5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
Movimentos Periódicos: representação vetorial
A experiência mostra que uma das maneiras mais úteis de descrever
o movimento harmônico simples é representando-o como uma
projeção perpendicular de um ponto descrevendo um movimento
circular uniforme sobre um dos diâmetros do círculo.
1
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
Consideremos um ponto P descrevendo um movimento circular
uniforme no sentido anti-horário como na figura acima. Observe que
a projeção perpendicular do ponto P sobre o eixo horizontal Ox ou
sobre o eixo vertical Oy descreve um movimento harmônico
simples.
Vamos supor que o movimento circular uniforme do ponto P se dá
com velocidade angular ω. Vamos supor também que o movimento
circular uniforme teve início a partir de um ponto P0 cujo vetor OP0
faz um ângulo α0 com o eixo Ox (figura abaixo).
A projeção instantânea do ponto P sobre o eixo Ox é dada então por
2
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
x ( t ) = A cos θ = A cos (ω t + α 0 ) .
(1)
Notem que esta equação é idêntica à que foi deduzida na aula 1
passada para descrever o movimento harmônico simples (equação
8).
A representação do movimento harmônico simples em termos do
movimento circular uniforme de um ponto P sobre um círculo de
raio A é chamada de representação em termos do vetor girante OP.
O círculo de raio A é chamado de círculo de referência.
A experiência também mostra que o uso de números complexos para
representar movimentos oscilatórios é muito útil, especialmente
quando combinada com a representação do vetor girante. Por isso,
vamos continuar esta aula fazendo uma revisão (ou introdução, para
aqueles que nunca viram) de números complexos.
Um número complexo pode ser representado algebricamente por
z = a + ib ,
(2)
onde i é a chamada unidade imaginária
i=
−1,
(3)
ou seja,
i2 = –1.
3
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
Um
número
complexo
z
também
pode
ser
representado
geometricamente no plano x-y (veja a figura abaixo).
Quando se trata de representar números complexos, o plano x-y é
chamado de plano complexo. O eixo x é chamado de eixo real e o
eixo y é chamado de eixo imaginário.
O número complexo z = a + ib pode ser representado no plano
complexo como um vetor cuja projeção no eixo x é a e cuja projeção
no eixo y é b. Para passar da representação geométrica para a
algébrica, multiplica-se a projeção sobre o eixo y por i. Portanto, um
vetor de coordenadas (a, b) no plano x-y representa o número
complexo z = a + ib.
4
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
Dizemos que a componente a do número complexo z é a parte real
de z e que a componente b é a parte imaginária de z:
a = Re z
.
b = Im z
Também dizemos que o ponto de coordenadas (a, b) no plano
complexo é a imagem do número complexo z = a + ib nesse plano.
A soma de dois números complexos z1 e z2 é definida como,
z1 + z 2 = (a + ib ) + (c + id ) = (a + c ) + i (b + d ),
(4)
que pode ser representada geometricamente pela soma vetorial dos
vetores que representam esses dois números complexos no plano
complexo (veja a figura abaixo).
O complexo conjugado z* do número complexo z = a + ib é definido
como:
z * = (a + ib ) ≡ a − ib .
*
(5)
5
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
A imagem do complexo conjugado z* no plano complexo é simétrica
à imagem de z em relação ao eixo real (veja a figura abaixo).
Mostre como exercício que:
Re z =
1
z + z*
2
Im z =
1
z − z* .
2i
(
(
)
)
O produto de dois números complexos é definido em termos da
propriedade distributiva da multiplicação:
z1 . z 2 = (a + ib )(c + id ) = (ac − bd ) + i (ad + bc ) .
(6)
O módulo z do número complexo z = a + ib é definido como,
6
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
z =
a2 + b2 ,
(7)
que pode ser escrito em termos do complexo conjugado z* como
(mostre como exercício):
z =
z*z .
(8)
O quociente de dois números complexos pode ser calculado
multiplicando-se o numerador e o denominador pelo complexo
conjugado do denominador:
a + ib
(a + ib )(c − id ) = ac + bd + i bc − ad
=
.
c + id
(c + id )(c − id ) c 2 + d 2
c2 + d 2
(9)
Uma das mais belas fórmulas da matemática é a chamada fórmula
de Euler, deduzida pelo grande matemático suíço Leonhard Euler
(1707-1783) por volta de 1740:
e ix = cos x + i sen x .
(10)
Nas suas Lectures on Physics, o físico norte-americano Richard
Feynman (1918-1988) se referiu a esta fórmula como “nossa jóia” e
“uma das mais notáveis, quase surpreendente, fórmulas de toda a
matemática”. Baseado na fórmula de Euler se escreve a chamada
identidade de Euler,
e iπ + 1 = 0 ,
(11)
7
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
que é considerada por muitos como a maior equação de todos os
tempos, por envolver três das principais constantes matemáticas (i, π
e e) e os dois primeiros números (0 e 1).
A fórmula de Euler pode ser provada usando-se a expansão de uma
função em série de Taylor em torno da origem,
x2
x3
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + f ′′( 0 )
+ f ′′′ ( 0 )
+ ... .
2
6
(12)
A expansão em série de Taylor em torno da origem para a função
exponencial ex é então (lembre-se da propriedade da derivada de ex:
dex/dx = ex):
x2
x3
x4
e =1+ x +
+
+
+ ...
2
6
24
x
e a expansão de eix é:
e
ix
= 1 + ix +
e
ix
(ix )2
2
+
(ix )3
6
+
(ix )4
24
+ ... ⇒
x2
x3
x4
= 1 + ix −
−i
+
+ ... .
2
6
24
(13)
Por outro lado, as expansões em série de Taylor em torno da origem
para cos x e sen x são:
x2
x4
cos x = 1 −
+
+ ...
2
24
(14)
8
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
e
x3
x5
sen x = x −
+
− ...
6
120
(15)
Observe que agrupando as partes real e imaginária da expansão de ex
podemos escrever,


x2
x4
+
+ ...  +
e =  1 −
2
24


x


x3
x5
+
+ ...  .
i  x −
6
120


Comparando a expressão acima com as expansões em série de
Taylor para cos x e sen x, pode-se ver que os termos real e
imaginário são idênticos (até a ordem que se queira) às expansões
para o cosseno e o seno, respectivamente. Portanto:
e ix = cos x + i sen x .
A fórmula de Euler relaciona a função exponencial com funções
trigonométricas. Mostre como exercício que ela permite definir as
funções seno e cosseno como:
sen x =
cos x =
1 ix
e − e − ix = Im e ix
2i
(16)
1 ix
e + e − ix = Re e ix
2
(17)
(
(
)
)
( )
( )
9
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
Agora veremos como usar a fórmula de Euler para representar um
número complexo no plano complexo.
A figura abaixo mostra a imagem do número complexo z = x + iy.
Se passarmos da representação cartesiana (x, y) para a representação
em coordenadas polares (r, θ) teremos:
x = r cos θ
y = r sen θ .
(18)
E o número complexo z fica escrito como
z = x + iy = r cos θ + ir sen θ = r (cos θ + i sen θ ) .
Usando a fórmula de Euler, z pode ser escrito como:
z = re iθ .
(19)
Esta é a chamada forma trigonométrica do número complexo z.
10
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
O termo r =
x 2 + y 2 é chamado de módulo de z (r = |z|) e o
ângulo θ é chamado de argumento de z.
Um número complexo de módulo unitário (r = 1) é escrito como z =
eiθ e a sua imagem no plano complexo é um vetor com extremidade
no círculo unitário fazendo um ângulo igual a θ com o eixo x (veja a
figura abaixo).
Um número complexo de módulo unitário é chamado de fator de
fase.
Em termos da representação trigonométrica, o produto de dois
iθ
iθ
números complexos z1 = r1e 1 e z 2 = r2 e 2 é dado por:
(
)(
)
z1 . z 2 = r1e iθ 1 r2 e iθ 2 = r1 r2 e i (θ 1 + θ 2 ) .
(20)
11
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
O módulo do produto é o produto dos módulos e o argumento do
produto é a soma dos argumentos.
Um caso particular de (20) é quando z1 é um fator de fase,
(
)
e i θ z = e i θ re iα = re i (α + θ ) ,
(21)
ou seja, a multiplicação de um número complexo por um fator de
fase de argumento θ equivale a uma rotação de θ (no sentido antihorário) na imagem do número complexo.
Na representação trigonométrica, o quociente de dois números
complexos é escrito como:
r 
z1
r1e i θ 1
=
=  1  e i (θ 1 − θ 2 ) .
iθ 2
z2
r2 e
 r2 
(22)
O módulo do quociente é o quociente dos módulos e o argumento do
quociente é a diferença dos argumentos.
A função exponencial de um número complexo z = a + ib é definida
como:
e a + ib = e a e ib = e a (cos b + i sen b ) .
(23)
Vamos agora combinar o que foi visto sobre números complexos
com o oscilador harmônico simples.
12
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
Para começar, vamos considerar novamente a equação diferencial
para um MHS. Só que agora vamos supor que a variável que a
obedece é uma função complexa z(t):
d 2 z (t )
= −ω 2 z (t ) .
2
dt
(24)
Quando resolvemos esta equação para uma variável real x(t) na aula
1,
mostramos,
por
substituição,
que
as
funções
funções
trigonométricas sen(ωt) e cos(ωt) são soluções dela. Vamos aqui
também resolver a equação (24) por substituição. Vamos propor que
a solução de (24) seja a seguinte função complexa,
z ( t ) = ce i ω t ,
(25)
onde c é uma constante complexa.
Substitua (25) em (24) e mostre como exercício que se obtém uma
identidade. Ou seja, (25) é solução de (24).
Como a equação (24) é de 2a ordem, a sua solução é determinada a
menos de duas constantes reais arbitrárias. No caso da aula 1, essas
constantes eram a amplitude A e a fase inicial φ0. No caso da solução
(25) isso também é assim, pois a constante complexa c pode ser
escrita como,
c = Ae iϕ 0 ,
(26)
13
5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 5 2010
com A e φ0 constantes.
Portanto, a solução geral da equação diferencial complexa (24) é
z ( t ) = Ae i ϕ 0 e iω t = Ae i (ω t + ϕ o ) .
(27)
Esta é a solução de uma equação diferencial complexa. Isto
aparentemente nada tem a ver com física, pois as grandezas físicas
são todas reais. Notem, porém, que a parte real da solução (27) é
exatamente igual à solução da equação diferencial para o MHS real:
Re z ( t ) = A cos (ω t + ϕ 0 ) = x ( t )
(28)
Isto nos sugere um método de resolver problemas envolvendo
oscilações: usar a representação complexa para resolver os
problemas e depois tomar a parte real das soluções como a solução
do problema físico real em questão.
A vantagem de se usar a representação complexa é que é mais fácil
trabalhar com exponenciais do que com senos e cossenos. Além
disso, a própria representação geométrica de um número complexo
Aeiθ corresponde a um vetor de módulo A formando um ângulo θ
com o eixo real, que é a representação do vetor girante para um
movimento oscilatório.
14