'
A'
B
C'
D
F
D'
E
F’B’
14
A’B’
2
6
9
=
2
A’B’
AA’B’ = 3 cm
2
൱ Ah=
ℓuh
=
ÁreaABC=
(AB)2 3
4
ℓ 3
2
ℓ2 3
2
a) Se AB = 2 cm, quanto mede A’B’ ?
A
2
2
Área =
AB
ℓ
ℓ2 = h2 + ൭
E'
=
ℓ
C
A
FB
ℓ
4
=
22 3
4
= 3 cm2
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
L
b) calcule a área de A’B’C’;
Área =
(A’B’)2 3
32 3
=
4
= 2,25 3 cm2
4
c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior
do que a área de ABC ?
2,25 3
8 cm
= 2,25 vezes = 1,52 vezes
3
65o
7. Desenhe na figura um polígono A’’B’’C’’D’’E’’
que seja semelhante a ABCDE, com razão
de semelhança 2,0.
I
G
Sendo assim, escreva a medida de:
B”
B
A C
F
E
A”
C”
D
a) LI
b) SÂM
ˆ
d) LGI
ˆ
e) GLI
ˆ
c) SMA
D”
Dado que um triângulo é ampliação do outro, podemos
E”
garantir a congruência entre os ângulos correspondentes
e, também, a proporcionalidade entre as medidas dos lados
Devemos observar que a atividade 6 apresenta a ideia de que a ampliação de uma figura plana de um fator k gera uma figura com a
área ampliada de um fator k2. Propomos que o
professor aprofunde um pouco mais essa discussão com base em algumas situações-problema,
como as da próxima etapa.
correspondentes.
M
88o
6 cm
Ampliações e reduções: perímetros
e áreas
S
27o
8. O triângulo GIL é uma ampliação do
triângulo SAM.
4 cm
65o
A
L
M
88o
x
8 cm
6 cm
27o
S
4 cm
27o
A
65o
I
G
15
a)
SM
MA
=
GL
; logo, LI =
LI
16
b) Qual tipo de quadrilátero é NECO?
cm
3
NECO também é um trapézio isósceles, assim como TUBA,
b) SAM = 65o
visto que um é redução do outro; nesse caso, mantêm-se as
c) SMA = 180o − (27o + 65o)= 88o
características da figura inicial.
d) LGI = 27o
c) Quanto mede a altura de TUBA? E
quanto mede a altura de NECO?
o
e) GLI = 88
A altura de TUBA mede 5 cm e a altura de NECO mede 2 cm,
9. Reduzindo proporcionalmente o trapézio
isósceles TUBA de um fator 2,5, obtemos
o quadrilátero NECO. Suponha que cada
quadrícula da malha tenha lados de 1 cm e
faça o que se pede a seguir.
pois 5 ÷ 2,5 = 2.
d) Quais são as medidas das bases de
NECO?
As bases de NECO medem:
5 ÷ 2,5 = 2 cm
T
U
9 ÷ 2,5 = 3,6 cm
e) Em relação ao perímetro de NECO,
quantas vezes é maior o perímetro de
TUBA?
O perímetro de TUBA é 2,5 vezes maior que o perímetro de
A
B
NECO, pois todas as medidas lineares de TUBA foram reduzidas 2,5 vezes, a fim de que fosse obtido NECO.
a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o
quadrilátero TUBA.
A base menor de TUBA tem 5 unidades, bem como sua altura.
f) Em relação à área de NECO, quantas
vezes é maior a área de TUBA?
Assim, em uma redução de fator 2,5, essa medida passará a
A área de TUBA é (2,5)2 maior do que a área de NECO, con-
ser igual a 2 unidades no polígono NECO, conforme repre-
forme é possível perceber pelo seguinte cálculo:
sentado na figura a seguir.
Área de trapézio =
T
U
=
(base maior + base menor) u altura
2
Área (TUBA) =
(9 + 5) u 5
= 35 cm2
2
N
E
Área (NECO) =
(3,6 + 2) u 2
2
A O
16
C
B
35 ÷ 5,6 = 6,25 = (2,5)2
= 5,6 cm2
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
A ampliação/redução de figuras é um procedimento diretamente relacionado ao conceito de semelhança, como mostram as atividades anteriores. No entanto, é importante
ressaltar que se tratou até agora unicamente
da semelhança entre figuras planas, com foco
especial sobre os polígonos. Propomos que o
professor avalie a possibilidade de extrapolar o conceito de semelhança para sólidos
geométricos, notadamente os prismas, utilizando, para tanto, o artifício de representar
prismas em malha quadriculada.
Observemos, por exemplo, os passos para o
desenho de um prisma regular de base retangular.
A discussão acerca das respostas dos
alunos deve conduzir à formalização de que
a semelhança entre figuras espaciais, assim
como no caso das planas, será definida a partir da proporcionalidade entre as medidas
dos lados correspondentes e da congruência
entre as medidas dos ângulos das duas formas. Como representar, então, dois prismas
semelhantes em perspectiva na malha quadriculada? No caso do prisma do exemplo,
teríamos:
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)
Inicialmente, desenhamos dois paralelogramos congruentes (1). Em seguida, unimos
os vértices correspondentes com segmentos de
reta (2). Por fim, pintamos as “faces” do sólido
representado.
Realizada a etapa da representação inicial de
um prisma, o professor poderá propor questões
instigadoras para seus alunos, como:
f Todos os prismas desse tipo são semelhantes
entre si?
f Como representar, na malha quadriculada,
outro prisma, semelhante a esse, em determinada razão de semelhança?
O prisma (2) é uma ampliação do prisma (1)
na razão 1,5. Observe que as medidas das
arestas de (1) foram todas aumentadas em
1,5 vez para que fossem obtidas as arestas de
(2). As medidas angulares correspondentes
nos desenhos são congruentes.
Em seguida, o professor poderá propor aos
alunos a resolução dos seguintes problemas.
Semelhança entre prismas
representados na malha quadriculada
10. Quais dos seguintes prismas retos de base
triangular, representados na malha quadriculada, são semelhantes? Em cada caso,
qual é o fator de ampliação?
17
(1)
(2)
(3)
12. Observe o prisma oblíquo representado na
malha quadriculada. Desenhe um prisma semelhante a ele, com razão de semelhança 1 .
3
u
(5)
(4)
1
3
São semelhantes 1 e 3, e são semelhantes 4 e 5.
Fator de proporcionalidade:
t de 1 para 3: ampliação de fator 2;
t de 3 para 1: redução de fator 2;
t de 4 para 5: redução de fator 2;
t de 5 para 4: ampliação de fator 2.
11. Faça o que se pede:
13. Represente dois cubos de volumes diferentes na malha quadriculada e responda: os
cubos desenhados são ou não semelhantes? Por quê?
a) amplie o prisma de base hexagonal representado na malha quadriculada considerando o fator de ampliação igual a 1,5.
b) reduza o prisma de base hexagonal representado na malha quadriculada considerando o fator de redução igual a 2.
Resposta dos itens a e b:
(a)
u 1,5
Dois cubos são sempre semelhantes, pois em um cubo todas as arestas possuem a mesma medida. Portanto, a razão
entre as medidas dos lados é constante. Além disso, todos
÷2
(b)
18
os ângulos das faces são retos, pois elas são quadradas.
14. Considere dois cubos semelhantes na razão 1 : 4. Complete a tabela com as medidas da aresta, da área da base, da área total e do volume do maior sólido em função
de x, y, z e w.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
da
Medida Aresta Área
base
Menor
sólido
Área
total
C
Volume
D
a
180 m
x
y
z
Parque 1
w
Parque 2
A
Maior
sólido
16y
16z
GR
ua
64w
As medidas lineares manterão a razão 1 : 4, enquanto a rela2
ção de proporcionalidade entre as áreas será de 1 : 4 e, entre
os volumes, de 1 : 43.
Por fim, encerrando a Situação de Aprendizagem, propomos que os alunos sejam
instigados a aplicar a ideia da semelhança
entre duas figuras planas em uma situação-problema contextualizada, como na próxima etapa.
Semelhança entre figuras planas:
contexto e aplicações
Bet
a
15. As medidas de CB e de FG são fixas e
valem, respectivamente, 180 m e 60 m, enquanto as demais medidas podem variar,
mantendo-se, todavia, a semelhança entre
as duas figuras. Com base nisso, responda:
a) Se a medida de EH for igual a 25 m,
qual será a medida de DA ?
FG
=
CB
EH
DA
A
60
=
180
25
DA
A DA = 75 m
b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?
FG
=
CB
A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre as
ruas Alfa e Beta. Observando a planta do
lugar, pode-se perceber que os dois parques
terão formato de trapézios semelhantes
(ABCD e EFGH). Os ângulos internos de um
serão, correspondentemente, de mesma medida que os ângulos internos do outro. Além
disso, há uma proporcionalidade entre as
medidas correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base maior de cada trapézio foi definida, sendo 180 m em um deles e 60 m no
outro. As demais medidas dependerão de
desapropriações a serem realizadas no local.
60 m
H
B
4x
Alf
F Rua
E
EH
DA
A
60
=
180
EH
18
A EH = 6 m
c) Se EH = k, quanto medirá DA em
função de k?
FG
=
CB
EH
DA
A
60
k
=
180
DA
A DA = 3k
16. No final das negociações e desapropriações, chegou-se à conclusão de que as medidas de EF e HG serão, respectivamente,
15 m e 18 m. Qual será a medida de:
a) CD ?
FG
=
BC
A
60
180
EH
AD
=
b) AB ?
EH
DA
HG
=
CD
18
CD
EF
AB
=
A
15
AB
19
a)
60
=
18
180
CD
60
15
A CD = 54 m
Convém observar e salientar que a razão de semelhança
entre ABCD e EFGH é igual a 3, nesse caso, como é possí-
b)
180
=
AB
A AB = 45 m
vel perceber pela divisão entre dois valores de uma mesma
linha da tabela.
17. O construtor dos parques sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o
parque maior. Nessas condições, adotando
os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA?
O perímetro do trapézio ABCD é igual a 309 m. Como BC =
= 180 m, CD = 54 m e AB = 45 m, a medida de DA será igual a:
309 – (180 + 54 + 45) = 30 m.
18. Complete a tabela a seguir com as medidas
dos lados de cada trapézio:
Trapézio ABCD
Trapézio EFGH
BC
FG
180
60
DA
EH
30
10
AB
EF
45
15
CD
GH
54
18
Considerações sobre a avaliação
O principal objetivo previsto para a Situação de Aprendizagem que ora se encerra é reconhecer a semelhança entre figuras planas, em
razão de certas condições das medidas lineares
(proporcionalidade) e angulares (congruência)
correspondentes. Com base nisso, o conjunto
das atividades partiu de procedimentos de ampliação e/ou redução de figuras em malhas quadriculadas e também em processo de homotetia,
chegando a situações-problema contextualizadas. Ao elaborar as etapas de avaliação, o professor deve, portanto, balizar-se em um percurso semelhante, isto é, criar situações em que os
alunos possam, de fato, desenhar sobre malhas
quadriculadas, enfrentando também problemas
que extrapolam o contexto matemático.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA
Conteúdos e temas: semelhança entre triângulos.
Competências e habilidades: identificar a correspondência entre ângulos congruentes de
dois triângulos semelhantes; estabelecer proporcionalidade entre as medidas de lados correspondentes de triângulos semelhantes; reconhecer a semelhança de triângulos formados
por cordas de uma circunferência, escrevendo a proporção entre as medidas dos lados correspondentes.
Sugestão de estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
20
© Haroldo Palo Jr/Kino
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem, propomos uma série de situações-problema elaboradas com base nas premissas apontadas, isto é,
na relevância da correta identificação da correspondência entre as medidas dos lados de
triângulos semelhantes a partir, também, da
correta identificação dos ângulos congruentes.
O primeiro conjunto de problemas apresentado a seguir trata especialmente do reconhecimento de pares de ângulos correspondentes
congruentes em dois triângulos; aborda ainda
a congruência dos ângulos formados por retas
paralelas cortadas por transversais. Julgamos
importante que os alunos saibam reconhecer e
justificar a congruência entre ângulos com base
na correta nomenclatura (correspondentes, alternos, opostos pelo vértice etc.).
© Ricardo Azoury/Pulsar Imagens
O triângulo é um polígono “rígido”, ou
seja, “não se articula”. O conhecimento popular tratou de verificar essa propriedade em inúmeras situações, como em projetos de portões
ou de cercados, e a ciência expandiu-o para a
construção de grandes obras de engenharia.
A rigidez dos triângulos está diretamente
relacionada ao fato de que a semelhança entre dois triângulos exige apenas a congruência dos ângulos correspondentes. Afinal, se
as formas triangulares não se articulam, ou
seja, são rígidas, não é possível alterar a medida de seus ângulos internos sem, por consequência, alterar a medida de, pelo menos, um
de seus lados. Caso as medidas dos três lados
sejam ampliadas ou reduzidas proporcionalmente, então as medidas angulares serão
preservadas. O triângulo é, portanto, o único
tipo de polígono para o qual a semelhança
é definida apenas a partir de uma condição:
ângulos correspondentemente congruentes.
A proporcionalidade entre as medidas dos
lados passa a ser, nesse caso, consequência,
e não exigência, como ocorre para os demais
polígonos.
Os comentários anteriores reforçam a proposta de abordar a semelhança entre dois triângulos com o foco na identificação da congruência entre os ângulos correspondentes,
uma vez que o não cumprimento dessa etapa
conduz, como normalmente se observa, à escrita de falsas proporcionalidades.
21
Triângulos semelhantes:
reconhecimento
1. Utilize a malha quadriculada
para desenhar triângulos semelhantes. Um dos triângulos possui dois ângulos internos medindo 45º cada
um. Outro triângulo tem um lado que mede
4 unidades da malha.
3. No problema anterior, você reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os novamente, apresentando, em cada
caso, a justificativa para a congruência.
Pares de ângulos opostos pelo vértice: ( b̂) e 58o; (f̂) e (d̂); (â)
e (ĉ); (ĝ) e (ê).
Pares de ângulos alternos e internos: (â) e (ĝ); (d̂) e 58o.
Pares de ângulos alternos e externos: (ĉ) e (ê); ( b̂) e (f̂).
Pares de ângulos correspondentes: (ĉ) e (ĝ); 58o e (f̂); ( b̂) e
(d̂); (â) e (ê).
45o
4. As retas a e b são paralelas. Quais são as
medidas dos ângulos internos dos triângulos BCA e DEA?
45o
45o
45o
4
A
E
C
32º
83º
B
As respostas podem variar, mas os dois triângulos deverão ser
retângulos e isósceles, como no exemplo.
D
a
2. Quando duas retas paralelas são cortadas
por uma transversal, forma-se uma série de
pares de ângulos congruentes. No desenho
seguinte, em que duas retas paralelas r e s
são cortadas por uma transversal t, identifique as medidas dos ângulos assinalados.
t
ê
f̂
ĝ
r
d̂
â
58º
ĉ
s
b̂
b = d = f = 58o; a = c = g = e = 180o – 58o = 122o
22
b
32o + 83o + BCA = 180o ‰ BCA = 65o
DEA = BCA = 65o
A relação de problemas anteriores priorizou a identificação da congruência dos ângulos correspondentes em triângulos semelhantes, fundamental para a escrita da proporção
e a obtenção de medidas lineares de um ou
outro triângulo. Na sequência, propomos algumas situações-problema contextualizadas
para que os alunos apliquem o que aprenderam e, além disso, determinem algumas medidas desconhecidas.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Triângulos semelhantes: contexto
e aplicações
5. O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU.
6. Observe a representação das ruas Alfa e Beta
e dos parques 1 e 2. Os terrenos dos parques
têm formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque são paralelas às do outro.
São conhecidas as seguintes medidas:
M
2 cm
100o
Parque 1
Parque 2
BC
FG
180
60
AD
EH
30
10
AB
EF
45
15
CD
GH
54
18
U
E
5,2 cm
G
58o
I
L
10 cm
Observe as medidas assinaladas nos desenhos e responda:
a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?
Os ângulos internos dos dois triângulos são corresponden-
C
D
180 m
Parque 1
temente congruentes. Assim, os ângulos internos de MEU
medem 100o, 58o e 22o.
S
B
A
F Rua Alfa
E
T
Parque 2
b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL?
Os ângulos internos dos dois triângulos são correspondentemente congruentes. Assim, os ângulos internos de GIL
o
o
o
também medem 100 , 58 e 22 .
c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL?
EU
IL
=
EM
IG
A
IG  3,8 cm.
5,2
10
=
2
IG
, ou seja,
60 m
H
GR
ua
Be
ta
Os triângulos SAD e SBC são semelhantes,
isto é, têm ângulos internos correspondentes de mesma medida e lados correspondentes cujas medidas obedecem a uma proporcionalidade. Observe-os desenhados
separadamente da figura inicial. O lado
AD do triângulo SAD é correspondente
ao lado BC do triângulo SBC.
23
S
AD
=
BC
SD
=
SC
SA
SB
A
30
SD
=
180
SA
=
SD + 54
SA + 45
As medidas SD e SA podem ser obtidas dessa dupla proporção, resultando SD = 10,8 m e SA = 9 m.
Convém observar e salientar a razão de semelhança entre os
dois triângulos, nesse caso, igual a 1 .
D
A
6
30 m
54 m
d) Separe os triângulos TEH e TFG da
figura inicial, desenhando-os novamente. Em seguida, calcule a medida
dos lados de cada triângulo, registrando na tabela a seguir os valores correspondentes.
45 m
C
B
180 m
a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?
Triângulo TEH (m) Triângulo TFG (m)
TE
TF
3
18
b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos
SAD e SBC?
TH
TG
3,6
21,6
AD
EH
FG
10
60
SD e SC; SA e SB.
BC
=
SD
SC
=
SA
SB
c) Calcule as medidas dos lados de cada
triângulo e escreva-as na tabela a seguir.
E
T
10 m
Triângulo SAD (m) Triângulo SBC (m)
24
SA
SB
9
54
AD
BC
30
180
SD
SC
10,8
64,8
H
F
15 m
E
T
60 m
H
18 m
G
TE
TF
=
EH
FG
=
TH
TG
A
TE
TE + 15
A TE = 3 m e TH = 3,6 m.
=
10
60
=
TH
TH + 18
A
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
7. Usando seu transferidor, um
aluno desenhou um ângulo. Em
seguida, com régua e esquadro,
traçou três segmentos de reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE, OCF e ODG).
Semelhança entre os triângulos OBE e OCF:
OB
OC
12
10
=
15
8
=
OF
CF
=
OE
OF
=
BE
CF
AOF = 12,5
CF = 10 cm
G
Semelhança entre os triângulos ODG e OBE:
OG
F
E
=
OE
OG
OD
OB
20
=
10
B
O
C
Segmento
OB
OC
OD
BE
Medida (cm)
12
15
20
8
GD
EB
=
12
GD
8
AOG  16,7
GD  13,3 cm
D
Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: OB = 12 cm; BE = 8 cm, OE = 10 cm.
Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: BC = 3 cm e CD = 5 cm.
Então, percebeu que poderia determinar as
medidas de todos os demais lados dos triângulos sem necessidade de fazer qualquer medição, apenas efetuando alguns cálculos. Calcule
as demais medidas dos segmentos do desenho
e escreva-asna tabela seguinte.
=
8. O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno, isto é, um
triângulo em que não há dois lados de mesma medida, conforme o desenho a seguir.
A
18 m
C
`
B
24 m
Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à
base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD ), de modo que o ângulo ADB
seja congruente ao ângulo BAC (_). Qual
é, em metros, a medida dessa viga?
A
_
Segmento
CF
DG
Medida (cm)
10
13,3
OE OF
10
12,5
OG
16,7
15 m
_
C
`
_
`
a
D
B
Os triângulos ABC e ADB têm ângulos correspondentemente
congruentes _, ` e a assinalados, sendo, portanto, semelhantes.
25
A
_
18 m
15 m
`
_
`
C
24 m
BC
BA
=
BA
BD
=
AC
AD
24
A
15
=
15
a
D
=
BD
18
AD
A
B
Deslocando o vértice do ângulo até outro ponto da circunferência, D, o arco AB
passa a ser “enxergado” sob um ângulo de
medida igual ao anterior, isto é, de medida
igual a _ (Figura 2).
Figura 2
A AD =11,25 m
Portanto, a viga AD medirá 11,25 m.
B
A semelhança de triângulos é o ponto de partida para diversas formalizações na Geometria plana. Um desses casos envolve cordas e/ou tangentes
a circunferências, tópico conhecido por “potência
de ponto”, que apresentamos na sequência. Justificamos o tratamento do conceito com base no
reconhecimento da congruência entre medidas de
arcos e de ângulos correspondentes e na proporcionalidade entre medidas lineares. Formalizações,
nesse caso, são solicitadas apenas como generalizações da proporcionalidade e não devem ser
memorizadas como fórmulas a ser aplicadas em
situações semelhantes.
Semelhanças: cordas, arcos
e ângulos
A
_
D
Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma
situação em que dois triângulos semelhantes se destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).
Figura 3
B
_
C
P
A
_
9. Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” por um ângulo cujo vértice C
pertence à circunferência (Figura 1).
D
Figura 4
Figura 1
B
B
C
_
_
C
`
P
A
`
_
D
26
A
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
a) Identifique os ângulos correspondentes
nos dois triângulos e escreva uma proporção entre as medidas de seus lados.
Ângulos com mesma medida: PĈB e PD̂A, CP̂B e DP̂A, CB̂P e
DÂP. Proporções:
PB
=
PA
BC
PC
=
AD
11. Um ponto P é o encontro de duas cordas
de uma mesma circunferência (Figura 1).
Unindo os pontos em que as cordas cruzam a circunferência, podemos observar
dois triângulos (Figura 2).
PD
Figura 1
Figura 2
D
D
b) Com base na proporção entre as medidas
dos lados, verifique a validade da relação
(PC) u (PA) = (PB) u (PD).
PB
=
PA
PC
PD
A (PC) u (PA) = (PB) u (PD)
C
A
B
a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos
dos triângulos PAD e PCB, atribuindo a
eles letras iguais a ângulos congruentes.
D
`
B
C
a
a _
9
`
A
P
12
P
P
A
B
10. Observe a figura em que duas cordas AC e
BD se cruzam no ponto P. De acordo com
as medidas indicadas na figura, quanto
mede o segmento PA?
C
P
A
B
C
b) Escreva a proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos PAD e PCB.
8
D
Podemos estabelecer a seguinte proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos representados na figura:
PB
PA
=
PC
PD
A
9
=
PA
ângulos correspondentemente congruentes, como representado na figura. Assim, podemos escrever a seguinte pro-
12
A PA = 6
8
porção entre as medidas de seus lados:
AD
PA
PD
=
=
CB
PC
PB
B
9
6
12
C
Os triângulos PAD e PBC são semelhantes, pois apresentam
P
8
A
c) Com base na proporção escrita, verifique
que é válida a relação (PA) u (PB) =
= (PC) u (PD).
AD
BC
=
PA
PC
=
PD
PB
A (PA) u (PB) = (PC) u (PD)
D
27
12. De acordo com as medidas indicadas na
figura a seguir, qual é a medida x?
8
4
10
x
De acordo com a relação obtida na atividade anterior,
podemos escrever:
12 u 4 = x (x – 10)
48 = x2 – 10x
x2 – 10x – 48 = 0
x=
2
10 ± (–10) – 4 u 1 u (– 48)
2 u1
=
10 ± 292
= 5 ± 73
2
Portanto, x = 5 + 73 ≅ 13,5 cm.
28
=
Considerações sobre a avaliação
A importância da aplicação da semelhança de
triângulos na resolução de situações-problema
de Geometria plana é muito fácil de ser percebida. De fato, seria possível escrever todo um caderno de atividades, com muitas páginas, apenas
envolvendo situações que exigem o reconhecimento de triângulos semelhantes e a escrita da
proporcionalidade entre as medidas de seus lados.
Enfatizamos essa questão, de conhecimento do
professor, para justificar as limitações do material
de apoio, que, por mais abrangência que possa
apresentar, jamais esgotaria todas as possibilidades de abordagem do tema. Traçamos aqui
apenas um percurso de trabalho que levou em
conta determinada escala de abordagem conceitual. Caberá ao professor, portanto, com base na
realidade de suas turmas, reduzir ou ampliar o
foco, adotando, dessa forma, a escala que julgar
mais apropriada. Todavia, voltamos a insistir que
estamos diante de um dos mais fundamentais
conceitos da Geometria plana, e a qualidade da
atenção que destinarmos à sua abordagem reverterá, sem dúvida, na velocidade dos passos que
poderemos imprimir em estudos futuros.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS;
TEOREMA DE PITÁGORAS
Conteúdos e temas: teorema de Pitágoras; relações métricas nos triângulos retângulos.
Competências e habilidades: reconhecer a semelhança entre os triângulos retângulos, aplicar
as relações métricas entre as medidas dos elementos de um triângulo na resolução de situações-problema; aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de situações-problema.
Sugestão de estratégias: resolução de problemas exemplares, contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
des nesta Situação de Aprendizagem, a partir
das situações-problema propostas.
Entre as inúmeras possibilidades de se aplicar a semelhança de triângulos na construção
de outros importantes conceitos da Geometria plana, destacamos agora as relações métricas nos triângulos retângulos.
No processo de construção conceitual, é importante que o aluno trilhe um caminho que parta da observação de regularidades e, após algumas etapas e aplicações, generalize propriedades
a partir do raciocínio indutivo que mobiliza nesse
trajeto. A formalização, necessária e importante, acontece, nessa medida, ao final do processo, evitando que os alunos venham a considerar
fórmulas prontas como os principais elementos
auxiliares na resolução de problemas. Esta é a
opção metodológica adotada na elaboração do
conjunto de atividades que compõem a presente
Situação de Aprendizagem.
O estudo das propriedades associadas a
triângulos retângulos teve início em séries/
anos anteriores, de acordo com este currículo,
inclusive com a apresentação do teorema de
Pitágoras. Trata-se agora, na 8a série/9o ano,
de aprofundar e ampliar esse estudo a partir do reconhecimento da semelhança entre
dois triângulos.
As relações métricas conhecidas entre as
medidas de elementos lineares de triângulos
retângulos podem ser obtidas a partir de várias
vertentes. A semelhança de triângulos é uma
delas, e a decomposição das figuras envolvidas
é outra. Abordaremos essas duas possibilida-
Triângulos retângulos: métrica e
semelhança
1. Traçando a altura relativa
à hipotenusa de um triângulo
retângulo, são obtidos dois
novos triângulos retângulos, semelhantes
entre si, como representado na figura:
29
A
A
2. Determine as medidas x, y e z em cada figura:
_
_
n
_ + ` = 90º
H
4
a)
a
m
h
z
`
`
_
B
9
x
`
b
CB
y
C
x2 = 4 u 9 A x = 6
a) Um dos triângulos tem lados a, n e h,
enquanto o outro tem lados b, m e h.
Desenhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as
medidas dos lados correspondentes.
z2 = x2 + 42 A z2 = 36 + 16 A z = 52 = 2 13
y2 = x2 + 92 A y2 = 36 + 81 A y = 117 = 3 13
b)
z
A
y
_
n
6
x
2
62 = 2y A y = 18
a
z2 = 62 + y2 A z2 = 36 + 324 A z = 360 = 6 10
`
x2 = 62 + 22 A x = 40 = 2 10
B
h
H
B
3. Observe a figura com o triângulo retângulo
maior I sendo separado em dois triângulos
retângulos menores (II e III) pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os três
triângulos são semelhantes, pois possuem
ângulos correspondentemente congruentes.
_
h
b
`
C
m
H
_+`= 90o
n
`
AH
=
BH
AB
BC
=
HB
HC
C
n
h
=
a
b
=
h
a
m
II
m
h h
b) Verifique que o quadrado da medida da
altura traçada é igual ao produto das
medidas das projeções dos catetos sobre
a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m u n.
AH
BH
30
=
HB
HC
A
n
h
=
h
m
`
_
b
c
a
I
_
C h2 = m u n
III
_
`
`
_
b
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
a) Escreva a proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos I e II.
4. Determine as medidas x e y em cada triângulo.
a)
n
`
a
12
m
h
y
III
II
`
h
x
__
_
9
`
c
a
h
Aplicando a relação correspondente a b2 = cm, temos:
I
`
92 = 12x A x =
_
b
27
4
Aplicando Pitágoras, temos: 122 = 92 + y2 ‰ y = 63 = 3 7
Semelhança entre os triângulos I e II:
a
n
=
b
h
=
c
a
b)
y
b) Verifique que o quadrado da medida do
cateto é igual ao produto da medida da
hipotenusa pela medida da projeção do
cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que a2 = c u n.
a
=
n
b
=
h
c
a
4
x
m
8
82 = 42 + y2 A y = 48 = 4 3
y2 = 8m A m = 6
A a2 = c u n
c) Escreva a proporção entre as medidas
dos lados dos triângulos I e III.
Observando a figura do item a desta atividade, temos a se-
y2 = x2 + m2 A x = 12 = 2 3
5. Considere novamente a semelhança entre os
triângulos I e II, bem como entre os triângulos I e III, discutida na atividade 3.
melhança entre os triângulos I e III:
a
=
h
b
=
m
c
`
II
a
d) Verifique que o quadrado da medida do
cateto é igual ao produto da medida
da hipotenusa pela medida da projeção
do cateto sobre ela. Em outras palavras,
verifique que b2 = c u m.
a
h
=
b
m
n
b
=
c
b
A b2 = c u m
_
`
h
h
m
III
_
`
b
c
a
I
_
_
`
b
31
A
Com base na semelhança entre esses pares
de triângulos, foram obtidas as relações:
40 m
30 m
a2 = c u n
b2 = c u m
Adicionando essas duas expressões, termo
a termo, e, em seguida, colocando c em evidência, fazemos surgir uma expressão matemática traduzida na linguagem cotidiana
da seguinte forma:
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados das medidas dos catetos.
Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras.
Faça a verificação e escreva a sentença matemática do teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b).
2
a =cun
2
b =cum
+
a2 + b2 = cn + cm
a2 + b2 = c(n + m) = c u c = c2
a2 + b2 = c2
D
E
F
B
C
a) BD
e) BC
b) DF
f) BE
c) BF
g) CE
d) AF
h) FE
a) BD2 = 302 + 402 A BD = 50 m
b) DA2 = DB u DF A 402 = 50 uDF A DF = 32 m
c) BF = DB – DF = 50 – 32 A BF = 18 m
d) AF2 + BF2 = AB2
AF2 + 182 = 302 A AF = 24 m
ou AF2 = DF u FB
AF2 = 32 u 18 A AF2 = 576 A AF = 24 m
e) BC2 + CD2 = BD2 (BCD é isósceles; BC = CD)
2(BC)2 = BD2 A BC = 1250 = 25 2 m
Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das
f) BC2 = BD u BE A 1 250 = 50 u BE A BE = 25 m
medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da
g) CE2 + BE2 = CB2 A CE2 + 252 = 1 250 A CE = 25 m
hipotenusa.
h) FE + BF + DE = DB. Como DE2 = DC2 – CE2, segue que DE = 25.
Sendo BF = 18 e DE = 25, segue que FE = 7 m.
6. Um quadrilátero ABCD pode ser
separado em dois triângulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD
é isósceles, conforme representado na figura.
AF é a altura relativa à hipotenusa de ABD
e CE é a altura relativa à hipotenusa de
BCD. Determine a medida dos segmentos:
32
7. Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em uma das rodovias, a 60 km de distância de A, encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km de A,
encontra-se outra cidade, C. Outra rodovia,
também retilínea, liga as cidades B e C.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Se o posto policial deve ficar a igual distância de B e C, então
l
ia
posto polic
x
ele deve ficar no ponto M, ponto médio de BC, a 50 km de
C
ambas as cidades. Podemos calcular a distância x de B até
B
o pé da perpendicular de A até BC: no triângulo ABC, o ca-
d
h
teto AB ao quadrado é igual ao produto de BC por x; logo,
80 km
602 = 100 u x, ou seja, x = 36 km. Com isso, concluímos que
60 km
a distância do pé da perpendicular até o posto é 14 km, e
A
Pitágoras fornece a distância d de A até o posto: d2 = h2 + 142;
como h = 48, segue que d = 50 km. (Como o triângulo ABC é
Pergunta-se:
retângulo em A, então o ponto A pertence à circunferência
a) Qual é a distância entre B e C?
de centro em M e diâmetro BC, ou seja, a distância de A até
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC:
M também é 50 km.)
2
2
2
BC = AC + AB A BC = 100 km
b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C?
A menor distância entre o ponto A e a reta BC é a altura h relativa
à hipotenusa BC. Para obter h, podemos analisar a semelhança
entre os triângulos ABC e AHC, representados na figura a seguir:
B
H
100
_
`
8. Um terreno tem a forma de um triângulo
retângulo de catetos 30 m e 40 m. Seu
proprietário deseja construir uma casa
na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o restante
da área.
C
40 m
30 m
h
60
80
_
`
A
AB
=
BC
AH
AC
60
100
AH
=
80
=
Pergunta-se:
AC
HC
A AH = 48 km
c) Um posto policial deve ser construído na
rodovia que liga B a C, devendo situar-se
à mesma distância de B e C. Qual é a distância do posto policial até A?
a) Qual é a área total do terreno?
A área do triângulo é:
base u altura
2
=
30 u 40
= 600 m2
2
b) Qual é a área da região retangular da
construção?
33
Pitágoras: significado, contextos
30 m
40 m
h
h1
m
h2
n
O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de triângulos retângulos, ou
seja, a área do quadrado construído, tendo
como lado a hipotenusa a, é igual à soma das
áreas dos quadrados construídos, tendo como
lados os catetos b e c:
A região retangular representada tem como lados as alturas
a2 = b2 + c2
h1 e h2 dos dois triângulos em que o triângulo dado é dividido pela altura h relativa à hipotenusa. O valor de h pode ser
calculado, da mesma maneira que no exercício anterior, por:
Nos problemas seguintes, tal fato será
explorado.
30 u 40 = 50 u h A h = 24.
As relações métricas conhecidas permitem calcular diretamente os valores de m e n:
302 = 50 u m A m = 18
c2
b2
b
c
a
2
40 = 50 u n A n = 32
Determinando, agora, h1 e h2:
a2
h u m = 30 u h1 A h1 = 14,4
h u n = 40 u h2 A h2 = 19,2
A área da construção será igual a: A = 14,4 u 19,2 = 276,48 m2
Como vimos, teorema de Pitágoras
pode ser obtido a partir da semelhança
entre triângulos, sendo de fato uma das
relações métricas nos triângulos retângulos. É possível argumentar sobre a importância desse teorema para as demais
relações, tendo em vista que o rol de suas
aplicações em situações-problema é extremamente amplo. Sendo assim, acreditamos que seja válido enfatizar especialmente algumas aplicações do teorema
de Pitágoras, como sugere a sequência
a seguir.
34
9. O triângulo retângulo representado na figura é isósceles e
está inscrito em uma circunferência de raio 4 cm. Quais são as medidas
dos lados desse triângulo?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Balão
Nesse problema, exploramos a propriedade de que triângulos inscritos em semicircunferências são, sem dúvida, triângulos retângulos. A verificação de tal propriedade pode ser
50 m
40 m
30 m
feita a partir da comprovação de que o ponto de encontro
das mediatrizes dos lados de um triângulo retângulo coincide com o ponto médio de sua hipotenusa. Esse ponto,
denominado circuncentro, é o centro da circunferência
Maria
a
b
João
circunscrita ao triângulo. Dessa forma, metade da medida
502 = 302 + a2 A a = 40 m
da hipotenusa coincide com o raio dessa circunferência.
402 = 302 + b2 A b = 700 = 10 7 m
Portanto, a hipotenusa do triângulo mede 8 cm, que é o
A distância entre as duas personagens, nesse caso, é igual a
dobro da medida do raio, e os outros lados, pelo fato de o
(40 + 10 7 )m.
triângulo ser isósceles, de acordo com o enunciado, medem
11. Para dar firmeza à estrutura de um portão
retangular ABCD, de lados 2 m e 3 m, devem ser fixadas duas barras rígidas – AC
e BD – ao longo das diagonais, conforme
mostra a figura. Para isso, dispõe-se de
uma barra de 6,5 m de comprimento, que
será dividida em duas partes iguais. A barra será suficiente para as duas diagonais?
4 2 cm cada um.
raio
Ponto médio da
hipotenusa
e centro da
circunferência
3m
D
© Conexão Editorial
10. Um balão de propaganda flutuava a 30 m
de altura quando foi visto do solo, simultaneamente, por Maria e por João. Maria
estava a 50 m do balão e João estava a 40 m
dele, como representado na figura. Qual
era a distância entre João e Maria no momento em que viram o balão?
C
2m
A
B
AC2 = 22 + 32 A AC  3,6 m. Para duas barras, seriam necessários
aproximadamente 7,2 m, que é uma medida maior do que os
6,5 m disponíveis, insuficientes, portanto, para a tarefa desejada.
12. Do centro de uma sala retangular de lados
4 m e 6 m serão feitas canalizações independentes em linha reta até os quatro cantos da
sala e, também, até o ponto médio de cada
35
um dos lados da sala, usando sempre o mesmo tipo de conduíte (cano plástico flexível).
Quantos metros desse conduíte serão necessários?
6m
c) o centro da face visível da caixa IX.
z2 = 252 + 252 ‰ z = 25 2 cm
14. Uma embalagem de pizza tem
a forma de um prisma hexagonal
regular de 3 cm de altura, tendo o
lado do hexágono da base 18 cm.
4m
18 cm
Medida da diagonal (d) do retângulo:
d 2 = 62 + 42 A d  7,2 m
Quantidade necessária de conduíte:
a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem?
6 + 4 + 2 u 7,2 = 24,4 m
13. Nove caixas com a forma de um cubo de
aresta 10 cm foram empilhadas conforme
mostra a figura a seguir, em vista frontal.
O ponto A é o vértice inferior esquerdo da
caixa I. Calcule a distância de A até:
O raio da maior pizza que cabe na embalagem é a altura de
um triângulo equilátero de lado 18 cm, uma vez que um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros
congruentes, cujo lado tem a mesma medida do lado do hexágono. Assim, a altura do triângulo, ou o raio da pizza, mede
9 3 cm, e o diâmetro mede 18 3 cm  31 cm.
b) Qual é a área de papelão necessária
para construir a parte de baixo da caixa
em que a pizza vem acomodada?
IX
VI
VII
VIII
A área de um dos triângulos que formam o hexágono é
I
II
III
IV
V
A
a) o vértice superior esquerdo da caixa VI;
x2 = 102 + 202 A x = 500 = 10 5 cm
18 u 9 3
= 81 3 cm2. A área do hexágono que forma a
2
parte de baixo da caixa é 6 u 81 3 = 486 3 cm2.
A área da parte lateral da caixa é igual a 6 vezes a área de
um retângulo de dimensões 18 cm por 3 cm. Assim, a área é
36
b) o vértice superior direito da caixa VIII;
6 u 18 u 3 = 324 cm 2. Portanto, a área total do papelão é 324 +
y2 = 402 + 202 A y = 2 000 = 20 5 cm
+ 486 3 , que é igual, aproximadamente, a 1 166 cm2.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
15. Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com todas as faces retangulares. Suas
dimensões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Com
base nessas informações, calcule:
20 cm
30 cm
40 cm
a) o comprimento da maior das diagonais
das faces;
Relações métricas em triângulos
retângulos: composição e
decomposição
16. Conforme você pode observar na Figura 1, a área de CDEB
é igual à soma das áreas de
CAHI e de ABFG, ou seja, que a2 = b2 + c2.
Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas componentes dessa figura. Para
tanto, observe, na Figura 2, o segmento AJ
e note que ele divide a hipotenusa em duas
partes, m e n, e também divide o quadrado
CDEB em dois retângulos.
O triângulo destacado em laranja na figura é retângulo com
G
catetos de 30 cm e 40 cm. Logo, a hipotenusa desse triângulo
H
mede 50 cm, que corresponde à diagonal solicitada.
F
A
b) o comprimento da diagonal da caixa.
I
c2
b2
b
O triângulo destacado em verde na figura é retângulo com
c
a
B
C
catetos de 20 cm e 50 cm, e a diagonal pedida no enunciado
da questão corresponde à hipotenusa desse triângulo.
a2
Assim, a diagonal d é igual a:
d 2 = 202 + 502 A d = 10 29  54 cm
D
E
Figura 1
Em atividade anterior, o teorema de
Pitágoras foi apresentado a partir das relações
de semelhança entre os triângulos que surgem
ao traçarmos a altura relativa à hipotenusa
de um triângulo retângulo. Visto dessa forma,
o teorema de Pitágoras é uma das relações
métricas no triângulo retângulo – mas não
apenas uma delas, talvez a mais importante.
As relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo o teorema de Pitágoras, podem ser compreendidas com base
na composição e decomposição de áreas
retangulares e/ou triangulares. O conjunto
de problemas seguintes explora essa ideia.
G
H
F
A
I
c
b
h
b
m K
C
a
n
a
D
B
a
J
Figura 2
E
37
a) Calcule a área do retângulo CDJK e a
área do retângulo JEBK. Mostre que
a soma das duas áreas é igual a a2.
Área de CDJK = a u m
Área de JEBK = a u n
b) A altura relativa à hipotenusa divide
esse triângulo em dois triângulos retângulos menores; calcule a área de cada
um deles.
Cálculo das projeções dos catetos sobre a hipotenusa:
2
Soma das áreas = a u m + a u n = a(m + n) = a u a = a
52 = 13 u n A n  1,9 cm
122 = 13 u m A m  11,1 cm
b) Calcule a área do triângulo ABC de
duas maneiras, usando os catetos b e c,
bem como a hipotenusa a e a altura h.
Mostre que bc = ah.
Área de ABC a partir dos catetos: (b u c) ÷ 2
Área de ABC a partir da hipotenusa e da altura h: (a u h) ÷ 2
(b u c) ÷ 2 = (a u h) ÷ 2 A bc = ah
c) Mostre, na figura, que a área do quadrado
ACIH é igual à área do retângulo CDJK.
Área de ACIH = b2
Área de CDJK = a u m
Uma das relações métricas já aprendidas no triângulo ABC é
Área de cada triângulo:
A1 = (11,1 u 4,6) ÷ 2  25,5 cm2
A2 = (1,9 u 4,6) ÷ 2  4,4 cm2
18. Um painel deve ser mantido na vertical
com a ajuda de dois cabos de aço perfeitamente esticados, de 3 m e 4 m, um de
cada lado, como mostra a figura. Os cabos estão situados em um plano vertical e
a distância entre os pontos de fixação dos
dois cabos de aço no solo é de 5 m. A que
altura do solo os cabos devem ser fixados
no painel?
justamente b2 = a u m, que traduz o fato de as áreas serem iguais.
d) Mostre que a área do retângulo JEBK é
igual à área do quadrado ABFG.
Área de JEBK = a u n
Área de ABFG = c2
Uma das relações métricas já aprendidas no triângulo ABC é
justamente c2 = a u n, que traduz o fato de as áreas serem iguais.
4m
h
3m
17. Considere um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm.
5m
a) Calcule a altura relativa à hipotenusa
desse triângulo retângulo.
Os lados 3, 4 e 5 m indicam que o triângulo considerado é
Cálculo da hipotenusa do triângulo:
retângulo. A altura pedida corresponde à altura do triângulo
2
38
2
2
x = 5 + 12 A x = 13 cm
relativamente à hipotenusa. Como o produto dos dois cate-
Cálculo da altura relativa à hipotenusa:
tos é igual ao produto da altura pela hipotenusa (bc = ah),
5 u 12 = 13 u h A h  4,6 cm
concluímos que 4 u 3 = 5 u h; portanto, h = 2,4 m.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Considerações sobre a avaliação
Chegamos ao final desta Situação de
Aprendizagem considerando que o conjunto de problemas aqui apresentados constitui pequena, porém significativa, amostra
das aplicações das relações métricas nos
triângulos retângulos e, também, do teorema de Pitágoras. Os professores conhecem
a importância do assunto, bem como as
dificuldades que geralmente são apresentadas pelos alunos no aprendizado desse conteúdo. Sendo assim, sugerimos que, caso o
professor avalie como adequado, proponha
novas situações-problema acerca do tema
de modo que os alunos tenham novas oportunidades de se apropriarem das relações
já exploradas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS
Conteúdos e temas: razões trigonométricas de um ângulo agudo.
Competências e habilidades: determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo;
utilizar a razão trigonométrica de um ângulo agudo na resolução de situações-problema;
estimar a medida de ângulos de inclinação; efetuar medidas angulares com teodolito
simplificado.
Sugestão de estratégias: construção de teodolito simplificado; realização de medidas angulares
usando teodolito simplificado e fita métrica, com o objetivo de determinar medidas inacessíveis; resolução de problemas contextualizados.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
Dividimos a Situação de Aprendizagem em
três partes, de acordo com as descrições a seguir.
O conjunto de problemas que compõem esta Situação de Aprendizagem tem por objetivo oferecer
ao professor alternativas para o trabalho de apresentação das razões trigonométricas nos triângulos
retângulos. Com o auxílio da abordagem e dos
problemas aqui propostos, espera-se ampliar o espectro de significados associados ao tema.
Ângulo de elevação: contexto e
estimativas
1. Em quase todas as cidades do
mundo há ruas que cortam trechos planos, mas há também
ruas com percursos íngremes, de subida ou de
39
descida. Nos casos de ruas com fortes subidas,
vamos refletir sobre a medida do ângulo de
elevação. Inicialmente, veja estas figuras:
2. Pegue um transferidor e meça os ângulos
_, ` e e apresentados na atividade anterior.
Registre aqui suas respostas:
Verificar durante a atividade, pois o tipo de papel e o tipo de
impressão podem fazer com que as medidas variem.
_
3. Pense em alguma rua que você conheça e
que seja uma subida bastante íngreme. De
quantos graus você avalia que seja a elevação dessa rua? Escreva aqui sua estimativa
antes de ler o texto a seguir.
`
Resposta pessoal.
e
Em sua estimativa, quantos graus medem
os ângulos _, ` e e?
Resposta pessoal. Uma possível resposta: _ = 15°, ` = 30° e e = 45°.
Propomos nesta Situação de Aprendizagem um exercício de sensibilização dos
alunos para a estimativa de medidas de ângulos de elevação, visando também introduzir a importante noção de razão trigonométrica de um ângulo agudo. Para tanto,
os alunos devem ser comunicados sobre os
seguintes fatos:
fO Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT) regulamenta recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem,
por intermédio de uma medida denominada inclinação. Por exemplo, em uma estrada com inclinação 0,15, ou 15%, sobem-se 15 m a cada 100 m de deslocamento horizontal.
Inclinação 0,15, ou 15%
15 m
100 m
f Para pequenas inclinações, o deslocamento horizontal é praticamente igual ao deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à medida da hipotenusa. Por isso, costuma-se dizer, por exemplo, que, em uma subida de 10%, percorrem-se
10 m em cada metro de subida.
40
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
10 m
Inclinação 10%
1m
f As inclinações máximas recomendadas pelo DNIT dependem do tipo de estrada,
mas variam de 5%, nas estradas de maior volume de tráfego, a 9%, nas estradas com
baixo volume de tráfego.
f Alguns trechos de estradas podem, excepcionalmente, atingir inclinações maiores do que
as recomendadas, chegando a valores da ordem de 10%.
© Conexão
Editorial
f Uma maneira de avaliar o grau de elevação de uma rua é efetuar medidas do deslocamento vertical (b), do deslocamento horizontal (a), e também, se possível, do deslocamento
real sobre a rua (c).
A inclinação da rua poderá ser obtida pelo resultado da divisão entre (b) e (a), ou entre
(b) e (c). Com o resultado dessas divisões, podemos recorrer a uma tabela de valores e encontrar o ângulo correspondente. Para tanto, precisamos saber que cada uma dessas divisões entre medidas de lados do triângulo retângulo recebe um nome. Por exemplo, a divisão
entre (b) e (a) é a tangente do ângulo que se quer determinar. Para uma inclinação de 12%,
resultante da comparação entre (b) e (a) na figura, o ângulo correspondente é de, aproximadamente, 7º, pois a tangente de 7º é aproximadamente 0,122.
41
Seguindo esses comentários, os alunos poderão ser convidados a avaliar o grau de elevação de alguma rua de sua cidade, utilizando,
para tanto, apenas instrumentos de medida de
comprimento, como trenas ou fitas métricas.
Há vários procedimentos possíveis, e os alunos
poderão optar por aquele que considerarem
mais adequado às condições do lugar. No entanto, será necessário que as respostas sejam
traduzidas em uma única forma, de preferência
por intermédio de um percentual que represente a relação entre o deslocamento vertical (b)
e o deslocamento horizontal (a), e também se
possível, do deslocamento real sobre a rua (c).
De posse dos resultados obtidos pelos
alunos, o professor poderá reunir as informações e discutir a questão de que as divisões efetuadas por eles entre as medidas de
lados de triângulos retângulos hipotéticos
conduziriam a resultados iguais no caso de
qualquer outro triângulo retângulo considerado sobre a mesma rua, isto é, qualquer
triângulo semelhante ao que consideraram
em suas medidas.
Partindo dessa discussão, o professor poderá definir as razões seno e tangente de um
ângulo agudo e relacionar os valores percentuais que obtiveram para as inclinações da
rua com a medida do ângulo correspondente,
apresentando, para tanto, uma tabela trigonométrica com valores de 0º a 90º. Por exemplo, para uma inclinação de 12%, resultante
da comparação entre b e a na figura, o ângulo correspondente é de, aproximadamente,
7º, pois a tangente de 7º é 0,122.
42
O importante aspecto de que a tangente
e o seno são muito próximos para pequenos
valores de ângulos deve ser discutido com os
alunos, a fim de evitar que, futuramente, eles
confundam essas razões trigonométricas.
O resultado do trabalho de avaliação da inclinação das ruas deve ser concluído com o estabelecimento de uma faixa provável de valores em que inclinações de todas as ruas podem
ser localizadas. Para que se tenha uma ideia, a
Baldwin Street, uma rua localizada na Nova
Zelândia é considerada por muitos como a
mais inclinada do mundo, com inclinação de
35%, cerca de 19º. Assim, fixar uma faixa de
inclinação entre 0º e 20º é bem razoável.
Terminando a atividade, o professor poderá pedir aos alunos que resolvam os seguintes
problemas, consultando a tabela trigonométrica sempre que necessário.
4. Em determinada rua, um
pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao ponto onde iniciou a caminhada.
Qual é a inclinação percentual dessa rua? E
qual é a medida do ângulo de inclinação?
50 m
2m
A inclinação é:
2
u 100 = 4%
50
Quanto ao ângulo, é preciso determinar o ângulo que tem
seno igual a 0,04. Uma calculadora científica nos informa
que, nesse caso, ele mede aproximadamente 2,3o.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
5. O vendedor de uma loja de telhas afirma ao
comprador que o tipo de telha escolhida exige
que o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa essa afirmação?
Qual é, em graus, a inclinação desse telhado?
30 m
100 m
7. Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m quando o
veículo que o percorre desloca-se 100 m.
Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no qual um veículo
desce 20 m ao percorrer 500 m. Qual é:
a) em graus, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?
O seno do ângulo de inclinação é igual a
8
= 0,08, que
100
Uma inclinação de 30% significa que o telhado sobe 30 m a
corresponde a um ângulo de, aproximadamente, 4,6o.
cada 100 m de deslocamento horizontal.
O ângulo, nesse caso, tem tangente igual a 0,3, resultado da
divisão de 30 por 100. Uma calculadora nos informa que, neso
se caso, ele mede aproximadamente 16,7 .
b) em graus, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y?
O seno do ângulo de inclinação é igual a
6. Para avaliar o grau de inclinação de uma
rua, um estudante usou um pedaço de papel, um lápis e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao lado de um poste
vertical fixado na rua e medir o ângulo entre o poste e o piso da rua ( no desenho).
Se o ângulo medido pelo estudante foi de
82º, qual é o ângulo de inclinação da rua?
_
O ângulo `da figura é o complementar do ângulo _ de inclinação da rua. Assim, a rua tem inclinação de 8o, pois a soma
dos ângulos resulta 90o.
= 0,04, que
500
corresponde a um ângulo de, aproximadamente, 2,3o.
c) em metros, o deslocamento de um carro
em Y enquanto ele desce 8 m?
Podemos calcular o deslocamento do carro em y a partir da
semelhança entre triângulos:
20
500
`
20
=
8
A x = 200 m
x
Medindo ângulos e calculando
distâncias inacessíveis
Nesta etapa da Situação de Aprendizagem, propomos que o professor auxilie seus
alunos a construir um modelo de teodolito
simplificado, para, em seguida, utilizá-los
na medição de alguns ângulos.
43
Atividade de investigação
Há inúmeras maneiras de construir um aparelho para realizar a medição aproximada de
ângulos; apresentamos aqui um modelo que utiliza os seguintes materiais:
© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista
f copo plástico com tampa;
f xerox de um transferidor de 360º, alinhado e colado numa base quadrada de papelão;
f pedaço de arame de aproximadamente 15 cm e um cilindro de mesma medida (tubo de
caneta ou tubo de alumínio de antena de TV).
Base de rotação do teodolito
A tampa do copo servirá de base para a rotação do teodolito e deverá ser colada de cabeça para baixo, de modo que seu centro coincida com o centro do transferidor, o que dará
mais precisão ao teodolito.
44
© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista
Para encontrar o centro da tampa, trace nela dois diâmetros e faça um furo onde eles se
cruzarem. Tampas desse tipo geralmente trazem ranhuras na borda que podem ajudá-lo a
encontrar o ponto certo. Use o arame fino como guia para alinhar o centro da tampa com
o centro do transferidor.
A mira
O tubo de caneta ou de antena servirá de mira através da qual será possível identificar os
pontos de medição. Cole o tubo na base do copo, de forma que ele fique paralelo ao ponteiro
(arame fino). Para refinar essa mira, cole na extremidade do tubo dois pedaços de linha formando uma cruz (veja a imagem a seguir).
45
© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista
Utilização
© Eduardo Santaliestra/Estúdio Paulista
Finalize encaixando o copo na tampa. A versão simplificada funciona como o aparelho verdadeiro. Com ele, é possível medir, a partir de uma posição qualquer, o ângulo
formado entre dois outros pontos. Na horizontal ou na vertical, basta alinhar a indicação
0° do transferidor com um dos pontos e girar a mira até avistar o outro ponto. O ponteiro
indicará de quantos graus é a variação.
O teodolito construído pode ser utilizado
em conjunto com trenas ou fitas métricas,
para tomar medidas em situações-problema
46
que exigirão razões trigonométricas, como as
apresentadas a seguir.
Medida da altura de um objeto
quando se tem acesso à base
h
_
h
`
_
© Conexão Editorial
8. Na representação seguinte, o ângulo _
mede 23º e a distância d à base da árvore mede 12 m.
© Conexão Editorial
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
d
m
Supondo que _ = 23º, ` = 34º e d = 3 m,
determine a altura da árvore.
h
tg 23o =
A 0,42 =
3+m
d
tg 34o =
h
3+m
A 0,67 =
m
a) Consulte uma tabela trigonométrica
para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente de 23º.
h
h
m
sen 23°  0,39; cos 23°  0,92 e tg 23°  0,42
b) Se for necessário escolher uma única
razão trigonométrica (seno, cosseno ou
tangente) para calcular a medida h da
árvore, qual você escolheria? Por quê?
Escolheria a tangente do ângulo _, pois a tangente de _, no
h
caso, é igual a
.
d
c) Determine a medida de h.
tg _ =
h
d
A 0,42 
h
34o
23o
m
3
Resolvendo o sistema de equações, encontramos m  5,04 e
h  3,38 m. Portanto, a altura da árvore é aproximadamente
3,38 m.
10. Determinação da largura de uma rua.
A h  5,04 m
12
_
Medida da altura de um objeto
quando não se tem acesso à base
9. Observe a figura que representa a tentativa
de medir a altura (h) de uma árvore, sem,
todavia, conhecer a distância entre o vértice
do ângulo de elevação e a base da árvore.
n
m
x
Na vista superior da situação representada na figura, as medidas m e n são obtidas
47
Q
com a fita métrica, e as medidas do ângulo
de 90º e do ângulo _ são realizadas com o
“teodolito”. Conhecendo a tangente de _,
é possível calcular a largura x da rua.
x
P
Qual é a medida da largura da rua no caso
em que _ = 40o, n = 12 m e m = 4 m?
tg 40o =
4+x
A 0,84 =
4+x
_
Ax  6,08 m
`
m
12
12
n
A
p
B
C
D
Considere os dados a seguir e determine x.
m = 3 m n = 4 m p = 4 m _ = 30º ` = 60º
40o
tg 30o =
PB
A 0,57 =
3
12
PB
A PB = RC  1,71 m
3
Q
x
P
4
x
R
A largura da rua é igual a, aproximadamente, 6 m.
11. Determinação da distância entre dois pontos inacessíveis.
30o
Para medir a distância x entre dois pontos
inacessíveis, um topógrafo posicionou-se
em A e mediu o ângulo _, conforme representado na figura. Em seguida, andou até
B e mediu m. Depois, continuou em linha
reta até C, medindo n. Por fim, percorreu
uma distância p até chegar a D, medindo o
ângulo `.
48
60o
3
A
tg 60o =
4
B
QC
A 1,73 =
4
4
C
QC
D
A QC  6,92 m
4
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo PQR:
x2  42 + (6,92 – 1,71)2 A x  6,57 m
Portanto, a distância entre os pontos P e Q é de, aproximadamente, 6,57 m.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Uma tabela de cordas ou de senos
© Conexão Editorial
12. Para determinar a altura de uma montanha,
um topógrafo mediu o ângulo de elevação
da montanha a partir de A, obtendo 45º.
Em seguida, caminhou 24 m até B e mediu
novamente o ângulo de elevação, obtendo
37,5º. Com esses dados, ele conseguiu seu
objetivo. Qual foi a medida da altura da
montanha que o topógrafo determinou?
Na Grécia antiga, por volta de 150 a.C.,
Hiparco (190-120 a.C.) construiu a primeira
tabela trigonométrica de que se tem notícia.
Para tanto, Hiparco calculou a medida de
cordas de uma circunferência, cordas essas
“enxergadas” por ângulos centrais. Mais tarde, as medidas que Hiparco tabelou viriam a
receber o nome de seno do ângulo.
Uma atividade interessante que pode ser
proposta aos alunos consiste em construir uma
tabela de senos, utilizando processo semelhante ao de Hiparco, a partir do comprimento de
cordas, conforme a descrição seguinte:
(corda) ÷ 2
C
A
A
B
B
A
B
_
O
A
C
O
_
2
_
2
raio
O
A corda AB da circunferência de centro
O é “enxergada” pelo ângulo _. Traçando a
bissetriz de _, dividimos a corda ao meio e
formamos um triângulo ACO, em destaque.
α
O seno do ângulo de medida no triângulo
2
ACO é igual a:
x
45o
y
tg 45o = 1 =
x
37,5o
24 m
Ax=y
y
tg 37,5o ≅ 0,77 =
1
corda
α
=2
sen
2
raio
x
y + 24
Resolvendo o sistema formado por essas duas equações, ob-
Chamando x a medida da corda do ângulo _,
e de r a medida do raio, temos:
temos x  80,3 m.
49
‰sen
x
α
=
2
r
2
7 ,5
º
x
α
sen = 2
r
2
x
Assim, se forem conhecidas as medidas x e r,
poderemos obter valores de senos das metades
dos ângulos correspondentes à corda.
sen
75º
x
75º
2
2R
Os alunos poderão dividir-se em pequenos
grupos para calcular e tabelar os senos de alguns
ângulos, e, em seguida, utilizar os valores obtidos no cálculo de um elemento desconhecido de
alguma situação-problema, como foi feito na
atividade 12.
7,5
º
A preparação da atividade exige que os
alunos desenhem uma circunferência com
uma medida determinada de raio, por exemplo, 10 cm, e que a dividam em um bom número de partes iguais, como 48 partes. Para
essa tarefa, poderão utilizar um transferidor e/ou um compasso. Isso feito, cada divisão será “enxergada” por um ângulo igual a
360º ÷ 48 = 7,5º, ou 7º e 30’.
R
Considerações sobre a avaliação
Unindo os pontos que assinalam as divisões na circunferência, obtém-se uma corda
“enxergada” por determinado ângulo central.
Medindo o tamanho da corda e dividindo-a
pelo dobro da medida do raio, será encontrado o valor aproximado do seno da metade do
ângulo “enxergado” pela corda.
50
Convém lembrar que o estudo das razões
trigonométricas de um ângulo agudo apenas se inicia na 8a série/9o ano, sendo complementado nos anos seguintes. Assim, conforme destacado nas atividades propostas, é
importante que a construção conceitual
esteja, neste momento, acoplada, mais do que
nunca, a situações do cotidiano dos estudantes, evitando-se formalizações excessivas. Nessa medida, as avaliações previstas para o período de estudo devem levar em consideração
as diversas atividades práticas realizadas pelos
alunos, de modo que o quadro da avaliação final seja composto, em boa parte, por esse tipo
de atividade.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
A NATUREZA DO NÚMERO Pi (π)
Conteúdos e temas: panorama histórico do número π; cálculo do π por aproximação; números
irracionais; frequência e porcentagem.
Competências e habilidades: compreender o número π como produto de uma construção
histórica; compreender as características que fazem do π um número irracional; construir
uma tabela de frequências e calcular porcentagens.
Sugestão de estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do
número π; pesquisa sobre o número π; atividade de investigação estatística sobre as casas
decimais do π.
Roteiro para aplicação da
Situação de Aprendizagem 5
cado do / como a razão entre o comprimento
da circunferência e seu diâmetro.
Poucos números são tão intrigantes como
o /. Ele é um dos poucos números que têm
um nome próprio, desvinculado da nomenclatura decimal. É representado por um símbolo
diferente dos demais, a letra grega /. Pertence
ao “estranho” conjunto dos números irracionais, e suas casas decimais crescem indefinidamente, sem nenhum tipo de padrão previsível.
Além disso, está diretamente relacionado a
uma das figuras mais importantes da Geometria, o círculo. Apesar de tudo isso, nossos
alunos frequentemente desconhecem o significado desse número.
Na 8a série/9o ano, com o conhecimento dos
números irracionais, o número / já pode ser
apresentado como um número irracional, ou
seja, um número cuja representação decimal
é infinita e não periódica. Em outras palavras,
uma razão que não pode ser representada por
nenhuma fração entre números inteiros. O valor de / só pode ser representado numericamente por meio da aproximação por um número racional (3 ou 3,1 ou 3,14 ou 3,141 etc.).
O objetivo principal desta Situação de
Aprendizagem é a ampliação do significado
do número /. Embora ele já tenha sido apresentado na 6a série/7o ano, no estudo das
razões constantes nas formas geométricas, é
importante resgatar com os alunos o signifi-
A demonstração formal da irracionalidade
de / é incompatível com esse nível de ensino.
Contudo, é possível apresentar argumentos que
mostrem aos alunos por que ele pode ser continuamente calculado e com uma precisão cada
vez maior. Apresentaremos uma aproximação
do valor de / com 260 casas decimais para ilustrar o fato de que não há nenhuma regularidade
no aparecimento dos algarismos decimais.
51
(A história a seguir foi extraída do livro de Carl Sagan indicado no final do texto)
[...]
Na sétima série estavam estudando o “pi”. Era uma letra grega parecida com a arquitetura em Stonehenge, na Inglaterra: dois pilares verticais ligados por uma barra em
cima – π. Se alguém media a circunferência de um círculo e depois a dividia pelo diâmetro
desse círculo, isso era pi. Em casa, Ellie pegou a tampa de um vidro de maionese, passou
um barbante em sua volta, esticou o barbante e, com uma régua, mediu a circunferência
do círculo. Fez a mesma coisa com o diâmetro e, efetuando uma longa conta, dividiu um
número pelo outro. Obteve 3,21. Aquilo pareceu bastante simples.
No dia seguinte, o professor, sr. Weisbrod, ensinou que pi era igual a aproximadamente
22, ou cerca de 3,1416. Na verdade, porém, se a pessoa desejasse exatidão, era um número
7
decimal que continuava crescendo a vida toda, sem parar, nunca repetindo a sequência de
algarismos. A vida toda, pensou Ellie. Levantou a mão. Estavam no começo do ano letivo e
ela não havia feito nenhuma pergunta naquela aula.
“Como é que se pode saber que os decimais continuam a vida toda, sem acabar?”
“É assim porque é”, disse o professor, com certa rispidez.
“Mas por quê? Como é que o senhor sabe? Como se pode contar casas decimais a vida toda?”
“Srta. Arroway.” O professor estava consultando a lista de chamada. “Essa pergunta é
boba. Está nos fazendo perder tempo.”
Ninguém jamais dissera antes que uma pergunta de Ellie era boba, e ela rompeu em lágrimas. Billy Horstman, que se sentava ao seu lado, teve um gesto de simpatia e lhe segurou a mão.
Pouco tempo antes, seu pai havia sido processado por mexer nos hodômetros dos carros usados
que vendia, de modo que Billy era sensível a humilhações públicas. Ellie saiu da sala aos prantos.
Depois de terminadas as aulas, ela foi de bicicleta à biblioteca de uma universidade próxima,
a fim de consultar livros de matemática. Pelo que pôde discernir do que leu, a pergunta que
fizera não era tão boba assim. Segundo a Bíblia, os antigos hebreus haviam considerado que pi
era exatamente igual a três. Os gregos e romanos, que sabiam muitas coisas de matemática, não
tinham nenhuma ideia de que os algarismos de pi prosseguissem eternamente, sem repetição. Na
verdade, isso só havia sido descoberto há 250 anos. Como se poderia esperar que ela soubesse
se não podia fazer perguntas? Entretanto, o sr. Weisbrod tinha razão com relação aos primeiros
52
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
algarismos. Pi não era 3,21. Talvez a tampa do vidro de maionese estivesse um pouco amassada
e não constituísse um círculo perfeito. Ou talvez ela não houvesse realizado a mensuração com o
cuidado necessário. No entanto, mesmo que tivesse exercido todo o cuidado possível, não poderiam esperar que ela fosse capaz de medir um número infinito de decimais.
Havia, porém, outra possibilidade. Podia-se calcular pi com a exatidão que se desejasse.
Conhecendo uma coisa chamada “cálculo”, podiam-se determinar fórmulas de pi que permitiriam calculá-lo com qualquer número de decimais que se desejasse, desde que houvesse
tempo para isso. O livro fornecia fórmulas de pi dividido por quatro. Algumas dessas fórmulas eram absolutamente ininteligíveis para Ellie. Outras, no entanto, a deixaram deslumπ , dizia o livro, era o mesmo que 1 – 1 + 1 – 1 ..., com as frações continuando
4
3
5
7
eternamente. Rapidamente, ela procurou fazer o cálculo, somando e subtraindo as frações
alternadamente. A soma saltava de um lado para outro, desde um pouco mais que π , até
4
π
um pouco menos que
, mas depois de algum tempo ela pôde perceber que essa série de
4
números seguia uma trilha lenta em direção à resposta correta. Nunca se poderia chegar
brada:
exatamente ao objetivo, mas se podia chegar tão próximo quanto se desejasse, desde que se
tivesse uma paciência enorme. Pareceu a Ellie um milagre que todos os círculos do mundo
estivessem ligados a essa série de frações. Como era possível que os círculos conhecessem
frações? Ellie tomou a resolução de aprender cálculo.
O livro dizia mais uma coisa: pi era chamado de número “transcendental”. Não existia nenhuma equação, contendo números comuns, que fosse capaz de dar pi, a menos que essa equação fosse infinitamente longa. Ellie já havia aprendido por si mesma um pouco de álgebra e sabia
o que significava isso. E mais: pi não era o único número transcendental. Na realidade, existia
uma infinidade de números transcendentais. Mais ainda: existiam infinitamente mais números
transcendentais do que números ordinários, mesmo que pi fosse o único deles de que ela já havia
ouvido falar. Em mais de um sentido, pi estava ligado ao infinito. Ellie tinha captado um vislumbre de algo majestoso. Oculta entre todos os números ordinários, havia uma infinidade de
números transcendentais de cuja presença uma pessoa jamais suspeitaria se não sondasse a matemática a fundo. A todo momento um deles, como pi, surgia inesperadamente na vida cotidiana.
Entretanto, a maioria deles – um número infinito deles, ela frisou para si mesma – estava escondida, cuidando da própria vida, e quase certamente passava despercebida ao irascível sr. Weisbrod.
[...]
SAGAN, Carl. Contato. Tradução Donaldson M. Garschagen. São Paulo: Companhia de Bolso, 2008, p. 17-19.
53
f 100 parcelas: π  4 u ൭1 –
1. Com base no texto apresentado na seção anterior e em
seus conhecimentos matemáticos, responda às seguintes questões.
+
1
1
1
–
൱ 3,131
– ... +
9
197 199
f 251 parcelas: π  4 u ൭1 –
a) Qual foi a definição de π que Ellie utilizou para realizar seu experimento?
+
1
1
1
–
+
+
5
3
7
1
1
1
–
+
+
5
3
7
1
1
1
൱  3,145
+
– ... –
9
499 501
/ é definido como o resultado da divisão entre o compri-
a) Sabendo que uma boa aproximação
para o valor de π é 3,141, o que você
pode concluir com base nos resultados
obtidos anteriormente?
mento da circunferência e seu diâmetro.
b) O resultado encontrado por Ellie (3,21)
estava um pouco acima do valor esperado para π (aproximadamente 3,14). O
que pode ter provocado essa diferença?
O resultado da fórmula se aproxima de 3,141 quanto maior
for o número de parcelas consideradas.
A tampa poderia estar amassada e não constituir um círculo
b) O gráfico a seguir ilustra a sequência de
resultados obtidos por meio da fórmula
descrita no texto.
perfeito ou o processo de medida pode ter sido feito sem a
precisão necessária.
c) O texto cita outro método para obter
o valor de π, a partir de uma fórmula
contendo infinitas adições e subtrações
de frações. Qual é a principal diferença
entre esse método e o método experimental realizado por Ellie?
No método experimental, o valor de / está sujeito às impre-
Valor
4
3,5
3,2
3,1
3
cisões do objeto e do processo de medida. Usando a fórmula, é possível obter o valor de / com maior exatidão.
2. Usando-se a fórmula descrita no texto,
foram obtidos os seguintes resultados parciais para o valor de π:
f 5 parcelas: π  4 u ൭1 –
1 1
1
1
+ – + ൱
5 7
9
3
 3,339
f 20 parcelas: π  4 u ൭1 –
– ... +
54
2,5
1
51
101
Parcelas
Destaque uma frase do texto que descreva os resultados representados no gráfico.
“Rapidamente, ela procurou fazer o cálculo, somando e subtraindo as frações alternadamente. A soma saltava de um
lado para outro, desde um pouco mais que
/
até um pou-
4
1
1
1 1
+ – + –
9
3
5 7
1
1
– ൱  3,091
37 39
co menos que
/
, mas depois de algum tempo ela pôde
4
perceber que essa série de números seguia uma trilha lenta em direção à resposta correta.” (Observação: o objetivo
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
principal desta atividade é mostrar ao aluno o funcionamento de uma fórmula com infinitas parcelas, que se aproxima
gradualmente do valor de /. Comente com os alunos que a
tem infinitas casas decimais? Qual valor devemos
lhe atribuir? Por que se calcula o / com tantas casas decimais? Para que serve esse número?
fórmula descrita no texto resultava no valor aproximado de
/
. Para obter o valor de /, ela teve de ser multiplicada por
4
4. O gráfico mostra os resultados parciais obtidos com essa
fórmula, em função do número de parcelas consideradas).
As atividades propostas constituem uma
fonte de informação para o professor trabalhar
o significado do / em sala de aula. Elas devem
complementar o trabalho que já é feito com os
alunos. Não há necessidade de abordar todas
as atividades dessa Situação de Aprendizagem.
Deve ficar a critério do professor a forma de explorá-las e a escolha daquelas que são mais adequadas ao seu curso.
Uma perspectiva histórica
Ao ensinar o número /, frequentemente os
alunos nos fazem perguntas bastante pertinentes:
Afinal de contas, quem “inventou” o / ? Por que ele
Tais questões nos levam a refletir sobre a importância da construção do significado no ensino
da Matemática. Apresentar o número / somente
com base em sua definição formal não é suficiente para garantir um significado amplo desse conceito. É preciso ir além, trazendo para a sala de
aula outras situações que ampliem tal significado.
A história constitui um excelente recurso a favor da construção do significado dos conceitos em
qualquer área do conhecimento. Na Matemática,
particularmente, ela é de fundamental importância para evitar visões cristalizadas ou excessivamente simplistas. Ainda que alguns livros tratem
a Matemática como um conhecimento pronto e
acabado, é importante que os alunos saibam que
o que estudamos hoje é fruto de muito trabalho
e pesquisa de pessoas que lhe dedicaram tempo e
esforço no decorrer da história da humanidade.
O cálculo de π ao longo da história
O cálculo da razão entre a circunferência e seu diâmetro intrigou matemáticos e filósofos
desde a Antiguidade. No antigo Egito, acreditava-se que essa razão valia, aproximadamente,
256 . Na Mesopotâmia, os antigos babilônios usavam a fração 25 . Em Alexandria, por volta
8
81
do século II d.C., o filósofo grego Ptolomeu aproximou o valor de pi da fração 377 . Con120
tudo, é atribuída a Arquimedes (287-212 a.C.) uma das primeiras tentativas de se calcular
rigorosamente o comprimento da circunferência e o valor de pi.
Em sua obra As medidas do círculo, ele desenvolveu um método de aproximações para o
cálculo do comprimento da circunferência.
55
Como não se conheciam fórmulas específicas para se calcular o perímetro de figuras
curvas, Arquimedes resolveu fazer aproximações por meio de polígonos regulares inscritos
e circunscritos à circunferência. A medida do comprimento da circunferência estaria entre o
perímetro do polígono inscrito e o perímetro do polígono circunscrito. Quanto maior o número de lados do polígono, mais ele se aproximaria da circunferência, por dentro e por fora.
L6
l6
Aproximação por hexágonos (6 lados)
l12
L12
Aproximação por dodecágonos (12 lados)
l24
L24
Aproximação por tetraicoságonos (24 lados)
Arquimedes dobrou sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96
lados. Dividindo o perímetro desse polígono pelo diâmetro da circunferência, obteve um
valor entre 3,1408 e 3,1428, uma aproximação muito boa para a época.
56
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Essa metodologia mostrou ser possível obter aproximações do valor de π tão precisas quanto desejarmos, bastando aumentar, continuamente, o número de lados dos polígonos inscrito
e circunscrito. O cálculo de Ptolomeu foi feito com base em um polígono de 720 lados. No
século III d.C., o chinês Liu Hui conseguiu obter o valor de 3,14159 com um polígono de
3 072 lados. No final do século V d.C., o matemático Tsu Chung-Chih, usando polígonos com
24 576 lados, obteve um número entre 3,1415926 e 3,1415927. Muitos outros matemáticos aplicaram o método de Arquimedes para obter aproximações cada vez mais precisas do valor de π.
Embora essa razão seja conhecida desde a Antiguidade, o nome e o símbolo usados para
representá-la só surgiram no século XVIII. A letra π, do alfabeto grego, foi escolhida por ser
a primeira letra da palavra peripheria (πeWíjefWoV), cujo significado é circunferência, ou
seja, o contorno de um círculo. Também foi nessa época que se fez uma das descobertas mais
importantes sobre o π. O matemático francês Johann Lambert conseguiu provar que não há
nenhuma razão de números inteiros cujo resultado seja igual a π. Ou seja, π é um número
irracional, cuja representação decimal é infinita e não periódica.
A grande evolução no cálculo do valor de π aconteceu a partir do momento em que o
computador entrou em cena. Para se ter uma ideia desse avanço, em 1873, William Shanks
calculou o valor de π com 707 dígitos. Fazendo os cálculos manualmente, ele levou 15 anos
para realizar essa tarefa. Com o advento da computação, associado ao descobrimento de
métodos de cálculo mais poderosos e eficientes, tornou-se possível calcular o valor de π com
milhares de casas decimais em um tempo muito mais curto. Logo, o número de dígitos de
π obtidos saltou para a casa dos milhões. Um dos últimos recordes foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi que, em 2002, conseguiram obter o valor de π com
mais de um trilhão de casas decimais.
Além do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas, o cálculo do π é usado, hoje em
dia, para testar a eficiência dos novos computadores. Por exigir um alto grau de precisão, o
cálculo de milhões de casas decimais do π serve de parâmetro para verificar a velocidade e a
confiabilidade dos novos processadores.
Contudo, na prática, não precisamos conhecer o valor de π com tantas casas decimais. Na
maioria das aplicações, uma aproximação do valor de π com uma ou duas casas decimais é suficiente para garantir precisão em construções, desenhos etc. Em cálculos científicos, uma aproximação com quatro casas decimais é mais do que suficiente. Por exemplo, o valor de π com
11 casas decimais permitiria calcular a circunferência da Terra com uma precisão de milímetros.
57
3. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise de texto, responda às seguintes questões.
e) Qual foi a importante descoberta feita
pelo matemático francês Lambert a respeito de π?
Ele conseguiu provar que não há nenhuma fração cujo
resultado seja igual a pi. Por isso, pi é classificado como
a) O texto cita alguns valores de π expressos na forma de fração. Transforme-as
em números decimais e veja qual delas
mais se aproxima de 3,1415.
No antigo Egito:
Ptolomeu:
377
120
256
81
 3,160; Na Mesopotâmia:
26
8
= 3,25;
 3,14167.
O cálculo de Ptolomeu é o que mais se aproxima do valor de pi.
b) Qual foi a contribuição do método de
Arquimedes para a determinação do
valor de π?
número irracional, cuja representação decimal é infinita,
e não periódica.
4. Use o método de Arquimedes e
descubra o valor aproximado de π
(por excesso e por falta) a partir de
hexágonos inscritos e circunscritos a uma
circunferência de raio igual a 3 cm. Considere que as medidas dos lados dos hexágonos inscritos e circunscritos são, respectivamente, 3 cm e 3,46 cm.
O método desenvolvido por Arquimedes mostrou que é possível obter aproximações do valor de / tão precisas quanto
R
desejarmos, bastando aumentar continuamente o número
de lados dos polígonos inscritos e circunscritos.
c) Qual é a origem do símbolo π, utilizado
para indicar a razão entre o comprimento
de uma circunferência e seu diâmetro?
A letra / vem do alfabeto grego e foi escolhida por ser a primeira letra da palavra peripheria (πeWíjefWoV), cujo significado é circunferência, ou seja, o contorno de um círculo.
Para obter o valor de pi, basta dividir o perímetro dos hexágonos inscritos e circunscritos pelo diâmetro da circunferência.
58
d) Atualmente, é possível calcular o valor de π com trilhões de casas decimais.
Quais foram os principais fatores que
possibilitaram a evolução desse cálculo?
Perímetro do hexágono inscrito
O uso dos computadores associado ao descobrimento de
Usando hexágonos, obtemos o seguinte intervalo para o va-
métodos de cálculo mais poderosos e eficientes.
lor de /: 3 < / < 3,46.
Diâmetro da circunferência
=
6u3
2u3
Perímetro do hexágono circunscrito
Diâmetro da circunferência
=
=3
6 u 3,46
2u3
= 3,46
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Tratamento da informação: a frequência
dos dígitos de π
O fato de / ser um número irracional, por
si só, não é o fator que determina o grau de
dificuldade em relação ao seu cálculo. Existem números irracionais cuja representação decimal é previsível, como o número
3,10110111011110.... Nesse caso, embora irracional, é possível identificar um padrão de
crescimento nos algarismos decimais. O /,
por sua vez, é difícil de calcular porque é um
irracional imprevisível: sua representação
decimal não mostra nenhuma regularidade, pois
seus algarismos se distribuem aleatoriamente.
Podemos iniciar a atividade questionando
os alunos sobre o significado do termo aleatório. No dicionário Houaissa, encontramos a
seguinte acepção: que depende das circunstâncias, do acaso; casual, fortuito, contingente. No
contexto do estudo do número π, a aleatoriedade está relacionada à dificuldade de prever
a sequência dos algarismos que compõem a
parte decimal desse número.
5. Observe a figura a seguir.
© Conexão Editorial
A atividade de investigação que propomos a
seguir tem como principal objetivo fazer com que
o aluno verifique, na prática, a distribuição aleatória dos algarismos que compõem a parte decimal do número /. Com base na sequência dos
260 primeiros algarismos de /, eles deverão analisar a frequência de aparição de cada algarismo
e calcular sua porcentagem em relação ao total.
a
Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa.
59
a) Você observa algum padrão de repetição
na sequência de cores da figura?
obtemos a representação das 260 casas decimais do número /.
Não existe um padrão de repetição.
b) Cada cor da figura representa um algarismo do número π, começando no canto
superior esquerdo. O vermelho corresponde ao 1; o verde, ao 2; o azul, ao 3;
o amarelo, ao 4; o laranja, ao 5; o roxo,
ao 6; o preto, ao 7; o cinza, ao 8; o marrom, ao 9 e o branco, ao 0. Com base na
figura, escreva os algarismos do número
π com 120 casas decimais.
Essa figura é, na verdade, a representação das primeiras 260 casas decimais do
número /, em que cada algarismo foi substituído por uma cor. Por exemplo, os cinco primeiros quadrados correspondem a
3,1415, onde o 3 é representado pelo azul, o
1 pelo vermelho, o 4 pelo amarelo e o 5, pelo
laranja. Traduzindo as cores em números,
3,
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
6
2
8
6
2
0
8
9
9
0
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9
8
2
1
4
8
0
8
6
5
1
3
2
8
2
3
0
6
6
4
7
c) Agora você vai contar o número de vezes
que cada algarismo aparece à direita da
vírgula. Preencha a tabela de distribuição de frequência e calcule a frequência
A tabela obtida deve apresentar os seguintes resultados:
Algarismo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
Frequência
10
10
15
13
12
9
12
9
16
14
120
Frequência relativa
8,3%
8,3%
12,5%
10,8%
10,0%
7,5%
10,0%
7,5%
13,3%
11,7%
100%
d) Qual é o algarismo que aparece com maior
frequência relativa?
É o algarismo 8, com frequência relativa de 13,3%.
e) E com a menor frequência relativa?
60
relativa de cada algarismo, em porcentagem. (Dica: para efetuar esses cálculos,
use a calculadora.)
São o 7 e o 5, ambos com frequência relativa de 7,5%.
f) Qual é a diferença entre a maior e a menor frequência relativa?
A diferença é de 5,8 pontos porcentuais.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
g) Se a distribuição fosse equilibrada entre
todos os algarismos, qual deveria ser a
frequência relativa de cada um?
Comentários sobre os resultados obtidos. É importante co-
Compare as frequências relativas obtidas
na tabela apresentada no item c da atividade anterior e as apresentadas na tabela
anterior, e escreva uma conclusão sobre a
distribuição dos algarismos de π.
mentar que as frequências obtidas são relativas a uma
Há um equilíbrio maior entre as frequências dos algarismos
amostra de 120 algarismos. Se, por exemplo, aumentás-
de pi na segunda tabela, em relação à primeira. Assim, é pos-
semos a amostra para 780 algarismos, o número com a
sível concluir que, quanto maior o número de dígitos, mais
maior frequência não seria mais o 8, e sim o 1 (11,4%),
equilibrada é a distribuição dos algarismos.
Deveria ser de 10%.
e, com a menor frequência, seria o 5 (9,1%). A diferença
entre o número de maior frequência e o de menor fre-
Considerações sobre a avaliação
quência cairia para 2,3 pontos porcentuais.
Conforme já havíamos mencionado, um
dos interesses em calcular grandes quantidades
de dígitos do / é verificar se a distribuição de
seus dígitos é aleatória ou não. Os cálculos já
realizados tendem a confirmar essa conjectura.
6. Os pesquisadores japoneses Kanada e
Takahashi examinaram a frequência absoluta e relativa dos algarismos decimais de
π em 200 bilhões de dígitos. Os resultados
obtidos estão na tabela a seguir.
Algarismo
Frequência
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
20 000 030 841
19 999 914 711
20 000 136 978
20 000 069 393
19 999 921 691
19 999 917 053
19 999 881 515
19 999 967 594
20 000 291 044
19 999 869 180
200 000 000 000
Frequência
Relativa
10,00002%
9,99996%
10,00007%
10,00003%
9,99996%
9,99996%
9,99994%
9,99998%
10,00015%
9,99993%
100%
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é de que os alunos tenham ampliado seu conhecimento sobre o número /.
A perspectiva histórica, os inúmeros estudos e
pesquisas realizadas, a aproximação de Arquimedes, o cálculo gigantesco dos pesquisadores
japoneses e a aleatoriedade dos algarismos de /
são algumas características que fazem desse
número um dos objetos matemáticos mais intrigantes dentro dessa disciplina. Passar pelo
Ensino Fundamental sem saber o significado
do número / é ser privado de uma das heranças
culturais mais valiosas da humanidade.
Ainda que não seja possível tratar desse
assunto de forma completa, esperamos que
o professor consiga levar para a sala de aula
ao menos uma das atividades desenvolvidas.
Acreditamos que esse conhecimento mais detalhado do número / vai contribuir para uma
aprendizagem mais significativa da Matemática.
O professor poderá incluir uma ou outra
questão a respeito das características do número / nas avaliações do volume. É importante
61
que essas questões contemplem algumas características importantes, por exemplo:
f que o número / representa uma razão entre o comprimento da circunferência e seu
diâmetro;
f que esse valor não pode ser expresso por
meio de uma razão entre inteiros, ou seja, é
um número irracional;
f que é possível obter aproximações cada vez
melhores e com mais dígitos das casas decimais do /.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
A RAZÃO π NO CÁLCULO DO PERÍMETRO E
DA ÁREA DO CÍRCULO
Conteúdos e temas: comprimento da circunferência; cálculo de área por aproximação; a área
do círculo; proporcionalidade e área de setores circulares.
Competências e habilidades: compreender o significado do π como razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro; resolver problemas relacionados ao comprimento da
circunferência; compreender o método de aproximação para o cálculo da área do círculo;
determinar a área do círculo e de setores circulares.
Sugestão de estratégias: uso da história da Matemática para contextualizar o cálculo do número π; atividade experimental para determinação da razão ; atividade prática para o cálculo da área do círculo por aproximação; problemas e exercícios envolvendo o cálculo do
perímetro e da área de círculos, setores e outras figuras geométricas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 6
O número / está diretamente ligado ao
cálculo de medidas das figuras circulares. A
determinação do perímetro da circunferência, da área do círculo e do volume do cilindro e da esfera envolvem diretamente esse
número. Assim, nesta Situação de Aprendizagem, apresentaremos algumas atividades
relacionadas à utilização do / em cálculos de
áreas e perímetros de figuras circulares.
Dependendo do conhecimento prévio dos
alunos, o professor pode iniciar esse estudo com
62
o uso de uma atividade experimental envolvendo a medida de objetos circulares. O objetivo da
atividade 1 é retomar a ideia de que o / é a razão
geométrica constante que pode ser obtida em
qualquer circunferência e que relaciona a medida de seu comprimento com seu diâmetro. Uma
atividade similar foi proposta no Caderno da
6a série/7o ano, no âmbito do estudo da proporcionalidade e das razões. Na 8a série/9o ano,
contudo, essa atividade resultará na determinação da fórmula do perímetro da circunferência.
Uma vez assegurado o conhecimento dos
alunos acerca de /, podemos dar continuidade
ao trabalho com a área e o perímetro do círculo.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Nas atividades 1 e 2, o cálculo do perímetro
da circunferência é o centro das atenções.
Muitos são os problemas que constam dos
livros didáticos envolvendo a utilização dessa fórmula. Resolvemos desenvolver um problema prático relacionado às especificações
da roda de um automóvel. Empregando a
fórmula do comprimento da circunferência,
é possível resolver alguns problemas envolvendo o cálculo de distâncias percorridas
por um automóvel em função do tamanho
das suas rodas.
importante relação ligada ao teorema de
Pitágoras e um problema clássico da Antiguidade, que ficou conhecido como as “lúnulas de Hipócrates”.
O cálculo da área do círculo é o foco das
atividades 3, 4 e 5. Diferentemente da área
dos polígonos, a determinação da área de figuras
circulares foi um desafio para muitas gerações
de matemáticos desde a Antiguidade. Apresentaremos três situações distintas envolvendo a
determinação de uma fórmula para o cálculo da
área do círculo. A primeira tem caráter histórico.
A segunda, caráter experimental. E a terceira,
caráter teórico. Dentro do seu programa, o professor pode escolher o desenvolvimento de uma
ou mais atividades. O importante, neste caso, é
que o aluno consiga se apropriar significativamente da fórmula da área do círculo.
Roteiro de trabalho – Solicite aos alunos que
tragam objetos circulares de seu cotidiano para
a aula, tais como moedas, CDs, discos de vinil,
copos etc. Divida a turma em grupos, distribua
fitas métricas aos alunos e peça para que eles
meçam o diâmetro e o contorno circular desses
objetos. Oriente-os sobre a melhor maneira de
fazer isso, principalmente com relação à medida
do contorno da circunferência.
As duas últimas atividades abrangem a
resolução de problemas geométricos envolvendo o cálculo da área de círculos e setores
circulares. Na atividade 7, apresentamos uma
π e o comprimento da circunferência:
significado
Sugerimos que o professor proponha, inicialmente, a seguinte atividade prática envolvendo o cálculo da razão entre o comprimento
da circunferência e seu diâmetro.
Desenhe uma tabela na lousa e anote os resultados obtidos pelos grupos na medição de
cada objeto. Peça a eles que calculem a razão
entre o comprimento da circunferência e o diâmetro para cada objeto. Vamos, a título de ilustração, considerar as medidas obtidas a partir
de três objetos: um CD, uma lata e uma moeda.
Os resultados experimentais estão anotados na
tabela a seguir.
63
© Juca Martins/
Pulsar Imagens
© Jacek/Kino
© Carlos Terrana/Kino
Objeto
Circunferência C
38,4 cm
20,6 cm
7,8 cm
Diâmetro D
12 cm
7,1 cm
2,5 cm
C
Razão ___
D
3,2
2,9
3,1
Observação: medidas aproximadas.
Analisando os resultados, os alunos devem perceber que, embora os objetos medidos sejam diferentes em tamanho, as razões
obtidas se aproximam de um valor comum.
No exemplo anterior, os valores obtidos ficaram entre 2,9 e 3,2. Na média, eles se aproximaram de 3,06.
Uma forma de interpretar esse resultado é
a seguinte: quando o diâmetro de um círculo é 1, sua circunferência mede /. Essa ideia
está representada na sequência de imagens a
seguir, em que uma circunferência gira sobre
uma reta numerada, cuja unidade é o diâmetro dessa circunferência.
Essa razão, obtida experimentalmente,
pode variar um pouco dependendo do objeto
ou do processo de medida. Quanto mais preciso for o processo de medida e mais perfeita a
circunferência dos objetos, mais a razão obtida
se aproximará do valor constante 3,14. Para
uma circunferência ideal, essa razão vale π.
O comprimento da circunferência
1. Observe a sequência de imagens a seguir:
0
Se a razão entre o comprimento C da circunferência e seu diâmetro D vale /, então
C
= /.
podemos escrever que:
D
Portanto, a fórmula para o comprimento
da circunferência é: C = / u D ou C = 2 u / u r,
onde r é o raio da circunferência.
64
1
0
0
2
1
1
3
2
2
4
3
3
4
4
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
3,14
2. Escreva a fórmula do comprimento da circunferência C em função da medida do raio
r e em função da medida do diâmetro D.
C = 2 u / u r e C = / u D.
Os livros didáticos geralmente trazem inúmeros problemas de aplicação da fórmula do
comprimento da circunferência. Esses problemas ora trabalham com o cálculo da circunferência a partir de um raio dado, ora fazem o
caminho inverso, ou seja, a partir da medida
da circunferência, solicitam a determinação
do raio.
4
a) Sabendo que π vale aproximadamente
3,14, interprete a sequência de imagens.
Em uma volta completa de uma circunferência de diâmetro
igual a 1 unidade, percorre-se  3,14 unidades.
b) Qual seria a distância percorrida por
uma circunferência de diâmetro igual a
duas unidades? E por uma de diâmetro
igual a 10 unidades?
A circunferência de diâmetro 2 percorreria  6,28 unidades.
A circunferência de diâmetro 10 percorreria  31,4 unidades.
É importante que o professor apresente
alguns problemas ligados a situações do cotidiano, para que o aluno vivencie o uso desse
conhecimento em algum contexto conhecido.
Existem muitas situações que podem ser exploradas: a medida da circunferência de um apraça circular, a extensão de uma pista de corrida
circular ou cujas extremidades sejam circulares
etc. Nesta Situação de Aprendizagem, exploraremos um problema relacionado ao tamanho
das rodas de um automóvel e a distância por
ele percorrida.
O problema da roda de um automóvel
Todo pneu de automóvel possui um código de identificação com informações a respeito
de suas dimensões. Ele é escrito da seguinte forma: xxx/yy Rdd, em que:
f
f
f
f
xxx é a medida da largura do pneu, em milímetros;
yy é a razão entre a altura e a largura do pneu, em porcentagem;
R é o tipo de pneu, radial;
dd é o diâmetro da roda, em polegadas (1 polegada vale aproximadamente 2,54 cm).
65
© Conexão Editorial
largura do pneu
altura do pneu
diâmetro
do pneu
diâmetro da roda
Exemplo: um pneu identificado com o código 205/65 R15 tem 205 mm (20,5 cm) de largura. Sua altura equivale a 65% da largura, ou seja, mede 20,5 u 0,65 = 13,325 cm. O diâmetro
da roda mede 15 polegadas, ou 15 u 2,54  38,1 cm. Assim, o diâmetro total do pneu do carro
pode ser obtido somando-se o diâmetro da roda com o dobro da altura do pneu.
3. Com base nas informações
da seção Leitura e análise de
texto, determine o diâmetro total desse pneu.
Assim, a distância percorrida pelo pneu em um giro comple-
O diâmetro total do pneu do carro pode ser obtido somando-
5. Calcule a distância percorrida
pelos pneus, em quilômetros, em
1 000 giros completos da roda.
(Dica: use uma calculadora para facilitar
os cálculos.)
-se o diâmetro da roda com o dobro da altura do pneu.
Diâmetro da roda + 2 u altura do pneu = 38,1 cm + 2 u 13,325 cm 
 64,75 cm.
© Conexão Editorial
4. Qual é a distância, em metros, que esse pneu
percorre em um giro completo da roda?
to da roda, com essas especificações, é de aproximadamente
2,03 metros.
a) Roda de aro 15: 195/50 R15
Altura do pneu: 50% u 195 = 97,5 mm = 9,75 cm
Diâmetro da roda: 15 u 2,54  38,1 cm
Diâmetro total = 2 u 9,75 + 38,1  57,6 cm
Circunferência do pneu: 3,14 u 57,6  180,86 cm  1,81 m
Distância percorrida em uma volta completa
O pneu 195/50 R15 percorre aproximadamente 1,81 metro por giro.
Portanto, percorrerá aproximadamente 1,81 km em 1 000 giros.
Conhecendo o diâmetro, é possível obter a medida da cir-
66
cunferência do pneu:
b) Roda de aro 16: 205/60 R16
Cpneu  3,14 u 64,75 = 203,315 cm
Altura do pneu: 60% u 205 = 123 mm = 12,3 cm
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Diâmetro da roda: 16 u 2,54  40,64 cm
Diâmetro total = 2 u 12,3 + 40,64  65,24 cm
Circunferência do pneu: 3,14 u 65,24  204,85 cm  2,05 m
O pneu 205/60 R16 percorre aproximadamente 2,05 metros por
giro. Portanto, percorrerá aproximadamente 2,05 km em 1 000 giros.
c) Roda de aro 17: 210/65 R17
Altura do pneu: 65% u 210 = 136,5 mm = 13,65 cm
Diâmetro da roda: 17 u 2,54  43,18 cm
Diâmetro total = 2 u 13,65 + 43,18  70,48 cm
Em determinado automóvel, o hodômetro
vem regulado de fábrica para registrar a
distância percorrida para rodas de aro 15
(item a da atividade apresentada na seção Lição de casa). Vamos supor que a
distância percorrida a cada giro da roda
corresponda exatamente ao comprimento
da circunferência do pneu, desprezando-se
possíveis deslizamentos e frenagens.
Responda às seguintes questões:
Circunferência da roda: 3,14 u 70,48  221,31 cm  2,21 m
O pneu 210/65 R17 percorre aproximadamente 2,21 metros por
giro. Portanto, percorrerá aproximadamente 2,21 km em 1 000 giros.
© Photos.com/Thinkstock/Getty Images
6. Os automóveis contam com
uma série de instrumentos que
ajudam o motorista a controlar o desempenho de seu carro, como o
velocímetro e o indicador de combustível.
O hodômetro mede a distância total, em
quilômetros, percorrida pelo automóvel.
Ele funciona com um conjunto de engrenagens ligadas ao eixo das rodas. Dependendo do tamanho das rodas, o hodômetro é regulado para registrar a quilometragem percorrida em função do número de giros do eixo.
a) Quantos giros da roda são necessários
para que o hodômetro registre 1 km
rodado?
Da atividade anterior, sabemos que o pneu de aro 15 tem uma
circunferência de aproximadamente 1,81 metro. Portanto, para
que o hodômetro registre 1 km, ou 1 000 metros, serão necessários 1 000 ÷ 1,81  552,5 giros da roda.
b) Quantos giros o eixo da roda realiza em
uma viagem de 200 km?
200 u 552,5 = 110 500 giros.
c) Suponhamos que as rodas originais
desse automóvel sejam trocadas por
rodas maiores, de aro 17 (item c da atividade anterior apresentada na seção
Lição de casa). O hodômetro passará
a marcar mais ou menos quilômetros
em uma viagem de 200 km? Justifique
sua resposta.
Com as rodas de aro maior, o número de giros por quilômetro rodado será menor, pois serão necessárias menos voltas
para se percorrer a mesma distância. Portanto, se não houver
um ajuste, o hodômetro deverá registrar uma quilometragem
menor que 200 km.
67
d) Determine quantos quilômetros o hodômetro do carro irá registrar para fazer a mesma viagem de 200 km com o
pneu de aro 17.
história da Matemática. Apresentaremos, a
seguir, algumas atividades relacionadas à determinação da área do círculo.
O comprimento da circunferência do pneu de aro 17 é de
A área do círculo
aproximadamente 2,21 metros. Em 1 quilômetro, ou 1 000 metros, serão necessários 1 000 ÷ 2,21  452,5 giros, menos do que
com a roda de aro 15 (552,5 giros). Em 200 quilômetros, a roda
irá girar 200 u 452,5  90 500 vezes. Contudo, o hodômetro estava
regulado para registrar 1 quilômetro a cada 552,5 giros aproxi-
Novamente, vamos recorrer à história
da Matemática para dar significado à determinação da fórmula da área do círculo, em
vez de apresentá-la pronta para os alunos.
madamente. Portanto, a quilometragem registrada na viagem
será de 90 500 ÷ 552,5  163,8 quilômetros. Este problema mostra
que, se não forem feitos ajustes no hodômetro, ao se trocar as
rodas de um carro por outras de diâmetros diferentes, o registro
de quilometragem apresentará dados incorretos. Nesse exemplo, houve uma diferença de quase 40 km no registro da quilometragem percorrida numa viagem de 200 km.
O cálculo da área do círculo
Determinar a área de um polígono é uma
tarefa relativamente simples. Afinal, trata-se de uma figura formada por segmentos de
retas. Além disso, qualquer polígono pode
ser decomposto em triângulos de diferentes
tamanhos, e a fórmula da área de um triângulo é conhecida. Contudo, achar a área de
uma figura curva é um desafio bem maior.
Não conseguimos decompor um círculo em
triângulos, pois os segmentos de reta não se
ajustam à curva da circunferência. Por essa
razão, calcular a fórmula da área de um círculo foi um dos problemas mais instigantes da
68
7. Um dos documentos mais
importantes do antigo Egito é
o Papiro de Rhind, encontrado
no templo do faraó Ramsés II. Ele foi copiado pelo escriba Ahmés, por volta do
ano 1650 a.C., e contém uma série de problemas matemáticos. Ao que tudo indica,
era uma espécie de manual de matemática
egípcia, transmitido de geração em geração. Acredita-se que esses conhecimentos
existam desde a construção das grandes pirâmides, há quase 5 mil anos.
Um dos problemas desse papiro tratava do
cálculo da área de um círculo. Uma versão
simplificada do problema seria a seguinte:
Calcule a área de um círculo inscrito em um
quadrado de lado igual a 3 unidades. A estratégia adotada consistia em aproximar a
área do círculo por meio da área de um octógono inscrito dentro do quadrado, conforme mostram as figuras.
© De Agostini Picture Library/
The Bridgeman Art Library/Keystone.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Fragmento do Papiro de Rhind
Calcule a área do octógono resultante.
Aoctógono = Aquadrado – 4 u Atriângulo
Aoctógono = 9 – 4 u
1
2
=7
Usando-se a fórmula atual para a área do círculo, o resultado
seria muito próximo:
Acírculo = π u r2  3,14 u (1,5)2  7,06
A diferença seria de apenas 6 centésimos. Fazendo o cálculo
inverso, verificamos que os egípcios trabalhavam com um
valor de / de 3,11, uma aproximação bastante precisa para
a época.
Bastaria, assim, calcular a área do octógono,
subtraindo-se, da área do quadrado, as áreas
dos quatro triângulos isósceles de seus cantos.
7  / u (1,5)2
/  7 ÷2,25
/  3,11
69
Calculando a área de um círculo por
aproximação
Aproximação por excesso
60 quadrados de 1 cm²
Área = 60 cm²
8. Nesta atividade, você vai calcular a área de
um círculo com base em aproximações por
quadrados de lados iguais a 1 cm.
a) Aproximação por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no interior do
círculo e calcule a área ocupada por eles.
c) Compare os resultados obtidos nos
itens anteriores e calcule a média entre
eles. O que você conclui?
Neste caso, o cálculo da área do círculo é muito grosseiro, pois
a diferença entre a aproximação por falta (32 cm²) e a por excesso (60 cm²) é grande. A média entre os dois valores resulta
em 46 cm².
Nesta atividade, os alunos vão calcular a área de um círculo com base em aproximações por quadrados. Para isso,
devem providenciar dois tipos de papel quadriculado, um
com quadrados de 1 cm de lado e outro com quadrados
de 0,5 cm de lado. Uma alternativa possível é o uso de
papel milimetrado, que tem quadrados com ambas as medidas necessárias.
Solicite aos alunos que desenhem duas circunferências
de raio igual a 4 cm no papel com o quadriculado maior,
Aproximação por falta
usando um compasso. O centro das circunferências deve
32 quadrados de 1 cm²
coincidir com o vértice de um dos quadrados. Em segui-
Área = 32 cm²
da, os alunos deverão colorir e contar os quadrados que
limitam as circunferências por dentro e por fora. No pri-
b) Aproximação por excesso: pinte todos os
quadrados que fazem parte do círculo
(mesmo que não totalmente) e calcule a
área ocupada por eles.
meiro caso, será a menor aproximação da área do círculo,
e no outro, a maior. Como cada quadrado tem área igual a
1 cm², a soma dos quadrados em cada caso corresponderá
à área da figura colorida.
9. Agora, você vai calcular a área
do mesmo círculo, só que com
base em quadrados menores, de
lado igual a 0,5 cm.
a) Aproximação por falta: pinte todos os
quadrados inteiros que cabem no circulo e calcule a área ocupada por eles.
70
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Aproximação por excesso
224 quadrados de lado 0,5 cm
Área = 224 u 0,25 = 56 cm²
c) Compare os resultados obtidos nos
itens anteriores e calcule a média entre
eles. O que você conclui? Compare também com os resultados da atividade 8.
Usando o papel com o quadriculado menor, eles devem obter uma aproximação melhor para a área do círculo, situada
dentro de um intervalo menor (entre 41 e 56 cm²). A média
Os alunos devem desenhar as mesmas circunferências usan-
entre os dois valores resulta em uma área de 48,5 cm². A área
do o papel com o quadriculado menor. Agora, pergunte-lhes
desse círculo, calculada pela fórmula / u r2, é aproximada-
qual é a área de cada quadrado. Eles devem perceber que,
mente 50,2 cm². Portanto, usando quadradinhos menores, a
como os lados medem 0,5 cm, a área de cada quadrado será
aproximação feita ficou mais próxima do valor real.
igual à 0,5 u 0,5 = 0,25 cm².
Aproximação por falta
164 quadrados de lado 0,5 cm.
A área de cada quadrado é, assim,
1
4
da área do quadrado
anterior: 0,25 cm²
Área = 164 u 0,25 = 41 cm²
b) Aproximação por excesso: pinte todos os
quadrados que fazem parte do círculo
(mesmo que não totalmente) e calcule a
área ocupada por eles.
A principal conclusão a ser tirada é de
que, quanto menor for o tamanho dos quadradinhos, mais as figuras obtidas se aproximarão do círculo, e mais precisa será a
aproximação em relação à área dele.
Uma maneira de calcular a área
do círculo
Depois de problematizar histórica e experimentalmente o cálculo da área do círculo,
vamos apresentar uma das demonstrações
clássicas dessa fórmula.
10. Acompanhe as etapas para
a dedução da fórmula da área
do círculo.
f 1a etapa: dividir o círculo de raio r em n
setores circulares iguais.
71
C=2uπur
r
f 2a etapa: “abrir” o círculo, deixando todos os n setores na mesma posição.
C = 2uπur
f 3a etapa: reposicionar metade dos n setores em sentido oposto, de modo que
se encaixem.
a figura obtida na 3a etapa se aproximará de
um retângulo.
a) Calcule a área desse retângulo para um
círculo de raio r e comprimento
C = 2 · π · r.
Para um valor de n muito grande, a área da figura será muito próxima à área do retângulo de base igual à metade do
πur
comprimento da circunferência (/u r) e altura igual ao raio r.
Aretângulo = base u altura = (/ u r) u r = / u r2
r
πur
Quanto maior for o número de divisões do
círculo, mais o setor circular se aproximará
de um triângulo isósceles de lado r, e mais
72
/ur
b) Escreva a fórmula da área do círculo.
A = /u r2
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
11. Use a fórmula obtida na atividade anterior
e recalcule a área do círculo nas condições
do problema do Papiro de Rhind. Em seguida, compare-a com o resultado obtido
na atividade 7.
Generalizando, para um setor circular correspondente a um ângulo central _º, sua área
_º
corresponderá a
da área do círculo.
360º
Como o círculo estava inscrito num quadrado de lado 3 unidades, seu raio vale 1,5 unidade. Aplicando a fórmula da área
do círculo, obtemos:
_º
Asetor =
Acírculo = / u r2  3,14 u (1,5)2  7,065
_º
360º
u π u r2
A área do círculo é um pouco maior que a área do octógono
inscrito no quadrado. Portanto, o método egípcio subestimava o valor da área do círculo.
12. Calcule a área de um círculo de raio igual
a 4 cm. Em seguida, compare-a com as médias obtidas nas atividades 8 e 9.
13. Calcule a área do setor circular
representado a seguir.
Para um círculo de raio 4 cm, a área vale A  3,14 u 42  50,24 cm2.
60º
2 cm
Na atividade 8, a área obtida foi 46 cm2 e, na atividade 9, foi
2
48,5 cm . Portanto, quanto menor for o tamanho do quadrado
utilizado, mais próxima do valor correto será a aproximação.
Área de setores circulares
(60o ÷ 360o) u / u 22 =
Com base na fórmula da área do círculo
(A = / u r2), podemos determinar a área de
qualquer setor circular usando a proporcionalidade direta. Já havíamos apresentado a proporcionalidade existente entre os arcos de uma
circunferência e o ângulo central correspondente
no Caderno do volume 2 da 6a série/7o ano. Podemos ampliar essa noção, estendendo-a para os
setores circulares. Se a área de um círculo é x, enx
tão a área do semicírculo é ; do mesmo modo,
2
um setor circular correspondente a um ângu1
lo central de 90º, que equivale a dos 360º da
4
1
de x.
circunferência, terá área igual a
4
A área do setor vale
2π
3
2π
cm2, ou aproximadamente 2,09 cm2.
3
14. Determine o raio do círculo a seguir, saben3
do que o setor circular corresponde a
4
2
desse círculo e tem área igual a 108π cm .
108 π cm2
73
Se o setor corresponde a
setor é Asc =
3
4
3
4
do círculo, então, a área do
u / u r2. Logo,108/ =
3
4
u / u r2
r2 = 144
A área do setor circular de 90o é igual a
da circunferência de raio
15. Determine o ângulo central que corresponde
ao setor circular representado a seguir.
2
62,5 π cm
10 cm
_
൱ u / u r2
360
_
൱ u / u 102
360
62,5/ u 360
100/
= 225o
O ângulo central correspondente é de 225o.
16. Ambas as figuras estão inseridas em um
quadrado de lado L. Qual delas possui a
maior área?
L
é igual a AC = / u ൭
2
2
. A área
2
൱ = / u
L2
4
.
Propomos, a seguir, uma sequência de
exercícios que envolvem o cálculo de áreas de
círculos, setores e figuras afins. As situações
exploradas utilizam o teorema de Pitágoras,
que já é de conhecimento dos alunos.
Em qualquer figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos
dois quadrados formados, respectivamente,
sobre os catetos b e c.
17. Na 7a serie/8o ano, você estudou o teorema de Pitágoras.
a
C
74
L
4
Problemas envolvendo o cálculo de áreas e
o teorema de Pitágoras
B
setor circular de 90°
L2
Os triângulos retângulos representados
a seguir têm hipotenusa a e catetos b e c. A
figura a seguir é uma imagem que traduz
o teorema de Pitágoras, enunciado da seguinte forma: “O quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos”.
Se a área do setor vale 62,5/ cm2, então:
_=
da área de uma
Portanto, ambas as figuras possuem a mesma área.
O raio do círculo é de 12 cm.
62,5/ = ൭
4
circunferência de raio L. Ou seja, é igual a ASC = / u
r = 12
Asc = ൭
1
círculo
c
b
A
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
a) Escreva a expressão algébrica do teorema para o triângulo retângulo ABC.
Somando-se as áreas obtidas, temos:
Cb + Cc =
a2 = b2 + c2
9/
4
+
16/ 25/
=
.
4
4
Portanto, Cb + Cc = Ca.
b) Qual é a relação entre as áreas dos quadrados representados na figura?
Nessa figura, a área do quadrado de lado a é igual à soma das
A área do círculo construído sobre a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos círculos construídos sobre os catetos, o
que está de acordo com o teorema de Pitágoras.
áreas dos dois quadrados formados, respectivamente, sobre
os catetos b e c.
Podemos explorar essa relação em outras
figuras além do quadrado.
18. Na figura a seguir, os círculos foram construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. Verifique se, analogamente ao que
ocorre no teorema de Pitágoras, a área do
círculo construído sobre a hipotenusa é igual
a soma das áreas dos círculos sobre os catetos. (Medidas: a = 5 cm; b = 3 cm; c = 4 cm.)
Dessa forma, verificamos que o teorema de
Pitágoras vale não apenas para os quadrados
formados sobre os lados de um triângulo retângulo, mas também para círculos de diâmetro igual a esses lados.
19. Verifique se essa relação entre as áreas vale
também para as figuras a seguir:
a) Região complementar do quadrado em
relação ao semicírculo.
(Medidas: a = 10 cm; b = 6 cm; c = 8 cm.)
B
a
C
B
c
a
c
A
b
C
A
b
A área do círculo correspondente à hipotenusa é
Ca = / u ൭
a
2
2
൱ =
/ u 52
4
=
25/
4
.
A área da figura colorida é a diferença entre a área do quadrado
As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, res-
de lado igual ao lado do triângulo e o semicírculo de diâmetro
pectivamente,
igual a esse lado. Assim, a área da figura relativa à hipotenusa é
Cb =
π u b2 9/
π u c2 16/
.
=
e Cc =
=
4
4
4
4
Aa = a2 –
1
2
u/u൭
a
2
2
൱ = 102 – / u
102
8
= 100 –
25/
2
.
75
As áreas das figuras relativas aos catetos b e c valem, respectivamente,
Ab = 62 –
Ac = 82 –
Mas, pelo teorema de Pitágoras, b2 + c2 = a2.
Portanto,
1
2
1
2
6
u/u൭
2
8
u/u൭
2
2
൱ = 36 –
9/
2
9/
൱ = 64 – 8/
+ 64 – 8/ = 100 –
2
4
25/
2
Portanto, Ab + Ac = Aa, o que está de acordo com o teorema
de Pitágoras.
b) Setor circular de 90º (faça o cálculo literal com as letras a, b e c).
/ u a2
4
, ou seja, Sb + Sc = Sa.
As atividades anteriores mostraram que as
áreas das figuras construídas com base nos lados de um triângulo retângulo obedecem à relação de Pitágoras. É possível provar que isso
vale para qualquer figura, desde que elas sejam
semelhantes entre si. Vamos usar esse fato para
o desenvolvimento da próxima atividade.
B
a
c
B
C
a
=
Professor, comente com seus alunos que a
área obtida neste item é igual à área referente
ao círculo de diâmetro igual ao lado do triângulo, descrito no exemplo inicial.
2
Somando-se as áreas obtidas, temos:
Ab + Ac = 36 –
/ (b2 +c2)
A
b
B
c
a
C
A
b
C
c
b
A
B
A figura colorida é um setor circular de 90o com raio igual ao
a
lado do triângulo. Assim, a área do setor circular relativo à hipotenusa é Sa =
1
4
u / u a2 =
/ u a2
4
C
c
b
A
As áreas dos círculos relativos aos catetos b e c valem, respectivamente,
Sb =
/ u b2
4
e Sc =
/ u c2
4
Somando-se as áreas obtidas, temos:
Sb + Sc =
76
/ u b2 / u c2 / (b2 +c2)
+
=
4
4
4
Professor, para as próximas atividades,
será necessário o uso de régua e compasso. Sendo assim, não se esqueça de pedir
aos alunos que tragam esse instrumento.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
As lúnulas de Hipócrates
Um dos desafios matemáticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade foi o problema da quadratura do círculo. Esse problema consistia em construir um quadrado de área igual
à de um circulo com determinado diâmetro. Em termos práticos, o problema se reduz a encontrar
uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro do circulo, o que envolverá o numero π.
Como sabemos hoje, esse problema só pode ser resolvido por meio de aproximações, pois π é um
número irracional e não pode ser representado por uma razão entre inteiros. Contudo, consta que
o matemático grego Hipócrates de Chios (460 a.C.) conseguiu resolver um problema de quadratura
de uma figura curvilínea. Ele mostrou que a soma das áreas de duas lúnulas era igual à área de um
triângulo retângulo (lúnulas são figuras curvilíneas delimitadas por dois arcos de circunferência).
20. Com base nas instruções a
seguir, você vai construir duas
lúnulas. Para isso, será necessário o uso de uma régua e de um compasso.
f 1a etapa: construa um triângulo retângulo ABC com lados medindo a = 5 cm,
b = 3 cm e c = 4 cm. Nomeie os vértices
com as letras A, B e C. O vértice A deve
ser oposto ao lado a; o vértice B, oposto
ao lado b; e o vértice C, oposto ao lado c.
f 2a etapa: determine os pontos médios
(Ma, Mb e Mc) dos lados desse triângulo.
B
1a e 2a etapas
a
Ma
Mc c
centro no ponto médio da hipotenusa,
voltado para o interior do triângulo.
3a e 4a etapas
Ma
f 5a etapa: pinte levemente com um lápis
a região formada entre os semicírculos
dos catetos e o semicírculo da hipotenusa. Essas regiões são chamadas lúnulas.
5a etapas
Mb
C
b
A
f 3a etapa: construa um semicírculo, voltado para fora do triangulo, com centro
nos pontos médios dos catetos b e c.
f 4a etapa: construa um semicírculo com
Rc
Lc
Rb
Lb
77
Desafio!
21. Prove, algebricamente, que a soma das
áreas das lúnulas é igual à do triângulo
retângulo ABC representado a seguir.
Consideremos também que as áreas dos semicírculos representados a seguir obedecem ao teorema de Pitágoras,
como visto anteriormente, ou seja, SCa = SCb + SCc (II).
B
B
a
a
c
C
C
b
c
b
A
A
Sejam Lb e Lc as lúnulas relativas aos catetos b e c. Rb e Rc
As áreas das lúnulas Lb e Lc valem, respectivamente:
são os segmentos circulares limitados pelos catetos b e c.
Lb = SCb – Rb e Lc = SCc – Rc
SCa, SCb e SCc são os semicírculos relativos aos lados a,
Então, a soma das áreas das lúnulas é dada por:
b e c do triângulo. Seja T a área do triângulo retângulo
Lb + Lc = SCb – Rb + SCc – Rc, ou
ABC. Então, podemos escrever que: T = SCa – (Rb + Rc) (I).
Lb + Lc = SCb + SCc – (Rb + Rc)
Considerando a relação (II), podemos escrever que
B
Lb + Lc = SCa – (Rb + Rc).
Comparando com a relação (I), concluímos que Lb + Lc = T.
Rc
Lc
Ou seja, a soma das áreas das lúnulas é igual à área do
triângulo retângulo.
Rb
C
A
Lb
Considerações sobre a avaliação
Como vimos, as fórmulas para o cálculo do perímetro e da área do círculo podem
ser apresentadas aos alunos, dentro de um
contexto experimental, histórico e prático.
78
As atividades sugeridas nesta Situação de
Aprendizagem são indicativas de uma forma
de trabalhar a Matemática com significado.
O professor deve avaliar quais delas podem
ser incorporadas ao seu curso, de forma a
ampliar o conhecimento dos alunos.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é que os alunos consigam resolver problemas envolvendo o perímetro e a
área do círculo e de suas partes. Além disso,
espera-se que tenham compreendido o significado do / como razão entre o comprimento
da circunferência e seu diâmetro.
A avaliação do aprendizado dos alunos
deve ser feita continuamente, ao longo das
atividades desenvolvidas. A atividade experimental 4 é importante na construção do
cálculo de áreas circulares por aproximação.
Já as atividades 2, 6 e 7 envolvem cálculos e
resolução de problemas. Nesses momentos,
deve-se avaliar o aproveitamento dos alunos
e suas dificuldades, verificando se conseguem
realizar os cálculos envolvidos.
A maioria dos livros didáticos traz uma série de problemas abrangendo o cálculo de perímetros e áreas de figuras circulares. O professor
poderá selecionar alguns deles para a elaboração de fichas de exercícios e avaliações.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
CILINDROS
Conteúdos e temas: área da superfície cilíndrica; volume de um prisma reto; volume do
cilindro; unidades de medida de capacidade.
Competências e habilidades: saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geométricos: prismas, pirâmides e corpos redondos; conhecer o nome e o significado dos
principais elementos de um prisma e de um cilindro; calcular a área total e o volume de
um cilindro; realizar corretamente transformações de unidades de medida de capacidade.
Sugestão de estratégias: desenhar a planificação de um cilindro e construí-lo com base
nessa planificação; resolver problemas envolvendo o cálculo do volume de embalagens
com formato de cilindro.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 7
Nas Situações de Aprendizagem anteriores, as relações métricas nas figuras
circulares planas foram o foco do estudo.
Abordamos os métodos de cálculo do perímetro e da área do círculo e suas partes,
envolvendo sempre a constante de propor-
cionalidade /. Agora, vamos ampliar esse
estudo para as figuras espaciais, mais especificamente, o cilindro.
Iremos explorar as principais relações métricas que caracterizam um tipo particular de
cilindro, o reto. Propomos uma atividade para
o aluno desenhar a planificação do cilindro e
construí-lo a partir dela. Desse modo, ele irá
79
se familiarizar com os elementos e as partes
que formam um cilindro, o que será de fundamental importância para chegar às fórmulas
da área e do volume.
A atividade a seguir tem por objetivo reconhecer as principais características e os elementos de um cilindro a partir da comparação
com um prisma.
Os cálculos da área e do volume devem
ser apresentados e problematizados, de modo
que o aluno seja capaz de resolver problemas
básicos envolvendo formas cilíndricas. A fórmula da área da superfície do cilindro pode
ser obtida com os conhecimentos já adquiridos, como a área do retângulo e a área do
círculo. No caso do volume, não há necessidade de se demonstrar a fórmula a partir do
Princípio de Cavalieri, o que será feito mais
adiante, na 2a série do Ensino Médio. O
mais importante, na 8a série/9o ano, é fazer com
que o aluno consiga interpretar e dar sentido a
essas fórmulas, percebendo a presença da constante / e o número de dimensões envolvidas.
1. Observe atentamente os sólidos geométricos.
Figuras espaciais: características
Professor, antes de iniciar o estudo das
relações métricas no cilindro, é fundamental
retomar com os alunos alguns dos conceitos
já estudados nas séries/anos anteriores. A
distinção entre prismas, pirâmides e corpos
redondos deve ser relembrada para situar o
cilindro dentro do conjunto dos sólidos geométricos. Além disso, é muito importante
avaliar o vocabulário geométrico dos alunos.
Nessa etapa, a linguagem desempenha um
papel fundamental na construção do conhecimento geométrico. Os alunos devem saber
o que é aresta, vértice, face, plano, segmento
de reta etc.
80
a) Classifique-os quanto à forma (nas lacunas abaixo das imagens).
I. Prisma (quadrangular) reto
II. Cilindro reto
Observação!
Em ambos os casos, os planos das bases são perpendiculares à superfície lateral.
b) Descreva as principais semelhanças e diferenças entre os dois sólidos.
O prisma é um sólido geométrico formado por polígonos,
enquanto o cilindro é formado por dois círculos e uma superfície lateral. Ressaltar que o prisma reto possui faces laterais, que são retângulos, enquanto a superfície lateral do
cilindro é curva. Ambos possuem duas bases congruentes,
situadas em planos paralelos entre si. No caso do prisma da
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
figura, as bases são retângulos, mas poderia ser qualquer ou-
e) Com relação ao solido II, determine:
tro polígono. No caso do cilindro, as bases são círculos de
mesmo diâmetro. Em ambos os casos, a superfície lateral é
perpendicular aos planos das bases.
c) Localize, nos sólidos, os seguintes elementos: vértice, aresta, face, base e geratriz.
f a figura plana que forma a base: círculo.
f o polígono que corresponde a superfície lateral planificada: retângulo.
A planificação do cilindro e sua área
No caso do prisma reto, a medida da aresta lateral é a altura
Podemos introduzir a ideia da área do cilindro com base em sua planificação.
do sólido. No cilindro reto, é a geratriz.
vértice
aresta
face
2. A figura a seguir é uma planificação de um
cilindro. Sabendo que a altura do cilindro
mede 5 cm, e o diâmetro das bases, 6 cm,
determine o comprimento do retângulo
correspondente à superfície lateral. Considere π  3,14.
geratriz
base
d) Com relação ao solido I, determine:
f
f
f
f
f
o número de vértices: 8.
o número de arestas: 12.
o número de faces: 6.
o polígono que forma a base: retângulo.
o polígono que forma a face lateral:
retângulo.
81
O comprimento do retângulo é igual ao comprimento da
circunferência de base, ou seja, / u D. Como o diâmetro
Material necessário:
mede 6 cm, então, o comprimento do retângulo é igual a
f folha de papel sulfite tamanho A4;
6 u 3,14  18,8 cm.
f tesoura;
f régua;
3. Agora, você vai construir um cilindro com base nas medidas da
planificação da atividade anterior.
f fita adesiva;
f compasso.
Etapas da construção
1a etapa: desenhe os segmentos r e s
que dividem a folha ao meio,
na largura e no comprimento.
2a etapa: desenhe dois segmentos,
m e n, paralelos ao segmento s,
distando 2,5 cm deste.
r
m
s
n
82
3a etapa: construa dois círculos de 6 cm
4a etapa: desenhe o retângulo correspon-
de diâmetro, tangentes aos segmentos
m e n, e com centro no segmento r.
dente à superfície lateral planificada.
m
m
n
n
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
5a etapa: recorte a planificação do
cilindro do papel A4.
6a etapa: usando fita adesiva, construa
o cilindro com base na planificação.
m
n
4. Com base nas medidas do cilindro montado na atividade anterior, calcule:
a) as áreas das bases;
d) Compare a área do cilindro com a da
folha A4 utilizada. Qual foi a porcentagem de papel utilizada na construção
do cilindro?
As áreas das bases correspondem às áreas dos círculos de
As dimensões de uma folha A4 são de, aproximadamente,
raio 3 cm. Portanto,
21 cm por 30 cm. Portanto, sua área é de 21 u 30  630 cm2,
área das bases = 2 u área do círculo = 2 u (/ u r2) 
2
2
 2 u 3,14 u 3  56,5 cm
que é aproximadamente 4 vezes maior que a área obtida
(150,7 cm2). Portanto, na construção do cilindro foram utilizados aproximadamente 25% do papel A4 original.
b) a área da superfície lateral;
Já a área lateral corresponde à área do retângulo de base
igual ao comprimento da circunferência (2 u / u r) e altura
igual a 5 cm. Portanto,
área lateral = área do retângulo = base u altura = (2 u / u r) u 5 
 2 u 3,14 u 3 u 5  94,2 cm2
c) a área total do cilindro.
A área total da superfície do cilindro corresponde à soma das
Ao final, pergunte aos alunos se o resultado
é compatível com o problema. Eles devem avaliar se 150 cm2 é uma medida possível para a
área do cilindro. Uma forma de fazer essa verificação é comparar a área obtida com a área
da folha de papel onde foi feita a planificação.
Parece razoável, considerando que a planificação ocupou uma fração do papel A4.
áreas das bases com a área da superfície lateral:
área do cilindro = áreas das bases + área lateral = 56,5 + 94,2 =
2
= 150,7 cm
Insista com os alunos a respeito desse tipo
de procedimento. Ele pode ajudar a detectar
83
erros nos cálculos, o que é frequente acontecer. Se, por exemplo, o resultado obtido for
1 507 cm2, ao compará-lo com a área do papel,
será possível identificar um erro relacionado
às casas decimais.
5. Escreva uma fórmula para o cálculo da
área da superfície de um cilindro reto, com
base no raio r das bases e na altura h do
cilindro.
rios são necessários para preenchê-lo. Por meio
de uma multiplicação, os alunos chegam ao resultado do volume. Generalizando essa ideia,
obtém-se a seguinte fórmula para o cálculo do
volume do bloco retangular: V = a u b u c, onde a,
b e c são as dimensões do bloco (comprimento,
largura e altura, respectivamente).
A área das bases é o dobro da área do círculo, ou seja,
(/ u r2). E a área lateral é a área de um retângulo de base igual
c
ao comprimento da circunferência da base (2 · / u r) e altura h.
Abase = / u r2
Acilindro = 2 u Abase + Alateral
Alateral = 2 · / u r u h
Portanto, a área da superfície do cilindro vale:
Acilindro = 2 · / u r + 2 u / u r u h ou Acilindro = 2 u / u r u( r + h)
b
a
Do prisma ao cilindro: volume
O volume de um prisma já foi apresentado
aos alunos na 7a série/8o ano. Retomaremos
essa noção para introduzir o cálculo do volume do cilindro. Nesta Situação de Aprendizagem, trataremos exclusivamente de prismas e
cilindros retos, ou seja, cuja superfície lateral
é perpendicular aos planos das bases. A ampliação para casos de prismas e cilindros oblíquos será abordada no Caderno da 2a série do
Ensino Médio.
É importante lembrar que, nesse caso, todos os ângulos entre as arestas são de 90º.
Se considerarmos que o produto de duas
dimensões desse prisma equivale ao valor da
área de uma de suas faces, podemos interpretar a fórmula da seguinte maneira:
Seja a u b a área da base do prisma, e c a
altura. Então, temos que:
altura do prisma
Geralmente, introduz-se a ideia de volume por meio do cálculo do volume de blocos
retangulares, que são um caso particular de
prisma formado por faces retangulares. Para
calcular o volume de um bloco retangular, é
feita uma contagem de quantos cubos unitá-
84
V=aubuc
área da base
Chamando a altura do prisma de h e a área
da base de Abase, a fórmula do volume de um
prisma retangular é dada por:
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Comparação entre fórmulas relativas a
figuras circulares (planas e espaciais)
Vprisma = Abase u h
Essa fórmula vale para todos os prismas,
com qualquer base. A prova desse fato só será
apresentada formalmente aos alunos na 2a série do Ensino Médio, por meio do Princípio de
Cavalieri. Neste momento, utilizaremos essa
ideia para determinar o volume do cilindro.
Vamos considerar um prisma cuja base é um
polígono regular de n lados. À medida que aumentamos o valor de n, a área do polígono da
base se aproxima da área do círculo circunscrito
a ele. Esse processo de aproximação é o mesmo
que foi discutido nas Situações de Aprendizagem anteriores. Portanto, podemos considerar o
cilindro como um prisma cuja base é um polígono regular com infinitos lados. Assim, a fórmula
do volume do prisma pode ser estendida para o
cilindro como apresentado na atividade a seguir.
6. Calcule o volume do cilindro que construíram por meio da planificação sugerida na
atividade 2.
h
Incluímos a fórmula do volume da esfera
para ampliar a visão dos elementos que caracterizam essas fórmulas.
7. Preencha a tabela a seguir com
as fórmulas usadas para cálculos
métricos em figuras circulares.
a)
Comprimento da
C = 2·/ur
circunferência
Área
do
círculo
A = / u r2
Área da
superfície do
cilindro
A = 2 u / u r u(r + h)
Volume
do
cilindro
V = / u r2 u h
b) Descreva as principais características
das fórmulas da tabela.
Uma característica presente em todas as fórmulas é o uso
r
do número /. Além disso, todas elas envolvem o raio de
uma circunferência.
O cilindro construído tem 6 cm de diâmetro, portanto, 3 cm
de raio e altura de 5 cm. Então, considerando /  3,14, o volume será igual a: V = / u r2 u h  3,14 u 32 u 5  141,3 cm3.
8. Sabendo que 1 dm3 equivale a 1 ℓ, calcule a
capacidade (em litro ou seus submúltiplos)
de um cubo cujos lados medem:
85
mos dar ênfase aos problemas que envolvam objetos do cotidiano, como latas de
refrigerantes, embalagens, tanques ou caixas-d’água, entre outros.
a) 10 cm
Como 10 cm equivalem a 1 dm, então, a capacidade do cubo
é dada por V = 1 dm u 1 dm u 1 dm = 1 dm3 = 1 litro.
b) 1 cm
Uma questão importante a ser discutida é a interpretação do resultado. Ou seja,
verificar se o valor obtido após os cálculos é compatível com a pergunta inicial do
problema. Além disso, é preciso resgatar
algumas transformações de unidades de
volume, que são fundamentais em problemas práticos.
Como 1 cm equivale a 0,1 dm, então, a capacidade do
cubo é dada por V = 0,1 dm u 0,1 dm u 0,1 dm = 0,001 dm3 =
= 0,001 litros = 1 mililitro ou 1 ml.
c) 1 m
Como 1 m equivale a 10 dm, então, a capacidade do cubo é
dada por V = 10 dm u 10 dm u 10 dm = 1 000 dm3 = 1 000 litros.
9. Calcule a capacidade do cilindro, em mℓ,
construído na atividade 3 (use π  3,1).
O cilindro construído tem 6 cm de diâmetro, portanto, 3 cm
Retome com seus alunos as transformações de unidades no sistema métrico decimal. Como transformar metros cúbicos em
centímetros cúbicos e vice-versa. Relembre
que o litro é a milésima parte do metro cúbico, ou seja, que ele vale 1 decímetro cúbico
(1 dm3 = 1C). Além disso, reveja os múltiplos
e submúltiplos do litro. A seguir, apresentamos duas tabelas que podem orientar os
alunos nas transformações de unidade.
de raio e altura igual a 5 cm. Considerando /  3,1, o volume
será igual a:
V = r2 u h  3,1 u 32 u 5  139,5 cm3
m3
dm3
cm3
mm3
1
103
106
109
10–3
1
103
106
10–6
10–3
1
103
10–9
10–6
10–3
1
A capacidade do cilindro é de aproximadamente 139,5 ml.
Problemas relacionados ao cilindro
A maioria dos livros didáticos traz uma
série de problemas envolvendo o cálculo da
área e do volume do cilindro. Recomenda-
86
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
1
1
d
c
m
10
100
1 000
a) a capacidade, em m , da lata de alumínio
representada (use π  3,1);
Usando /  3,1, o volume da lata é de, aproximadamente,
1
10
10
1
1
100
1
10
1
1
1 000
100
10
100
V = 3,1 u 32 u 12 = 334,8 cm3. Como um centímetro cúbico
equivale a 0,001 dm3, então, o volume pode ser expresso
1
10
como 0,3348 dm3. Um decímetro cúbico equivale a
um litro, então, o volume da lata é de, aproximadamente,
1
A seguir, propomos um problema para exemplificar o uso das unidades de volume de um cilindro. É recomendável que os alunos utilizem
calculadoras nesse tipo de atividade, para agilizar
os cálculos e priorizar o raciocínio de resolução.
0,335 litro ou 335 mililitros. V  335 mC.
b) quantos centímetros quadrados de folha de alumínio são necessários para
confeccionar uma lata;
A área da base é Ab  3,1 u 32  27,9 cm2. A área lateral é
Al  2 u 3,1 u 3 u 12  223,2 cm2. A área total do cilindro vale
2 u 27,9 + 223,2  279 cm2. Portanto, são necessários, aproximadamente, 279 cm2 para confeccionar uma lata.
10. As latas de refrigerante são confeccionadas com folhas de alumínio. O Brasil é um dos países que
mais reciclam esse tipo de material no mundo. Segundo a Associação Brasileira dos
Fabricantes de Latas de Alta Reciclabilidade (Abralatas), o Brasil produziu aproximadamente 10 bilhões de latas de alumínio em
2005 e reciclou aproximadamente 96% desse
total. Considerando que o formato da lata
se assemelha a um cilindro reto, determine:
c) quantas latas podem ser confeccionadas
com uma chapa de alumínio de 1 m de
comprimento por 1,72 m de largura.
A área de uma chapa de alumínio é dada por 1 m u 1,72 m
= 1,72 m2. Um metro quadrado equivale a 100 u 100 =
= 10 000 centímetros quadrados. Portanto, a área total da chapa, em centímetros quadrados, é 10 000 u 1,72 = 17 200 cm2.
Para saber quantas latas podem ser confeccionadas com
uma chapa, divide-se a área da chapa pela área da lata:
17 200 ÷ 279  61,65. Assim, com uma chapa de alumínio é
possível confeccionar, no máximo, 61 latas.
Observação: professor, comente com os alunos que pode
haver perdas nesse processo e que, na realidade, o aproveitamento pode ser um pouco menor.
12 cm
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é de que os alunos tenham se
6 cm
87
apropriado das principais características relativas ao cilindro. As atividades iniciais tiveram como objetivo a ampliação e a consolidação do vocabulário geométrico. Palavras
como aresta, vértice, face, base, altura, geratriz, raio da base, entre outras, constituem o
pilar de um ensino consistente de Geometria.
A classificação e diferenciação dos sólidos
geométricos são de fundamental importância
para a caracterização do cilindro.
Propusemos, também, uma atividade de
representação geométrica da planificação
do cilindro e sua construção, contemplando duas dimensões fundamentais do conhecimento geométrico. Essa atividade serviu
de base para o cálculo da área e do volume
do cilindro.
A avaliação do aprendizado dos alunos
deve ser feita continuamente, tanto ao longo das atividades propostas como ao final
de um ciclo ou volume. Os principais objetivos de aprendizagem com relação ao estudo do cilindro que devem ser objeto de
avaliação são:
f saber distinguir e classificar os diferentes tipos de sólidos geométricos: prismas
e corpos redondos;
f conhecer o nome e o significado dos
principais elementos de um prisma e de
um cilindro;
f calcular a área total e o volume de um
cilindro;
f realizar corretamente transformações de
unidades de medida de capacidade.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
PROBABILIDADE E GEOMETRIA
Conteúdos e temas: história da Matemática; probabilidade; proporcionalidade; área de círculos, setores e coroas circulares.
Competências e habilidades: compreender o conceito de probabilidade em espaços amostrais
contínuos; calcular a área de círculos e coroas circulares.
Sugestão de estratégias: uso da história da Matemática para problematizar a relação entre
Geometria e probabilidade; resolução de exercícios exemplares para introduzir o cálculo de
probabilidade em espaços amostrais contínuos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 8
A probabilidade constitui um dos assuntos
88
mais ricos de ser estudados na escola básica.
Os alunos do Ensino Fundamental são plenamente capazes de analisar situações que envolvem a comparação entre eventos.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
No atual programa, o conceito de probabilidade vem sendo trabalhado desde a
5a série/6o ano, com os problemas de contagem e de Estatística, constituindo o eixo
denominado Tratamento da Informação. Na
6a série/7o ano, por exemplo, a probabilidade
foi introduzida como uma razão particular
em que se compara o número de casos favoráveis de determinado evento com o número
de casos possíveis.
Agora, na 8a série/9o ano, vamos retomar
o conceito de probabilidade associado à
Geometria. Contudo, antes de iniciar essas
atividades, é importante retomar as principais ideias associadas ao cálculo da probabilidade. Podem-se propor, inicialmente,
algumas atividades para que os alunos percebam a ideia de probabilidade por meio da
experimentação.
Assim, eles podem calcular experimentalmente o número de ocorrências da face
“cara” em lançamentos sucessivos de uma
moeda, ou a ocorrência de números pares em
uma série de lançamentos de um dado. Outras situações, como a retirada de cartas do
baralho ou o acerto de um alvo na batalha-naval, podem ser exploradas pelo professor
para discutir probabilidade.
O tipo de probabilidade que será explorada nesta Situação de Aprendizagem dife-
re um pouco da estudada anteriormente. Os
espaços amostrais e os eventos não serão
contados, mas sim medidos. Em vez de determinar o número de casos favoráveis em um
evento, iremos considerar a medida de áreas
ou de ângulos. Essa mudança sutil implica
a passagem do campo discreto dos eventos
para o campo contínuo.
Apesar disso, a forma de calcular a probabilidade continua a mesma, ou seja, por meio
de uma razão, que pode ser escrita na forma
decimal como um número entre 0 e 1, ou, ainda,
na forma de porcentagem, entre 0 e 100%.
Na primeira atividade, relatamos um episódio ímpar da história da Matemática, no
qual a Geometria e o cálculo de probabilidade se encontram de forma inusitada. O famoso problema da agulha de Buffon é um feliz
exemplo de como a Matemática pode estar
presente nas coisas mais despretensiosas e,
aparentemente, “inúteis” da vida.
Em seguida, exploramos duas atividades
relacionadas ao cálculo de probabilidades
em situações que envolvem figuras geométricas. Na atividade 2, os eventos favoráveis
serão os setores circulares e os ângulos a eles
associados. Na atividade 3, abordaremos as
probabilidades relacionadas a um alvo de
jogo de dardos, envolvendo o cálculo da
área de círculos e coroas circulares.
89
O π e a agulha de Buffon
O estudo da probabilidade, aparentemente, não tem uma ligação direta com a Geometria.
A probabilidade trata da razão entre eventos, ao passo que a Geometria relaciona-se ao estudo
das formas. Uma interseção entre esses dois assuntos parece um tanto improvável, dada a
natureza distinta de cada um. Contudo, ao analisar um problema aparentemente banal,
um naturalista francês do século XVIII, conhecido como Conde de Buffon, descobriu uma
curiosa ligação entre esses dois assuntos.
À primeira vista, o problema parece ser um tanto despretensioso. Ele consistia na observação e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao acaso um
punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas paralelas, o Conde
de Buffon anotava quantas delas caíam sobre as retas e quantas caíam entre os espaços, sem
tocar as linhas. Seu intuito era descobrir qual a probabilidade de uma agulha jogada ao acaso
no tabuleiro cair sobre uma das linhas.
caso favorável
caso desfavorável
Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentações, contando-se os casos favoráveis e comparando-os ao total de lançamentos. Contudo, o Conde desejava obter uma
fórmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. Usando cálculos simples envolvendo ângulos e áreas de figuras planas, ele chegou à seguinte fórmula:
P=
2a
πud
Nela, P é a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a é o comprimento da agulha e d é a distância entre as linhas paralelas. No entanto, o fato mais surpreendente da fórmula de Buffon é a presença da constante /. Algo que geralmente é usado para
calcular o comprimento ou a área de um círculo aparece no cálculo de probabilidade.
90
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Para o caso particular em que a distância entre as linhas é o dobro do comprimento
da agulha (d = 2a), a fórmula de Buffon pode ser escrita como P = 1 . Isso nos leva a outra
π
possibilidade de uso da fórmula. Fazendo uma série de lançamentos de agulhas e calculando
o valor de P experimentalmente, pode-se determinar o valor aproximado de /. De fato,
essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta em uma
aproximação bastante aceitável para o valor de /. Alguns pesquisadores dedicaram-se a esses
experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproximação de
3,1415929 para / após 3 408 lançamentos.
Entretanto, pode-se questionar o significado prático de tais procedimentos ou fórmulas.
Para que saber a probabilidade de uma agulha cair sobre um feixe de linhas paralelas? Por
que determinar o valor de / por meio do lançamento de agulhas, se ele pode ser calculado
por inúmeras maneiras mais simples?
© Conexão Editorial
De fato, à primeira vista, a fórmula de Buffon não tem utilidade prática alguma. Todavia,
anos mais tarde, ela serviu de base para uma das invenções mais importantes do século XX:
o aparelho de tomografia computadorizada. Mas, em vez de empregar linhas paralelas sobre
um tabuleiro, esse aparelho trabalha com feixes de radiações paralelas. Usando a fórmula de
Buffon, é possível determinar as dimensões de um objeto utilizando um feixe desse tipo, o
que, de forma bastante simplificada, está por detrás do funcionamento desse aparelho.
O exemplo da agulha de Buffon é bastante ilustrativo para relativizar o argumento de que
alguns assuntos de Matemática não têm aplicações práticas na vida real. Quando começaram
os estudos sobre os fenômenos eletromagnéticos, no início do século XIX, muitos pensavam
que se tratava de uma pesquisa inútil, sem nenhum interesse prático. Hoje em dia ninguém
pode se imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, não é mesmo?
91
1. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise
de texto, responda:
a) Qual era o intuito original do experimento do Conde de Buffon?
O intuito original era calcular a probabilidade de uma agulha de
determinado comprimento cair sobre a linha de um tabuleiro.
2. Responda as questões a seguir.
a) Use a fórmula do Conde de Buffon e
calcule a probabilidade de uma agulha
de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro formado por linhas paralelas
distantes 3 cm umas das outras. Use
uma calculadora e expresse o resultado
em porcentagem (use π  3,14).
b) O que ele acabou descobrindo nessa
experiência?
P=
Que o cálculo da probabilidade de a agulha cair sobre uma
A probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha
das linhas envolve, diretamente, o número /.
de um tabuleiro cujas linhas distam 3 cm entre si é de apro-
2a
/ ud

2u3
3,14 u 3
 0,637  63,7%
ximadamente 63,7%.
c) Como obter um valor aproximado de π com
base na experiência do Conde de Buffon?
de ela cair sobre uma das linhas paralelas. Substituindo esse
b) O que acontece com essa probabilidade se a distância entre as linhas do
tabuleiro for o dobro do comprimento
da agulha?
valor na fórmula do Conde de Buffon, pode-se determinar o
Dobrando a distância entre as linhas, a probabilidade cai
valor aproximado de /. Essa estratégia funciona bem quando
pela metade.
Fazendo uma série de lançamentos de agulhas em um tabuleiro, pode-se calcular experimentalmente a probabilidade
aplicada em um grande número de lançamentos.
d) Como você avalia a questão da utilidade prática do experimento realizado
pelo Conde de Buffon?
Aparentemente, o experimento do Conde de Buffon não
apresenta nenhuma utilidade prática direta. Afinal, a quem
interessaria saber a probabilidade de uma agulha cair sobre
P=
2a
/ ud
0,5 =
1
2
do Conde de Buffon acabaram sendo aproveitados em outra
área do conhecimento, resultando no desenvolvimento do
aparelho de tomografia computadorizada.
92
2u3
3,14 u 2 u 3
 0,3185  31,85%
c) Qual deve ser a distância entre as linhas
de um tabuleiro para que a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre
uma das linhas seja de 50%?
uma das linhas de um tabuleiro? Ou, ainda, por que calcular
o valor de pi usando esse método? Contudo, os resultados

d
2a
/ ud

2u3
3,14 u d
12
3,14
 3,82
O espaço deve ser de, aproximadamente, 3,8 cm.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Setores circulares e probabilidade
Nesta atividade, os alunos deverão calcular
a probabilidade de o ponteiro móvel das roletas,
ao ser girado livremente, parar em determinada
região do círculo.
b) Na roleta da figura, os ângulos correspondentes aos setores circulares coloridos variam em sequência crescente, de
10 em 10 graus. O menor ângulo mede
10o. Qual é a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul?
3. Considere uma roleta circular com um ponteiro central
móvel. Ao girarmos livremente
esse ponteiro, ele vai parar em uma determinada região da roleta.
a) Na roleta representada a seguir, o ângulo correspondente ao setor I mede 60°
e o correspondente ao setor III, 180°.
Calcule a probabilidade de o ponteiro
da roleta, ao ser girado livremente, parar na região II.
II
I
Os setores azuis correspondem aos ângulos centrais de 10o e
70o. Portanto, a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul é de P(Azul) =
80
360
= 0,222... ou aproximadamente 22,2%.
c) Qual é a cor da região em que o ponteiro central tem a maior probabilidade de
parar? Justifique sua resposta.
É a verde, pois corresponde aos arcos de 30o e 80o, que, juntos, correspondem a 110o, e sua probabilidade de ocorrência
III
A área do setor II corresponde ao ângulo central de 120o. Não
é necessário calcular a área, pois o raio é o mesmo para cada
setor. Assim, basta comparar o ângulo correspondente ao se120o
1
tor II com 360o. P(II) =
=
= 0,3333... ou aproximada3
360o
mente 33,3%. A probabilidade de o ponteiro parar na região II
é de aproximadamente 33,3%.
é de, aproximadamente, 30,5%.
Essas atividades podem constituir uma
boa porta de entrada para o cálculo de probabilidades geométricas. Eles são relativamente
simples e envolvem apenas a razão entre ângulos. Na próxima atividade, a probabilidade
envolverá o cálculo da área de setores e de coroas circulares.
93
Alvos, coroas e probabilidade
Existem diversas maneiras de introduzir o
cálculo da área de uma coroa circular. Uma estratégia possível é a análise do alvo de um jogo
de dardos. Nesta atividade, iremos explorar o
cálculo da probabilidade em espaços amostrais
contínuos associados a regiões circulares.
Chamamos de coroa circular a região compreendida entre duas circunferências concêntricas de raios distintos. Na figura a seguir, a
região hachurada é uma coroa formada pelos
círculos C1 e C2, de raios r1 e r2, respectivamente.
C2
r2
C1
r1
4. A figura a seguir mostra um alvo usado em
um jogo de dardos. O círculo central tem raio
igual a 10 cm, e os anéis (coroas circulares)
estão igualmente espaçados, de 10 em 10 cm.
a) Calcule a área de cada uma das regiões
coloridas do alvo.
f Região vermelha: a área do círculo central é igual
a A1 = /u r2 = /u 102 = 100/ cm2.
f Região azul:
corresponde à área da coroa circular
de raios 20 cm e 10 cm.
A2 = / u 202 – / u 102 = 400/ – 100/ = 300/ cm2.
f Região amarela: corresponde à área da coroa circular de raios 30 cm e 20 cm.
A3 = /u 302 – /u 202 = 900/ – 400/ = 500/ cm2.
A área de uma coroa circular é igual à diferença
entre as áreas do círculo maior e do círculo menor.
f Região verde: corresponde à área da coroa circular de raios 40 cm e 30 cm.
A4 = / u 402 – / u 302 = 1 600/ – 900/ = 700/ cm2.
Ac = π u r22 – π u r21
f Área total:
corresponde ao círculo maior de
raio igual a 40 cm.
Em jogos de dardos, os alvos geralmente
são formados por um círculo central cercado por anéis (coroas circulares) externos de
cores diferentes. Vamos calcular a probabilidade de acertar cada uma das regiões em um
lançamento de dardo ao acaso.
94
AT = / u 402 = 1 600/ cm2.
b) Qual é a região do alvo (cor) com a maior
probabilidade de acerto no lançamento
de um dardo ao acaso? E a região com
menor probabilidade de acerto?
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
Observação!
Partindo de um círculo interno de raio r1, precisamos desco-
Vamos considerar que o jogador esteja
com os olhos vendados, para que a intencionalidade não interfira no lançamento
do dardo. Faça o cálculo da probabilidade
para cada uma das regiões.
brir os raios dos demais círculos que satisfaçam essa condição
de igualdade.
Portanto, para que A1 = A2, a área do círculo central deve ser
igual à área da coroa circular. Ou seja, / u r12 = / u r22 – / u r12
Então: / u r22 = 2/ u r12 A r22 = 2r12 A r2 = r1 2
Analogamente, se A1 = A3, obtemos a seguinte equação:
/ u r12 = / u r32 – / u r22
A probabilidade de acerto em cada região equivale à razão
Como r2 = r1 2 , então:
entre a área da região escolhida e a área total do alvo. Assim,
/ u r12 = / u r32 – / u ( r1 2 )2 A / u r12 = / u r32 – 2/ u r12 A / u r32 = 3/ u r12 A
temos que:
A r3 = r1 3
P (Vermelha) =
P (Amarela) =
P (Azul) =
100 /
1 600 /
500 /
1 600 /
300 /
1 600 /
P (Verde) =
= 6,25%
= 31,25%
= 18,75%
700 /
1 600 /
= 43,75%
Resolvendo A1 = A4, obtemos que r4 = r1 4 ou r4 = 2r1
Portanto, para que as áreas de cada região sejam iguais,
os valores dos raios devem estar na seguinte proporção:
r1, r1 2 , r1 3 e 2r1. A probabilidade de acerto em cada
1
ou 25%.
região será de
4
Construção geométrica: para construir esse alvo, é
preciso saber representar os irracionais 2 e 3 geometri-
A região mais externa do alvo, a verde, possui a maior área,
camente. A primeira razão, 2 , é a diagonal de um quadra-
portanto, é a região com maior probabilidade de acerto
do de lado unitário. A segunda, 3 , a diagonal de um re-
(43,75%). A região central, vermelha, é a que possui menor
tângulo de lados iguais a 1 e 2 , respectivamente. A figura
probabilidade de acerto (6,25%).
a seguir ilustra o processo de construção desses segmentos.
Desafio!
5. O alvo “democrático” – Você é capaz de
construir um alvo circular em que as quatro regiões coloridas permitam a mesma
probabilidade de acerto? Faça os cálculos
literais e desenhe o alvo “democrático”,
usando régua e compasso.
1
2
1
1
1
2
3
Para que a probabilidade de acerto seja a mesma em todas as
regiões, é preciso que suas áreas sejam iguais:
Constroem-se então as circunferências concêntricas de raios
A1 = A2 = A3 = A4
1, 2 , 3 e 2, conforme mostram as figuras a seguir:
95
Para um círculo interno com raio r1 igual a 2 cm, os demais
raios devem medir:
1
r2 = 2 2  2,83 cm; r3 = 2 3  3,46 cm; r4 = 2r1 = 4 cm.
1
2 32
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos consigam ampliar a
noção de probabilidade, e saibam calculá-la
em situações que envolvem espaços amostrais
contínuos, ligadas a figuras geométricas. As
atividades de avaliação devem contemplar os
seguintes objetivos de aprendizagem:
f determinar a área do círculo, de setores circulares e de coroas circulares;
f determinar a probabilidade por meio da comparação entre áreas de figuras geométricas;
f representar a probabilidade de eventos por
meio de uma razão, seja na forma decimal,
porcentual ou na fracionária.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
O conteúdo principal das oito Situações de
Aprendizagens deste caderno foi a Geometria.
Apesar de todo cuidado com que os professores destacam este tema, sempre há chances de
que alguns não atinjam plenamente os objetivos propostos.
Nas quatro primeiras Situações de Aprendizagem encontramos atividades importantes para o aprofundamento dos conceitos em
96
Geometria e essenciais para a continuidade
dos estudos no Ensino Médio. Dessa forma,
caso os objetivos não tenham sido plenamente
atingidos, orientamos o professor, no caso específico para a Situação de Aprendizagem 1,
para a retomada de atividades que contemplem a representação de figuras planas distorcidas em malhas quadriculadas, de maneira
que o estabelecimento de uma contradição ou
um desiquilíbrio contribua para a construção
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
desejada do conhecimento acerca das semelhanças. Nesse sentido, caberia questionar os
alunos sobre a existência ou não da semelhança entre duas figuras destacadas a seguir:
Já para as dificuldades de aprendizagens
identificadas ao longo do estudo da Situação
de Aprendizagem 2, sugere-se que o professor
faça a retomada da identificação de ângulos
congruentes em triângulos semelhantes, abordada na primeira atividade da referida Situação de Aprendizagem, gerando e aplicando
outros problemas com triângulos representados em malhas quadriculadas. Quando se
trata de recuperação de conceitos não formalizados, a variedade de situações e atividades
de que o professor dispõe é muito importante,
inclusive as situações que necessitam de justificativas para determinada ação, como no
caso a seguir:
M
B
—
—
BC // DE
A
C
N
E
Q
P
D
Considera-se importante também que o
professor selecione atividades de livros di-
dáticos e materiais de apoio pedagógico da
SEE/SP que envolvam a Geometria, pois a
recuperação da aprendizagem é um processo
contínuo, e não pontual.
Para a Situação de Aprendizagem 3, a retomada dos conceitos envolve o cálculo de
medidas lineares de triângulos representados
em malha quadriculada, e o exemplo a seguir
apresenta uma situação em que os alunos podem ser questionados sobre as medidas diagonais dos quadriláteros ABCD, ECGF e FEIH,
além de outras medidas de comprimento.
A
B
F
D
E
G
C
H
I
Na Situação de Aprendizagem 4, a retomada envolve o aprofundamento e também
uma ressignificação com o trabalho da sistematizações de medidas de comprimento e de
ângulos em situações do cotidiano, inclusive
com a utilização do “teodolito simplificado”.
Essas medidas poderão ser utilizadas para dar
significado aos cálculos de senos, cossenos e
tangentes de ângulos, e, também, na determinação de distâncias inacessíveis.
Na Situação de Aprendizagem 5, se o objetivo relativo ao entendimento do número ainda
não tiver sido plenamente atingido, sugere-se a
produção de um texto sobre as características
deste número por meio de pesquisas ou da veri-
97
ficação da razão de proporcionalidade em diferentes objetos cilíndricos. Ainda nessa Situação
de Aprendizagem, é possível que alguns alunos
tenham dificuldades no trato com cálculos referentes à porcentagem; nesse caso, pode-se
propor uma atividade de recuperação/reforço
envolvendo a retomada de conceitos relativos
à razão e proporção, e as diversas transformações inerentes ao conceito de porcentagem.
Já para a Situação de Aprendizagem 6, é
possível que alguns alunos apresentem dificuldade com os desenvolvimentos algébricos
ou com o cálculo de potências. Uma revisão
desses conceitos seguidos de atividades é interessante para recuperar os procedimentos em
relação a esses tópicos.
Na Situação de Aprendizagem 7, a dificuldade dos alunos talvez esteja relacionada ao
estudo dos sólidos geométricos ligados à transformação de unidades de medidas, uma vez que
alguns alunos se confundem na transformação
de metro quadrado para centímetro quadrado
ou de milímetro para decímetro cúbico etc. Além
disso, a transformação em litros e seus submúltiplos constitui outra fonte de erro na resolução
de problemas. Recomendamos que os princípios
de equivalência entre as unidades do sistema
métrico decimal sejam retomados, em particular
aqueles ligados à medida de área e volume. A
interpretação das tabelas a partir das atividades
descritas nessa Situação de Aprendizagem pode
ser uma alternativa de recuperação para os alunos com dificuldade nesse tópico.
Caso ao final da Situação de Aprendizagem 8 o professor perceba que alguns alunos
não se apropriaram dos objetivos propostos,
poderá indicar algumas atividades de recuperação de aprendizagem. Se o problema estiver
ligado ao entendimento do conceito de probabilidade, recomendamos a retomada de algumas atividades experimentais envolvendo o
cálculo de probabilidades em jogos de dardos,
cartas ou batalha-naval.
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
Situações de Aprendizagens 1 à 4.
Alguns livros didáticos de Ensino Fundamental tratam com competência do tema
“Semelhança entre figuras planas”. O professor pode recorrer a eles para obter situações
a serem propostas aos alunos, tanto para momentos voltados à aprendizagem conceitual,
quanto para momentos de avaliação.
98
Para substanciar teoricamente seu trabalho
com a semelhança entre figuras, sugerimos que
o professor recorra à leitura de alguns artigos
da Revista do Professor de Matemática, periódico da Sociedade Brasileira de Matemática,
especialmente o artigo “Semelhança, pizzas e
chopes”, de Eduardo Wagner, publicado na
edição no 25. No artigo, o autor, de forma instigante e por meio de uma linguagem simples,
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
comenta a relação de proporcionalidade entre
áreas e volumes de figuras semelhantes. Outros artigos do referido periódico, que tratam
dos temas abordados nas quatro primeiras Situações de Aprendizagem, são:
ROSA, Euclides. Mania de Pitágoras. Revista do
Professor de Matemática, n. 2.
JUNIOR, Geraldo G. D. De São Paulo ao Rio
de Janeiro com uma corda ideal. Revista do
Professor de Matemática, n. 22
ROSA NETO, Ernesto. Um raro aluno. Revista do Professor de Matemática, n. 32.
LIMA, Elon Lages. Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas. Revista do Professor
de Matemática, n. 6
SILVA, Pedro F. Trigonometria na oficina mecânica. Revista do Professor de Matemática, n. 10.
Dentre as publicações que abordam o estudo das razões trigonométricas, destacamos Trigonometria e números complexos, de Manfredo
Perdigão, Augusto César Morgado e Eduardo
Wagner, publicado pelo Instituto Nacional de
Matemática Pura e Aplicada (Impa).
Sugerimos ainda a leitura do interessante
trabalho de Ruy Madsen Barbosa, Descobrindo
padrões pitagóricos, da Editora Atual, no qual o
autor analisa várias demonstrações do famoso
teorema, bem como inúmeras situações em que
é possível detectar padrões geométricos ou numéricos que remetem ao teorema de Pitágoras.
Situações de Aprendizagem 5 à 8.
Para as quatro últimas Situações de Aprendizagens, a Revista do Professor de Matemática apresenta alguns artigos que destacam os
temas abordados:
LIMA, Elon Lages. O que é número. Revista do
Professor de Matemática, n. 6.
BASTOS, Waldemar D. SILVA, Aparecida F.
da. A área do círculo. Revista do Professor de
Matemática, n. 40.
GARCIA, Milton P. Como calcular valores
aproximados de. Revista do Professor de Matemática, n. 11.
IMENES. Luiz Márcio P. 3, 2 ou 4. Revista do
Professor de Matemática, n. 9.
Livros
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Campinas: Unicamp, 1997.
MILIES, Francisco C. P. BUSSAB, José H. O.
A geometria na Antiguidade clássica. São Paulo: FTD, 1999.
Sites
Cálculo das constantes elementares clássicas. Disponível em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/
aplcom1a.html>. Acesso em: 4 dez. 2013.
Cálculo do π. Disponível em: <http://www.
matematica.br/historia/calculodopi.html>.
Acesso em : 18 dez. 2013.
99
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os conteúdos e temas tratados no presente
caderno, abordados em todas as Situações de
Aprendizagem, fazem parte do eixo de Geometria e medidas. Não é apenas circunstancial
o fato de que o conteúdo desse eixo escolhido
para encerrar o ciclo do Ensino Fundamental
tenha sido a semelhança entre figuras planas,
as razões trigonométricas do ângulo agudo, o
cálculo da razão entre o comprimento de uma
circunferência e seu diâmetro, cálculo de área
e volume de figuras circulares e cilíndricas, e,
por fim, interligação entre a probabilidade e a
Geometria.
Os conceitos aqui apresentados já foram,
de uma forma ou de outra, desenvolvidos
nas diversas Situações de Aprendizagemque
abordam a Geometria e também já foram
abordados nas diversas séries/anos do Ensino
100
Fundamental. Assim, destacamos, por exemplo, o cálculo de áreas e de perímetros, o reconhecimento das propriedades do polígonos,
os elementos da circunferência, as transformações entre unidades de comprimento, o
cálculo do volume de um prisma reto e os ângulos formados por retas que se cruzam.
A evidente integração entre os conteúdos
deste e dos demais volumes justifica a atenção
redobrada do professor para destacar as diversas relações entre significados conceituais.
Apresentamos, a seguir, a grade curricular
com os conteúdos de Matemática, de todas as
séries/anos do Ensino Fundamental, destacando com um sombreado o conteúdo de outras séries/anos diretamente relacionados com
o conteúdo deste volume.
Matemática – 8a série/9o ano – Volume 2
QUADRO DE CONTEÚDOS DO
Volume 1
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
5a série/6o ano
6a série/7o ano
7a série/8o ano
8a série/9o ano
NÚMEROS NATURAIS
– Múltiplos e divisores.
– Números primos.
– Operações básicas.
– Introdução às potências.
NÚMEROS NATURAIS
– Sistemas de numeração na
Antiguidade.
– O sistema posicional decimal.
NÚMEROS RACIONAIS
– Transformação de
decimais finitos em fração.
– Dízimas periódicas e
fração geratriz.
NÚMEROS REAIS
– Conjuntos numéricos.
– Números irracionais.
– Potenciação e radiciação
em IR.
– Notação científica.
ÁLGEBRA
– Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
– Noções básicas sobre
função; a ideia de
interdependência.
– Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
FRAÇÕES
– Representação.
– Comparação e
ordenação.
– Operações.
NÚMEROS DECIMAIS
– Representação.
– Transformação em
fração decimal.
– Operações.
Volume 2
SISTEMAS DE MEDIDA
– Comprimento, massa
e capacidade.
– Sistema métrico
decimal.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Formas planas e espaciais.
– Noção de perímetro e área
de figuras planas.
– Cálculo de área
por composição e
decomposição.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
– Média aritmética.
– Problemas de contagem.
NÚMEROS INTEIROS
– Representação.
– Operações.
NÚMEROS RACIONAIS
– Representação fracionária
e decimal.
– Operações com decimais
e frações.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Ângulos.
– Polígonos.
– Circunferência.
– Simetrias.
– Construções geométricas.
– Poliedros.
NÚMEROS/
PROPORCIONALIDADE
– Proporcionalidade direta
e inversa.
– Razões, proporções,
porcentagem.
– Razões constantes na
Geometria: .
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Gráficos de setores.
– Noções de probabilidade.
ÁLGEBRA
– Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
– Conceito de equação.
– Resolução de equações.
– Equações e problemas.
POTENCIAÇÃO
– Propriedades para
expoentes inteiros.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– A linguagem das
potências.
ÁLGEBRA
– Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
– Produtos notáveis.
– Fatoração algébrica.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES
– Equações de 1o grau.
– Sistemas de equações e
resolução de problemas.
– Inequações de 1o grau.
– Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
– Área de polígonos.
– Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Proporcionalidade, noção
de semelhança.
– Relações métricas entre
triângulos retângulos.
– Razões trigonométricas.
– O número π; a
circunferência, o círculo
e suas partes; área do
círculo.
– Volume e área do
cilindro.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Contagem indireta e
probabilidade.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
101
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrella.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Beatriz Pereira Franco, Ana Paula
de Oliveira Lopes, Marina Tsunokawa Shimabukuro
e Neide Ferreira Gaspar.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira
Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Anderson Jacomini Brandão, Carolina dos
Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata
Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da
Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Mattos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior, Natalina de Fátima Mateus e
Roseli Gomes de Araujo da Silva.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos Benedicto e Walter Nicolas
Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budiski de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Log Print GráÅca e Logística S.A.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva
Mauro de Mesquita Spínola
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Ana Paula S. Bezerra,
Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva,
Bruno Reis, Carina Carvalho, Carolina H. Mestriner,
Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes,
Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros,
Giovanna Petrólio Marcondes, Gisele Manoel,
Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo,
Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Maíra de
Freitas Bechtold, Marina Murphy, Michelangelo
Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone,
Paula Felix Palma, Pietro Ferrari, Priscila Risso,
Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Renata
Regina Buset, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção
Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas
de Almeida.
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e
Sérgio Adas.
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
(coordenadora) e Ruy Berger (em memória).
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Dayse de Castro Novaes Bueno, Érica
Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da
Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo
Forli, Maria Magalhães de Alencastro, Vanessa
Bianco e Vanessa Leite Rios.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design GráÅco e Occy Design (projeto gráÅco).
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são
indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados
e como referências bibliográficas. Todos esses endereços
eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é
um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de
terceiros e mantêm as características dos originais, no que
diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos
elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no
Caderno do Professor para apoiar na identificação das
atividades.
S2+9m
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino
fundamental ¹ anos Ånais, 0a série/9o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês
Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado,
Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.
v. 2, 104 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais,
Ensino Médio e Educação ProÅssional ¹ CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica CGEB.
ISBN 9/0-0--/049-./--+
1. Ensino fundamental anos Ånais 2. Matemática +. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V.
Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: +/1.+:00..90
Validade: 2014 – 2017