MÉTODOS COMPUTACIONAIS E ANALÍTICOS APLICADOS AO ESTUDO DE
TOMBAMENTO DE BLOCOS EM TALUDES ROCHOSOS
Frederico Costa Melo, engenheiro de minas (UFOP, DEMIN)
Milene Sabino Lana, professor Associado, (UFOP, DEMIN)
Luana Cláudia Pereira, mestre (NUGEO, UFOP)
Paulo Filipe Trindade Lopes, graduando em engenharia de Minas (UFOP, DEMIN)
RESUMO
Apesar da ocorrência de rupturas por tombamento de blocos em taludes rochosos ser um
fenômeno muito comum, os modelos analíticos existentes para estudo do fenômeno são de
difícil aplicação na rotina de engenharia, porque os dados necessários, referentes à
geometria das descontinuidades envolvidas e do talude, dificilmente podem ser obtidos em
campo com o detalhe requerido. Além disso, a aplicação de métodos computacionais não é
trivial, já que os modelos devem ser capazes de considerar um maciço como um meio
descontínuo, para que a ruptura por tombamento de blocos seja passível de análise. Neste
trabalho o mecanismo de ruptura por tombamento de blocos é estudado a partir da
aplicação de métodos computacionais e analíticos. Os diversos métodos são analisados, em
termos de suas vantagens e limitações.
Palavras-chave: tombamento de blocos; taludes rochosos; equilíbrio-limite; análise tensãodeformação.
ABSTRACT
Despite the occurrence of block toppling in rock slopes is a common failure mode, the
analytical methods currently available to study the phenomenon are difficult to apply in
engineering practice, because the necessary input, concerning the geometry of
discontinuities and the slope can hardly be obtained in the field with the required detail.
Moreover, the use of computational methods is not trivial, since the models should be
capable of considering the rock mass as a discontinuous medium to permit the analysis of
this failure mode. In this work toppling block failure is studied through the use of
computational and analytical methods. The various methods are analyzed in terms of its
advantages and limitations.
Keywords: block toppling; rock slopes; limit equilibrium methods, strain-stress analyses.
INTRODUÇÃO
Os mecanismos de ruptura por tombamento são movimentos devidos a forças que causam
momentos, originando rotação e/ou flexão de colunas ou de blocos de rocha, originadas
pela interceptação de diferentes famílias de descontinuidades. Tais mecanismos são
divididos em três grupos principais: tombamento flexural, tombamento de blocos e
tombamento bloco-flexural. Na figura 1 são mostrados os mecanismos de ruptura por
tombamento.
Figura 1: Tipos principais de tombamento (Goodman & Bray, [1]).
Os mecanismos de ruptura por tombamento são muito comuns em taludes rochosos,
incluindo-se nesses os taludes de cavas. Ocorrências de tombamento flexural e
tombamento bloco-flexural foram observadas em taludes de filito em minas a céu-aberto de
ferro no Quadrilátero Ferrífero. No caso do mecanismo de tombamento de bloco, as
ocorrências englobam várias litologias diferentes e são muito comuns, tanto em taludes de
mina, quanto em taludes rodoviários ou urbanos.
No tombamento flexural ocorre a flexão de colunas contínuas de rocha, formadas por
descontinuidades bem desenvolvidas e de alto mergulho, com inclinação contrária à
inclinação da face do talude. O cisalhamento entre as colunas, dependendo do atrito entre
elas, induz a uma ruptura por tração na base das lâminas e, por fim, ao tombamento das
mesmas. O desenvolvimento do mecanismo é gradual e a determinação da superfície basal
da ruptura não é um processo trivial. Métodos de equilíbrio limite podem ser aplicados para
análise desse mecanismo, como proposto por Aydan & Kawamoto [2]. Nesse método as
lâminas rochosas são consideradas placas engastadas a certa profundidade, submetidas à
força da gravidade e forças laterais. O desafio é justamente a determinação da profundidade
onde ocorre o engastamento das lâminas, que representa a superfície de ruptura basal.
Outra abordagem possível para análise do tombamento flexural é a utilização de
modelagem numérica. Embora seja um mecanismo determinado pela presença de
descontinuidades, modelos numéricos para maciços rochosos contínuos, que permitem a
representação explícita das descontinuidades, podem fornecer bons resultados para estudo
desse tipo de mecanismo, como mostram Diláscio [3], que utilizou o modelo de juntas
ubíquas num programa de diferenças finitas (FLAC, Itasca) e Santos [4], que utilizou um
programa de elementos finitos (Phase, Rocscience Inc.), com a representação explícita das
descontinuidades.
O tombamento de blocos tem inicio quando as colunas de rocha são divididas por juntas
ortogonais largamente espaçadas, provocando a individualização dos blocos. As pequenas
colunas formadas no pé do talude são empurradas pela ação das forças exercidas pelas
colunas superiores e deslizam, permitindo o tombamento das colunas situadas
imediatamente acima, de maior altura. A superfície basal de ruptura nesse tipo de
tombamento normalmente possui uma forma de escadaria, que geralmente cresce em forma
de camadas umas sobre as outras.
A análise por equilíbrio limite mais difundida na literatura para o tombamento de blocos é a
proposta por Goodman & Bray [1], onde a superfície de ruptura basal tem forma de
escadaria, ver figura 2. As condições de estabilidade são ditadas pela estabilidade de cada
bloco individual, analisados a partir da parte superior do talude. Um bloco pode encontrar-se
em uma das três situações distintas: estável, instável em relação ao deslizamento pela base
e instável em relação ao movimento de tombamento. Estas situações dependem de vários
fatores, como das dimensões do bloco, dos parâmetros de resistência ao deslizamento e de
forças externas nele atuantes. O modelo de Goodman & Bray [1] é de difícil aplicação na
prática de engenharia, em função de sua entrada de dados envolver o conhecimento
detalhado da geometria dos blocos, o que torna impraticável o levantamento desses dados
em campo.
Figura 2: Modelo de Goodman & Bray para tombamento de blocos
(adaptado de Wyllie et. al, [5]).
Diferente do tombamento flexural, os modelos numéricos apropriados para estudo do
tombamento de blocos devem permitir a modelagem de maciços descontínuos. O método
dos elementos distintos, por exemplo, seria uma ferramenta adequada para esse tipo de
análise.
O tombamento bloco-flexural consiste na combinação de tombamento e deslizamento dos
blocos, configurando um mecanismo de ruptura mais complexo comparado aos dois
anteriores. Caracteriza-se por flexão pseudocontínua de longas colunas devido aos
movimentos acumulados ao longo de numerosas descontinuidades cruzadas. O movimento
de deslizamento acontece ao longo de várias superfícies de descontinuidades no pé do
talude, e o tombamento ocorre de forma associada no restante do maciço. Resultando
assim, num meio termo entre os campos de deslocamentos, contínuo, do tombamento
flexural e descontínuo, do tombamento de blocos (Hoek & Bray, [6]).
MÉTODOS DE EQUILÍBRIO LIMITE
Bobet [7] foi o primeiro autor a propor um método de equilíbrio limite para análise de
tombamento de blocos, onde a espessura dos blocos é pequena se comparada a uma
dimensão linear característica do talude, no caso sua altura. A razão entre a altura do talude
e a espessura dos blocos foi denominada índice de esbeltez. A ruptura envolve um grande
número de blocos e o problema pode ser resolvido considerando o maciço rochoso como
um meio contínuo, ao invés de um conjunto de blocos discretos. O método apresentado por
Bobet [7] elimina a dificuldade de aplicação prática do método tradicional de Goodman &
Bray [1], onde a geometria dos diversos blocos deve ser conhecida em detalhe.
Posteriormente Sagaseta et. al. [8] propuseram uma abordagem para maciço rochoso
contínuo, cuja solução é considerada adequada para razões de esbeltez maiores que 20.
Sagaseta et. al. [8] estenderam o modelo de Bobet [7] para incorporar uma superfície de
ruptura basal que não fosse necessariamente normal ao mergulho das descontinuidades
com cinemática para tombamento. Para blocos mais espessos (espessura finita) esses
autores apresentam uma extensão do modelo, através da redução linear da força externa de
suporte, aplicada na base do conjunto de blocos, força essa já presente no modelo
tradicional de Goodman & Bray [1]. Sagaseta et. al. [8] aplicam o modelo a diversos casos
particulares, gerando ábacos com valores da força externa de suporte em função da
geometria do problema e do ângulo de atrito das descontinuidades.
Liu et al. [9] também apresentaram uma solução por equilíbrio limite para maciços
contínuos, baseada nos trabalhos de Bobet [7] e Sagaseta et. al. [8]. Esses autores
automatizaram os cálculos de equilíbrio limite em uma planilha excel. Em um trabalho
posterior Liu et. al. [10] propuseram outra solução via equilíbrio limite quando o maciço não
pode ser tratado como contínuo.
Como uma das grandes vantagens dos métodos de equilíbrio limite, salientamos sua
facilidade de incorporação à rotina de engenharia como uma ferramenta interessante de
previsão de ruptura e dimensionamento de taludes. Dentre as maiores desvantagens, no
caso dos modelos de tombamento de blocos, é assumir uma superfície arbitrária de ruptura
basal e determinar previamente o número de blocos do modelo.
Descrição do modelo de Liu et. al. [9]
A figura 3 mostra o modelo geométrico assumido por Liu et. al. [9] para a análise do
tombamento de blocos via equilíbrio limite. O maciço rochoso é considerado contínuo. Um
sistema de coordenadas onde o eixo Y é paralelo à família de descontinuidades dominante
e o eixo X é perpendicular à mesma família foi adotado pelos autores.
Figura 3: Modelo geométrico para tombamento de blocos (adaptado de Liu et. al., [9]).
Na figura 4 são mostradas as forças aplicadas em um bloco, de acordo com o modelo de Liu
et. al. [9].
Liu et. al. [9] definiram as equações de equilíbrio limite para tombamento e deslizamento,
considerando o modelo geométrico e as relações entre forças para um bloco. Quando
ocorrer tombamento, a tensão de cisalhamento na base do bloco não atinge a condição de
deslizamento, definida por
, onde
é o ângulo de atrito na base do bloco. Se a
condição mencionada for verdadeira, ocorrerá o deslizamento do bloco. Como no método
clássico de Goodman & Bray [1], Liu et. al. [9] calculam a força P de suporte para estabilizar
o talude. Liu et. al. [9] também determinam o conjunto de blocos sujeito a tombamento, bem
como aqueles onde ocorre deslizamento. A razão de esbeltez, no modelo de Liu et. al. [9] foi
definida como a altura do bloco na crista pela espessura dos blocos e o modelo é válido
para razões de esbeltez entre 15 e 25.
Todas as equações e condições necessárias para aplicação do modelo estão detalhadas
em Liu et. al. [9].
Descrição do modelo de Liu et. al. [10]
Em alguns casos, onde o talude tem uma pequena razão de esbeltez e um grande número
de blocos, a solução para maciços contínuos não pode ser aplicada. Liu et. al [10]
apresentam uma solução para esse caso. Esses autores consideram a solução proposta
mais tratável que a solução de Goodman & Bray [1].
A figura 5 mostra o conjunto de blocos e o modo de ruptura para cada subconjunto de
blocos adotado no modelo de Liu et. al. [10]. Esses autores propuseram um fator que
permite determinar a transição do modo de ruptura por tombamento para o modo de ruptura
por deslizamento, tal como na proposição de Goodman & Bray [1]. Entretanto, o fator
proposto por Liu et. al. [10] permite a determinação do ponto de transição de forma mais
direta, porque não é necessária a verificação das condições de equilíbrio para cada um dos
modos em cada bloco. Além disso, não é necessário o conhecimento detalhado da
geometria dos blocos, como no método de Goodman & Bray [1]; basta especificar os
parâmetros geométricos básicos do talude e dos blocos (espessura, orientação das
descontinuidades e posição da superfície de ruptura basal), além dos parâmetros de
resistência das descontinuidades.
Figura 4: Relações entre as forças aplicadas em um bloco (adaptado de Liu et. al., [9]).
Figura 5: Modo de ruptura adotado no modelo de Liu et. al. [10].
MÉTODOS NUMÉRICOS
Os métodos de análise tensão deformação com aplicação em problemas de mecânica das
rochas podem tratar o maciço rochoso como um meio contínuo ou descontínuo.
Evidentemente, nenhum maciço rochoso é contínuo de fato, já que a presença de
descontinuidades é observada em várias escalas. Entretanto, para fins de modelagem
numérica, muitas vezes é possível trabalhar com a hipótese de continuidade do meio. Um
maciço extremamente fraturado pode, por exemplo, ser representado em modelos contínuos
como um meio contínuo equivalente, quando as descontinuidades são muito pequenas se
comparadas às dimensões da escavação analisada.
Em modelos descontínuos mecanismos de ruptura que envolvam quebra ou rotação de
blocos são passíveis de simulação. A representação explícita das descontinuidades é
possível num modelo contínuo, mas mecanismos complexos de ruptura envolvendo essas
descontinuidades só podem ser adequadamente simulados através de modelagem
numérica de maciços descontínuos.
Como exemplos de métodos que trabalham com modelagem numérica de maciços rochosos
contínuos podemos citar os métodos de elementos finitos, diferenças finitas e elementos de
contorno. Já os métodos que trabalham com maciços descontínuos são os métodos dos
elementos discretos e os métodos de redes de fraturas discretas. Esse último apresenta
aplicação interessante, por exemplo, em fluxo através de fraturas interconectadas, como
sugere Jing [11].
Há também a possibilidade de utilização de métodos híbridos, que aliam as vantagens dos
dois tipos de modelagem, do contínuo e do descontínuo. É possível, por exemplo, modelar
um maciço descontínuo próximo à escavação ou escavações de interesse, embebido num
meio contínuo, já que, além da zona de interesse, não é necessária uma maior preocupação
com a resposta do modelo, desde que os deslocamentos sejam insignificantes nos limites
do modelo.
Na literatura há várias referências à aplicação de técnicas de modelagem numérica em
mecânica de rochas. Uma discussão interessante e detalhada dos métodos de modelagem
numérica e suas aplicações é apresentada por Jing [11].
A modelagem numérica do mecanismo de tombamento de blocos requer a aplicação de
modelos descontínuos, capazes de considerar a rotação dos blocos individuais. Entretanto,
os modelos contínuos que permitem a representação explícita das descontinuidades podem
ser úteis na determinação do início do colapso ou de grandes deslocamentos que causam a
separação dos blocos formados pelas descontinuidades, conforme salientam Hammah et. al
[12]. Esses autores apresentam resultados da aplicação do programa Phase2, da
Rocscience em maciços rochosos, onde os modos de ruptura pela rocha e pelas
descontinuidades podem ser observados, ver figura 6.
O programa Phase2 é um programa de elementos finitos que permite a representação
explícita das descontinuidades, através da inserção de elementos de junta ou da criação de
redes de fraturas, segundo modelos existentes na literatura. Apesar de ser uma ferramenta
de modelagem de meios contínuos, é possível identificar a ocorrência não só de rupturas
pela rocha (figura 6a), como de rupturas envolvendo blocos formados pelas
descontinuidades (figura 6b). Há vários recursos disponíveis para interpretação do modo de
ruptura e um deles é mostrado na figura 6, a visualização das curvas de isocontorno da
deformação de cisalhamento máxima.
METODOLOGIA
O programa Phase2, versão 8.0, da Rocscience [13], foi utilizado para modelagem de um
maciço descontínuo, onde duas famílias de descontinuidades que se interceptam foram
representadas através da utilização da função “joint network”. Um talude de bancada, com
30m de altura e inclinação da face de 80° foi adotado para o modelo.
Figura 6: Curvas de isocontorno de deformação de cisalhamento máxima, geradas pelo
programa Phase2, da Rocscience: (a) modo de ruptura rotacional, (b) modo de ruptura
indicando movimento de blocos (Hammah et. al., [12]).
A geometria das descontinuidades foi estabelecida de modo a se criar as condições
cinemáticas favoráveis para ocorrência de tombamento de blocos. Os espaçamentos das
descontinuidades foram testados, de modo que o programa pudesse ser executado sem a
ocorrência de problemas de instabilidade numérica, que ocorre quando os espaçamentos
são muito pequenos.
Adotou-se um carregamento gravitacional, considerado típico de taludes de pequeno porte.
Foi assumido um comportamento elástico para a rocha, com a especificação de um módulo
de Young excessivamente alto para prevenir a ruptura pela rocha.
Os parâmetros de resistência e deformabilidade adotados para as descontinuidades são
típicos de rochas metamórficas brandas do Quadrilátero Ferrífero, como os xistos
característicos de materiais estéreis em minas a céu-aberto de ferro.
O modelo de equilíbrio limite proposto por Liu et. al. [10] foi aplicado ao problema simulado
no Phase2 [13] e os resultados de ambos foram confrontados.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Parâmetros de entrada do modelo numérico
a) Dados do talude:
Altura: 30m
Ângulo da face: 80°
b) Propriedades do maciço:
Módulo de Young: 200000 MPa
Coeficiente de Poisson: 0,2
Peso específico: 0,024 MN/m3
Ângulo de atrito: 43,6°
Coesão: 2,45 MPa
c) Propriedades das descontinuidades
Mergulho da descontinuidade dominante: 45°, contra a face
Mergulho da descontinuidade basal: 28°
Espaçamento da descontinuidade dominante: 4,8m
Espaçamento da descontinuidade basal: 1,2m
Ângulo de atrito: 24°
Coesão: 0
Módulo de rigidez normal: 40 MPa/m
Módulo de rigidez cisalhante: 0,4 MPa/m
d) Tensões in situ:
Tensão vertical igual ao peso específico x profundidade (
Tensão horizontal igual a
, onde
Na figura 7 o modelo com as descontinuidades e a malha é apresentado. O modelo foi
executado em dois estágios para simular a escavação do talude.
Figura 7: Modelo com as descontinuidades e a malha (Phase2, v.8.0, [13])
Resultados do modelo numérico
Os resultados obtidos indicaram colapso ocasionado por movimentos segundo as
descontinuidades. Na figura 8 a superfície basal de ruptura é deduzida a partir do padrão de
deslocamentos do modelo.
Figura 8: Padrão dos deslocamentos indicando o limite da ruptura (Phase2, v.8.0, [13])
Os limites da superfície de ruptura basal são determinados no modelo através do padrão
dos vetores deslocamentos. Observa-se na figura 8 que os vetores deslocamentos são
paralelos à superfície basal de ruptura e vão diminuindo progressivamente para o interior do
talude até um limite definido como essa superfície basal. A inclinação dessa superfície é
igual a 47° e sua altura é 25,563m (ver figura 8).
Na figura 9 o contorno deformado das descontinuidades é mostrado. É nítido na figura 9 que
a movimentação visível nas descontinuidades está acima da superfície basal de ruptura. A
figura também evidencia que o movimento é típico de tombamento, com a flexão das
descontinuidades dominantes e tendência de deslocamento da descontinuidade basal
evidenciando um modo de ruptura similar ao modelo proposto por Liu et. al. [10], ver figura
5.
Figura 9: Contorno deformado das descontinuidades (Phase2, v.8.0, [13]).
Resultados do modelo analítico
O mesmo modelo computacional foi analisado utilizando a proposição de Liu et. al. [10]. As
mesmas condições geométricas foram assumidas. A posição da superfície de ruptura basal
para o modelo de equilíbrio limite foi determinada a partir dos resultados do modelo
numérico, como se viu anteriormente.
Os parâmetros de entrada do modelo são fornecidos abaixo:
Altura do modelo
Espessura do bloco
Peso específico do material
Ângulo da linha normal à descontinuidade principal com o eixo x
Ângulo de mergulho da família de descontinuidades secundária
Ângulo do talude do talude com o eixo x
Ângulo da superfície natural com a horizontal
Ângulo da linha base
Ângulo de atrito da descontinuidade (
Ângulo de atrito do bloco (
A transição do modo de ruptura de tombamento para deslizamento no modelo de Liu et. al.
ocorre quando a equação (1) for verificada:
[
]
[
{
]
}
onde:
é o peso do bloco i
{
[
{
[
]
]{
}
[
]
}
}
Os resultados do modelo analítico são apresentados na tabela 1. O bloco da crista é o de
número 10. No modelo proposto por Liu et. al. [10], expresso na planilha apresentada por
esses autores, os blocos estáveis não são considerados. Assim, o modo de ruptura por
tombamento começa com o bloco de número 1 na tabela 1.
O índice de esbeltez é igual a 11,79. Para esse índice de esbeltez, Liu et. al. não
recomendam considerar o modelo contínuo, que seria válido quando o índice de esbeltez é
maior que 15.
Como é sempre menor que 1, todos os blocos no modelo sofrem tombamento. Os valores
negativos de , observados nos blocos 20 e 21, devem ser desconsiderados, porque não
têm sentido físico. Dessa forma, o conjunto é formado por 19 blocos sujeitos a tombamento.
O valor de P na tabela 1 representa a força de suporte necessária para estabilização do
conjunto de blocos. Seu valor calculado na tabela 1 indica o colapso do conjunto de blocos.
Os resultados do modelo analítico e do modelo numérico são comparáveis. O modo de
ruptura por tombamento é nitidamente observado nos dois modelos. O colapso do conjunto
de blocos também é evidenciado nos dois modelos.
CONCLUSÕES
Neste trabalho um modelo analítico de equilíbrio limite e um modelo computacional de
elementos finitos para estudo do modo de ruptura por tombamento de blocos foram
utilizados. As duas ferramentas, embora sejam muito distintas com relação ao procedimento
de cálculo, convergem para resultados similares.
Pode-se dizer que as duas ferramentas se complementam nesse trabalho, já que os
resultados do modelo numérico forneceram dados de entrada para o modelo analítico. Isso
mostra uma desvantagem da aplicação somente do modelo analítico, já que a posição da
superfície de ruptura basal deve ser assumida no modelo. Estudos mais aprofundados
poderiam ser feitos no sentido de definir melhor essa superfície. Também seria de interesse
aplicar o modelo de Goodman & Bray [1] para efeito de comparação, já que nesse modelo é
possível determinar o ponto de transição dos blocos estáveis para o modo de ruptura por
tombamento.
Tabela 1: Resultados do modelo analítico (adaptado de Liu et. al., [10]).
Geometric and Geotechnical Parameters
H (m)
t (m)
25,563
1,2
3
γ (kN/m )
24
β (°)
β b (°)
β s (°)
β g (°)
β br (°)
β sr (°)
β gr (°)
θ (°)
θ r (°)
As
Ag
φ d (°)
φ b (°)
45
28
80
0
-17
35
-45
47
2
0,665
-1,035
24
43,6
S#
Wi
ψi
W' i
Ni
fi
m
χ
1
85,503
0,588
4,813
4,813
0,506
10
11,788336
2
121,270
0,682
13,209
16,040
0,470
3
157,037
0,741
21,605
32,543
0,458
4
192,804
0,781
30,001
54,113
0,451
5
228,571
0,811
38,396
80,685
0,446
6
264,337
0,834
46,792
112,231
0,443
7
300,104
0,851
55,188
148,740
0,441
8
335,871
0,866
63,584
190,205
0,439
9
371,638
0,933
71,979
236,621
0,437
10
407,405
1,024
85,451
306,173
0,389
11
384,413
1,026
80,015
393,678
0,325
12
361,420
1,028
74,574
478,540
0,317
13
338,428
1,030
69,127
561,087
0,306
14
315,436
1,033
63,671
641,735
0,292
15
292,443
1,036
58,206
721,023
0,273
16
269,451
1,040
52,728
799,657
0,248
17
246,459
1,044
47,233
878,595
0,212
18
223,466
1,050
41,716
959,164
0,158
19
200,474
1,057
36,167
1043,280
0,075
20
177,482
1,068
30,572
1133,830
-0,065
21
154,489
1,082
24,909
1235,424
-0,335
22
131,497
1,105
19,130
1356,016
-0,990
23
108,505
1,144
13,144
1510,898
-4,066
24
85,513
1,230
6,716
1734,763
7,983
25
62,520
1,575
-0,949
2132,729
3,173
26
39,528
-0,150
-15,417
3343,357
2,483
27
16,536
0,713
24,546
-476,516
2,343
28
-6,457
0,836
-3,533
-343,074
2,201
29
-29,449
0,885
-12,170
-298,891
1,334
30
-52,441
0,912
-18,863
-283,388
0,792
31
-75,434
0,928
-24,958
-283,281
0,560
32
-98,426
0,939
-30,791
-293,715
0,457
33
-121,418
0,948
-36,487
-312,428
0,407
34
-144,411
0,954
-42,101
-338,200
0,380
fi 
P
39,317
Wi sin  b  [Wi '  ( i 1  1) N i 1 ](cos  br  tan  d sin  br )
{Wi cos  b  [Wi '  ( i 1  1) N i 1 ](tan  d cos  br  sin  br )} tan  b
Geometrical definitions
Y
βg
Natural ground
Dip
Cut slope
Base line
θr
βsr
Normal to the dip
β
θ
βs
X
Block toppling mode
Y
Stable set
Block 1
Block m
Toppling set
Sliding set
X
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