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FOTOTRIANGULAÇÃO PELO MÉTODO DOS FEIXES PERSPECTIVOS
Francisco José da Cunha Silveira1
Jorge Luís Nunes e Silva Brito2
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Programa de Pós-graduação em Engenharia de Computação – Geomática
Rua São Francisco Xavier, 524 – Maracanã
Rio de Janeiro – RJ – CEP 20559-900
1: [email protected]
2: [email protected]
RESUMO
A partir do tema geral fotogrametria, este trabalho apresenta como especificidade o desenvolvimento e testes
de um modelo matemático para fototriangulação pelo método dos feixes perspectivos. O objetivo principal é tornar
acessível o conhecimento sobre os princípios matemáticos e os métodos envolvidos nesta técnica. O modelo sugere
algumas inovações na forma de numeração dos pontos de controle e fotogramétricos (contidos nas imagens fotográficas
que compõem o bloco a ser ajustado), na obtenção das aproximações iniciais para os parâmetros (necessárias à solução
do sistema de equações formado para o ajustamento), e na formação da matriz dos pesos. Foram feitos testes com
imagens em diferentes resoluções geométricas e os resultados foram comparados com processos executados em
softwares comerciais. Os resultados a que se chegou demonstraram a eficiência do modelo e a estreita correlação com
os modelos matemáticos utilizados nas soluções comerciais.
Palavras chaves: fotogrametria, ajustamento por feixes perspectivos.
ABSTRACT
The main subject of this work is photogrammetry. It presents a bundle block adjustment phototriangulation
model, which aims to give access to theoretical aspects of this technique, as well as, the methods used in it. The model
to be presented, brings some new approaches in numbering the ground control points and tie and check points at the
photographic images, which compounds the adjusting block, in getting the necessary initial parameters approximations
for solving the equation system, formed along the adjustment process, and in the weight matrix formation. Tests were
done with different geometric resolutions and the results were compared with that obtained through commercial
software solutions. The results showed the math model efficiency as well as its close correlation with the commercial
solution math models.
Keywords: photogrammetry, bundle block adjustment
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho integra o desenvolvimento da
estação fotogramétrica digital educacional, Projeto
E-Foto, que tem por objetivo tornar acessíveis a
realização do processo fotogramétrico e os algoritmos
que o possibilitam através de um sistema
computacional de código aberto e gratuito. Um dos
componentes do sistema é o módulo de
fototriangulação.
A recessão espacial é o processo pelo qual
se obtém as coordenadas do centro de perspectiva e os
ângulos de atitude do sensor no instante da aquisição
da imagem. A interseção espacial possibilita a
obtenção das coordenadas tridimensionais de um ponto
qualquer no espaço objeto (terreno), a partir de suas
coordenadas bidimensionais obtidas no espaço
imagem. A fototriangulação é a realização da recessão
espacial e da intercessão espacial em um único
processo (Mikhail et al., 2001). O método dos feixes
perspectivos permite que a fototriangulação seja
executada para todas as imagens que compõem o
espaço imagem e para todos os pontos fotogramétricos
contidos nestas imagens em um único processo. O
modelo aqui descrito foi concebido para aplicação em
imagens obtidas com câmaras fotogramétricas aéreas.
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2 MODELO MATEMÁTICO
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Mínimos Quadrados — MMQ — para minimizar a
função que quantifica o desvio-padrão do ajustamento,
de forma que cada raio ajustado, originando-se em uma
posição qualquer do espaço objeto, passe o mais
próximo possível do seu homólogo no espaço imagem
e do centro de perspectiva da imagem (figura1).
A fototriangulação pelo método dos feixes
perspectivos permite a reconstrução ótima da
geometria dos feixes de raios luminosos formadores do
espaço imagem no momento da aquisição das imagens
fotográficas. O processo se vale do Método dos
O(X0', Y0', Z0')
(X0, Y0, Z0)
c
P'( , )
0
Z'
0
Z
Z0'
Y'
Y
P(X', Y', Z')
(X, Y, Z)
Z'
X0'
X'
Y0'
X
Figura 1 – Colinearidade entre os pontos nos espaços imagem e objeto
Esta condição de colinearidade pode ser
expressa pelas equações (1) e (2):
ξ = ξ0 − c ⋅
r11 ( X − X 0 ) + r21 (Y − Y0 ) + r31 ( Z − Z 0 )
r13 ( X − X 0 ) + r23 (Y − Y0 ) + r33 ( Z − Z 0 )
(1)
η = η0 − c ⋅
r12 ( X − X 0 ) + r22 (Y − Y0 ) + r32 ( Z − Z 0 )
r13 ( X − X 0 ) + r23 (Y − Y0 ) + r33 ( Z − Z 0 )
(2)
Onde:
c – distância focal calibrada (mm);
x, h – coordenadas do ponto no espaço imagem (mm);
x0, h0 – coordenadas do ponto principal (mm);
X, Y, Z – coordenadas do ponto no espaço objeto (m);
X0, Y0, Z0 – coordenadas do centro de perspectiva
(m);
rnm – elemento da matriz de rotação entre os sistemas
XYZ e X’Y’Z’.
A matriz de rotação (Kraus, 2000) incorpora
os ângulos w, f e k, chamados ângulos de atitude que,
juntamente com X0, Y0 e Z0, formam os parâmetros
de orientação exterior, a serem obtidos no ajustamento.
Também serão obtidas as coordenadas de terreno X, Y
e Z para os pontos fotogramétricos.
As funções de colinearidade, apesar de
descreverem uma reta, não são lineares, pois
combinam parâmetros lineares e angulares. O processo
de ajustamento ocorrerá, então, pela utilização do
MMQ combinado à Matriz Jacobiana de forma
iterativa. Para isto, são necessárias aproximações
iniciais dos valores das incógnitas e, a cada passo do
processo, os valores alcançados para as incógnitas w, f,
k, X0, Y0, Z0 para a orientação exterior e X, Y, Z para
os pontos fotogramétricos, estarão mais próximos do
valor verdadeiro e serão reintroduzidos como
parâmetros, até que as diferenças a minimizar estejam
dentro do limite desejado.
3 APROXIMAÇÕES INICIAIS
Para ilustrar a explanação sobre a obtenção
das aproximações inicias para as incógnitas e a
formação das matrizes para o ajustamento, será
adotado o bloco de imagens mostrado na figura 2.
A numeração dos pontos de controle é feita
em seqüência, transversalmente ao sentido do bloco, e
em seguida os pontos fotogramétricos da mesma
forma, para que possam ser obtidas matrizes de banda
mínima, ou seja, para que os elementos não-nulos
formem uma diagonal o mais estreita possível. Isto
possibilita a solução do sistema com um menor esforço
computacional. Este sistema de numeração difere
daquele recomendado por (Burnside, 1985), pois
verificou-se ser mais eficiente em alcançar a banda
mínima para as matrizes.
Para chegar às aproximações iniciais é
necessário que se obtenha os parâmetros de
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transformação entre o sistema imagem e o sistema
objeto para cada imagem.
Imagem 1
Imagem 3
Imagem 2
p3
p1
p8
p13
p5
p9
p14
p15
p6
p10
p11
p16
p7
p4
p12
p2
Imagem 4
Imagem 5
Ponto de controle
Imagem 6
Ponto fotogramétrico
Figura 2 – bloco de imagens fotográficas, pontos de controle e pontos fotogramétricos.
O modelo de transformação adotado foi o
afim geral (Brito e Coelho, 2002) que possui seis
parâmetros, sendo necessários para constituir um
sistema compatível, no mínimo, seis equações. Cada
ponto contido na imagem resulta em duas equações e,
desta forma, são necessários ao menos três pontos por
imagem. Apesar das imagens que compõem o bloco
apresentarem esta configuração, ocorre que suas
coordenadas de terreno, com exceção dos pontos de
controle, não são conhecidas. Os parâmetros de
transformação de cada imagem serão obtidos
executando-se um ajustamento, em que os pontos
fotogramétricos entrarão como injunções.
As equações para os pontos de controle
serão :
(5)
a0 + a1⋅ ξ + a 2 ⋅η = X
(6)
b0 + b1 ⋅ ξ + b2 ⋅η = Y
Para os pontos fotogramétricos:
a0 + a1 ⋅ ξ + a 2 ⋅η − 1⋅ X = 0
(7)
b0 + b1⋅ ξ + b2 ⋅η − 1⋅ Y = 0
(8)
As matrizes para o ajustamento serão
compostas pelas submatrizes descritas a seguir:
1 η ij
Ai , j = 
0 0
ξ ij
0
0
0
1 η ij
0
ξ ij 
(9)
− 1 0 
B=

 0 − 1
 a 0
 a1 
 
 a 2
PTAi =  
 b0 
 b1 
 
b 2 
X j 
XY j =  
Yj 
(10)
(11)
(12)
Onde:
i é o identificador da imagem;
j é o identificador do ponto;
h e x são as coordenadas em mm do ponto no espaço
imagem;
X e Y são as coordenadas planimétricas do ponto no
sistema de terreno;
a0, a1, a2, b0, b1, b2 são os parâmetros de
transformação para as coordenadas da imagem i.
A configuração das matrizes para o
ajustamento é descrita no diagrama da figura 3, e
constituirão a equação (13):
(13)
M ⋅X = L
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A solução da equação (13) será obtida
recorrendo-se ao método de Boltz (Gemael, 1994), e
desta forma:
M 11 = M 1T ⋅ M 1
 M 11
 M 12 T

M 22 = M 2 T ⋅ M 2
(16)
(17)
(18)
m1 = M 1T ⋅ L
m2 = M 2 T ⋅ L
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M 12   x1   m1
⋅
=
M 22  x 2 m 2
(19)
O vetor dos parâmetros de transformação afim
"x1", e das coordenadas (X,Y) dos pontos
fotogramétricos "x2", serão obtidos através das
equações (20) e (21) a seguir:
(20)
−1
T −1
−1
(14)
(15)
M 12 = M 1T ⋅ M 2
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x1 = ( M 11 − M 12 ⋅ M 22
x 2 = M 22
−1
⋅ M 12 )
⋅ m2 − M 22
−1
⋅ (m1 − M 12 ⋅ M 22
T
⋅ M 12 ⋅ x1
⋅ m 2)
(21)
Pode-se então reescrever a equação (13) na forma:
Imagem 1
Imagem 2
Imagem 3
Imagem 4
Imagem 5
Imagem 6
p1
p5
p6
p8
p9
p10
p1
p3
p5
p6
p8
p9
p10
p13
p14
p15
p3
p8
p9
p10
p13
p14
p15
p2
p6
p7
p10
p11
p12
p2
p4
p6
p7
p10
p11
p12
p15
p16
p4
p10
p11
p12
p15
p16
1
36
Imagem 1 Imagem 2 Imagem 3 Imagem 4 Imagem 5 Imagem 6
A1,1
A 1,5
A 1,6
A 1,8
A 1,9
A 1,10
A2,1
A2,3
A 2,5
A 2,6
A 2,8
A 2,9
A 2,10
A 2,13
A 2,14
A 2,15
A3,3
A 3,8
A 3,9
A 3,10
A 3,13
A 3,14
A 3,15
A4,2
A 4,6
A 4,7
A 4,10
A 4,11
A 4,12
A5,2
A5,4
A 5,6
A 5,7
A 5,10
A 5,11
A 5,12
A 5,15
A 5,16
p6
p7
p8
60
p9 p10 p11 p12 p13 p14 p15 p16
1
1
1
PTA1
B
B
B
PTA2
B
B
PTA3
B
x1
B
PTA4
B
B
B
PTA5
B
B
B
B
B
B
B
B
M
B
B
B
B
B
B
PTA6
36
37 XY5
XY6
XY7
XY8
XY9
XY10
XY11
XY12
XY13
XY14
XY15
60 XY16
X
B
B
B
B
B
B
B
A6,4
A 6,10
A 6,11
A 6,12
A 6,15
A 6,16
M1
37
p5
B
B
B
B
B
x2
1 XY1
0
0
0
0
0
XY1
XY3
0
0
0
0
0
0
0
0
XY3
0
0
0
0
0
0
XY2
0
0
0
0
0
XY2
XY4
0
0
0
0
0
0
0
XY4
0
0
0
0
88 0
L
M2
Ponto de controle
Ponto fotogramétrico
Figura 3 – Matrizes para obtenção dos parâmetros de transformação e coordenadas planimétricas dos pontos
fotogramétricos
A coordenada Z dos pontos fotogramétricos
será a média das coordenadas Z dos pontos de controle
contidos nas imagens componentes do bloco.
Para calcular as aproximações iniciais de X0
e Y0, lança-se mão das coordenadas do Ponto
Principal, PP, informado no certificado de calibração.
Pelo princípio da colinearidade, o CP e o PP estarão
alinhados, permitindo que se obtenham X0 e Y0, as
coordenadas do CP no terreno. Desta forma, usando os
parâmetros de transformação obtidos em (20) e
substituindo x por x0 e h por h0 em (5) e (6), chega-se
a X0 e Y0 para cada imagem.
A aproximação inicial para o valor da
coordenada Z0 será estimada através da relação:
(22)
Z 0 = c ⋅ EM
EM é a escala da imagem, como segue:
 S p 2 S p3
S pm

+
+L+
 s p 2 s p3
s pm

EM =
n




(23)
S e s são as normas de vetores definidos por pontos no
espaço objeto e espaço imagem, respectivamente:
S pm = ( X p − X m ) 2 + (Y p − Ym ) 2 + ( Z p − Z m ) 2
s pm = (ξ p − ξ m ) 2 + (η p − η m ) 2
(24)
(25)
Onde:
(X, Y, Z) - coordenadas do ponto no terreno (m);
(x, h) - coordenadas no espaço imagem (mm);
p - identificador do primeiro ponto contido na imagem;
m - identificador do ponto, maior que p;
n - número de pontos contidos na imagem.
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Por se tratarem de imagens fotográficas
aproximadamente verticais, considera-se que o valor
verdadeiro dos ângulos w e f seja próximo de 0°,
adotando-se este valor para a aproximação inicial. Há
que se ressaltar, contudo, que este procedimento não se
aplica a imagens oblíquas.
Para estabelecer o valor aproximado do
ângulo k, que expressa a direção do vôo, é necessário
estimar a posição da imagem em relação ao terreno.
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Primeiramente, transformam-se para o sistema de
terreno as coordenadas da marca fiducial que aponta
para a direção do vôo (na figura 4, marca fiducial 1) ,
usando os mesmos parâmetros calculados em (20), de
forma semelhante ao cálculo de X0 e Y0. Com as
coordenadas (X1,Y1) assim obtidas e as coordenadas já
calculadas do CP no terreno, (X0,Y0), pode-se estimar
o ângulo k.
figura 4 - Disposição das marcas fiduciais e direção do vôo
(X0,Y0) e (X1,Y1) faz com o eixo das abscissa do
sistema de terreno:
Verifica-se inicialmente se k é 0, 90, 180 ou
270 graus. Assim, têm-se:
∆X = X 1 − X 0
 ∆Y
 ∆X
α = arctan
(26)
(27)
∆Y = Y 1 − Y 0



(29)
Em seguida, faz-se o estudo do quadrante e
determinação de k:
Se (DY = 0 e X1 > X0), k = 0
Se (DY = 0 e X1 < X0), k = 180
Se (DX = 0 e Y1 > Y0), k = 90
Se (DX = 0 e Y1 < Y0), k = 270
Se (DY > 0 e DX > 0), k = a
Se (DY > 0 e DX < 0), k = 180 - a
Se (DY < 0 e DX < 0), k = 180 + a
Se (DY < 0 e DX > 0), k = 360 - a
(28)
Se nenhuma das condições em (28) for
satisfeita, calcula-se o ângulo que a reta descrita por
(30)
Y
90°
Y1
X0,Y0
180°
X1
X1
0°
X
Y1
270°
Figura 5 - Possibilidades de ocorrência do ângulo α
3 AJUSTAMENTO POR FEIXES PERSPECTIVOS
Inicialmente, as equações de colinearidade
serão escritas na forma de funções de suas variáveis:
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fξ (ω , ϕ , κ , X 0, Y 0, Z 0, X , Y , Z ) = ξ 0 − c ⋅
r11 ( X − X 0 ) + r21 (Y − Y0 ) + r31 ( Z − Z 0 )
r13 ( X − X 0 ) + r23 (Y − Y0 ) + r33 ( Z − Z 0 )
(31)
fη (ω , ϕ , κ , X 0, Y 0, Z 0, X , Y , Z ) = η 0 − c ⋅
r12 ( X − X 0 ) + r22 (Y − Y0 ) + r32 ( Z − Z 0 )
r13 ( X − X 0 ) + r23 (Y − Y0 ) + r33 ( Z − Z 0 )
(32)
Pelo princípio da colinearidade, inserindo-se
os parâmetros w, f, k, X0, Y0, Z0, X, Y, Z em (31) e
(32), obtém-se (xc,hc), coordenadas no espaço imagem
calculadas, para o ponto de controle de coordenadas
observadas (X,Y,Z) em questão. Ocorre que w, f, k,
X0, Y0, Z0, que são os parâmetros da orientação
exterior que se deseja conhecer, serão, num primeiro
momento, aproximações. Portanto, (xc,hc), assim
obtidos, divergirão dos valores (xm,hm), coordenadas
do espaço imagem observadas (medidas) para o mesmo
ponto. O objetivo do ajustamento por feixes
perspectivos é fazer com que a diferença entre as
coordenadas calculadas (xc,hc) e as medidas no espaço
imagem (xm,hm) seja menor ou igual a um valor
estipulado como aceitável, para todos os pontos
contidos nas imagens que compõem o bloco.
Para que o sistema seja compatível, é
necessário que o número de incógnitas seja menor ou
igual ao número de equações. Têm-se 6 incógnitas para
cada imagem (os parâmetros da orientação exterior) e 3
para cada ponto fotogramétrico (suas coordenadas de
terreno). Cada ponto de controle ou fotogramétrico
acrescenta ao sistema duas equações por imagem em
que estejam contidos. O número de incógnitas e o de
equações serão dados, respectivamente, pelas equações
(33) e (34), a saber:
nInc = n Im gs × 6 + nPFt × 3
(33)
n Im gs

nEq = 
nPC (i) + nPF (i) × 2
 i =1

(34)
∑
Onde:
nInc - número de incógnitas;
nImgs - número de imagens fotográficas do bloco;
nPFt - número total de pontos fotogramétricos;
nEq - número de equações do sistema;
nPC(i) - número de pontos de controle na imagem i;
nPF(i) - número de pontos fotogramétricos contidos na
imagem i.
Se a condição de compatibilidade for, desta
forma, satisfeita, o sistema constituído em (13) também
o será, pois possui uma incógnita a menos por ponto
fotogramétrico.
Para o ajustamento do bloco tomado como
exemplo (figura 2), a compatibilidade do sistema se
verifica, como segue:
nInc = 6 x 6 + 12 x 3 = 72
Eq = (6 + 10 + 7 + 6 + 9 + 6) x 2 = 88
Como já mencionado, o ajustamento ocorrerá
pelo MMQ associado à Matriz Jacobiana. A formação
das matrizes Jacobianas para os pontos de controle e
para os pontos fotogramétricos será, respectivamente:
 ∂ξ
X0
JO = 
 ∂η
 X 0
∂ξ
Y0
∂η
Y0
∂ξ
Z0
∂η
Z0
 ∂ξ

JF =  X
∂η

X
∂ξ
Y
∂η
Y
∂ξ 
Z 
∂η 

Z 
∂ξ
∂ξ
ω
∂η
ω
ϕ
∂η
ϕ
∂ξ 
κ 

∂η 
κ 
(35)
(36)
A configuração das matrizes para o
ajustamento será a seguinte:
Matriz “A” – conforme o diagrama da figura 6, onde:
JO(Oi,Xj) é a matriz jacobiana (35) para o ponto j
contido na imagem i;
JF(Oi,Xj) é a matriz jacobiana (36) para o ponto
fotogramétrico j contido na imagem i;
Oi são os parâmetros da orientação exterior da imagem
“i”;
Xj são as coordenadas (X,Y,Z) para o ponto j.
O vetor “L” - será composto pelas diferenças entre as
coordenadas observadas (medidas) (ξmi,j , ηmi,j) e as
coordenadas calculadas (ξ(Oi,Xj) , η(Oi,Xj)) para cada
ponto de controle ou fotogramétrico “j” contido na
imagem “i”;
Matriz “P” - a matriz dos pesos “P” será, em um
primeiro momento, a matriz identidade de ordem igual
ao número de equações do sistema, calculado em (34).
A solução do sistema se dará pelo método de
Boltz . Para tanto, faz-se:
N 22 = A2T ⋅ A2
(37)
N 11 = A1 T ⋅ P ⋅ A1
(38)
(39)
N12 = A1T ⋅ P ⋅ A2
n1 = A1T ⋅ P ⋅ L
T
n 2 = A2 ⋅ L
(40)
(41)
Onde A1 e A2 são submatrizes da matriz A (figura 6).
Desta forma, pode-se escrever as equações
normais como se segue:
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Figura 6 - Configuração da matriz A
 N11
 N12 T

N12   x1   n1 
⋅
=
N 22  x 2 n 2
(42)
Se no bloco a ser ajustado não houver pontos
fotogramétricos, o sistema se reduzirá a:
[N11] ⋅ [x1] = [n1]
(43)
N11 será composta por matrizes de dimensão 6 x 6,
tantas quantas forem as imagens, N22 será composta
por matrizes 3 x 3, tantas quantos forem os pontos
fotogramétricos. N12 terá, assim, a dimensão (nImgs x
6) + (nPF x 3), onde nImgs é o número de imagens
fotográficas que compõem o bloco e nPF é o número
total de pontos fotogramétricos (figura 7).
Se o sistema for do tipo descrito em (43), a
solução das equações normais será:
x1 = N11−1 ⋅ n1
(44)
De outro modo, se o sistema for do tipo
descrito em (42), recorre-se ao particionamento das
matrizes. Assim:
x1 = ( N11 − N12 ⋅ N 22 −1 ⋅ N12 T ) −1 ⋅ ( n1 − N12 ⋅ N 22 −1 ⋅ n2)
x 2 = N 22
−1
⋅ n 2 − N 22
−1
(45)
T
⋅ N12 ⋅ x1
(46)
A inversão das matrizes N11 e N22 pode ser
executada invertendo-se separadamente cada uma das
submatrizes que compõem sua diagonal, minimizandose a necessidade de grandes capacidades de
processamento para blocos compostos por muitas
imagens fotográficas ou com muitos pontos
fotogramétricos.
Os vetores x1 e x2 assim obtidos serão as
correções aos valores iniciais das incógnitas, sendo
somados a estas e reintroduzidos no sistema para uma
nova iteração até que todos os componentes lineares e
angulares atinjam valores menores ou iguais aos
estipulados como critérios de parada. Quando isto tiver
ocorrido, considera-se que os valores atingiram a
convergência no nível de precisão desejado.
Após o ajustamento, que resulta nos
parâmetros de orientação exterior e nas coordenadas
dos pontos fotogramétricos, é conveniente que se
avalie a qualidade dos resultados obtidos. Esta
avaliação será feita confrontando-se as coordenadas
dos pontos de controle medidas em campo (e usadas no
ajustamento), com as coordenadas dos mesmos pontos
calculadas a partir dos parâmetros de orientação
exterior obtidos no ajustamento. As diferenças serão os
resíduos. Como o ajustamento por feixes perspectivos
pressupõe a imagem fotográfica como unidade
elementar, os resíduos das coordenadas dos pontos
devem ser calculados de forma independente para cada
imagem, e não por interseção espacial, pois pode haver
pontos que estejam contidos em somente uma imagem,
ou o ajustamento pode estar sendo feito para uma
imagem fotográfica apenas (ressecção espacial).
Ocorre que o sistema de imagem fornece apenas duas
coordenadas para o ponto, que no terreno tem três, o
que levará a um sistema incompatível. Adotou-se,
então, o resíduo das coordenadas X e Y, possíveis de
serem calculados a partir dos parâmetros advindos de
uma única imagem.
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Se o valor dos resíduos obtidos a partir dos
resultados do ajustamento não estiver dentro de um
limite estipulado, os mesmos constituirão uma matriz
de pesos, usada em um novo processo de ajustamento.
A matriz "A" (figura 6) utilizada para o
ajustamento é composta das derivadas das equações de
colinearidade para ξ (abcissas) e η (ordenadas). A
matriz dos pesos será então composta de forma que os
pesos, advindos dos resíduos das coordenadas X,
correspondam às equações para ξ, e os das coordenadas
Y, às equações para η. Os pesos para os pontos
fotogramétricos serão mantidos com o valor 1. Desta
Relação de Autores
Busca de Palavras
forma, quanto menor forem os resíduos dos pontos de
controle, maior importância relativa estes pontos terão
no ajustamento. Quando o resíduo tender a zero, o peso
para a coordenada correspondente tenderá a infinito.
Isto garante que o bloco de imagens não sofrerá
deformação no ajustamento.
Com a matriz dos pesos estabelecida, inicia-se
um novo ajustamento, utilizando, como aproximações
iniciais, os parâmetros de orientação exterior obtidos
no ajustamento imediatamente anterior, e assim
sucessivamente, até que os resíduos atinjam o valor
considerado aceitável como limite.
1
36 37
Imagem 1 Imagem 2 Imagem 3 Imagem 4 Imagem 5 Imagem 6 p5
p6
p7
p8
p9
72
p10 p11 p12 p13 p14 p15 p16
1
1
6x6
6x6
6x6
N12
n1
6x6
N11
6x6
6x6
36
37
3x3
3x3
3x3
3x3
3x3
T
N12
N22
3x3
n2
3x3
3x3
3x3
3x3
3x3
3x3
72
Figura 7 - Diagrama das equações normais
4 TESTES E ANÁLISE DOS RESULTADOS
O modelo foi testado com um par de imagens
da área da Uerj, campus Maracanã, e teve seus
resultados comparados com outros processos de
fototriangulação, produzidos por softwares comerciais,
realizados por (Raivel e Souza Filho, 2003). Neste
sentido, foram calculadas, também, coordenadas de
pontos
fotogramétricos
no
processo
de
fototriangulação. Estas coordenadas foram comparadas
com coordenadas observadas para os mesmos pontos.
Foram adotados como critério de parada nos
testes 0,001m para os valores lineares e 0,001grau para
os valores angulares.
As diferenças que foram percebidas entre os
resultados das diferentes fototriangulações deveram-se,
principalmente, às características dos dados utilizados
para o processamento. As fototriangulações realizadas
com o modelo proposto tiveram como dados de entrada
somente três pontos de controle e dois pontos
fotogramétricos, enquanto que, nos softwares
utilizados, podem ter sido usados uma maior
quantidade de pontos de controle ou pontos de controle
diferentes. Outro fato importante é que as coordenadas
matriciais (coluna, linha), medidas no espaço imagem
para o modelo ora proposto (AFP), têm precisão
unitária (espaço discreto), que no terreno representa
uma incerteza de 0,24 m (diagonal do pixel em 1200
dpi), enquanto que, nos softwares utilizados, estas
coordenadas têm precisão milesimal (nível de
subpixel).
Os softwares utilizados permitem a
especificação do sistema de projeção em que se
encontram as coordenadas de terreno para os pontos de
controle, efetuando a correção de possíveis distorções
causadas por esta projeção, o que certamente
contribuiu para que os resultados fossem diferentes.
Os pontos de controle utilizados para os testes
não eram de fácil identificação nas imagens,
permitindo dubiedade das medições executadas por
diferentes operadores.
Levando em consideração o exposto, ao
analisar os resultados dos testes, pode-se afirmar que:
- Os resultados obtidos com as imagens em 600 dpi
indicam que os processos realizados com os softwares
Erdas e Socet Set e o modelo proposto são compatíveis
em termos de precisão, pois ao comparar os resultados
obtidos com o Erdas e com o modelo, com o Socet Set
e com o modelo e entre os dois softwares comerciais,
constatou-se que as diferenças são, para todas as
Apresentação
Panorama
Programa
Relação de Títulos
comparações, aproximadamente de mesma magnitude,
conforme apresentado na tabela 1.
- De acordo com a teoria do limite central, a média de
observações independentes está mais próxima do valor
verdadeiro do que qualquer das observações tomada
isoladamente. A partir desta afirmação, entendendo
cada uma das fototriangulações como um conjunto de
observações independente, realizada por um operador
diferente para o mesmo bloco de imagens, fez-se a
Relação de Autores
Busca de Palavras
média dos resultados obtidos com os softwares
comerciais e o obtido pelo modelo proposto para as
imagens em 1200 dpi (tabela 2). Pôde-se constatar que
o resultado do modelo proposto está de acordo com os
resultados obtidos com os softwares comerciais, pois,
ao aumentar a resolução, os valores se encontram mais
próximos da média, evidenciando a eficiência do
modelo.
TABELA 1 - RESULTADOS OBTIDOS COM AS IMAGENS EM 600DPI
AFP (a)
Imagem 16
Imagem 17
Erdas (b)
|(a)-(b)|
Socet Set (c)
|(a)-(c)|
|(b)-(c)|
X0 (m)
680613,518
680608,367
5,151
680599,878
13,640
8,489
Y0 (m)
7465082,322
7465086,527
4,205
7465090,326
8,004
3,799
Z0 (m)
1318,247
1315,526
2,721
1313,840
4,407
1,686
w (graus)
2,051
1,956
0,095
1,890
0,161
0,066
f (graus)
-0,437
-0,711
0,274
-1,003
0,566
0,292
k (graus)
-1,051
-1,040
0,011
-1,026
0,025
0,014
X0 (m)
681312,389
681320,022
7,633
681310,907
1,482
9,115
Y0 (m)
7465067,710
7465078,239
10,529
7465081,592
13,882
3,353
Z0 (m)
1319,384
1318,109
1,275
1320,138
0,754
2,029
w (graus)
1,150
0,785
0,365
0,737
0,413
0,048
f (graus)
-1,124
-0,827
0,297
-1,143
0,019
0,316
k (graus)
-1,814
-1,788
0,026
-1,769
0,045
0,019
TABELA 2 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS POR PROCESSO DIGITAL COM A MÉDIA DOS RESULTADOS
OBTIDOS COM AS SOLUÇÕES COMERCIAIS
AFP 1200
Imagem 16
Imagem 17
Média
AFP 1200
Erdas 300
Erdas 600
Socet Set 600
X0 (m)
680604,933
680605,663
0,730
3,080
2,704
5,785
Y0 (m)
7465090,870
7465087,674
3,196
1,504
1,147
2,652
Z0 (m)
1317,118
1316,032
1,086
2,698
0,506
2,192
w (graus)
1,769
1,910
0,141
0,025
0,046
0,020
f (graus)
-0,768
-0,763
0,005
0,189
0,052
0,240
k (graus)
-1,145
-1,072
0,073
0,078
0,032
0,046
X0 (m)
681317,250
681319,577
2,327
8,225
0,445
8,670
Y0 (m)
7465080,893
7465081,310
0,417
2,788
3,071
0,282
Z0 (m)
1321,070
1318,802
2,268
0,643
0,693
1,336
w (graus)
0,837
0,672
0,165
0,178
0,113
0,065
f (graus)
-0,999
-0,825
0,174
0,319
0,002
0,318
k (graus)
-1,818
-1,777
0,041
0,004
0,011
0,008
A pequena diferença dos resultados obtidos
com o modelo proposto e o software Erdas (tabela 3)
são decorrentes do fato de, neste último, o modelo
matemático ser o self-calibrating bundle block
adjustment (ajustamento por feixes perspectivos com
auto calibração), que inclui a distância focal calibrada
como uma das incógnitas do sistema, tomando como
aproximação inicial a do certificado de calibração, que
é um valor médio. Isto resulta em uma distância focal
diferente para cada feixe ajustado, conforme ocorre em
realidade, pelo fato das lentes conterem distorções.
TABELA 3 - COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS PARA A ORIENTAÇÃO EXTERIOR OBTIDOS A PARTIR DOS MESMOS DADOS
DE ENTRADA COM IMAGENS EM 1200 DPI
Apresentação
Panorama
Imagem 16
Imagem 17
Ponto 11711
Ponto Uerj
Programa
Relação de Títulos
Relação de Autores
Busca de Palavras
AFP (a)
Erdas (b)
|(a)-(b)|
X0 (m)
680604,933
680604,740
0,193
Y0 (m)
7465090,870
7465091,373
0,503
Z0 (m)
1317,118
1317,089
0,029
w (graus)
1,769
1,754
0,015
f (graus)
-0,768
-0,776
0,008
k (graus)
-1,145
-1,149
0,004
X0 (m)
681317,250
681316,462
0,788
Y0 (m)
7465080,893
7465079,613
1,280
Z0 (m)
1321,070
1321,208
0,138
w (graus)
0,837
0,706
0,131
f (graus)
-0,999
-0,933
0,066
k (graus)
-1,818
-1,783
0,035
X (m)
680541,006
680540,920
0,086
Y (m)
7464680,176
7464680,050
0,126
Z (m)
11,345
10,753
0,592
X (m)
680931,229
680931,187
0,042
Y (m)
7465299,796
7465299,713
0,083
Z (m)
68,840
68,869
0,029
5 CONCLUSÕES
O modelo apresentado se mostrou eficiente e
preciso, mesmo em comparação com os modelos
adotados em softwares comerciais, atingindo
plenamente o propósito de proporcionar a realização da
fototriangulação para imagens aéreas. Como módulo
integrante da estação fotogramétrica digital
educacional – Projeto E-Foto – trará ao usuário a
possibilidade de conhecer todas as etapas necessárias
ao processo de fototriangulação.
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Brito, J. L. N. S.; L. Coelho, 2002, Fotogrametria
digital, Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro.
Burnside, C. D., 1985, Mapping from aerial
photographs, Halsted Press, New York, 348 páginas.
Gemael, C., 1984, Introdução ao ajustamento de
observações: aplicações geodésicas , Ed. UFPR,
Curitiba, 322 páginas.
Kraus, K., 2000, Photogrammetry v. 1: Fundamental
and standard processes, Dümmlerbuch, Vienna, 398
páginas.
Mikhail, E. M.; J. S. Bethel e J. C. McGlone, 2001.
Introduction to Modern Photogrammetry , John Wiley
& Sons, Inc., New York, 480 páginas.
Raivel, J. P. C.; L. A. Souza Filho, 2003, Trabalho n°
4: orientação exterior, Fotogrametria digital, PGEC –
Uerj.
7 AGRADECIMENTOS
Os autores gostariam de agradecer o apoio da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ e do
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico – CNPq, pelo apoio institucional e
financeiro recebidos.