3.1 Escreva as equações dos planos determinados pelos pontos
a) A(1, 0, 2), B(−1, 2, −1) e C(1, 1, −1)
b) A(0, 0, 0), B(1, 1, 5) e C(−1, 1, 1)
Nas questões 3.2 a 3.4 determinar a equação cartesiana (ou geral) do plano.
−
−
3.2 Plano que passa por A(1, 0, 2) e é paralelo aos vetores →
u = (1, −1, 1), →
v = (2, 3, 0).
3.3 Plano que contêm os pontos A(2, 1, 2) e B(1, −1, 4) e é perpendicular ao plano xOy.
3.4 Plano que contém A(4, 1, 1) e é perpendicular aos planos
π1 : 2x + y − 3z = 0 e π2 : x + y − 2z − 3 = 0
3.5 Determine m de modo que os planos sejam perpendiculares.
a) π1 : mx + y − 3z − 1 = 0 e π2 : 2x − 3my + 4z + 1 = 0
b) π1 : x = 2 − r + 2s, y = 3 + 2r, z = 1 − 2r + s e π2 : 2mx + 4y − 1z − 1 = 0
3.6 Escreva as equações paramétricas do plano 3x − y + 2z + 6 = 0.
3.7 Seja π um plano determinado pelas equações paramétricas x = 4 − p + 2q, y = 2 + p, z = 3p − q
. Escreva a equação cartesiana de π.
3.8 Escreva as equações dos três planos coordenados xOy, xOz e yOz.
3.9 Obtenha um vetor de comprimento 15 normal ao plano x = 2−3p−q, y = 1+p−2q, z = −p−q.
3.10 Determinar as equações da reta definida pelos pontos A(2, −3, 4) e B(1, −1, 2). Verificar se
5
os pontos C( , −4, 5) e D(−1, 3, 4) pertencem à reta.
2
3.11 Obtenha as equações paramétricas da reta r determinada por
1
2y − 3
2−z
=
= x + 1.
5
4
3.12 Determine as equações da reta que pontém P (1, 2, 5) e é paralela à reta que passa por A(3, 0, 1)
e B(−1, 2, 1).
3.13 Determinar as equações da reta que passa pela origem e é perpendicular às retas r1 : x = 2+t,
y = 3 + t, z = 5 + 6t e r2 : x = 1 + 3t, y = t, z = −7 + 2t .
3.14 Escreva as equações da reta que passa por M (2, −1, 3) e é perpendicular ao plano
3x + y − 2z = 9.
3.15 Determine as equações da reta interseção dos planos x + y + z = 2 e 2x + 3y − z = 4.
3.16 Escreva a equação do plano que contém o ponto A(2, 3, 0) e é perpendicular à reta
y = 2,
x−1
z
= .
2
4
Posições relativas, interseções e ângulos
3.17 determine as posições relativas das retas abaixo, calcule seu ponto de interseção (se existir) e
o ângulo entre elas:
a) r1 : x = 1, y = t, z = 1 e r2 : x = s, y = 0, z = 1
x−6
z−4
z−2
, y = 4 e r2 :
=
,y=8
b) r1 : x − 3 =
7
2
14
c) r1 : x = 1 + 3t, y = 2 + 5t, z = 2 + 7t e r2 : x = 7 + 6s, y = 12 + 10s, z = 6 + 4s
3.18 Determine as posições relativas das retas r e dos planos π abaixo.Obtenha o ponto comum
(se existir) e o ângulo entre a reta e o plano:
a) r : x = −8 + 15t, y = 5 − 9t, z = 0 e π : 3x + 5y − 1 = 0
z−2
y−2
b) r : x − 3 =
=
e π : x = 5 − 2p, y = 1 − p + 4q, z = 2 + p − 2q
4
2
c) r : x = 2 − s, y = 1 + 2s, z = 1 + s e π : x = 1 − p − 4q, y = −2 + 2p − 8q, z = 1 + p − q
3.19 Determine a posição relativa dos planos abaixo, sua interseção e seu ângulo:
a) π1 : x + 2y + 3z = 1 e π2 : 2x + 4y = 2 − 6z
b) π1 : 2x − 2y + 6z = 6 e π2 : x = −3p − q, y = −q, z = p
c) π1 : 3x + 6y = 27 − 3z e π2 : 2x + 4y + 2z = 14
3.20 Discuta a interseção dos planos
a) x + y − 4z = 0 , x − y = 0 e x + 2y − 6z = 0
b) x + 2y + z = 1, 2 x + 4y − z + 1 = 0 e x + 2y = 0.
2
x+1
y−2
z+3
=
=
e plano π : x − 3y + 6z = −7 determine o valor de m
3
m
2
para que a reta seja
3.21 Dada a reta
a) paralela a π
b) esteja contida em π
c) intercepte π em um ponto.
Respostas
3.1 a) 3x + 6y + 2z − 7 = 0 e x = 1 − 2r, y = 2r + s, z = 2 − 3r − 3s b) 2x + 3y − z = 0 e
x = r − s, y = r + s, z = 5r + s.
3.2 3x − 2y − 5z − 16 = 0. 3.3 2x − y − 3 = 0. 3.4 x + y + z − 6 = 0.
3.5 a)−12 b) 2. 3.6 determine três pontos desse plano e escreva as equações paramétricas.
3.7 x − 5y + 2z + 6 = 0.
3.8 xOy : z = 0; xOz : y = 0 e yOz : x = 0. 3.10 (x, y, z) =
(2, −3, 4) + t(−1, 2, −2), C ∈ r, D ∈
/ r.
3 5
3.11 x = −1 + t, y = + t, z = 2 − 4t. 3.12 x = 1 − 4t, y = 2 + 2t, z = 5
2 2
3.13 x = −4t, y = 16t, z = −2t 3.14 x = 2 + 3t, y = −1 + t, z = 3 − 2t
3.15 x = 2 − 4t, y = 3t, z = t 3.16
2x + 4y − 16 = 0.
3.17 a) Concorrentes, ângulo 90o , interseção (1, 0, 1). b) paralelas, ângulo 0o .
42
3.18 a) r ⊂ π. b) Concorrentes, ângulo α = 90o − arccos √ √ .
21 84
3.19 a) Coincidentes, ângulo 0o . c) paralelos, ângulo 0o .
3.20 a) interseção: reta x = 2t, y = 2t, z = t.
3.21 a) m = 5
3