Engenharia Econômica
Demétrio E. Baracat
Cap 6. Substituição de Equipamentos
6.1 — RENOVAÇÃO E SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS
No problema de renovação ou de reposição, deseja-se saber qual o tempo ótimo para se
conservar um equipamento, ou seja, qual deve ser sua “vida econômica”. Esta questão é
abordada quando se estuda o plano de uso de um equipamento novo e se conhece seu preço
de compra, o valor de revenda de usados e os custos de operação e de manutenção de ambos
equipamentos ao longo do tempo. Renovação ou reposição é troca por outro equipamento
idêntico tanto em características técnicas como em econômicas.
No problema de substituição, deseja-se saber se vale à pena trocar o equipamento já existente,
aqui denominado de defensor, por outro a ser adquirido, denominado desafiante. Para isto, é
preciso analisar a alternativa econômica da troca. É um problema de avaliação de projetos,
sendo uma alternativa a de ficar com o equipamento existente considerando seus custos
operacionais e de manutenção; a outra alternativa consiste em vender o existente e, comprar
um novo e incorrer em outros custos de operação e manutenção. Ao analisar estas alternativas,
é preciso tomar cuidado com os tempos de vida e observar que desempenhos melhores, do
ponto de vista de qualidade e de opções, devem entrar como custos de oportunidade da
primeira alternativa ou como benefícios extras da segunda.
Os custos nos quais incorre a alternativa de ficar com o equipamento existente são:
a) custos de operação e manutenção, que são crescentes com o tempo;
b) custos de obsolescência, que provocam uma desvantagem relativa por não usar
equipamento tecnologicamente mais moderno. (isto pode afetar a qualidade do produto);
c) custos de inadequação, que nos impedem de empregar um equipamento melhor
dimensionado (quanto à capacidade de produção) para as novas condições de mercado.
No problema de renovação, supõe-se que os custos de manutenção de um equipamento
aumentem com o tempo. À medida que um equipamento se desgasta, é preciso gastar cada vez
mais em manutenção para garantir um desempenho tão bom quanto o que apresentava o
equipamento quando novo. O problema é determinar a política referente ao tempo ótimo de
substituição para o equipamento existente.
Sabendo-se que o custo do capital é i e que se o equipamento requer um investimento I e for
aposentado após N anos, o custo uniforme anual correspondente ao investimento será A, tal
que (mantendo a convenção de fim de período):
N
Va
(1 + i)n − 1
1
=
→
I
=
V
=
A
ou então
∑
a
n
n
A
i(1 + i)
n = 1 (1 + i)
i(1 + i) n
A
i(1 + i) n
A
I
=
→
=
=
Va
(1 + i)n − 1
(1 + i)n − 1
N
I
1
∑ (1 + i)n
n =1
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Consideremos Mn o custo de manutenção de equipamento num certo ano n; então, o valor
uniforme equivalente anual M, calculado a partir do valor atual MTotal correspondente aos
N anos, resulta:
N
MTotal =
N
M
∑ (1 + ni)n
→ M =
n =1
MTotal
N
1
∑ (1 + i)n
n =1
=
M
∑ (1 + ni)n
n =1
N
1
∑ (1 + i)n
n =1
O equivalente anual do custo total, correspondente à política de ficar com o equipamento
durante N anos, incluindo capital investido e manutenção ao longo dos N anos, resulta
MTotal
N
C = I+M =
N
I
1
∑ (1 + i)n
n =1
+
1
∑ (1 + i)n
n =1
N
1
∑ (1 + i)n
n =1
⎛
⎜
⎜
MTotal
⎜I + N
1
⎜
∑
n
⎜
n = 1 (1 + i)
⎝
=
N
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∑ (1 + i)n
n =1
No gráfico seguinte, visualizamos a determinação do ponto de substituição N* que
corresponde àquela de mínimo custo total.
EXEMPLO 6-1
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Calcular o tempo ótimo de reposição de um equipamento cujo custo inicial é de R$ 1.000 (em
milhares); os gastos de manutenção, considerados concentrados no fim de cada ano, são dados
na tabela por M (em milhares de reais). Supomos que, ao trocar o equipamento, ele é jogado
fora, e não se recupera nada.
Os custos de manutenção são crescentes, e são dados na coluna 2.O custo de oportunidade do
capital é 6% a. a.
1
Anos
N
2
Custo de
Manutenção
Mn no ano
n
3
Va/Vf a
Taxa de
Desconto
de 6% a.a.
4
Valor atual do
Custo de
manutenção
em cada ano
n
(2) x (3)
6
Taxa de
desconto
acumulativa
Va/A
7
EUA
dos
gastos
totais
(5)/(6)
8
Comentários
47
5
Valor atual dos
gastos totais
em compra
mais os de
manutenção
para N
períodos
1.000
1047
0
1
50
0,943
0,943
1.110
←=trocar no
fim do ano
2
3
4
5
6
7
8
9
10
75
90
125
150
180
200
250
300
400
0,890
0,840
0,792
0,747
0,705
0,665
0,627
0,592
0,558
66
76
99
112
127
133
157
177
223
1.113
1.189
1.288
1.400
1.527
1.660
1.817
1.994
2.217
1,833
2,673
3,465
4,212
4,917
5,582
6,210
6,802
7,360
607
445
372
332
311
297
292
293
301
← mínimo
Vemos, na tabela, que o mínimo ocorre para N*=8.
Observe que para N > 8, o valor de Mn (segunda coluna) é maior do que o equivalente
uniforme dos custos totais (sétima coluna).
EXEMPLO 6-2
Há 10 anos atrás, foi instalada uma tubulação de água numa fazenda a um custo de
investimento de R$ 150.000. Esperava-se que a instalação durasse 20 anos. Os custos de
operação e manutenção têm crescido com o tempo e atualmente estão em R$ 18.000 por ano e
aumentando à razão de R$ 1.500 a mais por ano. Existe a alternativa de substituir toda a
tubulação por uma nova (desafiante) a um custo de R$ 100.000. Não se recupera nada nem em
acessórios nem em termos de custo da tubulação velha. Os custos de operação e manutenção
da nova proposta seriam R$ 7.000 por ano durante os primeiros dez anos, e depois cresceriam
linearmente, valendo R$ 9.500 no décimo primeiro ano, R$ 12.000 no décimo segundo etc. O
custo de oportunidade do capital é de 8% ao ano. Pede-se:
a) o tempo ótimo de reposição da nova instalação sendo proposta;
b) quando substituir a instalação defensora existente pela proposta desafiante.
Solução
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a) Observamos que a amortização do investimento em n períodos é
A
i(1 + i) n
8%(1 + 8%) n
=
→
EUA
=
100
.
000
Va
(1 + i)n − 1
(1 + 8% )n − 1
A função custos totais é sempre decrescente para n<10, pelo fato de os custos de capital
diminuírem e os de operação e manutenção serem constantes. Por outro lado, para n>10, o
equivalente uniforme anual para os custos de operação e manutenção é obtido a partir de:
A
i(1 + i) n
=
Va
(1 + i)n − 1
e
Va
(1 + i)n − 1 − ni
=
G
i2 (1 + i) n
(1 + i)n − 1 − ni (1 + i)n − 1 − ni
A Va
A
1
=
=
=
Va G
G
i
(1 + i)n − 1
i (1 + i)n − 1
[
A = 7.000 + 2.500
(1 + 8% )n − 9 − 1 − (n − 9 )8%
8% [(1 + 8% )n − 9 − 1]
]
1
(1 + 8%) 9
Na última expressão acima o valor da anuidade válido para a série gradiente representa um
valor aplicável a partir do 10° ano. Como precisamos transportar o valor para uma data
referencial igual às demais parcelas estamos convertendo o valor como um valor futuro para
um valor atual.
Então podemos escrever:
Ano n
Custo Operacional
no Ano n
EUA do Custo
Operacional
Amortização do
Investimento
10
11
12
13
14
15
16
17
18
7.000
9.500
12.000
14.500
17.000
19.500
22.000
24.500
27.000
7.000
7.150
7.406
7.734
8.118
8.540
8.979
9.422
9.909
14.903
14.008
13.269
12.652
12.130
11.683
11.297
10.963
10.670
EUA total (Soma
das duas colunas
anteriores)
21.903
21.158
20.675
20.386
20.248
20.223
20.276
20.385
20.579
a) Observando a última coluna, concluímos que o mínimo ocorre para n = 15, e que este é o
tempo ótimo de reposição. De fato, para n = 16, o custo operacional seria de R$ 22.000mil
enquanto o equivalente anual de uma instalação nova, operada durante o tempo ótimo, é de
somente R$ 20.223mil. Analogamente, não vale a pena trocar (repor) a instalação enquanto o
custo operacional for menor que o equivalente uniforme anual de uma nova instalação operada
durante 15 anos.
b) O investimento feito no equipamento defensor há dez anos atrás é irrelevante para a decisão
a ser tomada hoje entre substituir ou não as instalações. A proposta desafiante tem um custo
equivalente uniforme de R$ 20.223 mil, e hoje o custo operacional da instalação defensora
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existente é de apenas R$ 18.000 mil. Somente dentro de dois anos, quando os custos
operacionais da defensora forem para R$ 21.000 mil, é que valerá a pena a alternativa da nova
instalação desafiante.
6.2 VIDA ÚTIL, REPOSIÇÃO, SUBSTITUIÇÃO E PROGRESSO TECNOLÓGICO
Vimos que o tempo de vida útil de um equipamento é o resultado de uma análise econômica.
De fato, no exemplo 6-1 estudamos qual a política de reposição por outro equipamento
idêntico, tanto em desempenho como em custos. Este estudo foi feito em termos das análises
de investimento, custo do capital (taxa), manutenção e crescimento dos custos de manutenção.
O tempo de reposição N* é o que cor responde ao custo equivalente anual global mínimo.
O exemplo 6-2 mostrou que uma política de reposição pode ser truncada quando aparece uma
alternativa, chamada de desafiante, com características econômicas mais vantajosas e que
procura substituir o equipamento antigo (em uso), chamado de defensor.
No caso de equipamentos com rápido progresso tecnológico, como, por exemplo, aeronáutica,
informática, aparelhos de precisão, medicina, etc... pode-se prever que a reposição jamais
ocorrerá, pois ela será antecipada por uma substituição face à obsolescência. É preciso, pois,
adicionar, mais dois aspectos à análise. O primeiro é a limitação na capacidade de
endividamento da empresa e o segundo é a velocidade do progresso tecnológico que limita a
vida útil a um tempo inferior ao que seria o da reposição usual, exigindo a amortização do
desafiante num prazo menor, e, conseqüentemente, aumentando os custos. Estes dois aspectos
contribuem para retardar ou até mesmo inviabilizar a substituição do defensor pelo desafiante.
Vejamos a situação de uma empresa que está pagando as prestações de um equipamento em
uso, tendo mais cinco anos pela frente para pagar. Apesar do tempo de reposição prever mais
dez anos de utilização, aparece um desafiante que torna o defensor obsoleto. Mesmo que seja
economicamente vantajoso optar pelo desafiante, sua opção implica num endividamento
adicional que somado à dívida ainda existente, relativa ao defensor, ultrapassa a capacidade da
empresa. Esta situação é comum tanto para equipamentos como, por exemplo, aeronaves,
como para investimentos que possam trazer economias em material, mão-de-obra e energia. O
problema condena a empresa, com pouca capacidade de numerário, a cair na obsolescência.
Um desafiante que tenha um tempo previsto de reposição de 12 anos pode vir a ter sua vida
útil truncada após 5 anos. Este fato exige prever a amortização do investimento em 5 anos, o
que aumenta os custos do desafiante, retarda sua entrada substituindo o defensor e acaba
retardando o progresso tecnológico como um todo.
Vários livros-texto procuram apresentar modelos com taxas de diminuição, ao longo do
tempo, de preços (investimentos) de desafiantes como reflexo do progresso tecnológico. Podese, então, calcular o tempo de substituição às hipóteses do modelo. O modelo mais famoso foi
o MAPI (Machinery and Allied Products Institute) que não abordaremos no curso e nem o
apresentaremos neste texto. Acreditamos que estes modelos são simplificações muito
particulares e que o modo correto de resolver este problema é por meio de exercícios de
antecipação tecnológica e do ferramental já exposto no presente curso.
Procurando ilustrar melhor o processo, considere um defensor que esteja presentemente com
seu custo operacional em 250. A análise de um desafiante d1 considera que se usado durante N
* = 10 anos resultaria num custo total equivalente anual de 200. Isto o qualifica para
100
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substituir imediatamente o defensor. Entretanto, se por antecipação, prevejo que dentro de 5
anos aparecerá um desafiante d2 com custo total equivalente anual ainda inferior ao que será,
naquela ocasião, o custo operacional de d1, sou obrigado a amortizar o investimento de d1 em 5
anos em vez de 10. Se o resultado do custo total equivalente anual de d1 ainda for inferior a
250, planejo uma substituição imediata do defensor por d1 e prevejo uma substituição futura de
d1 por d2 Se o custo total equivalente anual de d1 resultar maior que 250, alongo o uso do
defensor e prevejo sua futura substituição por d2.
Com o intuito de contornar os aspectos acima descritos, que podem retardar a substituição de
equipamentos, fabricantes de computadores e de aeronaves estimulam o uso de seus produtos
por meio de arrendamento (leasing) em vez de venda.
O próximo capítulo tem um tópico especificamente sobre arrendamento.
6.4 EXERCÍCIOS
6.4.1 Um equipamento custa R$ 60.000; os custos de operação e manutenção são R$1.000N e
o preço de revenda R$ 5.000(10-N), onde N é o numero de anos completos que o
equipamento está operando. Para um custo de oportunidade do capital i = 10% a.a., qual o
prejuízo em se renovar o equipamento a cada 3 anos de uso em vez de renová-lo a cada 4 anos
de uso?
Resposta: R$ 648,00 por ano
6.4.2 Uma máquina defensora comprada 6 anos atrás por R$ 100.000 está com custo anual de
operação de R$ 25.000 e crescendo R$ 2.000 por ano. Uma máquina desafiante que durará 10
anos (com valor de revenda nulo) custa R$ 150.000 e terá custos anuais de operação constantes
de R$ 5.000. Utilize uma taxa de desconto de 10% a.a. Pede-se:
a) calcule quando devo substituir a defensora considerando seu valor de revenda nulo;
b) repita se o valor de revenda da defensora for R$ 20.000 a qualquer instante.
Resposta:
a) Entre 2 e 3 anos
b) Entre hoje e um ano
6.4.3 Uma máquina que custa C0 = R$ 2.000.000 tem os seguintes valores de revenda após t
anos de uso:
Anos
1
2
3
4
5
6
7
8
Valor de Revenda
R$ 1.600.000
R$ 1.300.000
R$ 1.000.000
R$ 900.000
R$ 800.000
R$ 700.000
R$ 600.000
R$ 500.000
101
Manutenção
R$ 50.000
R$ 110.000
R$ 170.000
R$ 230.000
R$ 290.000
R$ 350.000
R$ 410.000
R$ 470.000
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R$ 450.000
R$ 400.000
R$ 530.000
R$ 590.000
Usando uma taxa de desconto de 15% a.a. calcule a política ótima quanto ao tempo de uso da
máquina.
Resposta: N*=7 pois EUA=R$ 643.390
6.4.4 Disponho de uma máquina que eu comprei cinco (5) anos atrás por R$ 1.000.000,
esperando que ela durasse dez (10) anos. Os custos de manutenção e operação têm crescido
com o tempo e estão previstos em R$ 210.000 para este ano, R$ 280.000 para o próximo e
aumentando à razão de R$ 70,000 por ano.
Com a evolução tecnológica apareceram novas máquinas e tenho a alternativa de comprar uma
moderna por R$ 980.000, que durará dez (10) anos é terá custos de operação e manutenção
constantes ao longo de dez (10) anos e que serão de R$ 54.000.
Existe a oportunidade de vender a máquina velha por R$ 80.000 a qualquer momento. Vale a
pena trocar por uma nova? Quando? Use uma taxa de desconto de 10% a.a.
Resposta: Troque já.
6.4.5 Um automóvel do tipo que necessito custa, quando novo, R$ 60.000,00. Revistas
especializadas dão a cotação dos carros do mesmo tipo, porém usados. Estes preços são os
mesmos tanto para compra como para venda. Com 1 ano de uso: R$ 42.000; com 2 anos: R$
35.000; com 3 anos: R$ 29.000; com 4 anos: R$ 22.000; com 5 anos: R$ 17.000; e com 6 anos:
R$ 12.000.
Por questões de prestígio pessoal, não pretendo possuir carro com mais de seis anos de uso.
Os custos de manutenção crescem com o tempo e podem ser estimados em: ao fim de 1 ano
de uso: R$ 1.500; de 2 anos: R$ 3.000. A seguir, estes custos aumentam uniformemente em R$
3.000 por ano. Só posso vender um automóvel usado após incorrer nos gastos de manutenção
correspondentes ao ano de uso. Ao comprar um carro usado, só terei despesas de manutenção
no fim de cada ano de uso.
Os preços acompanham a inflação, de modo que posso analisar a situação como se não
houvesse inflação.
a) Sendo o meu custo de oportunidade do capital de 6% ao ano, qual o custo anual do uso de
um carro, inicialmente novo, durante 1, 2, 3. 4, 5 e 6 anos?
b) Qual o número de anos ótimo durante o qual devo ficar com um carro novo antes de trocálo por outro?
Resposta:
a) A1=R$ 23.100; A2=R$ 17.964; A3=R$ 16.750; A4=R$ 16.977;
A5=R$ 17.215; A6= R$ 17.760
b) 3 anos
102
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6.4.6 Um equipamento cujo preço é R$ 50.000,00 a vista deve ser reposto a cada N anos. O
custo de operação é praticamente constante com a idade do equipamento, porém o custo da
manutenção cresce exponencialmente com a idade. De fato, podemos considerar que o custo
anual de manutenção, apurado ao fim de cada ano, é dado por Mk = 15.000 ∗ 1,3k − 1 com
k=1,2,3,..... O valor residual do equipamento (valor de venda do equipamento usado) decresce
também exponencialmente, sendo dado, ao fim de cada ano, por Vk = 50.000 ∗ 0,8k com
k = 1, 2, 3,...
Considerando a taxa de juros como 15% a.a., de quantos em quantos anos se deverá fazer a
reposição desse equipamento?
Sugestão: Investigar n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Resposta: N*=1, com EUA=R$ 32.497
103
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8:50