5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 6 2010
Superposição de Movimentos Periódicos
Há muitas situações em física que envolvem a ocorrência simultânea
de duas ou mais vibrações harmônicas. Nesses casos essas diferentes
vibrações
harmônicas
se
superpõem,
gerando
movimentos
vibratórios complicados.
Imaginem, por exemplo, dois diapasões que produzem tons musicais
puros vibrando simultaneamente. Quando as vibrações desses dois
diapasões atingem nosso ouvido, percebemos um som que não é,
nem um, nem o outro tom puro, mas uma combinação dos dois.
Nesta aula, iremos considerar que a vibração resultante da
superposição de duas ou mais vibrações harmônicas é dada pela
soma das vibrações individuais.
Esta hipótese, conhecida como princípio da superposição linear,
simplifica enormemente o tratamento matemático. Do ponto de vista
físico, ela é uma suposição que funciona muito bem para descrever
certos sistemas – os quais são, portanto, chamados de lineares –,
mas não tão bem para descrever outros sistemas – os quais são
chamados de não-lineares.
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Vamos começar nossa análise estudando superposições de
oscilações harmônicas em uma dimensão, que será tomada como x
sem perda de generalidade.
Duas vibrações com frequências iguais
Sejam dois MHS de mesma frequência angular ω, mas amplitudes
diferentes (A1 e A2). Eles são descritos pelas equações
x1 ( t ) = A1cos (ω t + ϕ 1 )
x 2 ( t ) = A2 cos (ω t + ϕ 2 ) .
(1)
A superposição linear desses dois MHS é então:
x ( t ) = x1 ( t ) + x 2 ( t ) = A1cos (ω t + ϕ 1 ) + A2 cos (ω t + ϕ 2 ) .
(2)
Pode-se mostrar que a expressão acima pode ser escrita como um
único MHS da forma
x ( t ) = A cos (ω t + ϕ ) .
Isto pode ser feito algebricamente (tentem fazê-lo como exercício),
mas é mais fácil usando a representação em termos do vetor girante.
Observem as figuras abaixo. Na figura A o vetor OP1 é um vetor de
comprimento A1 girando com um ângulo em relação ao eixo x que
varia no tempo como (ωt + φ1). Ele representa o MHS x1(t).
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Já o vetor OP2 é um vetor de comprimento A2 girando com um
ângulo em relação ao eixo x que varia no tempo como (ωt + φ2). Ele
representa o MHS x2(t). A soma vetorial de OP1 e OP2 é o vetor OP
(em vermelho na figura A e em preto na figura B). Ele representa o
movimento resultante da superposição de x1(t) e x2(t).
Como OP1 e OP2 giram com a mesma velocidade angular ω, todo o
paralelogramo OP1PP2 gira rigidamente com a mesma velocidade
angular ω.
O vetor resultante tem módulo A e faz um ângulo em relação ao eixo
x que varia no tempo como (ωt + φ1 + β) (veja a figura B). Vamos
chamar (φ1 + β) de φ. Logo, a projeção de OP sobre o eixo x é
x ( t ) = A cos (ω t + ϕ ) .
(3)
Os valores do módulo A e da constante de fase φ = (φ1 + β) também
podem ser encontrados geometricamente.
3
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Observe que como o ângulo entre o eixo x e OP1 é (ωt + φ1) e como
o ângulo entre o eixo x e OP2 é (ωt + φ2), o ângulo entre o
prolongamento de OP1 e P1P é (φ2 − φ1) (veja as figuras A e B).
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo OP1P (figura B), temos
que
A2 = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos(π − (ϕ 2 − ϕ1 )) ⇒
⇒ A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) .
(4)
Esta equação permite determinar o valor do módulo A.
Aplicando a lei dos senos ao mesmo triângulo (OP1P), temos que
A2
A
=
⇒
senβ sen (π − (ϕ 2 − ϕ1 ))
⇒
A2
A
=
⇒
senβ sen (ϕ2 − ϕ1 )
⇒ senβ =
A2
sen (ϕ2 − ϕ1 ) .
A
(5)
Esta equação permite determinar β, que somado a φ1 nos dá φ.
Os mesmos resultados acima também podem ser obtidos usando-se a
representação em termos de exponenciais de números complexos.
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As rotações dos dois vetores, OP1 e OP2, são descritas pelas
seguintes equações:
z1 (t ) = A1ei (ωt +ϕ1 )
z2 (t ) = A2ei (ωt +ϕ 2 ) .
Portanto, a resultante é dada por:
z (t ) = z1 (t ) + z2 (t ) = A1ei (ωt +ϕ1 ) + A2ei (ωt +ϕ2 ) .
i (ωt +ϕ1 )
Podemos colocar em evidência o termo e
, obtendo:
[
]
z (t ) = ei (ωt +ϕ1 ) A1 + A2ei (ϕ2 −ϕ1 ) .
(6)
Vamos interpretar o que a equação acima nos diz. Primeiro,
observem o termo entre colchetes. Ele nos diz que um número
complexo de módulo A1 e argumento zero (sobre o eixo real,
portanto) é somado vetorialmente (pois é assim que se somam
números complexos) ao número complexo de módulo A2 e
argumento (φ2 − φ1) (que, portanto, forma um ângulo (φ2 − φ1) com
o eixo real). O resultado (façam o desenho em um gráfico) é um
número complexo de módulo A e argumento β, isto é, ele forma um
ângulo β com o eixo real. Logo,
z (t ) = ei (ωt +ϕ1 ) Aeiβ .
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Lembrando que um termo do tipo eiθ é um fator de fase cujo efeito
sobre um número complexo como Aeiβ é apenas girá-lo no sentido
anti-horário por um ângulo θ, temos que o resultado final é:
z (t ) = Aei (ωt +ϕ1 + β ) .
(7)
Esta é a solução complexa. Para obtermos a solução física, real,
basta tomarmos a parte real dela:
x(t ) = Re z (t ) = A cos(ωt + ϕ1 + β ) .
(8)
Este exemplo começa a nos mostrar as vantagens de se usar a forma
exponencial para resolver problemas sobre oscilações.
Um caso particular deste problema ocorre quando as amplitudes das
duas oscilações são iguais: A1 = A2 = A. Neste caso, inspecionando a
figura B acima temos que (mostre como exercício):
β=
ϕ2 − ϕ1
2
A2 = 2 A12 + 2 A12 cos(2 β ) ⇒
ϕ −ϕ 
⇒ A = 2 A1 cos β = 2 A1 cos 2 1  .
 2 
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Faça, como exercício, um gráfico da amplitude A da oscilação
resultante em função da diferença de fase (φ2 − φ1) das duas
oscilações. Tente interpretar o resultado.
Duas vibrações com frequências diferentes
Sejam agora dois MHS de frequências angulares e amplitudes
diferentes, ω1 e ω2 e A1 e A2. Eles são descritos pelas equações
x1 ( t ) = A1cos (ω 1t + ϕ 1 )
x 2 ( t ) = A2 cos (ω 2 t + ϕ 2 ) .
(9)
Neste caso, a diferença de fase entre as duas vibrações varia com o
tempo de forma contínua:
θ 2 − θ 1 = (ω 2 − ω 1 )t + (ϕ 2 − ϕ 1 ) .
Em um caso assim, especificar uma diferença de fase inicial
(constante) (φ2 − φ1) não irá alterar a análise feita do ponto de vista
físico; ela apenas iria complicar mais a matemática. Portanto,
vamos, sem perda significativa de generalidade, simplificar o
problema em questão para o caso em que as duas vibrações
harmônicas têm fases iniciais zero: φ2 = φ1 = 0.
Neste caso, as equações para as duas vibrações são:
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x1 ( t ) = A1cos ω 1t
x 2 ( t ) = A2 cos ω 2 t .
(10)
Em um instante arbitrário, o resultado da superposição entre as duas
vibrações será como mostrado na figura abaixo.
Vemos que o comprimento do vetor resultante OP deve ficar entre a
soma e a diferença de A1 e A2. Portanto, o módulo de OP deve ser
um número entre zero e A1 + A2.
De maneira geral, a superposição entre x1(t) e x2(t) será uma função
complicada de t, podendo inclusive nem ser um movimento
periódico.
Veja, por exemplo, as figuras abaixo feitas no programa Excel.
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A figura A mostra duas oscilações harmônicas com frequências e
amplitudes diferentes e a figura B mostra a superposição dessas duas
oscilações. Observe que a oscilação resultante é periódica, mas tem
uma forma bem mais complicada que a das duas oscilações que a
originam.
Como exercício, implemente em um programa como o Excel a soma
de duas funções harmônicas x1(t) e x2(t) com valores arbitrários de
ω1, ω2, A1 e A2 e observe o resultado para diferentes valores dessas
grandezas.
Como dito acima, a figura no topo desta página mostra um exemplo
onde a oscilação resultante, embora complicada, é periódica. Qual a
condição para que isto aconteça?
Vamos chamar o período da oscilação resultante de T. Para que este
período exista, é necessário que as duas oscilações x1(t) e x2(t)
voltem simultaneamente ao mesmo valor após o período T.
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Como as funções x1(t) e x2(t) são cossenos, a condição para que elas
tenham o mesmo valor a cada intervalo de tempo T é a seguinte:
ω 1T = 2 n1π
ω 2 T = 2 n 2π
(n1 e n2 inteiros).
(11)
Esta condição implica que
ω1
n
= 1 (n1 e n2 inteiros).
ω 2 n2
(12)
Por sua vez, cada uma das duas oscilações, x1(t) e x2(t), tem seu
próprio período,
T1 =
2π
ω1
2π ,
T2 =
ω2
o que implica que:
ω 1 T2
=
ω 2 T1 .
(13)
Combinando (12) com (13), obtemos que a condição para que a
oscilação resultante seja periódica é:
T2
n
= 1
T1
n2
(n1 e n2 inteiros),
(14)
ou seja, os períodos de x1(t) e de x2(t) tem que ser comensuráveis (a
razão entre eles tem que ser um número racional). O período T da
oscilação resultante corresponde à solução de (14) com os menores
valores inteiros possíveis para n1 e n2.
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Se, por exemplo, a razão entre os dois períodos (ou entre as duas
frequências) for um número irracional ( 2 , por exemplo), não
haverá qualquer tempo, por mais longo que seja, depois do qual a
forma oscilatória anterior a ele se repita.
No caso dos gráficos da página 9, os períodos das duas oscilações
são T1 = 1/450 s e T2 = 1/100 s.
Um caso especial importante ocorre quando os dois MHS têm
frequências muitos próximas uma da outra. Neste caso ocorre um
fenômeno conhecido como batimento.
Este fenômeno é mais facilmente estudado quando as oscilações têm
a mesma amplitude:
x1 ( t ) = A cos ω 1t
x 2 ( t ) = A cos ω 2 t .
A superposição das duas nos dá então:
x ( t ) = A [cos ω 1t + cos ω 2 t ] .
(15)
Considerando, sem perda de generalidade, que ω1 > ω2 e definindo:
1
(ω 1 + ω 2 )
2
,
∆ ω = ω1 − ω 2
ω =
(16)
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podemos escrever
1
∆ω
2
.
1
ω 2 = ω − ∆ω
2
ω1 = ω +
Substituindo em (16):

∆ω

x ( t ) = A  cos  ω t +
2


∆ω


t  + cos  ω t −
2



t  ,

ou, usando a identidade trigonométrica,
cos(α + β ) + cos(α − β ) = 2 cosα cos β ,
 ∆ω 
x ( t ) = 2 A cos 
t  cos ω t .
 2 
(17)
Este resultado é geral, valendo para quaisquer ω1 e ω2. O caso
fisicamente interessante, no entanto, ocorre para
∆ ω << ω 1 + ω 2 ,
ou seja, quando as duas frequências forem muito próximas.
Nesta condição, o termo cos ω t oscila muito mais rapidamente que

o termo 2 A cos 
∆ω 
t  . Podemos então considerar que x(t) dado por
 2 
(17) é uma oscilação de freqüência angular ω com “amplitude” que
varia lentamente no tempo.
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Essa “amplitude” lenta é
 ∆ω 
a ( t ) = 2 A cos 
t .
 2 
(18)
A figura abaixo mostra o fenômeno de batimento para as mesmas
funções usadas no gráfico da página 9, só que agora com T1 = 1/450
s e T2 = 1/400 s. Isto implica que ω1 = 2827,4 s-1 e ω2 = 2513,3 s-1,
de maneira que ω = 2670,3 s-1 e ∆ω = 314,1 s-1.
Observe que o período de a(t) neste caso é 0,02 s e que o período
das oscilações de x(t) é ~ 0,002 s.
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Apêndice: a lei dos cossenos e a lei dos senos
A lei dos cossenos é uma extensão do teorema de Pitágoras para
triângulos arbitrários. Seja o triângulo da figura abaixo.
Pela lei dos cossenos, o lado c está relacionado aos outros dois
lados, a e b, e ao ângulo oposto a ele, β, pela relação abaixo:
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos β .
Relações similares valem para os outros dois lados:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cosθ
e
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos α .
A lei dos senos aplica-se a qualquer triângulo arbitrário de lados a,
b, c e ângulos internos α, β e θ como mostrados abaixo.
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Pela lei dos senos temos:
a
b
c
=
=
senθ senα senβ
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