MATEMÁTICA (11º ano) – Exercícios de Exames e Testes Intermédios
Equações de retas e planos
1 Seja
um número real.
Considere, num referencial o.n.
, a reta e o plano
definidos, respetivamente, por
e
Sabe-se que a reta é paralela ao plano
Qual é o valor de
(A)
?
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
2 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n.
Seja
, a pirâmide quadrangular regular
o centro da base da pirâmide.
Sabe-se que:
•
o ponto
tem coordenadas
•
•
o vetor
a reta
tem coordenadas
é definida pela condição
2.1 Escreva uma condição cartesiana que defina a reta
Nota – Não necessita de apresentar cálculos.
2.2 Mostre que o plano
pode ser definido pela equação
2.3 Sabe-se que a condição
define a reta
Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto
Teste Intermédio 11º ano – 09.02.2012
3 Considere, num referencial o.n.
, a reta definida por
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 24.05.2011
4 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n.
, parte
de um plano
Cada um dos pontos
O plano
,
e
pertence a um eixo coordenado.
é definido pela equação
Seja a reta que passa no ponto
e é perpendicular ao plano
Determine uma equação vetorial da reta
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2010
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5 Na figura, está representada, num referencial o.n.
pirâmide quadrangular regular
, uma
cuja base está contida no
plano
Sabe-se que:
•
o vértice
tem coordenadas
•
o vértice
tem coordenadas
•
o plano
é perpendicular à reta definida pela condição
Determine o volume da pirâmide.
Nota – Pode ser-lhe útil determinar uma equação do plano
Teste Intermédio 11º ano – 24.05.2011
6 Na figura está representado, em referencial o.n.
, o poliedro
, que se pode
decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:
•
a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e
está contida no plano
•
o ponto
pertence ao eixo
•
o ponto
tem coordenadas
•
o plano
é definido pela equação
6.1 Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma
condição cartesiana que o defina.
6.1.1
Plano paralelo ao plano
e que passa na origem do referencial.
6.1.2
Plano perpendicular à reta
6.1.3
Reta perpendicular ao plano
e que passa no ponto
6.1.4
Superfície esférica de centro em
e que passa no ponto
e que passa no ponto
6.2 Determine o volume do poliedro
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2011
7 Considere, num referencial o.n.
, a reta e o plano , definidos, respetivamente, por:
e
Qual é a intersecção da reta com o plano
?
(A) É o ponto
(B) É o ponto
(C) É o conjunto vazio
(D) É a reta
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
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8 Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n.
regular
, uma pirâmide quadrangular
cuja base está contida no plano
Sabe-se que:
•
o ponto
pertence ao eixo
•
o ponto
tem coordenadas
•
o ponto
pertence ao plano de equação
•
é uma equação do plano
•
é uma equação do plano
8.1 Determine o volume da pirâmide.
8.2 Determine as coordenadas do ponto
8.3 Seja
, sem recorrer à calculadora.
o ponto de coordenadas
Seja a reta que contém o ponto
e é perpendicular ao plano
Averigue se a reta contém o ponto
Teste Intermédio 11º ano – 27.01.2010
9 Na figura ao lado está representado um referencial o.n.
Cada um dos pontos
O ponto
O plano
,
e
.
pertence a um eixo coordenado.
pertence ao plano
.
é definido pela equação
Seja a reta que contém o ponto
e é perpendicular ao plano
.
Determine uma equação vetorial da reta .
Teste Intermédio 11º ano – 07.05.2009
10 Considere, num referencial o. n.
, a superfície esférica de equação
A intersecção desta superfície com o plano é
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma circunferência
(D) um círculo
é
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
11 Considere, num referencial o.n.
, a reta definida por
Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste Intermédio 11º ano – 06.05.2008
12 Num referencial o. n.
, sejam
e
os planos definidos pelas equações:
e
A intersecção dos planos e é
(A) o conjunto vazio
(B) um ponto
(C) uma reta
(D) um plano
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
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13 Na figura ao lado está representado, em referencial o. n.
,
um cone de revolução. Sabe-se que:
•
a base do cone está contida no plano
•
o vértice
do cone tem coordenadas
•
o ponto
é o centro da base do cone
13.1 Determine uma equação do plano
13.2 Seja
ponto
que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano
o plano definido pela equação
Averigue se os planos
13.3 Seja
de equação
e
são perpendiculares.
o ponto simétrico do ponto
, em relação ao plano
. Indique as coordenadas do
e escreva uma condição que defina o segmento de reta
.
13.4 Sabendo que o raio da base do cone é igual a , determine o volume do cone.
Sugestão: comece por escrever uma condição que defina a reta que contém o vértice do cone e
que é perpendicular ao plano
e utilize-a para determinar as coordenadas do ponto
.
Teste Intermédio 11º ano – 29.01.2009
14 Na figura está representada, em referencial o.n.
Admita que o vértice
, uma pirâmide quadrangular.
se desloca no semieixo positivo
, entre a
origem e o ponto de cota , nunca coincidindo com qualquer um destes
dois pontos.
Com o movimento do vértice
deslocam-se no plano
, os outros quatro vértices da pirâmide
, de tal forma que:
•
a pirâmide permanece sempre regular
•
o vértice
•
sendo
tem sempre abcissa igual à ordenada
a abcissa de
Admita agora que
e sendo a cota de
, tem-se sempre
. Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos
,
e
e
determine uma equação cartesiana do plano ABE.
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
15 Considere, em referencial o.n.
Seja
, o ponto
o plano que contém o ponto
e é perpendicular à reta de equação vetorial
Determine a área da secção produzida pelo plano
na esfera definida pela condição
.
Sugere-se que:
• Determine uma equação do plano .
• Mostre que o centro da esfera pertence ao plano .
• Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.
Teste Intermédio 11º ano – 10.05.2007
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16 Na figura estão representadas, em referencial o. n.
, uma reta
e
uma circunferência com centro na origem e raio igual a
Os pontos
O ponto
e
pertencem à circunferência.
também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta
é igual a , resolva as três alíneas
seguintes:
16.1 Mostre que uma equação da reta
16.2 Mostre que o ponto
16.3 Seja
é
tem coordenadas
o ponto de coordenadas
Verifique que o triângulo
é retângulo em
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
17 Na figura está representado, em referencial o. n.
, um cubo
de aresta
O vértice
do cubo coincide com a origem do referencial.
Os vértices
e
,
e
do cubo pertencem aos semieixos positivos
,
, respetivamente.
O triângulo escaleno
é a secção produzida no cubo pelo plano
de
equação
17.1 Escreva uma condição que defina a reta que passa por
17.2 Seja
a amplitude, em graus, do ângulo
e é perpendicular ao plano
. Determine
Apresente o resultado arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a
arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.
Sugestão: comece por determinar as coordenadas dos pontos
e
Teste Intermédio 11º ano – 24.01.2008
18 Na figura está representada, em referencial o.n.
, uma pirâmide regular.
Sabe-se que:
•
a base
é um quadrado de área
com centro na origem do
referencial;
•
a aresta
é paralela ao eixo
•
o vértice
tem coordenadas
;
.
Mostre que a reta definida pela condição
ao plano
é perpendicular
e escreva uma equação deste plano.
Teste Intermédio 11º ano – 19.05.2006
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19 Na figura está representado, em referencial o.n.
O vértice
é a origem do referencial.
O vértice
pertence ao eixo
.
O vértice
pertence ao eixo
.
O vértice
pertence ao eixo
O vértice
tem de coordenadas
, um paralelepípedo retângulo.
.
.
Seja a reta de equação
Qual é o ponto de intersecção da reta com o plano
(A) O ponto
(B) O ponto
?
(C) O ponto
(D) O ponto
Exame Matemática – 2001, 2ª Fase
20 Na figura está representado, em referencial o.n.
, um octaedro
.
Sabe-se que:
•
O vértice
tem de coordenadas
•
O vértice
tem de coordenadas
•
O vértice
pertence ao plano
•
O vértice
tem de coordenadas
20.1 Mostre que a reta definida pela condição
perpendicular ao plano
é
.
20.2 Determine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro.
20.3 Seja
um plano definido pelo eixo
e pelo ponto
A secção produzida no octaedro pelo plano
.
é um quadrilátero.
Caracterize esse quadrilátero e determine o seu perímetro.
Exame Matemática – 2001, 2ª Fase
21 Para um certo número real , as retas e , definidas em referencial o.n.
e
(A)
(B)
, pelas condições
são coincidentes. Qual é o valor de ?
(C)
(D)
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada
22 Considere, num referencial o.n.
, duas retas, e de equações
e
, respetivamente.
22.1 Justifique que as retas e definem um plano.
22.2 Mostre que o plano definido pelas retas e é paralelo ao plano de equação
22.3 Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas
e . Apresente o resultado em graus,
aproximado às unidades.
Nota: Sempre que nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas
decimais.
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada
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23 Na figura está representada, em referencial o.n.
, uma
pirâmide quadrangular regular.
A base da pirâmide está contida no plano de equação
O vértice
pertence ao eixo
O vértice
pertence ao plano
.
O vértice
pertence ao plano
.
O vértice
tem de coordenadas
.
.
.
A altura da pirâmide é .
23.1 Mostre que uma condição que define a reta
é
23.2 Determine uma equação do plano que contém o ponto
e é perpendicular à reta
23.3 Determine a área da secção obtida na pirâmide pelo plano
.
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 2ª Chamada
24 Na figura está representada, em referencial o.n.
•
O vértice
é a origem do referencial
•
O vértice
pertence ao eixo
•
O vértice
pertence ao eixo
•
O vértice
pertence ao eixo
•
•
, um cubo.
é o centro da face
Uma equação do plano que contém os pontos
,
e
é
Qual é a medida da aresta do cubo?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática – 2001, 1ª Fase, 1ª Chamada
25 Num referencial o.n.
, considere os planos definidos pelas equações
e
.
Qual das equações seguintes define uma superfície esférica tangente aos dois planos?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática – 2000, 2ª Fase
26 Num referencial o.n.
, considere o plano , de equação
Qual dos seguintes pontos é simétrico do ponto
(A)
(B)
.
, em relação ao plano
(C)
?
(D)
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada
27 Num referencial o.n.
, considere os pontos
e
.
Qual dos pontos seguintes pertence ao plano mediador do segmento de reta
(A)
(B)
(C)
?
(D)
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada
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28 Na figura abaixo está representada, em referencial o.n.
O vértice
é a origem do referencial
O vértice
pertence ao eixo
O vértice
pertence ao plano
O vértice
tem coordenadas
, uma pirâmide quadrangular regular.
Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é
28.1 Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação
28.2 Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas
28.3 Determine o volume da pirâmide.
Exame Matemática – 2000, 2ª Fase
29 Considere dois planos
Sejam
e
Seja
e .
vetores normais a
e , respetivamente.
um vetor com a direção da reta de interseção de
e .
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A)
é paralelo a
e
é paralelo a
.
(B)
é paralelo a
e
é perpendicular a
(C)
é perpendicular a
e
é paralelo a
(D)
é perpendicular a
e
é perpendicular a
.
.
.
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada
30 Na figura está representado, em referencial o.n.
, um prisma triangular regular.
Sabe-se que:
•
o vértice
coincide com a origem do referencial
•
o vértice
pertence ao semieixo positivo
•
o vértice
pertence ao semieixo positivo
•
o segmento
tem comprimento
30.1 Indique, justificando, o valor do produto escalar
30.2 Determine uma equação vetorial da reta de interseção do plano
com o plano de
equação
30.3 Sabendo que a área lateral do prisma é
, determine as coordenadas do ponto
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 2ª Chamada
31 Num referencial o.n.
e
, qual das seguintes retas interseta os três planos coordenados (
,
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada
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32 Considere num referencial o.n.
, um poliedro com doze faces que
pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares.
Sabe-se que:
•
o vértice
é a origem do referencial;
•
o vértice
do poliedro tem de coordenadas
•
a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta
;
do cubo.
32.1 Justifique que o ponto
32.2 Mostre que a reta
não pertence à superfície esférica de diâmetro
é perpendicular ao plano
.
.
32.3 Determine a área da secção definida no poliedro pelo plano
.
Exame Matemática – 2000, 1ª Fase, 1ª Chamada
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