MATEMÁTICA PARA
COMPUTAÇÃO
Teoria de conjuntos
Professor Angelo Gonçalves da Luz
Teoria de Conjuntos
Notaçãoe Relação entre elementos
Letras maiúsculas denotam Conjuntos.
O Símbolo  denota que um elemento pertence
a um determinado conjunto.
Ex.: Se A = {java, php, haskell}, então java  A e C#
A.
Expressando valores de um conjunto (Finito ou Infinito).
Ex.: Para expressar os números pares
Por amostra:
S = {2, 4, 6,....}
Problema: Interpretação
Caracterização através de propriedades:
S = { x | x é um inteiro positivo par}
Vantagem: Fácil interpretação.
Se lê ”O conjunto de todos os x tais que x é um inteiro positivo par”
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Teoria de Conjuntos
Notação
Descreva os conjuntos abaixo listando seus elementos
a) S = {x | x é um inteiro e 4 < x <= 8}
b) S = {x | x é a capital do Brasil}
c) S = {x | x é um tipo primitivo java}
Descreve cada um dos conjuntos abaixo através de uma propriedade
(compreensão)
a) S = {2, 4, 6, 8, 10}
b) S = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
c) S = {1, 2, 3, 4, 5}
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Teoria de Conjuntos
Conjuntos Numéricos
Números Naturais  N
Números Inteiros
Z
Números Racionais  Q
Números Irracionais  I
Números Reais
R
I
Descreva os conjuntos abaixo listando seus elementos ou uma
amostra deles.
S = { x | x  N e x < 0}
S = { x | x  Z e x < 0}
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Teoria de Conjuntos
Relações entre conjuntos
É possível que um conjunto tenha relação com outro.
A = { 2, 4, 6, 8 , 10, 12, 14}
B = {4, 8, 12}
Pode-se observar que, todos os elementos de B também são elementos
de A.
Então, B é um subconjunto de A, ou B está contido em A, ou ainda, A
contém B.
Representação: B  A
Qual a relação entre int e short (java)?
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Teoria de Conjuntos
Relações entre conjuntos
Subconjuntos
Conjunto que faz parte de outro conjunto.
Ex.: A  B
BA
Sendo assim, A é um subconjunto de B.
Conjunto das Partes
Conjunto composto por todos os subconjuntos possíveis de um
conjunto.
Ex.:
A = {1, 2} B= {1,2,3} C= {1, 2, 3, 4}
P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}
P(B) = ?
Como saber o total de partes de um conjunto?
P( C)= ?
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Teoria de Conjuntos
Exercício
Descreva por compreensão e
também aponte as relações
entre os conjuntos da imagem ao
lado.
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Teoria de Conjuntos
Exercício
Seja S = {2, 5, 17, 27}
Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
5S
2+5  S
17  S
{5,27}  S
∅S
SS
{27}  S
{27}  S
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Teoria de Conjuntos
Teoria de Conjuntos
Tipos de Representação:
Extensão (listando os elementos)
Compreensão (através de propriedades)
Diagrama de Venn Euler
diagrama de Venn
extensão
A = {a, b, c}
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Compreensão(propriedades)
A = {x | x  N e x < 2}
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Operações com Conjuntos
União ()
 A  B = {x | x  A ou x  B}
Interseção ()  A  B = ?
Subtração (-)
A–B=?
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Teoria de Conjuntos
Exercício
Considerando os conjuntos A= {1,2,3} e B{2,3,4,5,6}, represente:
a.
b.
c.
d.
AB
AB
A–B
B–A
Monte o diagrama de Venn para representar os conjuntos acima.
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Teoria de Conjuntos
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Em uma pesquisa de mercado, várias pessoas foram entrevistadas
acerca de quais suas preferências em relação a 3 Sistemas
Operacionais: Windus, Linucs e MecOS. Os resultados apontaram
que:
190 pessoas utilizam Windus, 190 o Linucs, 220 o MecOS. 30 utilizam
os 3, 120 nenhum, 50 utilizam Windus e Linucs, 70 utilizam Windus e
MecOS e, por fim, 40 utilizam Linucs e MecOS.
Quantas pessoas foram entrevistadas?
Quantos entrevistados utilizam apenas Windus?
Quantos entrevistados utilizam apenas MecOS?
Quanto entrevistados utilizam mais de 1 sistema operacional?
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Teoria de Conjuntos
Teoria de Conjuntos
Uma pesquisa a respeito de qual o curso mais promissor na área de
TI: ADS ou Redes, entrevistou 35 vestibulandos, onde, todos votaram
em ADS, Redes, ou ambos. Após a pesquisa, descobriu-se que, 26
acreditam que o curso de ADS seja mais promissor e 14 que o de
Redes seja.
Quantos votaram em ambos?
Monte o diagrama de Venn Euler.
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Teoria de Conjuntos
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Solução:
|A  B| = |A| + |B| - |A  B|
Ou seja:
|ADS  Redes| = |ADS| + |Redes| - |ADS  REDES|
|ADS  Redes| = 26 + 14 - 35
|ADS  Redes| = 5
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Teoria de Conjuntos
Teoria de Conjuntos
Um grupo de estudantes está planejando encomendar pizzas. Se 13
comem linguiça calabresa, 10 comem salame italiano, 12 comem
queijo extra, 4 comem tanto calabresa quanto salame, 5 comem tanto
salame quanto queijo extra, 7 comem tanto linguiça calabresa quanto
queijo extra, e 3 comem tudo.
Quantos estudantes tem o grupo?
Monte o diagrama de Venn Euler.
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Teoria de Conjuntos
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Solução:
|A  B  C| = |A| + |B| + |C| - |A  B| - |A  C| - |B  C| + |A  B  C|
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Teoria de Conjuntos
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Feito um levantamento entre os 91 assinantes da revista NERDS, afim
de analisar quais as linguagens de programação mais utilizadas
pelos seus assinantes. Os resultados do levantamento revelam que
68 programam em java, 34 em php, 30 em C#. Além disso, 19
programam ambos java e php, 11 programam em ambos php e C#, e
13 dominam tanto java quanto C#.
Monte o diagrama de Venn Euler.
Quantos assinantes dominam as 3 linguagens?
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Teoria de Conjuntos
Teoria de Conjuntos
Um feirante vende apenas brócolis, cenoura e quiabo. Em um dia o
feirante atende 207 pessoas. Se 114 pessoas compram brócolis, 152
compram cenoura, 25 compram quiabo, 64 compram brócolis e
cenoura, 12 compram cenoura e quiabo e 9 compram os três
produtos.
Quantas pessoas compram brócolis e quiabo?
Monte o diagrama de Venn Euler.
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Teoria de Conjuntos
Desafio!
Implemente um programa que recebe como entrada dois conjuntos e
gera como saída a impressão dos conjuntos, os valores da união,
interseção e subtração entre os conjuntos.
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