Ficha de Trabalho n.º 6
Geometria no Plano e no Espaço I
QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA
1. Se A ( −2,1) e B (1, 4 ) , então as coordenadas do vetor 2 AB são:
(A)
( 6,6 )
( −6,6 )
(B)


2. Considera os vetores a = 1 ,
(C)
( −2,6 )
(D)
( 6, −1)
(D)
3
7
7 
7
 e b = , k.
3
3 
Para que valor de k os vetores são colineares?
(B)
(A) 1
7
3
(C)
49
9
3. Os vetores u = ( 2, −8, −1) e v = ( −2, p,1) são colineares se:
(A)
p = −1
(B)
p=0
(C)
p = −8
(D)
p =8
4. A figura representa um paralelogramo dividido em 12 paralelogramos iguais.
Qual das relações seguintes está correta?
(A) A
+ AE = E
(B) A
− AE = GP
(C) A
+ AE = GP
(D) A
− AE = E
5. O ponto A ( 2 , m ) , m ∈ ℝ , pertence à reta ( x , y ) = (1 , 3) + k (−1 , 4) , k ∈ ℝ , se:
(A) m = −1
(B) m = 0
(C) m = 1
(D) m = 2
6. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) O simétrico do vetor a = (2 , − 3, 5) é o vetor b = (− 3 , 5, 2 ) .
(B) A soma do ponto C (1 , − 2, 3) com o vetor v = (− 3 , 5, 2 ) é o vetor a = (− 2 , 3, 5) .
(C) O vetor r = (− 3, 1) é colinear com o vetor s = (3 , 1) .
(
)
(D) A norma do vetor u = − 2 , 0 , 5 é igual a 3.
7.
O valor de α ∈ ℝ de modo que o ponto A ( 3, α − 4 ) pertença à reta definida pela equação
2 x − y + 3 = 0 , é:
(A) 13
Matemática A – 10º ano
(B) 9
(C) 4
2011/ 2012
(D) -13
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8. Considera os vetores u = (1 , 2 , − 4 ) e v = ( −2 , a , 8 ) .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) Se a = 4 então u e v têm a mesma direção.
(C) Se a = 4 então u e v têm a mesma norma.
(B) Se a = −4 então u e v têm o mesmo sentido. (D) Se a = −4 então u e v são colineares.
9. Num referencial o.n. Oxyz os pontos A(2,0,5) e B (2, 2,5) definem uma reta AB. Qual das seguintes
afirmações é falsa?
(A) paralela ao plano xOz
(B) paralela ao plano xOy
(C) paralela ao plano yOz
(D) paralela ao eixo Oy
10. A reta de equação y = x + 1 passa pelo ponto de coordenadas:
(A) (0, − 1)
(C) (−1,0)
(B) (1,1)
(D) (2, − 1)
11. Considera a reta r de equação 2 x − 3 y + 1 = 0 . Para que o ponto P (1 − k , − k ) pertença à reta r o valor
de k é:
(A) -3
(B) -2
(C)
−
3
2
(D)
3
4
12. Considera as retas r : y = 6 x − 2 e s : mx − 2 y = 3 . Para que as duas retas sejam paralelas, o valor de
m é:
(A) -12
(B) 6
(C) 3
(D) 12
13. Considera, num referencial o.n. xOy, a reta r que interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e que
interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 8.
Qual é a equação reduzida da reta r?
(A) y = −4 x + 8
(B)
y = 4x + 8
(C)
y = −2 x + 4
(D)
y = 2x + 4
(Teste Intermédio maio - 2009)
14. Considera, em referencial o.n. xOy, a reta r que interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 e que
interseta o eixo Oy no ponto de ordenada 6.
Qual é a equação reduzida da reta r?
(A) y = −3 x + 6
(B)
y = 3x + 6
(C)
y = −2 x + 3
(D)
y = 2x + 3
(Teste Intermédio maio - 2010)
15. Considera, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica de equação x 2 + y 2 + ( z − 3 ) = 4 .
2
A interseção desta superfície com o plano xOy é:
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferência
(D) um círculo
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16. Qual das seguintes condições define a região a sombreado?
(A) ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 < 4
∧
y≤
x
2
∧
x ≥1
(B) ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 < 4
∧
y≥
x
2
∧
y ≥1
(C) ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 < 2
∧
y≥
x
2
∧
x ≥1
(D) ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 < 4
∧
x
2
y≤
∧
y ≥1
17. Em referencial o.n. Oxyz, considera:
•
a esfera E definida pela condição x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
•
a reta r de equação vetorial ( x, y, z ) = ( 0,0, 2 ) + k ( 0,1,0 ) ,
k ∈ℝ
A interseção da esfera E com a reta r é:
(A) um segmento de reta de comprimento 2
(B) um segmento de reta de comprimento 4
(C) um ponto
(D) o conjunto vazio
(Teste Intermédio maio – 2010)
18. Qual das seguintes condições define, em referencial o.n. Oxyz, uma reta paralela ao eixo Oz?
(A)
( x, y, z ) = ( 7,0,0 ) + k (1,1,0 ) ,
k ∈ℝ
(B)
( x, y, z ) = (1,1,0 ) + k ( 0,0,7 ) ,
k ∈ℝ
(C)
( x, y, z ) = (1,1,0 ) + k ( 7,0,0 ) ,
k ∈ℝ
(D)
( x, y, z ) = ( 0,0,7 ) + k (1,1,0 ) ,
k ∈ℝ
(Teste Intermédio)
19. Num referencial o.n. Oxyz, a condição x 2 + y 2 + ( z − 2 ) ≤ 4 define uma esfera.
2
Qual das seguintes equações define um plano que divide essa esfera em dois sólidos com o mesmo
volume?
(A) x = 0
(B)
x =1
(C)
x=2
(D)
x=3
(Teste Intermédio)
20. Na figura seguinte estão representados três triângulos, [OAC],
[OAB] e [OBC], num referencial o.n. do plano.
• O triângulo [OAC] tem área 4 e a medida da altura é o dobro da
medida da base.
• O ponto B é o ponto médio do segmento de reta [AC].
Nestas condições, a equação reduzida da reta AB é:
(A) y = −2 x + 4
(B) y = −4 x + 4
(C) y = 2 x − 4
(D) y = 2 x
(Teste Intermédio)
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QUESTÕES DE RESPOSTA ABERTA
21. Considera num referencial o.n. xOy os pontos P ( −2, 4 ) , Q ( −3, 2 ) e R ( 0, − 4 ) e o vetor
u = ( −1, 3) .
21.1. Classifica o triângulo [PQR] quanto aos lados.
21.2. Calcula as coordenadas do ponto X tal que PX = 3PQ .
21.3. Determina as coordenadas de um vetor v , colinear com u , e norma igual a 5.
21.4. Escreve uma equação vetorial da reta QR.
21.5. Verifica se o ponto P pertence à reta QR.
22. A figura representa uma maqueta de um barracão de
armazenamento de materiais que consiste num prisma
triangular e num prisma retangular.
Tem-se que:
• a face [ADCB] está contida no plano xOy
• os pontos A e B são simétricos relativamente ao plano yOz
• os pontos B e C são simétricos relativamente ao plano xOz
• os pontos I e J são simétricos relativamente ao plano yOz
22.1. Utilizando as letras da figura, indica:
22.1.1. 2AO + GF − JF
22.1.2. B +
1 BA + FG
2
(
)
22.2. Nas questões seguintes considera que:
• o ponto A tem coordenadas (4, 6, 0)
• o volume do barracão sem telhado é de 576 cm3
• o ponto I tem coordenadas (4, 0, 8)
22.2.1. Calcula JH .
22.2.2. Determina uma equação vetorial da reta HJ.
22.2.3. Verifica se o ponto P de coordenadas (-12 , 6, -20) pertence à reta HJ.
22.2.4. Indica, usando as letras da figura, uma reta paralela à reta r de equação
( x, y, z ) = ( 0,6,0 ) + k ( −2,0,0 ) ,
23. Considera três pontos A, B e C, não alinhados.
k ∈ℝ
Marcou-se os pontos D e E, tais que AD = BA e AE = CA .
23.1. Justifica que BC = ED .
23.2. Como classificas o quadrilátero [ BEDC ] ?
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24. Na figura está representado um triângulo [ABC]. Os pontos D
e E são os pontos médios dos lados [AB] e [BC],
respetivamente.
Utilizando cálculo vetorial, prova que as retas AC e DE são
paralelas.
Sugestão:
Percorre as seguintes etapas:
• Exprime o vetor AC à custa dos vetores AB e BC
• Relaciona o vetor AB com o vetor DB
• Relaciona o vetor BC com o vetor BE
• Mostra que AC = 2 DE
• Utiliza a igualdade anterior para justificar que as retas AC e DE são paralelas.
(Teste Intermédio)
[ ABC ] um triângulo e M e N os pontos médios dos lados [ AC ]
[ BC ] , respetivamente.
25. Seja
e
25.1. Prova que AB = 2 M
.
25.2. Conclui que os segmentos [ AB ] e [ M
] são paralelos.
26. Observa a figura.
1 3
1 3
Sabe-se que OP = OA e OQ = OB .
Prova que [ ABQP ] é um trapézio.
27. Na figura estão representadas uma circunferência de centro C
e duas retas, r e s, paralelas.
27.1. Escreve uma equação da circunferência representada
na figura.
s
r
27.2. Escreve a equação reduzida de cada uma das retas.
27.3. Define por uma condição a região da figura a
sombreado.
27.4. Escreve uma equação vetorial da reta que contém o ponto C e é paralela à reta de equação
4x − 2 y = 3
28. Considera a circunferência de centro A e que contém os pontos B e C,
representada no referencial o.n. xOy .
28.1. Determina uma equação vetorial da reta AC.
28.2. Escreve a equação reduzida da reta paralela à reta AB e que passa
pelo ponto C.
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28.3. Verifica se o ponto D (4, 0) pertence à mediatriz de [AB].
28.4. Define por uma condição a zona a sombreado, incluindo a fronteira.
29. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , o prisma triangular não regular [ABCDEF].
Sabe-se que:
(
• as bases são triângulos isósceles AB = AC
e DE = DF
)
• a base [ABC] está contida no plano xOy
• as arestas laterais dos prisma são perpendiculares às bases
• A tem coordenadas ( 4,0,0 ) e E tem coordenadas ( 0,3,8 )
• o ponto F é o simétrico do ponto E, relativamente ao plano xOz
29.1. Determina uma equação vetorial da reta DF.
29.2. Determina a área lateral do prisma.
(Teste Intermédio)
30. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy :
•
•
•
•
•
os pontos A e D, pertencentes ao eixo Oy
o ponto C, pertencente ao eixo Ox
a reta BD, que contém o ponto C
a reta AB, paralela ao eixo Ox
a circunferência de centro na origem do referencial e raio 3, que
contém os pontos A, C e D
Estão assinaladas na figura das regiões: uma, tracejada, no primeiro quadrante, outra, sombreada, no
quarto quadrante.
30.1. Mostra que uma equação da mediatriz do segmento [BC] é y = − x + 6 .
30.2. Define, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
30.3. Determina a área da região tracejada. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
(Teste Intermédio maio - 2009)
31. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz, o prisma
quadrangular regular [ABCDEFGH ].
As coordenadas dos pontos A, B e G são (11, −1, 2 ) ,
( 8,5,0 )
e
( 6,9,15) , respetivamente.
31.1. Determina as coordenadas do ponto H.
31.2. Escreve uma equação que defina a superfície esférica com
centro no ponto A e que passa no ponto B.
31.3. Escreve uma condição que defina a reta que passa no ponto G e
que é paralela ao eixo Oy.
(Teste Intermédio maio – 2010)
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