MODELAGEM E CONTROLE DE UM QUADRIMOTOR PVTOL TRANSPORTANDO
UMA CARGA SUSPENSA
Igor H. B. Pizetta∗ Alexandre S. Brandão† Mario Sarcinelli-Filho‡
∗
†
‡
Instituto Federal de Ciência e Tecnologia do Espı́rito Santo
Aracruz – ES, Brasil
Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Viçosa
Viçosa – MG, Brasil
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Espı́rito Santo
Vitória – ES, Brasil
Email: [email protected]@[email protected]
Resumo— This work proposes the representation of the high level dynamic model of a quadrotor UAV with a
suspended load, through Euler-Lagrange equations. The rotorcraft movement is restricted to the XZ plane of the
Cartesian space, so that it performs like a PVTOL machine. A nonlinear controller is proposed to stabilize the
quadrotor and the load, during positioning and trajectory tracking tasks. Finally, simulated results are presented
in order to validate the proposal.
Palavras-chave—
Aerial robotics, UAV modelling, Control, Load transportation.
Palavras-chave— Este trabalho propõe a representação de um modelo de alto nı́vel para um VANT com uma
carga suspensa por um cabo através das equações de Euler-Lagrange. O movimento do veı́culo é restrito ao plano
XZ do espaço cartesiano, desenvolvendo as tarefas como uma máquina PVTOL. Um controlador não linear é
proposto para estabilizar o veı́culo com a carga durante tarefas de posicionamento e seguimento de trajetória.
Finalmente, resultados simulados são apresentados a fim de validar a proposta.
Palavras-chave—
1
Robótica aérea, Modelagem de VANT, Controle, Transporte de carga.
Introdução
Pesquisas utilizando veı́culos aéreos não
tripulados (VANTs) tiveram um crescimento
considerável nos últimos anos, em parte devido
à sua alta aplicabilidade e ao avanço das tecnologias associadas a eles (aumento da capacidade
de processamento, melhoria dos sensores e a
miniaturização dos componentes e do veı́culo).
Sua mobilidade tridimensional tem levado a uma
grande variedade de aplicações, como a utilização
em locais de difı́cil acesso e de alto risco, além
da inspeção de grandes áreas. Dentre tais tarefas,
pode-se citar aquelas relacionadas com segurança
pública, gerenciamento ambiental, intervenção em
ambientes hostis, manutenção de infraestruturas,
agricultura de precisão e transporte de carga
(Bestaoui e Slim, 2007; Chao et al., 2010).
No que diz respeito ao transporte de carga,
existem duas abordagens mencionadas na literatura. A primeira consiste na utilização de
um VANT equipado com garras ou um suporte,
que sustentará a carga junto ao veı́culo (Pounds
et al., 2011). Este método aumenta a inércia
do veı́culo, provocando uma diminuição de sua
resposta dinâmica. A outra abordagem consiste
no transporte de carga com a utilização de
cabos ou tirantes (Nicotra et al., 2014; Goodarzi
et al., 2014; Lee et al., 2013; Sreenath, Lee e
Kumar, 2013; Palunko et al., 2012). Ela preserva
a agilidade do veı́culo, porém cria graus de
liberdade resultante do movimento de oscilação
da carga. Cada grau de liberdade associado à
carga suspensa é sub-atuado, dada a ausência
de um atuador para realizar seu controle. Tal
abordagem é tratada neste trabalho e corresponde
à configuração ilustrada na Figura 2.
Em (Sreenath, Michael e Kumar, 2013), um
quadrimotor com uma carga suspensa por um
cabo é considerado como um sistema hı́brido
diferencialmente plano para lidar com o caso
em que a tensão do cabo de sustentação vai
a zero.
A modelagem obtida e o controlador proposto envolvem a navegação no plano
bidimensional. O controle é realizado através
de um sistema com três camadas de malhas
internas e externas, estabilizando o quadrimotor
e regulando a atitude da carga (ou sua posição
no plano). Em contrapartida, em (Goodarzi
et al., 2014) foi considerado um quadrimotor com
uma carga suspensa por um cabo, cujo modelo
é descrito por um sistema composto por vários
links interconectados. Um sistema de controle
não linear geométrico é utilizado, a partir do
modelo dinâmico simplificado, a fim de estabilizar
assintoticamente a posição do veı́culo e manter o
cabo em sua posição vertical.
Neste contexto, este trabalho propõe uma
modelagem de alto nı́vel não linear e uma
estratégia de controle baseada em linearização
por retroalimentação, para um quadrimotor com
carga suspensa por um cabo, considerando o
veı́culo como PVTOL (Planar Vertical Take off
and Landing) (Hauser et al., 1992; Brandão,
Gandolfo, Sarcinelli-Filho e Carelli, 2014). O
modelo dinâmico subatuado do conjunto veı́culo–
carga é considerado, e os efeitos da carga no
veı́culo são tomados como perturbação no sistema.
Neste trabalho, assim como em diversos outros
de nosso grupo de pesquisa (Pizetta et al., 2014;
Brandão, Barbosa, Mendoza, Sarcinelli-Filho e
Carelli, 2014; Brandão, Gandolfo, Sarcinelli-Filho
e Carelli, 2014), a plataforma AuRoRA foi
utilizada na realização das simulação com diversas
configurações do sistema com carga.
A fim de apresentar detalhes do desenvolvimento, este trabalho é dividido da seguinte forma:
a Seção 2 apresenta uma visão geral do modelo
da aeronave com a massa suspensa, enfatizando
as variáveis de controle e os graus de liberdade
diretamente atuados. Na sequência, o controlador
de alto nı́vel é desenvolvido na Seção 3. Por fim,
a Seção 4 apresenta os resultados e as simulações
e a Seção 5 destaca as principais conclusões do
trabalho.
2
Modelo Dinâmico de um Quadrimotor
com uma Carga Suspensa
A modelagem do sistema foi realizada para
o quadrimotor Ar.Drone, da Parrot, Inc. Um
detalhe importante desse veı́culo é que os motores
não são alinhados com os eixos b x e b y, como pode
ser visto na Figura 1: eles são deslocados 45o
ao redor do eixo b z. Dessa forma, para realizar
um movimento lateral ou longitudinal, uma ação
conjunta de todos os quatro propulsores se faz
necessária. Contudo, considerando o veı́culo como
um PVTOL, seus movimentos serão restritos ao
plano XZ, i.e., não há deslocamentos no eixo
y ou variações nos ângulos de rolagem (φ) e
guinada (ψ), como ilustrado na Figura 2. Nesse
veı́culo as forças f2 e f3 atuam conjuntamente
para realizar os movimentos, assim como as forças
f1 e f4 . Note-se que o quadrimotor é um sistema
subatuado (Brandão et al., 2013), mesmo quando
voando como um veı́culo PVTOL.
A fim de apresentar a modelagem, a atitude
do VANT em coordenadas generalizadas em 2D,
T
i.e., e q = e ξ e η e ηc , são definidas. Como
não há movimento no plano Y Z, o vetor de
T
coordenadas torna-se e ξ = x z
∈ R2 ,
correspondente ao deslocamentos longitudinal e
normal, de acordo com o sistema de referência
inercial hei, s η = θ ∈ R, corresponde ao ângulo
de arfagem (devido à restrição de movimento), de
acordo com o sistema de referências espacial hsi, e
b
η = θc ∈ R correspondente ao ângulo de arfagem
da carga em seu próprio sistema de referências hli.
Considerando o quadrimotor como um corpo
rı́gido livre no espaço, sujeito à ação de forças e
torques externos, a função Lagrangiana L expressa
em hei, representa a energia cinética total K
menos a energia potencial U, é dada por
L = K − U,
sujeito à restrição de Euler-Lagrange
d ∂L
∂L
f
−
=
.
τ
dt ∂ q̇
∂q
Como existem dois corpos no espaço livre, a
aeronave e a carga, existem duas energias cinéticas
e potenciais, de forma que a energia total é dada
por
1
1
1
mẋ2 + mż 2 + Iyy θ̇2
2 {z
2
|2
}
K=
K1
1
2
1
1
+ mc ẋ2c + mc z˙c 2 + I θ˙c
2 {z
2
}
|2
K2
U1
U2
z
f3,2
s
z
θ
(x,z)
l
z
f4,1
b
x
θ
mg
l
s
lcosθc
x
lsinθc
(xc,zc)
b
y
f1
f4
(4)
b
θc
mcg
e
z
(3)
U = mgz + mc gzc ,
|{z} | {z }
f2
b
(2)
Consideração 1 O cabo é rı́gido, inelástico, sem
massa e os efeitos aerodinâmicos na carga são
desprezados.
θc
f3
(1)
z
l
x
e
x
b
x
Figura 1: Visão de cima do Ar.Drone, da Parrot
Inc., o VANT considerado neste trabalho.
Figura 2: Os sistemas de coordenadas adotado
para o VANT se movendo no plano XZ enquanto
carrega a carga.
onde K1 e U1 são associadas ao VANT e K2 e
U2 são associadas à carga suspensa. m e mc são,
respectivamente, as massas do veı́culo e da carga
suspensa, Iyy e I são o momento de inercia do
veı́culo e da carga, respectivamente, enquanto g é
a aceleração da gravidade. (xc , zc ) é a posição da
carga, a qual pode ser dada por
xc = x − l sin θc
(5)
zc = z − l cos θc ,
(6)
em termos do ângulo θc , do comprimento do cabo
l e da posição do quadrimotor, como ilustrado na
Figura 2.
Para movimentos no plano XZ, a matriz de
inércia é representada somente por seu termo Iyy ,
e o mesmo é válido para a carga. A velocidade
angular Ω é representada por θ̇, de acordo com a
mesma consideração.
Aplicando (3) e (4) em (1), e depois em (2),
o modelo de alto nı́vel, no sistema de referência
inercial hei, é dado por
f
M(q)q̈ + C(q, q̇)q̇ + G(q) =
,
(7)
τ
onde

m + mc
0

0
m + mc

M(q) = 
0
0
mc lsθc
−mc lcθc

0
0

0
0
C(q, q̇) = 

0
0
mc lsθc θ̇ mc lcθc θ˙c
e

−mc lcθc
mc lsθc 


0
Ic + mc l2 ,
0
0
Iyy
0
0
0
0
0

(8)

mc lsθc θ˙c

mc lcθc θ˙c
,

0
mc lsθc ẋ + mc lcθc ż
(9)

0
(m + mc )g 
.
G(q) = 


0
mc lsθc g
(10)
Note-se que ci e si são as funções cos e sin,
respectivamente.
O modelo dinâmico descrito possui certas
caracterı́sticas que devem ser mencionadas, como
i. M(q) e M(q)−1 são simétricas e definidas
positivas;
3
ii. C(q, 0) = 0 ∀q ∈ R ;
∂M
− Ṁ é anti∂q
simétrica se C(q, q̇) for obtida via sı́mbolos
de Christopher.
iii. N = Ṁ − 2C = q̇T
3
O Controlador Proposto
Considerando que o comportamento de θc
é modelado como uma perturbação aplicada ao
sistema, (7) pode ser dividida em

m
M̄(q) =  0
0
0
m
0


0
0
0  , C̄(q, q̇) = 0
Iyy
0
0
0
0

0
0 ,
0

0
Ḡ(q) = mg 
0

e

mc ẍ − mc lcθc θ̈c + mc lsθc θ̇c2
D̄ = mc z̈ + mc lsθc θ̈c + mc lcθc θ̇c2 + mc g  . (11)
0

Portanto, o sistema fica sendo representado
por
M̄(q)q̈ + C̄(q, q̇)q̇ + Ḡ(q) + D̄ =
f
,
τ
(12)
onde D̄ é a matriz de distúrbio modelada.
Aplicando o conceito de linearização por
retroalimentação para sistemas não lineares, podese propor o sinal de controle
f
= M̄(q)ν + C̄(q, q̇)q̇ + Ḡ(q) + D̄, (13)
τ
˙ + κ3 tanh(κ4 q̃), e κi ,
onde ν = q̈d + κ1 tanh(κ2 q̃)
com i = 1, · · · , 4 são matrizes de ganho diagonais
positivas. Nas equações, o subscrito d indica que
é a variável desejada enquanto q̃ = qd − q é o erro
associado às variáveis.
Adotando esta lei de controle, resulta, em
malha fechada, que
¨ + κ1 tanh(κ2 q̃)
˙ + κ3 tanh(κ4 q̃) = 0,
q̃
o que corresponde a um sistema assintoticamente
estável, cujos erros convergem a zero para o tempo
tendendo a infinito.
Por sua vez, o comportamento do ângulo da
carga θc , conforme (7), é governado por
(Ic + mc l2 )θ¨c +
+mc l[cθc (−ẍ + 2θ˙c ż) + sθc (z̈ + 2θ˙c ẋ + g)] = 0.
4
Resultados Software-in-the-Loop
As simulações foram rodadas utilizando a
Plataforma AuRoRA (Autonomous Robots for
Research and Application) como uma estação de
terra, conectada com um VANT virtual, representado por seu modelo, que aqui corresponde a um
quadrimotor AR.Drone (Pizetta et al., 2014). No
presente caso, a plataforma é um sistema softwarein-the-loop, onde o modelo dinâmico e cinemático,
os sensores e atuadores, e o controlador utilizado
são implementados, a fim de viabilizar a simulação
do conjunto em estudo.
A primeira simulação trata de uma tarefa
de posicionamento, a qual complementa uma
tarefa de pairar, i.e., o quadrimotor é programado
para atingir uma determinada altitude sem que
haja deslocamento horizontal. Na sequência,
p4
p1
1.4
p2
p3
1.2
p6
p5
1
z [m]
manobras verticais e longitudinais são realizadas,
i.e., a aeronave deve alcançar uma determinada
posição desenvolvendo um movimento de subida
(ou descida) e com deslocamento simultâneo para
frente (ou para trás).
A segunda simulação é uma tarefa de
seguimento de trajetória, na qual o veı́culo deve
seguir uma trajetória em formato de 8.
Os parâmetros utilizados são aqueles utilizados em (Brandão, Gandolfo, Sarcinelli-Filho e
Carelli, 2014), com a adição da massa da carga,
considerada como mc = 100 g, e do comprimento
do cabo l = 0.50 m.
0.8
0.6
0.4
0.2
Quadrotor
Load
0
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
p4
p5
p6
40
50
60
x [m]
(a) Mobilidade 3D.
p1
p2
p3
20
30
1.5
1
0.5
x [m]
0
4.1
Tarefa de Posicionamento
−0.5
−1
−1.5
Quadrotor − x
Load − x
c
−2
0
10
70
time [s]
(b) Deslocamento em x.
p1
p2
p3
p4
p5
p6
20
30
40
50
60
1.5
z [m]
1
0.5
Quadrotor − z
Load − zc
0
0
10
70
time [s]
(c) Deslocamento em z.
p1
p2
p3
p4
p5
p6
20
30
40
50
60
10
8
6
4
2
θ [degree]
A tarefa de posicionamento é realizada
utilizando 6 diferentes pontos no plano XZ, como
mostrado na Figura 3(a). O primeiro objetivo é
alcançar o ponto p1 , o que se trata de uma tarefa
de hovering, ascendendo em 1 m, das coordenadas
(0 m, 0 m) para (0 m, 1 m), sujeito a ação da
carga.
As Figuras 3(b) e 3(c) mostram a variação das
coordenadas x e z ao longo do tempo, durante a
tarefa de posicionamento. Todos os pontos, exceto
o primeiro, possuem um intervalo de 10 s entre
si e o controlador foi capaz de atingir o ponto
desejado antes de extrapolá-lo. Vale mencionar
que os pontos pi localizados nas figuras, estão
associados ao momento no qual eles se tornam
o objetivo do veı́culo, por exemplo, p2 tornase o ponto desejado no instante de tempo 20 s,
sendo requerido alcançá-lo nos próximos 10 s.
Após transcorrido esse tempo, o alvo será p3 .
As variações angulares de θ e θc podem ser
vistas na Figura 3(d), a qual mostra o esforço do
controlador para rejeitar a perturbação imposta
pela carga. Também é possı́vel visualizar que
os movimentos de descida são mais difı́ceis de
realizar que os de subida, devido à caracterı́stica
do quadrimotor, que para realizar a tarefa de
descida deve perder sua sustentação.
O objetivo do controlador é estabilizar a
aeronave, rejeitando a perturbação da carga,
não tendo a intenção de guia-la.
De fato,
as oscilações angulares são causadas por sua
dinâmica e o esforço do controlador para rejeitalas. Desta forma, após variar o ângulo para gerar
seu movimento, pequenas oscilações ocorrem no
veı́culo, a fim de estabilizar a carga.
As forças fx e fz e o torque τ , aplicados pelo
controlador no quadrimotor, são apresentados na
Figura 4. A força fz é praticamente constante
em toda a simulação, uma vez que esta força
compensa a gravidade e gera os movimentos no
eixo z. Mais ainda, as maiores variações das forças
ocorrem nas mudanças dos objetivos, para gerar
o movimento em direção ao ponto desejado.
0
−2
−4
−6
Quadrotor − θ
Load − θ
−8
c
−10
0
10
70
time [s]
(d) Deslocamento angular θ.
Figura 3: Tarefa de posicionamento no plano XZ.
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.2
0
fx
−0.2
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
70
5
4.8
4.6
f
z
4.4
70
0.1
0
τ
−0.1
70
time [s]
Figura 4: As forças fz e fx e o torque τ impostos
ao VANT pelo controlador ao longo do tempo.
2
Tarefa de Seguimento de Trajetória.
1.6
1.4
1.2
z [m]
A Figura 5(a) ilustra o desenvolvimento de
uma trajetória em formato de 8. Porém, antes de
iniciar, o veı́culo aumenta sua altitude até uma
determinada cota e, apenas a partir daı́, começa a
tarefa de seguimento de trajetória. Note que tanto
o veı́culo quanto a carga conseguem realizar a
tarefa sem oscilações expressivas de posição. Uma
visão detalhada do comportamento das variáveis
x e z ao longo do tempo pode ser vista nas Figuras
5(b) e 5(c), respectivamente. Em todas as figuras,
a linha tracejada em preto mostra a referência
do VANT. Em contrapartida, a carga se move
de acordo com sua dinâmica e, portanto, não há
referência a ser seguida.
A Figura 5(d) ilustra pequenas oscilações
angulares que acontecem no veı́culo e na carga.
Isto ocorre devido à inércia da carga, que tende a
oscilar quando o veı́culo começa um movimento,
muda sua direção ou desacelera repentinamente.
1.8
1
0.8
0.6
0.4
Quadrotor
Reference
Load
0.2
0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
x [m]
0.5
1
1.5
2
(a) Mobilidade 3D.
2
1.5
1
0.5
x [m]
4.2
0
−0.5
−1
Quadrotor − x
Reference
Load − x
−1.5
c
−2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
time [s]
(b) Deslocamento em x.
2.5
2
5
Considerações Finais
1
0.5
Quadrotor − z
Reference
Load − zc
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
time [s]
(c) Deslocamento em z.
0.8
0.6
0.4
0.2
θ [degree]
A possibilidade do transporte de carga com a
utilização de veı́culos aéreos não tripulados é útil
em diversas aplicações cotidianas. Neste trabalho,
a problemática de um VANT transportando uma
carga suspensa no plano XZ, segundo o modelo
de uma máquina PVTOL, é considerada. A
modelagem do conjunto VANT-Carga é apresentada com a utilização das equações de EulerLagrange e um controlador não linear de alto nı́vel
é proposto aplicando o conceito de linearização
por realimentação. Simulações são realizadas no
intuito de validar o modelo e o controlador, para
validar e efetivamente comprovar a estabilidade
em tarefas de posicionamento e de seguimento
de trajetória.
O destacar do trabalho está
na modelagem da carga como um distúrbio,
ou seja, o controlador tem por finalidade guiar
o veı́culo rejeitando o distúrbio causado pela
carga, não guiá-la a uma posição predefinida.
Esta é a proposta de próximo passos do grupo,
cujo objetivo é guiar o posicionamento e/ou
seguimento de trajetória da carga, de acordo com
o movimento da aeronave.
Assim como na Figura 4, a Figura 6 mostra as
forças agindo sobre o veı́culo ao longo do tempo.
Diferentemente da tarefa de posicionamento, o
seguimento de trajetória não possui variações
abruptas de referência, apresentando, portanto,
manobras mais suaves e sinais de controle mais
bem comportados.
z [m]
1.5
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
Quadrotor − θ
Load − θc
0
10
20
30
40
50
60
70
time [s]
(d) Deslocamento angular θ.
Figura 5: Tarefa de seguimento de trajetória no
plano XZ.
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.02
0
f
x
−0.02
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
5.2
5
4.8
fz
4.6
45
0.01
0
τ
−0.01
45
time [s]
Figura 6: As forças fz e fx e o torque τ impostos
ao VANT pelo controlador ao longo do tempo.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq – Conselho
Nacional de Desenvolvimento Cientı́fico e Tecnológico – e à FAPES – Fundação de Amparo
à Pesquisa e Inovação do Espı́rito Santo, pelo
apoio financeiro ao projeto.
Eles também
agradecem ao Instituto Federal do Espı́rito Santo,
à Universidade Federal de Viçosa e à Universidade
Federal do Espı́rito Santo, respectivamente, pelo
suporte para participação neste trabalho de
pesquisa. Dr. Brandão também agradece à
FAPEMIG– Fundação de Amparo à Pesquisa de
Minas Gerais – e à FUNARBE – Fundção Arthur
Bernardes – pelo apoio financeiro concedido a este
trabalho.
Referências
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