6a LISTA DE EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA - MATEMÁTICA
Professor: José Carlos de Souza Júnior
1. Quais são as coordenadas do ponto B, simétrico do ponto A = (1, 0, 3) em relação ao
ponto M = (1, 2, −1)?
2. Encontre as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que contém os
pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 0).
3. Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0) determine P sobre a reta que contém A e B
−−→
−→
tal que o comprimento de P B é o triplo do comprimento de P A.
4. √
Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2, −2) + λ(1, −1, 2), encontre os pontos de r que distam
3 de A. Diga qual é a distância do ponto A à reta r.
5. Dada a reta r : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 1) e dados os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1),
encontre o ponto de r equidistante de A e de B.
6. Sejam P = (1, 0, 1) e Q = (0, 1, 1). Encontre um ponto C da reta que contém P e Q tal
que a área do triângulo ABC é 21 . Aqui, A = (1, 3, 2) e B = (2, 2, 2).
7. Escreva as equações vetorial e paramétricas para os planos
(a) π que passa por A = (1, 1, 0) e B = (1, −1, −1) e é paralelo ao vetor ~v = (2, 1, 0).
(b) π que passa por A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3, −1, 1).
8. Verifique (e explique por que) se π1 = π2 no seguinte caso:
π1 : X = (2, 1, 3) + λ(1, 1, −1) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R
π2 : X =(0, 1, 1) + α(1, 3, −5) + β(1, −1, 3), α, β ∈ R
9. Decomponha o vetor ~v = (1, 2, 4) como soma de duas parcelas, uma paralela ao plano
X = (1, 1, 0) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 1, −1) e outra paralela à reta r : X = (0, 0, 0) + α(2, 1, 0).
10. (a) Um plano π tem equação geral x + 2y − z − 1 = 0. Obtenha suas equações paramétricas.
(b) Dadas as equações paramétricas de um plano π

 x = −1 + 2λ − 3µ
y =1+λ+µ
(λ, µ ∈ R)

z = λ − 3µ
Obtenha uma equação geral de π.
(c) Ache uma equação geral de um plano π que passa por A = (1, 0, 1), B = (−1, 0, 1)
e C = (2, 1, 2).
x+y+z−1=0
(d) Uma reta r é dada como intersecção de dois planos: r :
x+y−z
= 0
Dê as equações paramétricas de r.
y
x−1
(e) Dadas as retas
= =z
e
s:x−1=y =z
r:
2
2
Obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s.
11. (a) Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto P = (1, 1, 2) e é paralelo
à π1 : x − y + 2z + 1 = 0.
(b) Dê uma equação geral do plano π que passa pela origem e é perpendicular à reta
que passa por A = (1, 1, 1) e B = (2, 1, −1).
(c) Dê uma equação geral do plano π que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é perpendicular
à reta r : X = (0, 0, 1) + λ(1, 2, −1).
(d) Escreva uma equação vetorial da reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular
ao plano π : 2x + y − z = 2.
12. Decomponha o vetor ~v = −3~i + 4~j − 5~k paralela e ortogonalmente ao plano

 x=1−λ
y = −2
(λ, µ ∈ R)
π:

z =λ−µ