Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A XIII
1 – SEMELHANÇA EM TRIÂNGULOS
RETÂNGULOS
Semelhança entre
e
:
Seja
um triângulo retângulo, com ângulos
̂
agudos
e ̂
. Traçando a altura
relativa à hipotenusa
, formamos os triângulos
retângulos
e
, como ilustrado na figura 1.
Semelhança entre
e
:
Semelhança entre
e
:
DICA DO MINGUADO
No material de Geometria Plana X, a questão 17 pode
ser resolvida de uma maneira bem mais simples e
interessante do que a indicada pela minha dica: em
vez de pensar em arco metade, a idéia é “completar o
quadrado” com triângulos retângulos. Acompanhe a
figura abaixo:
Figura 1 – Triângulos retângulos
,
e
Somando os ângulos do triângulo
No triângulo
̂
̂
No triângulo
̂
̂
:
, tem-se:
̂
̂
, tem-se:
̂
̂
Figura 2 – quadrado
Logo os triângulos retângulos
,
e
possuem os mesmos ângulos, logo eles são
semelhantes.
Nem sempre é simples determinar os lados
correspondentes dos diferentes triângulos. A maneira
mais segura para você não cometer erros é SEMPRE
determinar os lados opostos a cada ângulo:
: é oposto aos lados
(no
);
(no
),
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
);
(no
),
(no
)e
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
);
(no
),
Prolongando os lados do octógono, obtemos
os pontos
e , que são vértices de um quadrado
de lado
, onde
é um dos catetos dos
triângulos retângulos dos cantos.
No triângulo retângulo
, tem-se:
√
√
Cada um dos triângulos retângulos tem base
e altura . Então a área de cada um deles é:
No momento de montar a semelhança, cada
fração corresponderá aos lados opostos a um ângulo,
onde o numerador é o lado oposto do primeiro
triângulo e o denominador é o lado oposto do segundo
triângulo:
CASD Vestibulares
completado a partir do octógono
Geometria
(
)
√
( √ )
√
√
1
Resolução:
Exercício Resolvido 1:
Calcule o valor
hipotenusa do triângulo
da altura
abaixo.
relativa à
Na figura do problema, há três triângulos
retângulos:
,
e
. Vamos mostrar que
todos eles são semelhantes entre si!
̂ .
No triângulo
, sejam
e
Note que os triângulos
e
possuem os
ângulos
e
, logo pelo caso A.A., eles são
̂
semelhantes entre si! Então ̂
Note que os triângulos
e
possuem os
ângulos
e
, logo pelo caso A.A., eles são
semelhantes! Então ̂
Então, pelo caso A.A.,
Aplicando o Teorema de Pitágoras no
:
Figura 3: figura do exercício resolvido 1
Resolução:
Os triângulos
,
e
são
semelhantes. Devemos escolher dois deles para
calcular . Como escolher esses triângulos?
Os triângulos que devem ser escolhidos são os
que têm
como um de seus lados. Assim, os
triângulos escolhidos são
e
: é oposto aos lados
(no
: é oposto aos lados
(no
: é oposto aos lados
)e
(no
Semelhança entre
Resposta: O valor de
)e
(no
);
(no
);
)e
e
(no
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
(no
: é oposto aos lados
)e
(no
(no
);
),
(no
);
),
(no
),
);
Semelhança entre
e
:
Semelhança entre
e
:
Resposta: Os valores são
,
);
:
é
Exercício Resolvido 2:
Determine ,
e
na figura abaixo.
Observação: Deve-se ter
Figura 4: figura do exercício resolvido 2
2
e
. De fato:
Observação: Na apostila do SAS e em muitos livros
de Geometria, esse tipo de exercício é chamado de
“Relações Métricas no Triângulo Retângulo”. No
entanto, como nós acabamos de ver, trata-se
simplesmente de um problema de semelhança. É o
caso particular de uma altura dentro de um triângulo
retângulo maior, formando dois triângulos retângulos
menores, todos eles semelhantes entre si!
Geometria
CASD Vestibulares
Nível II
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana X
2. (UFSJ - 13) Considere uma corda
, perpendicular
ao diâmetro
de um círculo de centro . Sendo o
ponto
a interseção dos segmentos
e
e
sabendo que
e
, a área do
triângulo
, em
, é igual a
a)
b)
c)
a)
mede em
b)
d)
de lado ̅̅̅̅
,
é perpendicular à
3. (UEPB - 13) No retângulo
̅̅̅̅ √
, o segmento
diagonal
O segmento
7. (INSPER - 12) Duas cidades e são interligadas
pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta
de extensão. A
de , à beira da R101, fica a
cidade , por onde passa a rodovia R102, também
retilínea e perpendicular à R101. Está sendo
construída uma nova rodovia retilínea, a R103, que
ligará X à capital do estado. A nova rodovia
interceptará a R102 no ponto , distante
da
cidade .
O governo está planejando, após a conclusão da obra,
construir uma estrada ligando a cidade até a R103. A
menor extensão, em quilômetros, que esta ligação
poderá ter é
:
c)
d)
e)
a)
4. (G1 - ifsp 2014) Um restaurante foi representado em
sua planta por um retângulo
. Um arquiteto dividiu
sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao
público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura
abaixo.
b)
c)
d)
e)
8. (UNICAMP - 13) Em um aparelho experimental, um
feixe laser emitido no ponto reflete internamente três
vezes e chega ao ponto , percorrendo o trajeto
. Na figura abaixo, considere que o
comprimento do segmento
é de
, o do lado
é de
, o polígono
é um retângulo e os
ângulos de incidência e reflexão são congruentes,
como se indica em cada ponto da reflexão interna.
Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso
no trajeto
?
Sabendo que ,
e são colineares, que ̅̅̅̅ mede
̅̅̅̅
e que
mede
, a área total do restaurante,
em metros quadrados, é
a)
b)
c)
d)
e)
5. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana X
a)
b)
c)
d)
6. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana XI
CASD Vestibulares
Geometria
3
9. (FUVEST - 10) Em uma mesa de bilhar, coloca-se
uma bola branca na posição e uma bola vermelha na
posição , conforme o esquema abaixo.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a
trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha.
Assumindo que, em cada colisão da bola branca com
uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e
de reflexão são iguais, a que distância do vértice
deve-se jogar a bola branca?
10. (UFMG - 04) Nesta figura, os ângulos
̂ são retos e os segmentos
,
e
respectivamente, , e :
Nessa situação, a altura do triângulo
ao lado
é dada por
̂ , ̂ e
medem,
11. (UFU - 12) Na Figura 1, o triângulo retângulo
possui ângulo reto em ,
,
e
é um quadrado. Suponha que o quadrado
seja transladado ao longo de
, sem alterar a medida
dos lados e ângulos ao longo dessa translação,
gerando, dessa forma, um novo quadrado
, em
que coincidem os pontos
e
conforme ilustra a
Figura 2.
Nessas condições, qual é o valor (em
triângulo
?
a)
b)
c)
4
√
b)
√
c)
√
d)
12. (UFRJ - 09) O triângulo
da figura a seguir tem
ângulo reto em . O segmento
é a altura relativa a
.
Os segmentos
e
medem
e
,
respectivamente. O ponto
pertence ao lado
e
.
em relação
Determine o comprimento do segmento
a)
) da área do
.
√
d)
Geometria
CASD Vestibulares
Nível III
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
13. (UFJF - 07) Na figura a seguir, encontra-se
representado um trapézio retângulo
de bases
̂
̂
e
, onde ̂
.
1. Note que a parte de baixo da escada é a hipotenusa
de um triângulo retângulo com cateto vertical igual a
e cateto horizontal igual a
.
Seja
essa parte de baixo. Então:
√
A razão de semelhança entre o triângulo retângulo de
baixo e o triângulo retângulo de cima é a razão entre
os dois catetos verticais, que é
Seja
a parte de cima da escada. Então:
√
Considere as seguintes afirmativas:
I.
II.
III.
√
O comprimento total da escada é
√
As afirmativas corretas são:
a) todas.
b) somente I e II.
c) somente I e III.
d) somente II e III.
e) nenhuma.
14. (UFPE - 11) Na figura abaixo ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
e ̅̅̅̅
. Os ângulos ̂ , ̂ e
retos. Determine ̅̅̅̅.
√
:
√
√
2. A figura do problema é a seguinte (note que o arco
̂ vale
, por isso
):
,
̂
são
Sejam
̂
̂ e
̂
̂
Os triângulos que devem ser escolhidos são os
que têm
como um de seus lados. Assim, os
triângulos escolhidos são
e
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
Semelhança entre
O triângulo
CASD Vestibulares
Geometria
tem base
(no
)e
e
(no
);
:
e altura
. Logo:
5
√
3. Note que
triângulo retângulo
. Usando Pitágoras no
̂
̂
̂
e
̂
: é oposto aos lados
(no
) e √ (no
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
(no
)e
(no
);
Semelhança entre
e
̂ e
̂
̂
Antes de calcular
, vamos calcular
. Os
triângulos que devem ser escolhidos são os que têm
AB como um de seus lados. Assim, os triângulos
escolhidos são
e
: é oposto aos lados
(no
) e (no
);
Os triângulos que devem ser escolhidos são
(que tem
como um de seus lados) e
(que
tem todos os seus lados conhecidos)
: é oposto aos lados
̂
Sejam
:
√
Sejam
5.
: é oposto aos lados
(no
: é oposto aos lados
)e
(no
Semelhança entre
);
(no
)e
e
);
(no
);
:
:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
6. Seja
4. Usando Pitágoras no triângulo retângulo
o ponto em que
̂
Sejam
No triângulo
̂
̂
Sejam
̂
̂
̂
e
̂
̂
Para calcular a área do terreno, devemos calcular o
comprimento do lado .
Os triângulos que devem ser escolhidos são
(que tem
como um de seus lados) e
(que
tem todos os seus lados conhecidos)
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
(no
)e
e
se cortam.
:
);
(no
̂
̂
̂
e
, note que ̂
. Assim, tem-se:
̂
̂
̂
e que
̂
̂
̂
Assim, os triângulos
e
possuem ângulos ,
e
, logo eles são semelhantes.
é ponto médio de
, logo
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
);
( )
: é oposto aos lados
Semelhança entre
(no
)e
e
(no
);
√
:
A razão de semelhança entre os os triângulos
é a razão entre as suas hipotenusas:
√
e
√
A área total do terreno é
A
6
Geometria
área
do triângulo
é
CASD Vestibulares
7. A figura do problema é a seguinte:
8. Inicialmente, deve-se ressaltar que não pode-se
assumir que
e
, só por causa da
figura. Vamos mostrar que isso acontece de fato.
Note que os triângulos
e
são semelhantes.
Além disso, como eles possuem o lado
comum, a
razão de semelhança é
(quando dois triângulos
semelhantes possuem razão de semelhança , diz-se
que eles são congruentes). Por isso,
. Por isso, os triângulos
e
são
semelhantes com razão , logo eles são congruentes.
Assim, tem-se que
. Como
,
.
Semelhança entre os triângulos
A menor estrada ligando
até a R103 é a
perpendicular à estrada R103 passando por
,
representada pelo segmento
na figura acima.
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
Usando Pitágoras no triângulo
̂
̂ e
:
, tem-se
Semelhança entre os triângulos
e
:
:
Os triângulos
Sejam
e
̂
̂
e
e
são congruentes
9. A figura do problema é a seguinte:
Os triângulos que devem ser escolhidos são
(que tem
como um de seus lados) e
(que tem todos os seus lados conhecidos)
: é oposto aos lados
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
: é oposto aos lados
);
Semelhança entre
(no
)e
(no
e
);
(no
);
) e
(no
:
: oposto aos lados
,
: oposto aos lados
,
(
CASD Vestibulares
Geometria
e
e
)
7
10. Usando Pitágoras no
:
, traçe a altura
̂
̂ e
̂
relativa ao lado
̂ .
Os triângulos que devem ser escolhidos são
(que tem
como um de seus lados) e
(que
tem todos os seus lados conhecidos)
: é oposto aos lados √
);
(no
: é oposto aos lados
)e
: é oposto aos lados
(no
(no
) e
);
)e
(no
);
e
:
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
Semelhança entre os triângulos
(no
);
(no
)e
(no
e
:
).
);
√
Usando Pitágoras no triângulo
:
( √ )
√
√
̂ e
11. Sejam
Inicialmente, vamos calcular
̂
̂
̂ .
Use a lei dos cossenos no
Os triângulos que devem ser escolhidos são os
que têm
como um de seus lados. Assim, os
triângulos escolhidos são
e
(no
(no
: é oposto aos lados
Semelhança entre
̂
̂
para calcular
.
.
13. Seja
: é oposto aos lados
. Os triângulos
, que têm
: é oposto aos lados
√
: é oposto aos lados
̂ .
(no
(no
Semelhança entre os triângulos
̂
Inicialmente, vamos calcular
que devem ser escolhidos são
e
como um de seus lados.
√
No triângulo
. Sejam
̂ e
12. Sejam
)e
)e
(no
(no
);
(no
);
)e
e
(no
e
Como os triângulos
e
possuem o lado
comum, a razão de semelhança é . Logo os triângulos
e
são congruentes:
e
.
Logo,
(a afirmativa I é verdadeira)
);
:
̂
̂
̂
̂
̂
. Note que
̂
. No triângulo
, note que
. No triângulo
, note que
. Então os triângulos
,
são todos semelhantes!
Semelhança entre os triângulos
e
:
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
: é oposto aos lados
(no
)e
(no
);
Logo, a afirmativa II é verdadeira
e
são o lado do mesmo quadrado
Semelhança entre os triângulos
Como
é paralelo a
, os triângulos
são semelhantes. Então, tem-se:
e
: é oposto aos lados
(no
: é oposto aos lados
(no
e
:
)e
(no
)e
(no
);
);
Logo, a afirmativa III é falsa
8
Geometria
CASD Vestibulares
14. Chame o ponto em que
corta
de . Chame
̂ de
̂
̂
e
de . Note que
e ̂ são
̂
̂
opostos pelo vértice, logo
. No
̂
triângulo
, note que ̂
̂
. No triângulo
, note que ̂
. Então o triângulo
é semelhante aos
triângulos
e
.
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
GABARITO
1. B
2. A
3. C
4. D
5. D
6. B
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
7. E
8. B
9. A distância
Sejam
,
e
. Assim,
: é oposto aos lados
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
10. B
(no
e
11. C
);
(no
);
12. O comprimento do segmento
(no
);
13. B
)e
Semelhança entre os triângulos
deve ser
:
14. O valor de
é
√
é
( )
: é oposto aos lados
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
)e
: é oposto aos lados
(no
Semelhança entre os triângulos
(no
);
(no
)e
e
);
(no
).
:
( )
De ( ) e ( ), tem-se:
(
CASD Vestibulares
)
Geometria
9