GEOMETRIA ANALITICA PLANA
AULA 03: EQUAÇÃO DA RETA
TÓPICO 01: EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA
Sejam P um ponto e A um vetor não nulo, ambos em
que passa em P e está na direção do vetor A.
Seja
X
um ponto
tal que
em
.
Então,
. Seja R a reta
tal
que
.
Chamaremos t de parâmetro e
de equação paramétrica
(vetorial) da reta que passa no ponto P e tem a direção do vetor A.
Veja que, numa equação paramétrica, os pontos X são dados em
função do parâmetro T . A cada valor que se atribui a T obtém-se um ponto
da reta.
Por exemplo, se
e
, então
éa
e tem a direção do
equação paramétrica da reta que passa no ponto
vetor . Os diversos pontos desta reta são obtidos atribuindo-se valores
arbitrários ao parâmetro .
quando fazemos
; fazendo
Por exemplo, obtemos o ponto
, encontramos
e assim por diante. Todos os pontos obtidos
assim são, portanto, colineares.
EXEMPLO RESOLVIDO
Ache as equações nas formas vetorial e paramétrica da reta que
passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = ( 0, 1, 0).
SOLUÇÃO
Inicialmente escolheremos o vetor diretor AB, ou seja, (B –
A) = (-1, 1, -1), logo a equação vetorial será: X = (1, 0,1) + λ(-1,1-1) (λ
∈ IR). A equação paramétrica é dada por:
OBS: O terno (1,0,1) representa as coordenadas de um ponto
da reta.
O terno (-1,1,-1) representa as coordenadas de um vetor
diretor da reta.
PARADA OBRIGATÓRIA
Note que se A é um vetor na direção de uma reta r e
, então
é também um vetor na direção de r.
As seguintes equações representam a mesma reta: X = ( 1, -1) + t (2,
1) e X = ( 1, -1) + t> (4, 2), uma vez que elas passam no mesmo ponto, (1, 1), e seus vetores diretores são paralelos.
e
. Então, a equação
Suponha agora que
paramétrica vetorial da reta r que passa no ponto P e tem a direção do vetor
Aé
, a qual equivale a
Estas equações são dadas em termos das componentes de X, P e A.
Elas também serão chamadas de equações paramétricas da reta que passa no
e está na direção do vetor
ponto
.
Por exemplo, as equações paramétricas da reta que passa no ponto (5,
-4) e está na direção do vetor (2,3) são:
EXERCITANDOS
“ Só conheço duas formas de aprender Matemática, uma é pelo talento a outra é pelo esforço
”.
Prof. Ms. Ailton Feitosa
Exercitando 33
Determine uma equação da reta r que:
a) passa pelos pontos P (3,-1,1) e Q (2,1,2) ;
b) passa pelo ponto P(4,1,0) e contém representantes do vetor u =
(2,6,-2).
Exercitando 34
Verifique se o ponto P(-1,0,2) pertence às retas:
Exercitando 35
Determinar as equações paramétricas da reta r que contém os
pontos A = (1, 0, 0) e B =(0, 1, 1).
Exercitando 36
Determine se os pontos P = (1, 1, 1) e Q = (0, -1,0) pertencem à reta
r que passa pelo ponto A = (1, 1, -1) e é paralela ao vetor v = (1, 2, -1).
EXEMPLO
Considere os pontos A = (1,1) e B = (3, -2). Qual é a equação
paramétrica vetorial da reta que passa nos pontos A e B?
Vejamos. Para obtermos a equação paramétrica de uma reta
necessitamos de dois entes: um ponto por onde a reta passa e um vetor na
direção da reta. Ora, ponto nós temos dois disponíveis. Falta um vetor na
direção da reta. Será que o vetor B - A está na direção da reta?
A resposta é positiva, pois o vetor B - A é equipolente ao vetor
,
o qual está, evidentemente, na direção da reta. Por conseguinte, a equação
da reta que passa nos pontos A = (1,1) e B = (3, -2) é X = ( 1, 1 ) + t [(3 , -2)
- (1 , 1) ], isto é, X = ( 1, 1 ) + t ( -2 , -3).
Veja.
Note que poderemos também usar a equação X=(3,-2)+ t(2,3) para repressentar a reta que passa nos pontos A(1,1) e B(3,-2).
De uma maneira geral, uma equação paramétrica da reta que passa
em dois pontos dados A e B quaisquer é: X = A + t(B - A )
Observe que, nessa equação, o ponto A corresponde a t = 0 e o
ponto B a t = 1.
FONTES DAS IMAGENS
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2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Profº. José Ailton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual